高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二篇函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第11節(jié)第一課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性市賽課公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)

第11節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用1/37考綱展示1.了解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超出三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超出三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超出三次).3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題.2/37知識(shí)梳理自測(cè)考點(diǎn)專題突破3/37知識(shí)梳理自測(cè)把散落知識(shí)連起來(lái)【教材導(dǎo)讀】1.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有f′(x)>0嗎?f′(x)>0是否是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增充要條件?提醒:函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則f′(x)≥0,f′(x)>0是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增充分無(wú)須要條件.2.f′(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取極值什么條件?提醒:必要不充分條件,因?yàn)楫?dāng)f′(x0)=0且x0左右兩端導(dǎo)數(shù)符號(hào)改變時(shí),才能說(shuō)f(x)在x=x0處取得極值.反過(guò)來(lái),假如可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取極值,則一定有f′(x0)=0.4/37知識(shí)梳理1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)①若f′(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)

;單調(diào)遞增②若f′(x)<0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)

;③假如在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為常函數(shù).(2)單調(diào)性應(yīng)用若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),則y=f′(x)在該區(qū)間上不存在變號(hào)零點(diǎn).2.函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)極小值概念①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其它點(diǎn)函數(shù)值都小;單調(diào)遞減5/37②f′(a)=0;③在點(diǎn)x=a附近左側(cè)

,右側(cè)

;則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)

,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)

.(2)函數(shù)極大值概念①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其它點(diǎn)函數(shù)值都大;②f′(b)=0;③在點(diǎn)x=b附近左側(cè)

,右側(cè)

;則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)

,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)

;極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為

,極小值與極大值統(tǒng)稱為

.f′(x)<0f′(x)>0極小值點(diǎn)極小值f′(x)>0f′(x)<0極大值點(diǎn)極大值極值點(diǎn)極值6/373.函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最大值與最小值步驟:(1)求y=f(x)在(a,b)內(nèi)

;(2)將函數(shù)y=f(x)各極值與端點(diǎn)處函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中

一個(gè)為最大值,

一個(gè)為最小值.極值最大最小4.利用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際生活中優(yōu)化問(wèn)題(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各變量之間關(guān)系,建立實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型,寫出對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)并確定定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0;(3)判斷使f′(x)=0點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);(4)確定函數(shù)最大值或最小值,還原到實(shí)際問(wèn)題中作答.7/37【主要結(jié)論】1.若函數(shù)f(x)圖象連續(xù)不停,則f(x)在[a,b]內(nèi)一定有最值.2.若函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.3.若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),則對(duì)應(yīng)極值一定是函數(shù)最值.4.極值與最值關(guān)系:極值只能在定義域內(nèi)取得(不包含端點(diǎn)),最值卻能夠在端點(diǎn)處取得,有極值不一定有最值,有最值也未必有極值;極值有可能成為最值,非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)最值只要不在端點(diǎn)處取,則必定在極值處取.8/37雙基自測(cè)1.以下函數(shù)中,在(2,+∞)內(nèi)為增函數(shù)是(

)(A)3sinx (B)(x-3)ex(C)x3-15x (D)lnx-xB解析:(3sinx)′=3cosx,[(x-3)ex]′=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,(x3-15x)′=3x2-15,(lnx-x)′=

-1,當(dāng)x>2時(shí),只有[(x-3)ex]′>0恒成立.故選B.9/372.已知函數(shù)f(x)=x3-px2-qx圖象與x軸切于點(diǎn)(1,0),則f(x)極大值、極小值分別為(

)A10/373.若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k取值范圍是(

)(A)(-∞,-2] (B)(-∞,-1](C)[2,+∞) (D)[1,+∞)D11/374.函數(shù)y=(x+1)ex最小值為

.

解析:由y′=(x+2)ex,可知x=-2為函數(shù)在定義域內(nèi)唯一極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),故其最小值為-e-2.答案:-e-212/375.給出以下命題:①f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)充要條件.②函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一.③函數(shù)極大值不一定比極小值大.④對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x0)=0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)充要條件.⑤函數(shù)最大值不一定是極大值,函數(shù)最小值也不一定是極小值.其中真命題是

.(寫出全部真命題序號(hào))

13/37解析:①錯(cuò)誤.f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù),反之不一定.如函數(shù)f(x)=x3在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,但f′(x)≥0.所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)充分條件,但不是必要條件.②錯(cuò)誤.一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值能夠不止一個(gè).③正確.一個(gè)函數(shù)極大值與極小值沒(méi)有確定大小關(guān)系,極大值可能比極小值大,也可能比極小值小,還可能與極小值相等.④錯(cuò)誤.對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x0)=0只是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)必要條件,如y=x3在x=0時(shí)f′(0)=0,而函數(shù)在R上為增函數(shù),所以0不是極值點(diǎn).⑤正確.當(dāng)函數(shù)僅在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值時(shí),這時(shí)最值不是極值.答案:③⑤14/37第一課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性15/37考點(diǎn)專題突破在講練中了解知識(shí)考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間(★★★)考查角度1:不含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間【例1】

(·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a,b值;16/37(2)求f(x)單調(diào)區(qū)間.解:(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f′(x)與1-x+ex-1同號(hào).令g(x)=1-x+ex-1,則g′(x)=-1+ex-1.所以,當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上最小值,從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).綜上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).17/37反思?xì)w納用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間“三個(gè)方法”(1)當(dāng)不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解時(shí),確定函數(shù)定義域,解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)方程f′(x)=0可解時(shí),確定函數(shù)定義域,解方程f′(x)=0,求出實(shí)數(shù)根,把函數(shù)f(x)間斷點(diǎn)(即f(x)無(wú)定義點(diǎn))橫坐標(biāo)和實(shí)根按從小到大次序排列起來(lái),把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間,確定f′(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間.(3)不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)=0均不可解時(shí)要對(duì)f′(x)解析式或部分解析式進(jìn)行二次求導(dǎo),從而確定f′(x)符號(hào)及零點(diǎn).18/37考查角度2:依據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)大小與定義域關(guān)系討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間【例2】

(·冀州月考)設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+,其中a為常數(shù).(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線方程;19/37(2)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性.20/3721/37反思?xì)w納含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間,需依據(jù)參數(shù)取值范圍討論求解.其討論方法主要是考慮導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在(若存在,有幾個(gè)),導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)怎樣劃分定義域(是否在定義域內(nèi),多個(gè)零點(diǎn)大小),導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否確定等方面.22/37考查角度3:結(jié)構(gòu)函數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)【例3】

已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù),e=2.71828…),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線與x軸平行.(1)求k值;23/37(2)求f(x)單調(diào)區(qū)間.24/37考點(diǎn)二函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系應(yīng)用★★★考查角度1:導(dǎo)函數(shù)圖象了解【例4】

導(dǎo)學(xué)號(hào)38486056(·江西臨川模擬)假如函數(shù)y=f(x)圖象如圖所表示,那么導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)圖象可能是(

)25/37解析:如圖,由y=f(x)圖象知,當(dāng)x<x1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,故f′(x)>0;當(dāng)x1<x<0時(shí),y=f(x)單調(diào)遞減,故f′(x)<0;在x=0處,y=f(x)切線與x軸平行,故f′(0)=0;在0<x<x2時(shí),y=f(x)單調(diào)遞增,故f′(x)>0;當(dāng)x>x2時(shí),y=f(x)單調(diào)遞減,故f′(x)<0.綜上可知,A項(xiàng)符合題意.故選A.26/37反思?xì)w納導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)自變量取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖象上升部分對(duì)應(yīng)區(qū)間(遞增區(qū)間),導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象在x軸下方時(shí)對(duì)應(yīng)自變量取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖象下降部分對(duì)應(yīng)區(qū)間(遞減區(qū)間).27/37考查角度2:利用導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)解不等式【例5】

導(dǎo)學(xué)號(hào)38486057(·沈陽(yáng)質(zhì)檢)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4解集為(

)(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)28/37反思?xì)w納29/37考查角度3:依據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(1)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)為減函數(shù),求a取值范圍;30/3731/37(2)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a取值范圍;32/37(3)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)上不單調(diào),求a取值范圍.33/37反思?xì)w納(1)函數(shù)y=f(x)在(a,b)上是增函數(shù)(或減函數(shù)),則f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a,b)內(nèi)恒成立.(2)函數(shù)y=f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間,則f′(x)>0(或f′(x)<0)在(a,b)內(nèi)有解.(3)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)不