江蘇省連云港市新海實驗中學(xué)2024年八年級下冊數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

江蘇省連云港市新海實驗中學(xué)2024年八年級下冊數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段不能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3,4,5 B． C．30,40,50 D．0.3,0.4,0.52．把分式中的x、y的值同時擴大為原來的2倍，則分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大為原來的2倍C．?dāng)U大為原來的4倍 D．縮小為原來的一半3．炎炎夏日，甲安裝隊為A小區(qū)安裝60臺空調(diào)，乙安裝隊為B小區(qū)安裝50臺空調(diào)，兩隊同時開工且恰好同時完工，甲隊比乙隊每天多安裝2臺．設(shè)乙隊每天安裝x臺，根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是A． B． C． D．4．如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點與原點O重合，AB＝2，AD＝1，點Q的坐標(biāo)為（0，2）．點P（x，0）在邊AB上運動，若過點Q、P的直線將矩形ABCD的周長分成2：1兩部分，則x的值為（）A．或- B．或- C．或- D．或-5．如圖,把一個矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點D、C分別落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,則∠AED′為（）。A．70° B．65° C．50° D．25°6．為考察兩名實習(xí)工人的工作情況，質(zhì)檢部將他們工作第一周每天生產(chǎn)合格產(chǎn)品的個數(shù)整理成甲，乙兩組數(shù)據(jù)，如下表：甲26778乙23488關(guān)于以上數(shù)據(jù)，說法正確的是（）A．甲、乙的眾數(shù)相同 B．甲、乙的中位數(shù)相同C．甲的平均數(shù)小于乙的平均數(shù) D．甲的方差小于乙的方差7．甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同，已知乙車每小時比甲車多行駛15千米，設(shè)甲車的速度為千米/小時，依據(jù)題意列方程正確的是（）A． B． C． D．8．已知反比例函數(shù)y=6x的圖像上有兩點A（a-3,2b）、B（a，b-2），且a<0，則b的取值范圍是（▲A．b<2 B．b<0 C．-2<b<0 D．b＜-29．下列調(diào)查中，適合采用普查的是()A．了解一批電視機的使用壽命B．了解全省學(xué)生的家庭1周內(nèi)丟棄塑料袋的數(shù)量C．了解某校八(2)班學(xué)生每天用于課外閱讀的時間D．了解蘇州市中學(xué)生的近視率10．在下列數(shù)據(jù)6，5，7，5，8，6，6中，眾數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題(每小題3分,共24分)11．對下列現(xiàn)象中蘊含的數(shù)學(xué)原理闡述正確的是_____（填序號）①如圖（1），剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個平行四邊形．其依據(jù)是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②如圖（2），工人師傅在做矩形門窗時，不僅測量出兩組對邊的長度是否相等，還要測量出兩條條對角線的長度相等，以確保圖形是矩形．其依據(jù)是對角線相等的四邊形是矩形．③如圖（3），將兩張等寬的紙條放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD一定是菱形．其依據(jù)是一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．④如圖（4），把一張長方形紙片按如圖方式折一下，就可以裁出正方形．其依據(jù)是一組鄰邊相等的矩形是正方形．12．如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF，CF，則下列結(jié)論中一定成立的是______．(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)(1)∠DFC+∠FEC=90°；(2)∠B=∠AEF；(3)CF=EF；(4)13．計算：（2+）（2－）=_______.14．甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地，如圖，線段OA表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系；折線BCD表示轎車離甲地距離y（千米）與x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系．當(dāng)轎車到達乙地后，馬上沿原路以CD段速度返回，則貨車從甲地出發(fā)_______小時后與轎車相遇（結(jié)果精確到0.01）15．如圖，直線y＝﹣x+4分別與x軸，y軸相交于點A，B，點C在直線AB上，D是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，若以點O，A，C，D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標(biāo)是_____．16．計算：若，求的值是．17．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，則AC的長為_____．18．直角三角形的三邊長分別為、、，若，，則__________．三、解答題(共66分)19．（10分）如果一組數(shù)據(jù)﹣1，0，2，3，x的極差為6（1）求x的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．20．（6分）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．試按要求畫出線段（，均為格點），各畫出一條即可．21．（6分）列方程解應(yīng)用題某服裝廠準(zhǔn)備加工400套運動裝，在加工完160套后，采用新技術(shù)，使得工作效率比原計劃提高了20%，結(jié)果共用了18天完成任務(wù)，那么原計劃每天加工服裝多少套？22．（8分）小穎用四塊完全一樣的長方形方磚，恰好拼成如圖1所示圖案，如圖1，連接對角線后，她發(fā)現(xiàn)該圖案中可以用“面積法”采用不同方案去證明勾股定理．設(shè)AE=a，DE=b，AD=c，請你找到其中一種方案證明：a1+b1=c1．23．（8分）某班級為獎勵參加校運動會的運動員，分別用160元和120元購買了相同數(shù)量的甲、乙兩種獎品，其中每件甲種獎品比每件乙種獎品貴4元.請你根據(jù)以上信息，提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解答過程.24．（8分）如圖，平行四邊形ABCD中，AE=CE.（1）用尺規(guī)或只用無刻度的直尺作出的角平分線，保留作圖痕跡，不需要寫作法.（2）設(shè)的角平分線交邊AD于點F，連接CF，求證：四邊形AECF為菱形.25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于兩點，拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于另一點.（1）求拋物線解析式及點坐標(biāo)；（2）連接，求的面積；（3）若點為拋物線上一動點，連接，當(dāng)點運動到某一位置時，面積為的面積的倍，求此時點的坐標(biāo).26．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于與坐標(biāo)軸不平行的直線l和點P，給出如下定義：過點P作x軸，y軸的垂線，分別交直線l于點M，N，若PM+PN≤4，則稱P為直線l的近距點，特別地，直線上l所有的點都是直線l的近距點．已知點A(-，0)，B(0，2)，C(-2，2)．（1）當(dāng)直線l的表達式為y=x時，①在點A，B，C中，直線l的近距點是；②若以O(shè)A為邊的矩形OAEF上所有的點都是直線l的近距點，求點E的縱坐標(biāo)n的取值范圍；（2）當(dāng)直線l的表達式為y=kx時，若點C是直線l的近距點，直接寫出k的取值范圍．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，只要兩邊的平方和等于第三邊的平方即可構(gòu)成直角三角形．詳解：A．∵32+42=52，∴以這三個數(shù)為長度的線段能構(gòu)成直角三角形．故選項錯誤；B．∵（）2+（）2≠（）2，∴以這三個數(shù)為長度的線段不能構(gòu)成直角三角形．故選項正確；C．∵（30）2+（40）2=（50）2，∴以這三個數(shù)為長度的線段，能構(gòu)成直角三角形．故選項錯誤；D．∵（）2+（0.4）2=（0.5）2，∴以這三個數(shù)為長度的線段能構(gòu)成直角三角形．故選項錯誤．故選B．點睛：本題主要考查了勾股定理的逆定理，已知三條線段的長，判斷是否能構(gòu)成直角三角形的三邊，簡便的方法是：判斷兩個較小的數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可．2、D【解析】

根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：原式=，∴分式的值縮小為原來的一半；故選擇：D.【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．3、D【解析】試題分析：由乙隊每天安裝x臺，則甲隊每天安裝x+2臺，則根據(jù)關(guān)鍵描述語：“兩隊同時開工且恰好同時完工”，找出等量關(guān)系為：甲隊所用時間=乙隊所用時間，據(jù)此列出分式方程：．故選D．4、D【解析】

分類討論：點P在OA上和點P在OB上兩種情況．根據(jù)題意列出比例關(guān)系式，直接解答即可得出x得出值．【詳解】如圖，∵AB的中點與原點O重合，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（1，1）．當(dāng)點P在OB上時．易求G（，1）∵過點Q、P的直線將矩形ABCD的周長分成2：1兩部分，則AP+AD+DG＝3+x，CG+BC+BP＝3﹣x，由題意可得：3+x＝2（3﹣x），解得x＝．由對稱性可求當(dāng)點P在OA上時，x＝﹣．故選：D．【點睛】考查了一次函數(shù)的綜合題，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想．5、C【解析】

首先根據(jù)AD∥BC，求出∠FED的度數(shù)，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，則可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折疊的性質(zhì)知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°，故選：C．【點睛】此題考查了長方形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6、D【解析】

分別根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義進行求解后進行判斷即可得.【詳解】甲：數(shù)據(jù)7出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為7，排序后最中間的數(shù)是7，所以中位數(shù)是7，，=4.4，乙：數(shù)據(jù)8出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為8，排序后最中間的數(shù)是4，所以中位數(shù)是4，，=6.4，所以只有D選項正確，故選D.【點睛】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，熟練掌握相關(guān)定義及求解方法是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】由實際問題抽象出方程（行程問題）．【分析】∵甲車的速度為千米/小時，則乙甲車的速度為千米/小時∴甲車行駛30千米的時間為，乙車行駛40千米的時間為，∴根據(jù)甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同得．故選C．8、C【解析】

先根據(jù)k＞0判斷出在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，且圖象在第一、三象限，再根據(jù)a-3＜a＜0判斷出點A、B都在第三象限，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得2b＞b-2即可．【詳解】∵反比例函數(shù)y=6x中k=6＞∴在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，且圖象在第一、三象限.∵a＜0,∴a-3＜a＜0,∴0＞2b＞b-2,∴-2＜b＜0.故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的增減性，利用反比例函數(shù)的增減性比較大小時，一定要注意“在每一個象限內(nèi)”比較大?。?、C【解析】

由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．【詳解】A、了解一批電視機的使用壽命適合抽樣調(diào)查；B、了解全省學(xué)生的家庭1周內(nèi)丟棄塑料袋的數(shù)量適合抽樣調(diào)查；C、了解某校八(2)班學(xué)生每天用于課外閱讀的時間適合全面調(diào)查；D、了解蘇州市中學(xué)生的近視率適合抽樣調(diào)查；故選C．【點睛】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．10、B【解析】

根據(jù)眾數(shù)的概念進行解答即可.【詳解】在數(shù)據(jù)6，5，7，5，8，6，6中，數(shù)據(jù)6出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6，故選B.【點睛】本題考查了眾數(shù)，明確眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.眾數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，可以不唯一.二、填空題(每小題3分,共24分)11、①③④【解析】

①平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形；③首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的等積轉(zhuǎn)換可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形；④根據(jù)折疊定理得：所得的四邊形有三個直角，且一組鄰邊相等，所以可以裁出正方形紙片．【詳解】解：①由題意得：AB∥CD，AD∥BC，∵兩組對邊分別平行，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故正確；②∵兩組對邊的長度相等，∴四邊形是平行四邊形，∵對角線相等，∴此平行四邊形是矩形，故錯誤；③∵四邊形ABCD是用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起而組成的圖形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（對邊相互平行的四邊形是平行四邊形）；過點D分別作AB，BC邊上的高為DE，DF．如圖所示：則DE＝DF（兩紙條相同，紙條寬度相同）；∵平行四邊形ABCD的面積＝AB×DE＝BC×DF，∴AB＝BC．∴平行四邊形ABCD為菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），故正確；④根據(jù)折疊原理，對折后可得：所得的四邊形有三個直角，且一組鄰邊相等，所以可以裁出正方形紙片，故正確．故答案為①③④．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．12、(1)(3)【解析】

分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF，得出角、線段之間關(guān)系，得出(1)(3)成立，(2)不成立；再由梯形面積和平行四邊形面積關(guān)系進而得出(4)不成立．【詳解】解：∵F是AD的中點，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，延長EF，交CD延長線于M，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F為AD中點，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，∴△AEF≌△DMF(ASA)，∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵∠B=∠ADC＞∠M，∴∠B＞∠AEF，(2)不成立；∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，(3)成立；∴∠FEC=∠FCE，∵∠DCF+∠FEC=90°，∴∠DFC+∠FEC=90°，(1)成立；∵四邊形ADCE的面積=(AE+CD)×CE，F(xiàn)是AD的中點，∴S△EFC=S四邊形ADCE，∵S△BDC=S平行四邊形ABCD=CD×CE，∴S△EFC≠S△BDC，(4)不成立；故答案為：(1)(3)．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，證出△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵．13、1【解析】

根據(jù)實數(shù)的運算法則，利用平方差公式計算即可得答案.【詳解】（2+）（2－）=22-()2=4-3=1.故答案為：1【點睛】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則并靈活運用平方差公式是解題關(guān)鍵.14、4.68.【解析】

觀察圖象可求得貨車的速度為60千米/時，轎車在CD段的速度為110千米/時，轎車到達乙地時與貨車相距30千米，設(shè)貨車從甲地出發(fā)后x小時后再與轎車相遇，根據(jù)題意可得方程110（x-4.5）+60（x-4.5）=30，解方程即可求得x的值，由此即可解答.【詳解】觀察圖象可得，貨車的速度為300÷5=60（千米/時），轎車在CD段的速度為（300-80）÷（4.5-2.5）=110（千米/時），轎車到達乙地時與貨車相距300-60×4.5=30（千米），設(shè)貨車從甲地出發(fā)后x小時后再與轎車相遇，110（x-4.5）+60（x-4.5）=30，解得x=，∴貨車從甲地出發(fā)后4.68小時后再與轎車相遇.故答案為4.68.【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖象獲取信息是解決問題的關(guān)鍵．15、（2，﹣2）或（6，2）【解析】分析：設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，﹣x+4）．分兩種情況，分別以C在x軸的上方、C在x軸的下方做菱形，畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點C的坐標(biāo)即可得出D點的坐標(biāo)．詳解：∵一次函數(shù)解析式為線y=﹣x+4，∴B（0，4），A（4，0），如圖一．∵四邊形OADC是菱形，設(shè)C（x，﹣x+4），∴OC=OA==4，整理得：x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴C（2，2），∴D（6，2）；如圖二．∵四邊形OADC是菱形，設(shè)C（x，﹣x+4），∴AC=OA==4，整理得：x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，∴C（6，﹣2），∴D（2，﹣2）；故答案為（2，﹣2）或（6，2）．點睛：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定點C、D的位置．本題屬于中檔題，難度不大，在考慮菱形時需要分類討論．16、﹣．【解析】試題分析：∵－＝3，∴y－x＝3xy，∴＝＝＝＝．故答案為：．點睛：本題考查了分式的化簡求值，把已知進行變形得出y－x＝3xy，并進行整體代入是解決此題的關(guān)鍵．17、【解析】

作AM⊥BC于E，由角平分線的性質(zhì)得出，設(shè)AC＝2x，則BC＝3x，由線段垂直平分線得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出，NE＝x，BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN?EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果．【詳解】解：作AM⊥BC于E，如圖所示：∵CD平分∠ACB，∴，設(shè)AC＝2x，則BC＝3x，∵MN是BC的垂直平分線，∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，∴MN∥AE，∴，∴NE＝x，∴BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN?EN＝x，由勾股定理得：AE2＝AB2?BE2＝AC2?CE2，即52?（x）2＝（2x）2?（x）2，解得：x＝，∴AC＝2x＝；故答案為．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識；熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．18、或5【解析】

根據(jù)斜邊分類討論，然后利用勾股定理分別求出c的值即可．【詳解】解：①若b是斜邊長根據(jù)勾股定理可得：②若c是斜邊長根據(jù)勾股定理可得：綜上所述：或5故答案為：或5【點睛】此題考查的是勾股定理，掌握用勾股定理解直角三角形和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）x=1或x=-3；（2）或【解析】

（1）根據(jù)極差的定義求解.分兩種情況：x為最大值或最小值.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式求解即可?！驹斀狻拷猓海?）∵3+1＝4＜6，∴x為最大值或最小值．當(dāng)x為最大值時，有x+1＝6，解得x＝1．當(dāng)x為最小值時，3﹣x＝6，解得x＝﹣3；（2）當(dāng)x為1時，平均數(shù)為．當(dāng)x為﹣3時，平均數(shù)為．【點睛】本題考查了極差的定義和算術(shù)平均數(shù)，正確理解極差的定義，能夠注意到應(yīng)該分兩種情況討論是解決本題的關(guān)鍵.20、見解析【解析】

圖1，從圖中可得到AC邊的中點在格點上設(shè)為E，過E作AB的平行線即可在格點上找到F；圖2，EC=，EF=，F(xiàn)C=，借助勾股定理確定F點．【詳解】解：如圖：

【點睛】本題考查三角形作圖；在格點中利用勾股定理，三角形的性質(zhì)作平行、垂直是解題的關(guān)鍵．21、原計劃每天加工20套．【解析】

設(shè)原計劃每天加工x套，根據(jù)準(zhǔn)備訂購400套運動裝，某服裝廠接到訂單后，在加工160套后，采用了新技術(shù)，使得工作效率比原計劃提高了20%，結(jié)果共用18天完成任務(wù)，可列方程．【詳解】解：設(shè)原計劃每天加工x套，由題意得：解得：x=20，經(jīng)檢驗：x=20是原方程的解．答：原計劃每天加工20套．考點：分式方程的應(yīng)用22、見解析【解析】

根據(jù)S正方形EFGH=4S△AED+S正方形ABCD，列式可得結(jié)論．【詳解】解：∵AE=a，DE=b，AD=c，∴S正方形EFGH=EH1=（a+b）1，S正方形EFGH=4S△AED+S正方形ABCD=4×ab+c1，∴（a+b）1=1ab+c1，∴a1+b1=c1．【點睛】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法．23、問題：甲、乙兩種獎品的單價分別是多少元？每件甲種獎品為16元，每件乙種獎品為12元.【解析】

首先提出問題，例如：甲、乙兩種獎品的單價分別是多少元？然后根據(jù)本題的等量關(guān)系列出方程并求解?！驹斀狻繂栴}：甲、乙兩種獎品的單價分別是多少元？解：設(shè)每件乙種獎品為x元，則每件甲種獎品為（x+4）元，列方程得：160x=120(x+4)x=12經(jīng)檢驗，x=12是原分式方程的解。則：x+4=16答：每件甲種獎品為16元，每件乙種獎品為12元.【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解。24、（1）見詳解；（2）見解析.【解析】

（1）只用無刻度直尺作圖過程如下：①連接AC、BD交于點O，②連接EO，EO為∠AEC的角平分線；

（2）先根據(jù)AF=EC，AF∥CE，判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AE=EC，即可得出平行四邊形AECF是菱形