2023-2024學(xué)年上海市高二年級(jí)下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題1（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市高二下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.已知集合”={-3,T,0,l,2},8={x|W>l},則/n8=.

【正確答案】{-3,2}

將A中元素逐個(gè)代入判斷|x|>1是否成立即可得解.

【詳解】將A中元素逐個(gè)代入卜|>1,符合的有-3、2,即Zc8={-3,2}.

故答案為.{-3,2}

本題考查了描述法表示集合和集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.函數(shù)y=1的定義域?yàn)?

【正確答案】（-8,0]

【分析】由根式的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)關(guān)系求自變量范圍，即得定義域.

【詳解】由題設(shè)出-120,故Eogj=0,故定義域?yàn)椋?8,0].

故（-8,0]

3.設(shè)向量）=（2,1）,"是與￡方向相反的單位向量，則工的坐標(biāo)為.

【正確答案】卜羋,

【分析】根據(jù)相反向量、向量模的概念，求得2相反向量的坐標(biāo)及模長(zhǎng)，即可求"的坐標(biāo).

【詳解】由Z相反向量為（-2,-1）且模長(zhǎng)為指，

4.復(fù)數(shù)3-4i的虛部是.

【正確答案】-4

【分析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念即可得解.

【詳解】由復(fù)數(shù)虛部的概念，易知復(fù)數(shù)3-4i的虛部為-4.

故答案為.-4

5.已知sina=,則cos2a的值為.

7

【正確答案】-

【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式求值即可.

17

【詳解】由cos2a=l-2sin2a=l-2x—=-.

故：

6.在所有由1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，任取一個(gè)數(shù)，則取

出的數(shù)是奇數(shù)的概率為.

3

【正確答案】-##0.6

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可解出.

【詳解】任意一個(gè)數(shù)，共有5種可能，而這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的可能有3種，所以任取一個(gè)數(shù)，則

取出的數(shù)是奇數(shù)的概率為尸=1.

故].

7.已知公差為d(dR0)的等差數(shù)列其中Y=a。，則馬二幺=__________.

a5

3

【正確答案】一二##-0.75

4

4

【分析】由題干條件得到q=-；〃，從而求出答案.

【詳解】由題意得：(q+2d)2=q(q+d),解得：(3q+44)d=0,

4

因?yàn)閐wO,所以q=-§d,

Q]—+%—%—2d—2d3

則^一不方二包+J了，

3

故

4

8.已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的

___________倍.

【正確答案】2

【分析】求出底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍，從而得到側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍.

【詳解】設(shè)圓柱的高為力，底面半徑為，則體積為Q%,體積擴(kuò)大為原來的4倍，則擴(kuò)大

后的體積為4口2〃，因?yàn)楦卟蛔?，故體積4兀/〃=兀(",即底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍,

原來側(cè)面積為2箱力,擴(kuò)大后的圓柱側(cè)面積為27t-2泌=4兀心,故側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍.

故2

9.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和8,系統(tǒng)A和系統(tǒng)8在任

意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為上和?，若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為

【正確答案】15##0.2

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.

【詳解】由題意可得：?-P)+—%+

]49I

整理可得：1-而P=W，解得：P=飛,

故答案為?

10.直線/過點(diǎn)尸(1,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為

【正確答案】y=3x或x+y-4=0

【分析】分截距為0和不為0兩種情況討論即可.

【詳解】錯(cuò)解：因?yàn)橹本€/過點(diǎn)P0,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

設(shè)直線/的方程為±+上=1,則L+]=1,所以。=4,

故直線/的方程為:+4=1,

44

即x+>-4=0.

錯(cuò)因：錯(cuò)誤原因是忽略直線/過原點(diǎn)，截距為零的情況.

正解：

若直線/過原點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)直線/的方程為y=3x；

若直線/不過原點(diǎn)，設(shè)直線/的方程為'+上=1,

aa

13

則±+1=1,所以。=4,

故直線/的方程為;+4=1，即》+k4=0.

44

綜上，直線/的方程為N=3x或x+y-4=0.

故>=3x或x+y-4=0.

II.將函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得到V=g(x)的圖象，當(dāng)函數(shù)了=/(》)與^=8(力

在區(qū)間句上同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間司叫做函數(shù)y=/(x)的“不動(dòng)區(qū)間”.若區(qū)

間［1,2022］為函數(shù)>=|10'的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是.

【正確答案】，。

【分析】求出函數(shù)>=的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱對(duì)稱的函數(shù)的解析式為分

140、f>0兩種情況討論，化簡(jiǎn)兩個(gè)函數(shù)的解析式，對(duì)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間［L2022］上的單調(diào)性

進(jìn)行分類討論，可的關(guān)于實(shí)數(shù)，的不等式(組)，綜合可求得實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【詳解】函數(shù)y=|io、—|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱對(duì)稱的函數(shù)的解析式為y=|ior-f|,

因?yàn)閰^(qū)間［1,2022］為函數(shù)y=|10'-J的“不動(dòng)區(qū)間”，

所以，函數(shù)N=與函數(shù)—|在［1,2022］上的單調(diào)性相同，

若比0,則_y=|10、T|=10'T在［1,2022］上單調(diào)遞增，

y=|10-t-z|=10-1-/在［1,2022］上單調(diào)遞減，不合乎題意；

若r>0,則y=WT=［l°'T'W,y=WT=［l°-'-'"'一3

若函數(shù)y=在［1,2022］上單調(diào)遞增，則lg”l,可得0<fW10,

此時(shí)函數(shù)、=|10一'-4在［1,2022］也單調(diào)遞增，則-lg/41,可得此《，則《4T10；

若函數(shù)V=|10'T在口，2022］上單調(diào)遞減，則1gd2022,可得合仃以，

此時(shí)函數(shù)了=|1。-'-4在［1,2022］也單調(diào)遞減，則一lg/22022,可得0<f4］。以?，則/不存在.

綜上所述，實(shí)數(shù)r的取值范圍是10.

故答案為.，0

12.已知數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S“（S,片0）,7；為數(shù)歹￡s.｝的前〃項(xiàng)積，滿足S,+Tn=s?-Tn（n

2

為正整數(shù)），其中北=4,給出下列四個(gè)結(jié)論：①勾=2；②見=〃（2〃_1）；③｛4｝為等差數(shù)

列；④S”=出■.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

n

【正確答案】①③④

【分析】根據(jù)關(guān)系式S“+7；,=S,j7；,當(dāng)”=1時(shí)，即可求得q的值；由S,,+?；=$,,名得

北=不。，當(dāng)〃22時(shí)，可得兩式相除整理可證明為等差數(shù)列，即

可求得S,，從而可求得由此得以判斷各結(jié)論.

【詳解】因?yàn)镾,+[=5.2（〃eN*）,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，S1+7；=S[Z=>2q=4，解得％=2或q=0,

又S,產(chǎn)0,所以4*0,故4=2,故①正確；

s

因?yàn)橐椎胹〃，l,所以,

3“T

當(dāng)心2時(shí)，a=,

所以導(dǎo)含、守，則5,=含x『，

所以一^―=^^=（s”T_i）+i=[t_,i）ii]—!—--

——=1

5?-iSi—1Sr—1S.「1"S「1，Sn—1,-1

iii

又----=-----=i?

S,-laA-\

所以｛白[是以S_]=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以C1=1+（〃1）x1=〃，則S〃一——，

，一1n

n-4-1

經(jīng)檢驗(yàn)，5=4=2滿足上式，所以S,=l,故④正確;

n

n+\

所以則？；-a=（〃+1）-〃=1,n>2,

3〃T〃十Li

n

所以憶｝為等差數(shù)列，故③正確;

2

當(dāng)心2時(shí),a=S?-S?_

nxnn—\n(?—1)

又％=2不符合上式,

2,”=1

所以故②錯(cuò)誤.

4=14^i),n-r

故①③④.

二、單選題

13.已知Ia>0,b>0,若〃+6=4,則

A./+〃有最小值B.有最小值

c.—+!有最大值

D.^^有最大值

ab

【正確答案】A

【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求解a?+b2有最小值，得到答案.

【詳解】由題意，可知a>0,b>0,且a+b=4,

因?yàn)椤?gt;0,b>0,則4+622疝，即審)2=4,

JW^a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab>16-2x4=8,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值8,

故選A.

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著

重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.設(shè)函數(shù)〃x)=asinx+cosx(a為常數(shù))，則“a=0”是“/(x)為偶函數(shù)”的()

A.充分非必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【正確答案】C

【分析】根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)為偶函數(shù)等價(jià)于/(-x)寸(外進(jìn)行判斷.

【詳解】解：當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=asinx+cosx=cosx,所以/(x)為偶函數(shù)；

當(dāng)fM為偶函數(shù)時(shí)，f(-x)=f(x)對(duì)任意的x恒成立，

/.f（-x）=asin（-x）+cos（-x）=-asinx+cosx,

即Qsinx+cosx=-asinx+cosx,得asinx=0對(duì)任意的x恒成立，從而a=0.

從而是"/（x）為偶函數(shù)”的充分必要條件.

故選：C.

15.點(diǎn)M（2,l）到直線/:（2/l+l）x+（lT）y+3=0MeR）的距離的最大值為（）

A.|V5B.V5C.3D.3〃

【正確答案】D

【分析】由題意，求得直線所過定點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案.

【詳解】由直線/:（24+l）x+（l-/l）y+3=0,（；leR）,整理可得（2x—y）/l+x+y+3=0,

2x-y=0x=-l

令二3解得

y=-2

點(diǎn)M（2,l）到直線/距離的最大值為點(diǎn)M（2,l）到定點(diǎn)（-1,-2）的距離，則

J（2++（1+2）2=3五,

故選：D.

16./（-2,0）,5（2,0）,C（O,2）,￡（-1,0）,尸（1,0）,一束光線從點(diǎn)尸出發(fā)射到8c上的點(diǎn)

D,經(jīng)8c反射后，再經(jīng)NC反射，落到線段ZE上（不含端點(diǎn)），則￡0的斜率的取值范圍

是（）

A.°°,2）B.（0,+8）

C.。,+8）D.（4,+oo）

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)題意求得4-2,0）關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)為4（2,4），點(diǎn)司-1,0）關(guān)于直線/C

的對(duì)稱點(diǎn)為&（-2,1），點(diǎn)￡（-2,1）關(guān)于直線8c的對(duì)稱點(diǎn)為芻（1，4），再數(shù)形結(jié)合得到點(diǎn)。的

變動(dòng)范圍，從而得到與。＞與戶，由此得解.

（O=2k+b\k=-\

【詳解】設(shè)直線8c方程為y=h+"則、A，解得/、，即8C:y=-x+2,即

\2=h\b=2

BC:x+j/-2=0,

y

1

x+2\x=2/、

設(shè)”(一2,0)關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)為4(x,y),則，，解得］=4'即4(2,4)，

x-2+

4尸=4，

同理可得:

點(diǎn)￡(-1,0)關(guān)于直線AC:y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)為弱(-2,1),

點(diǎn)E](-2,1)關(guān)于直線BC:y=-x+2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(1,4),

如圖所示:

利用光線反射的性質(zhì)可知，當(dāng)這束光線反射后最終經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，則其先經(jīng)過點(diǎn)N；當(dāng)這束

光線反射后最終經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，則其先經(jīng)過點(diǎn)

所以點(diǎn)之間為點(diǎn)。的變動(dòng)范圍，

因?yàn)榇?1,4),尸(1,0),所以直線F即直線FN斜率不存在,而kFN=%=4,

所以《P>%FN=4,即%,€(4,+8).

故選：D

三、解答題

17.如圖，設(shè)長(zhǎng)方體/BCD-44cA中，AB=BC=3,AAt=4.

（1）求異面直線MB與B}C所成角的大小;

（2）求二面角4-4C-B的大小.

【正確答案】（l）arccos^l

9

（2）arccos—

【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；

【詳解】（1）解：以。4,DC,。。為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（3,0,4）,5（3,3,0）,B,（3,3,4）,C（0,3,0）,

UUU____

48=(0,3,-4),配=(-3,0,-4),

1616

.?.COS（麗配”絲雪

716+9x716+925，

二異面直線4B與8c所成角的大小為arccos石；

(2)解：福=(0,3,0),而=(3,0,0),

設(shè)平面48c的一個(gè)法向量為5=(x,y,z),

n-A.B=3y-4z=0/、

則｛」_-，令P=4,則斤=0,4,3),

RCB=3x=Q

設(shè)平面J,B,C的一個(gè)法向量為成=(a,6,c),

fn-A.B.=3b=0

則，令a=4,則/=(4,0,-3),

inBiC=-3a-4c=0

3〈加=￡=總而=又二面角4C-8為銳二面角，

9

*'?二面角B、-4c-B的大小為arccos石.

18.在N8C中，有6sin/=acos(5-/),其中a,6,c分別為角48,C的對(duì)邊.

(1)求角3的大小；

(2)設(shè)點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，若80=6,求的取值范圍.

【正確答案】(1)B=W；

(2)2^3<a+c<4.

【分析】(1)由正弦定理邊角關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為asin8=acos(B-^J,應(yīng)用差角余弦公式

及三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大小；

(2)延長(zhǎng)到E滿足DE=8Z),連接4E,CE,易知/8CE為平行四邊形，再應(yīng)用余弦定

理、基本不等式求上界，結(jié)合三角形三邊關(guān)系求下界，即可得范圍.

【詳解】(1)在/8C中，由正弦定理三=工，可得bsinZ=asin8,

smAsinB

由bsinN=acos(8—己)，得asinB=acos(3—,即sinB=cos(6—,

所以sinB二3cos8+」sinB,可得tan8=JJ,又。<B,可得4=^.

223

(2)如圖，延長(zhǎng)8。到E滿足?！?8D,連接4E,CE,則48CE為平行四邊形,

^[BE=2?NBAE="AB=c,AE=BC=a,

3

.-27r?%、

在B4E中,由余弦定理得：(20y=/+/-Zaccos7,即/+/+ac=12,

可變形為:(a+c)2-ac=12,BPac=(a+c)2-12,

由基本不等式得：ac=(a+c)2-12二工)，即(a+c)?416,得a+c44(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2

取等號(hào)）.

又AE+4B>BE,有a+c>2有，故"+c的取值范圍是2舊<“+。44.

19.已知IN8C的頂點(diǎn)月（5,1）,重心G（3,3）.

（1）求線段8c的中點(diǎn)坐標(biāo)：

（2）記/8C的垂心為4,若B、，都在直線N=-x上，求//的坐標(biāo).

【正確答案】（1）（2,4）

（2）//（5,-5）

【分析】第一問根據(jù)頂點(diǎn)到重心的距離與重心到底邊中點(diǎn)的距離比為2:1,可得對(duì)應(yīng)的共線

向量解決求8c的中點(diǎn)：根據(jù)求NC,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)8c的中點(diǎn)可以用C表示8,

根據(jù)點(diǎn)C在NC上且點(diǎn)8在8〃上，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)8c與/“垂直求出"，的方程，

然后聯(lián)立4H與BH.

【詳解】（1）設(shè)8c中點(diǎn)材卜。,人），

因?yàn)镚為/8C的重心，且/（5,1）,G（3,3）,

所以刀=2而，即（一2,2）=2（Xo—3,%-3）

所以[與-J,所以5c中點(diǎn)“4）

[%-3=1[%=4

（2）因?yàn)?”的方程為歹=—x,且〃為/8C的雍心

所以凝H-kAC=-1即-1=T，所以原C=1

所以直線/C的方程為：y-\=x-5,即y=x-4

所以設(shè)點(diǎn)C（Xc，2-4）,又因?yàn)?c的中點(diǎn)“（2,4）,設(shè)6（%,乙）則

X5+XC=2X2=4（XB=4-xc

j^j?+xc-4=2x4=8[yB=12-xc

又因?yàn)辄c(diǎn)8在直線V=—X上，即12-2=—（4-2）,所以2=8

所以C（8,4）,所以怎C=KC=M=。，則8c邊上的高線為X=5

而點(diǎn)〃也在直線B"：J，=-x上，所以點(diǎn)月的坐標(biāo)即為4"與8〃的交點(diǎn)

即“（5,-5）.

20.第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊(duì)

通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍.

FIFAWORLDCUP

Q/W

（i）撲點(diǎn)球的難度一般比較大,假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方

向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向

判斷正確也有;的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次

撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

（2）好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球

從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向

另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在甲

腳下的概率為p〃，易知P|=l,P2=0.

①試證明：｛p,,-；）為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為仙，比較與的大小.

【正確答案】（1）分布列見解析；期望為］

（2）①證明見解析；②口0</。

【分析】（1）方法一：先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)

學(xué)期望；

方法二：判斷X~8（3,￡|,結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列和期望公式確定結(jié)論；

（2）①記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為p,，則當(dāng)〃N2時(shí)，第n-I次傳球之前球在

甲腳下的概率為P.T，由條件確定P,,，P,i的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義完成證明；

②由①求出口。,小。，比較其大小即可.

【詳解】（1）方法一：X的所有可能取值為0」,2,3,

在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率Pg+Zj

X0123

512192241

P

729729729729

%xl+*x2+-Lx3=班:L

E（X）=

7297297297293

方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為p=；x；=1,

門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,易知

所以尸（X=A）=C；田”=。』23

故X的分布列為:

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E（X）=3xt=；.

（2）①第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為P“，

則當(dāng)〃22時(shí)，第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率為p,i,

第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-P,T，

貝Pn=P?-\xO+（1-P“_Jxg=Pe-4,

即P"=TP“「H'又巧T=

所以｛p“-是以;為首項(xiàng)，公比為一;的等比數(shù)列.

②由①可知P“=!■（-；）+|＞所以四。=|[-；）+：＜；，

…I/,、1122（1丫11

所以/。=弓（|一歷。）=3f一不一?。?,

故Pio＜價(jià)0?

21.設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽.若存在實(shí)數(shù)以6、m、“（4*6）使得〃X）+〃2"X）=2"7,

/（x）+/（26-x）=2〃均對(duì)任意xeR成立，則稱/（x）為“（a,b,m,n）型一Q函數(shù)”.

（1）若/（x）是"（0,1,0,0）型一C函數(shù)”，求/（2020）的值；

（2）若/（X）是“（0,1,0,1）型―。函數(shù)”，求證：函數(shù)y=/（x）-x是周期函數(shù)：

（3）若“X）是“（”,6,外〃）型—復(fù)函數(shù)”，且/（x）在R上單調(diào)遞增，求證:存在正實(shí)數(shù)c、M,

使得|/（力-蜀4M對(duì)任意xeR成立.

【正確答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【分析】（1）由/（x）是"（0,1,0,0）型一。函數(shù)“，可得a=O,b=l,機(jī)=0,〃=0,結(jié)合已知條件,

即可求得/(2020