數(shù)形結(jié)合讓思維飛得更遠 論文

數(shù)形結(jié)合，讓思維飛得摘要：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學學科最重要的思想方法之一，它將抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，使教學中的數(shù)學問題能夠化難為易、化繁為簡，從而有助于突破學生思維瓶頸，提高學生分析問題和解決問題的能力。。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合，數(shù)學問題，化難為易，化繁為簡，激活思維引言：通過數(shù)與形的結(jié)合來彌補小學生抽象思維能力的不足，加深對抽象的數(shù)字運算和量之間等量關(guān)系的形象理解，有利于開啟學生的思維，培養(yǎng)學生解決問我一直致力于小學數(shù)學教育，深刻體會到教材在編排時，能根據(jù)小學生的年齡和思維的特點，將每個知識點的學習過程都配備了圖形和實物，像鐘表、線段示意圖、平均分割的圓面等等，都是遵循小學生的認知規(guī)律，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的方法，以便小學生學的輕松，理解的透徹，使得小學生對一些難點問題，如時間的認識、數(shù)學應(yīng)用題的解決、分數(shù)的認識和有關(guān)算理算法的理解與掌握等都能輕松過關(guān)，迎刃而解?！斑@種‘以形助數(shù)’或‘以數(shù)解形’的思想方法，使計算的算理直觀化、復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題形象化，從而優(yōu)化解決問題的策略?！盵1]人教版六年級數(shù)學上冊第八單元數(shù)學廣角《數(shù)與形》對于我而言印象非常深刻，在這個單元的教學過程中，更加體會到了數(shù)形結(jié)合方法對于小學生學習數(shù)學的重要性和必要性，現(xiàn)淺談一下教學《數(shù)與形》這一節(jié)內(nèi)容時的策略。一、數(shù)與形的結(jié)合，妙解1．求連續(xù)自然數(shù)的和（1）問題：1＋2＋3＋……＋100=?這個問題的解決并不困難，因為很多小學生都聽老師講過小高斯的故事，高斯是德國著名的大科學家，他最出名的故事就是在他10歲時，小學老師出了一道算術(shù)難題：計算1＋2＋3＋……＋100＝？這下可難倒了剛學數(shù)學的小朋友們，他們按照題目的要求，正把數(shù)字一個一個地相加?？蛇@時卻傳來了高斯的聲音：“老師，我已經(jīng)算好了!”老師很吃驚，高斯解釋道：因為1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……49＋52＝101，50＋51＝101，而像這樣等于101的組合一共有50組，所以答案很快就可10150＝5050。聰明的小高斯的這種算法，綜合運用了分組和加法轉(zhuǎn)化為乘法的巧妙方法，×但這種算法也有不便的時候，如加數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，當然這個問題還是能解決的。我在處理1＋2＋3＋……＋100＝?時，嘗試了數(shù)形結(jié)合的方法，用邊長是1的小正方形面積為1個平方單位）表示數(shù)字1（下圖中的紅色正方形），兩個小正方形拼成的圖形表示數(shù)字2（下圖中的黃色長方形），以此類推（如圖1），其中在圖1中，算式1、1+2、1+2+3、+2+3+4、1+2+3+4+5分別用相應(yīng)的圖形表示出來，圖2則表示兩個1+2+3+4+5所對應(yīng)的圖形拼合的過程，圖3是拼合的結(jié)果，圖3中的長方形的面積表示（1+2+3+4+5）+（1（1+2+3+），即2×（1+2+3+），而長方形的面1+5）與寬5的積，即：52×（1+2+3+4+5）＝（1+5）×5，所以1+2+3+4+5=（1+5）×＝15。進一步推廣到1＋2＋3＋……＋100＝（1+100）×＝5050，也可以拓展延伸到1＋22n(n+1)＋3＋……＋n＝。圖１（2）結(jié)論：從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和等于首尾兩數(shù)的和與加數(shù)個接下來，我把1＋2＋3＋……＋100分為兩組，第一組是1+3+5+……+97+99；第二組為+4+6+……+98+100，即從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和、從2開始的連續(xù)偶數(shù)的和。2．求連續(xù)奇數(shù)的和（1）問題：1+3+5+……+97+99＝？顯然，這個問題用小高斯的分組和轉(zhuǎn)化為乘的方法似乎可行，但計算過程和結(jié)果較煩，尤其是加數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個或較多的時候。而數(shù)形結(jié)合的方法讓我們豁然開朗，甚至能一口報出結(jié)果。圖4中的幾個圖形分別表示了數(shù)字1、3、5、7，而圖5則表示1+3，22等于邊長為2的正方形面積是2，圖6表示1+3+5，等于邊長為3的正方形面積是3，表示1+3+5+7，等于邊長為4的正方形面積是4：結(jié)論：從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于某個數(shù)的平方，這個數(shù)就是奇數(shù)加數(shù)的個數(shù)。顯然，這種方法要比分組和轉(zhuǎn)化為乘的方法要簡單的多。求連續(xù)偶數(shù)的和3（1）問題：2+4+6+……+98+100＝？這個問題當然也可以考慮用小高斯的做法，同樣較煩，或者先提取2（逆用分配律）轉(zhuǎn)化成連續(xù)自然數(shù)的和來求解，如果用數(shù)形結(jié)合的方法來解，會不會更簡單呢？其中圖8分別用圖形表示了數(shù)字2、4、6、8；表示2+4，長方形的面積是2×3，即2+4=2×3；（2個連續(xù)偶數(shù)相加）表示2+4+6，長方形的面積是3×4，即2+4+6=3×4；（3個連續(xù)偶數(shù)相加）表示2+4+6+，長方形的面積是4×5，即2+4+6+8=；（4個連續(xù)偶數(shù)相以此類推，2+4+6+8+10＝5×6；（5個連續(xù)偶數(shù)相加）所以，2+4+6+8+……+98+100＝50×51；（50個連續(xù)偶數(shù)相加）拓展延伸，2+4+6+……+2n＝n(n+1)，（n個連續(xù)偶數(shù)相加）圖8圖9圖10圖11（2）結(jié)論：從2開始的連續(xù)偶數(shù)的和等于偶數(shù)的個數(shù)與比這個個數(shù)大1的數(shù)的積。就這樣，我們巧用長方形（或正方形）的面積，輕松地解決了1＋2＋3＋……＋100?、+3+5+……+9？以及2+4+6+……+9？這三個問題，并且作了學們覺得學的輕松，理解的深刻，而且能運用自如，甚至能直接口答出一些較為復(fù)雜的算式的結(jié)果。所有這些都歸功于數(shù)形結(jié)合的思想方法的巧妙運用。二、數(shù)與形的結(jié)合，妙解像上面這樣運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決的問題還有很多很多，之后我和同學們一33333起挑戰(zhàn)了1+2+3+4+5=?，當然這個問題挑戰(zhàn)的難度較大，但是法來探究，應(yīng)該不是很難的，我和同學們一起構(gòu)造了這樣的圖形。從圖中我們可以看出：拓展延伸，1+2+3+4+5+……+n=[至此，我和同學們的臉上都露出了勝利的微笑！同學們都給數(shù)形結(jié)合方法之巧妙而點贊，作為老師的我當然也無比的開心與自豪。三、數(shù)與形的結(jié)合，妙解數(shù)形結(jié)合的思想方法對于小學生學習數(shù)學的重要性已毋庸置疑，在后面的數(shù)學學習222過程中的應(yīng)用也是很廣泛的，如數(shù)學拓展練習中的完全平方公式（a+b）=a+b+2ab，看上去似乎很難理解，但我們運用數(shù)形結(jié)合的方法來解決，就比較容易理解了大正方形的邊長是（a+b），面積當然就是（a+b）。把它分成四塊，分別是邊長為a的正方形、邊長為b的正方形以及兩個長寬為b、a的長方形，它們的面積依次是a、b和ab、ab，四個圖形面積的a+b+2ab，所以有：a+b）=a++2ab，多么令人滿意的詮釋！曾經(jīng)記得初中數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用更為廣泛，舉不勝舉，其中有著名的《勾股定理》的證明方法，證明方法有上百種之多，但它們的主要指導(dǎo)思想大多還是用數(shù)形結(jié)合中的面積法，有課本中的勾股圓方圖，利用四個全等的直角三角形拼圖，再利用面積關(guān)222系得出：直角三角形的兩條直角邊a、b與斜邊c的關(guān)系是a+b=c。在這里，我想用兩個全等的直角三角形拼圖，構(gòu)成一個直角梯形，它的a+b上底是a，下底為b，高為（a+b），則它的面積a+b）×。同時，它是由全等的直角三角形和一個直角邊為c的等腰直角三角形拼成將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，作為小學生理解初中數(shù)學的知識也不覺得困難，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)越性所在。要培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法，首先教師要切實掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，要刻苦鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù)形結(jié)合思想方法滲透的各種因素，同時要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進行數(shù)形結(jié)合思想方法滲透?！皵?shù)形結(jié)合思想方法包含‘以形助數(shù)’和‘以數(shù)解形’兩個方面，在小學數(shù)學‘數(shù)與代數(shù)’領(lǐng)域教學中，用得最多的是‘以形助數(shù)’，我們應(yīng)把數(shù)形結(jié)合思想方法滲透在教學中的每一個內(nèi)容之中?！币虼?，在數(shù)學教學中，有時看到學生遇到難題百思不得其解時，如能畫個草圖稍加點撥，學生往往茅塞頓開。究其原因就是充分發(fā)揮了圖象語言的優(yōu)越性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)越性。小學數(shù)學中雖然沒有學習函數(shù)，但還是慢慢的開始滲透函數(shù)的思想。為初中數(shù)學學習打好基礎(chǔ)，如確定位置中，用數(shù)對表示平面圖形上的點，點的平移引起了數(shù)而數(shù)對變化也對應(yīng)了不同的點。此外，在六年級第二學期學習的比例中，讓學生通過描點連線來表示正比例函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)只要是正比例關(guān)系的式子，畫在坐標系中就是一條直線。從而體會到圖形與函數(shù)之間密不可分的關(guān)系。”我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：‘數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休’?！盵2]這段話對數(shù)形結(jié)合的思想方法的詮釋應(yīng)該是恰到好處的[