圓的有關(guān)位置關(guān)系：2021-2023中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（解析版）

三年（2021-2023）中考數(shù)學(xué)真題分項匯編【全國通用】

專題28圓的有關(guān)位置關(guān)系（優(yōu)選真題60道）

選擇題（共20小題）

1.（2023?威海）在AABC中，BC=3,AC=4,下列說法錯誤的是（）

A.1<AB<7

B.S^ABCW6

C.△ABC內(nèi)切圓的半徑r<l

D.當(dāng)43=舊時，△ABC是直角三角形

【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)逐個判斷即可.

【解答】解：A、由三角形三邊關(guān)系得，4-3<AB<4+3,即故A正確，不符題意；

1

B、當(dāng)時，SAABC最大，此時ax3X4=6,故3正確，不符題意；

9c12A

C、三角形內(nèi)切圓半徑r=令，由7<C<14,得弓?V「V，故C錯誤，符合題意；

D、當(dāng)AB=立時，BC2=AC2-AB2,所以△ABC時直角三角形，故。正確，不符題意.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形相關(guān)知識點的應(yīng)用，三角形面積、勾股定理、內(nèi)切圓半徑的求法是解題關(guān)鍵.

2.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，O。是銳角三角形ABC的外接圓，OE±BC,OF±AC.垂足分別為D,

E,F,連接。E,EF,FD.DE+DF=6.5,△ABC的周長為21,則EF的長為（）

C.3.5

1

【分析】根據(jù)垂徑定理得到AF=CF,BE=CE,根據(jù)三角形的中位線定理得到。E+。/+所=/

1

（AB+BC+AC）=/21=10.5,于是得到結(jié)論.

【解答】解：VOD±AB,OELBC,OF1.AC,

：.AD=BD,AF=CF,BE=CE,

：.DE,DF,E尸是△ABC的中位線,

Ill

:?DE*AC,DF=^BCfEF=*AB,

ii

:?DE+DF+EF=5(AB+BC+AC)=]X21=10.5,

VDE+DF=6.5,

???￡尸=10.5-6.5=4,

故選：B.

【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，三角形中位線定理，垂徑定理，熟練掌握三角形中位線定理

是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?聊城)如圖，點。是△A3C外接圓的圓心，點/是△ABC的內(nèi)心，連接05,IA.若NC4/=35°,

【分析】連接/C,力，OC,根據(jù)點/是AABC的內(nèi)心，得到4/平分N84C,根據(jù)角平分線的定義得到

ZBAC=2ZCAI=70°,根據(jù)圓周角定理得到N30C=2N3AC=140。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)論.

【解答】解：連接OC,

丁點/是AABC的內(nèi)心，

???A/平分NBAC,

VZCAZ=35°,

：.ZBAC=2ZCAI=70°,

??,點。^AABC外接圓的圓心，

AZBOC=2ZBAC=140°,

?：OB=OC,

11

：.Z-OBC=(OCB='X(180°-乙BOC)=.X(180°-140°)=20°,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，角平分線的定義，等腰三角形的

性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?十堰）如圖，O。是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E,AE=DE,BC=CE,過點。作

于點尸，延長尸。交8E于點G,若DE=3,EG=2,則A8的長為（）

【分析】首先得出進而得出△E8C為等邊三角形，由已知得出EE8C的長，進而得

出CM,2M的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出的長.

【解答】解：在班和△￡>￡（中，

（/.A=/.D

\AE=ED,

V^AEB=乙DEC

：.AAEB^ADEC（ASA）,

：.EB=EC,

,:BC=CE,

；.BE=CE=BC,

：.AEBC為等邊三角形，

AZACB=60°,

如圖，作于點M,

OFLAC,

J.AF^CF,

?「△EBC為等邊三角形,

：.ZGEF=60°,

：.ZEGF=30°,

■:EG=2,

；?EF=1,

*：AE=ED=3f

：.CF=AF=4f

AAC=8,EC=5,

:.BC=5,

V60°,

AZMBC=30°,

rr/0

CM=J,3M=gCM=詈，

11

：.AM=AC-CM=蕓，

：.AB=y/AM2+BM2J(~)2+(嬰尸=7.

故選：B.

【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股

定理，含30度角的直角三角形，垂徑定理等知識，得出CM,5M的長是解題關(guān)鍵.

5.（2023?江西）如圖，點A,B,C,。均在直線/上，點尸在直線/外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可

畫出圓的個數(shù)為（）

ABCD

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點確定一個圓即可得到結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)經(jīng)過不在同一直線上的三點確定一個圓得，經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個

數(shù)為6個，

故選：D.

【點評】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不在同一直線上的三點確定一個圓是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?樂山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x-2與x軸、y軸分別交于A、8兩點，C、

。是半徑為1的O。上兩動點，且CD=魚，尸為弦的中點.當(dāng)C、。兩點在圓上運動時，△力2面

積的最大值是()

【分析】判斷三角形PCO和三角形都是等腰直角三角形，由題得，當(dāng)P、O、。共線時，最

大，求出AB、PQ,根據(jù)面積公式計算即可.

【解答】解：OQLAB,連接0尸、OD、0C,

VCD=V2,OC=OD=1,

：.OC2+OD2=CD2,

...△OCD為等腰直角三角形，

由y=-x-2得，點A(-2,0)、8(0,-2),

：.OA=OB=2,

；.△042為等腰直角三角形，

:.AB=2心OQ=V2,

由題得，當(dāng)P、。、。共線時，S"BP最大，

：尸為中點，

OP=^,

：.PQ=OP+OQ=^

1

SAABP=2A小PQ=3.

故選：D

【點評】本題考查了圓的相關(guān)知識點的應(yīng)用，點圓最值的計算是解題關(guān)鍵.

7.(2023?巴中)如圖，。。是△ABC的外接圓，若/C=25°,則/R4。=()

----\

A.25°B.50°C.60°D.65°

【分析】由圓周角定理求得NA08的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等和三角形的內(nèi)角和定理可

得結(jié)論.

【解答】解：連接

VZC=25°,

AZAOB=2ZC=50°,

"：OA=OB,

./n4cz,180°—50°,,O

?.ABAO=AA4BDOr=------------=65.

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半.解題時，借用了等腰三角

形的兩個底角相等和三角形的內(nèi)角和定理.

8.（2023?眉山）如圖，AB切。。于點8,連結(jié)。4交。。于點C,BD〃OA交于點、D,連結(jié)CD,若

ZOCD=25°,則NA的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.40°D.45°

【分析】連接。2，由切線的性質(zhì)得到/A8O=90°,由平行線的性質(zhì)得到/。=/。8=25°,由圓周

角定理得出/0=2/。=50°,因此NA=90°-ZO=40°.

【解答】解：連接

「AB切OO于3,

半徑OBLAB,

：.ZABO=90°,

"：BD//OA,

:.ND=4OCD=25°,

/.ZO=2ZD=50°,

：.ZA=90°-ZO=40°.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理得到/。=2/。，由切線的性質(zhì)定理

得到NABO=90°,由直角三角形的性質(zhì)即可求出/A的度數(shù).

9.（2023?瀘州）如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,點。在斜邊上，以A。為直徑的半圓。與相

切于點E,與AC相交于點R連接。E.若AC=8,BC=6,則。E的長是（）

【分析】首先求出A8=10，先證△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性質(zhì)可求出OE,BE的長，進

而可求出CE的長和AE的長，然后再證比和相似,最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DE.

【解答】解：在RtZXABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=10,

連接AE,OE,

/.OB=AB-OA=10-r,

???BC與半圓相切，

：.OE.LBC,

VZC=90°,BPACLBC,

：.OE//AC,

:?△BOEsgAC,

BEBOOE

BC~AB~AC

BE10-rr

即：—

610-8’

,10-r

由----=；得：「=等，

10

由絲=10—r10

----得：BE=

6r丁'

8

-6-130--

，CE=BC-BE3

在RtZ\ACE中，AC=8,CE=

由勾股定理得：AE=<AC2+CF2=

；BE為半圓的切線，

ZBED=ZBAE,

又NDBE=NEBA,

MBDEs^BEA,

.BEDE

??=,

ABAE

：?DE?AB=BE?AE,

CL“108710

n即n：DEX10=X——，

?“8/10

..DE=-g-.

故選：B.

【點評】此題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，弦切角定理，勾股定理等知識點，解

答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，靈活運用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理進行計算.

10.（2023?臺灣）如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1,A、。兩點皆在格線的交點上，今在此方格紙格

線的交點上另外找兩點3、C,使得△ABC的外心為O,求的長度為何（）

1___1__L_.__1____1__1____1

???7????

11111111

1---111111---1

11111111

1___1___1___1___1___1___1___1

1????????

】????????

A.4B.5C.V10D.V20

【分析】三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三頂點的距離相等，由此得到O8=OC=OA,從而

確定B、C的位置.

【解答】解：??.△ABC的外心為O,

，02=0C=0A,

OA=Vl2+32=V10,

：.OB=OC=V10,

?；B、C是方格紙格線的交點，

...8、C的位置如圖所示，

：.BC=V22+42=V20.

故選：D.

【點評】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關(guān)鍵是掌握三角形的外心的性質(zhì).

11.（2022?吉林）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=4.以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)

點C在內(nèi)且點8在OA外時，r的值可能是（）

【分析】由勾股定理求出AC的長度，再由點C在內(nèi)且點8在OA外求解.

【解答】解：在RtZXABC中，由勾股定理得AC=y/AB2-BC2=3,

?點C在OA內(nèi)且點B在OA外，

,\3<r<5,

故選：C.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理.

12.（2022?無錫）如圖，A8是圓。的直徑，弦平分NBAC,過點。的切線交AC于點E,ZEAD=25°,

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AE±DEB.AE//ODC.DE=ODD.ZBOD=5Q°

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODLDE,證明ODH由此判斷A、8選項；過點。作OFLAC^F,

利用矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)判斷C選項；利用三角形外角性質(zhì)求得的度數(shù)，從而判斷。

選項.

【解答】解：：弦A￡）平分NR4C,ZEAD=25°,

：.ZOAD=ZODA=25a.

：.ZBOD=2ZOAD=50°.

故選項。不符合題意；

'：ZOAD=ZCAD,

：.ZCAD^ZODA,

J.OD//AC,即AE〃OD,故選項B不符合題意；

是。。的切線，

：.ODLDE.

：.DE±AE.故選項A不符合題意；

如圖，過點。作。尸，AC于凡則四邊形OFEO是矩形,

：.OF=DE.

在直角△AFO中，。4>0尸.

'：OD=OA,

：.DE<OD.

故選項C符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理.切線的性質(zhì)：如果一條直線符合下列三個條件中的

任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的

切線垂直.

13.（2022?哈爾濱）如圖，AD,BC是。。的直徑，點P在8c的延長線上，出與。。相切于點A,連接

BD,若/P=40°,則的度數(shù)為（）

A

B\

D

A.65°B.60°C.50°D.25°

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出尸=90°,進而得出NBOD的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出/

ADB的度數(shù)即可.

【解答】解：與。。相切于點A,ZP=40°,

：.ZOAP=9Q°,

.,.ZBOD^ZAOP=90°-NP=50°,

?：OB=OD,

:./ADB=/OBD=(180°-ZBOD)+2=(180°-50°)4-2=65°,

故選：A.

【點評】本題主要考查切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2022?深圳）已知三角形ABE為直角三角形，ZABE=90°,OE為圓的直徑，8c為圓O切線，C為

切點，CA=CD,則△ABC和面積之比為（）

2C.V2：2D.(V2-1)：1

【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，可以先證明AABC和△C。。，再

：.S^COD=SACOE=^SADCE,進而得出SZVIBCMIS^DCE,即△ABC和面積之比為1：2.

【解答】解：解法一：如圖，連接OC,

是OO的切線，OC為半徑,

OCLBC,

即NOCB=90°,

：?NCOD+NOBC=90°,

又?.?/45石=90°,gpZABC+ZOBC=90°,

JZABC=ZCODf

?「DE是。。的直徑，

：.ZDCE=90°,即NOCE+NOC7)=90°,

又/4+/石=90°,而NE^NOCE,

???ZA=ZOCD,

在△ABC和△COZ)中，

‘乙4="CD

Z.ABC=(COD,

AC=CD

：.AABC^ACOD(AAS),

又?；EO=DO,

.1

??S/\COD~S/\COE=2s△OCE,

1

SAABC=2s"CE,

即△ABC和△CDE面積之比為1：2；

解法二：如圖，連接OC,過點5作5AC,

???5。是OO的切線，OC為半徑，

JOCLBC,

即NOC5=90°,

；?/COD+/BCD=9U°,

又???/48后=90°,BPZABC+ZBCD=9Q°,

???ZACB=ZCOD.

;OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

又???NA+NE=90°=/ODC+/E,

：.ZA=ZACB,

：.AB=BC,

：.AF=%C=1CD,

△ABFs^DEC,

.BFAF1

"EC~CD~2

,11

.?.△ABC和△COE面積之比(-AC?BF)：(~CD?EC)

22

=BF：EC

=1：2.

故選：B.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理以及全

等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提.

15.（2022?梧州）如圖，是△ABC的外接圓，且AB=AC,ZBAC=36°,在山上取點。（不與點A,

8重合），連接8。，AD,則/BAD+NA8。的度數(shù)是（）

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得/ABC=NC=72°,從而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出NO=

108°,然后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答.

【解答】解：,：AB=AC,ZBAC=36°,

ZABC=ZC=72°，

,/四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

AZZ）+ZC=180°,

；./。=180°-ZC=108°,

：.ZBAD+ZABD=1SO°-ZD=72°,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握等腰

三角形的性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?德陽）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點。，與BC相交于

點G,則下列結(jié)論：?ZBAD=ZCAD；②若NBAC=60°,貝i]N8EC=120°；③若點G為BC的中點，

則NBG￡）=90°；④BD=DE.其中一定正確的個數(shù)是（）

【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到則可對①進行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)

對②進行判斷；根據(jù)垂徑定理則可對③進行判斷；通過證明/。班得到。則可對④進

行判斷.

【解答】解：是△ABC的內(nèi)心,

.,.4D平分NA4C,

：.ZBAD=ZCAD,故①正確；

是△ABC的內(nèi)心,

11

；.NEBC=今/ABC,NECB=^^ACB,

VZBAC=60°,

ZABC+ZACB=120°,

i

AZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°一±CZABC+ZACB)=120°,故②正確;

D

ZBAD=ZCAD,

：.BD=DC,

：.OD±BC,

?.?點G為BC的中點，

；.G一定在。。上，

：.ZBGD^90°,故③正確；

如圖，連接BE,

...BE平分NABC,

NABE=NCBE,

"：ZDBC=ZDAC=ABAD,

：.ZDBC+ZEBC=ZEBA+ZEAB,

；./DBE=NDEB,

：.DB=DE,故④正確.

...一定正確的①②③④，共4個.

故選：D.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是

掌握三角形的內(nèi)心與外心.

17.（2022?十堰）如圖，。。是等邊△ABC的外接圓，點。是弧AC上一動點（不與A,C重合），下列結(jié)

論：①/ADB=/BDC；②ZM=OC；③當(dāng)。B最長時，DB=2DC；?DA+DC^DB,其中一定正確的結(jié)

論有（）

A

D

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由△ABC是等邊三角形，及同弧所對圓周角相等可得即可判斷①正確；由點

。是弧AC上一動點，可判斷②錯誤；根據(jù)。8最長時，為。。直徑，可判定③正確；在上取一

點、E,DE=AD,可得△AZ)E是等邊三角形，從而△ABE之△AC。(SAS),有BE=CD,可判斷④正

確.

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=ZACB=60°,

'：AB=福BC^BC,

：.ZADB^ZACB^60°,/B￡)C=/2AC=60°,

ZADB=ZBDC,故①正確；

?.,點。是弧AC上一動點，

而與前不一定相等，

；.D4與。C不一定相等，故②錯誤；

當(dāng)￡>2最長時，￡)2為。。直徑，

ZBCD=90°,

VZBDC=60°,

ZDBC=30°,

：.DB=2DC,故③正確；

在￡)2上取一點E,使?！?&￡),如圖：

A

D

B

VZADB=60°,

???AWE是等邊三角形,

：.AD=AE,ZDAE=60°,

VZBAC=60°,

：.ZBAE=ZCADf

9：AB=AC,

：.AABE^AACD(SAS),

:,BE=CD,

；?BD=BE+DE=CD+AD,故④正確;

???正確的有①③④，共3個,

故選：C.

【點評】本題考查等邊三角形及外接圓，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造

三角形全等解決問題.

18.（2022?鎮(zhèn)江）如圖，在等腰△A3C中，ZBAC=120°,BC=6?。。同時與邊朋的延長線、射線

AC相切，的半徑為3.將△A3C繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)a（0。＜a^360°）,B、。的對應(yīng)點分

別為夕、C,在旋轉(zhuǎn)的過程中邊夕C所在直線與OO相切的次數(shù)為（）

C.3D.4

【分析】設(shè)。。與邊R4的延長線、射線AC分別相切于點八點G,連接04交于點L,連接OT,

作AEL8C于點E,8c于點H,先求得BE=C￡=3W,ZB=ZACB=30°，則A￡=8E?tan30°

=3,再證明04〃3C,則08=AE=0T=0Z,=3,可證明直線BC與。。相切，再求得。4=2OT=6,

則AL=3,作AALL8'C于點K,由旋轉(zhuǎn)得AK=AE=3,ZAKB'=ZAEB=9Q°,直線8'C與。。

相切存在三種情況，一是△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到點K與點L重合，二是△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到8'C//OA,

三是△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到B'C與BC重合，即旋轉(zhuǎn)角a=360°,分別加以說明即可.

【解答】解：如圖1,由題意可知O。同時與邊8A的延長線、射線AC相切，。。的半徑為3,

設(shè)O。與邊8A的延長線、射線AC分別相切于點7、點G,連接OA交。。于點L連接OT,

J.ATLOT,07=3,

作A￡J_8C于點E,OHLBC于點、H,則/AE8=90°,

\'AB=AC,ZBAC=120°,BC=6?

11

：.BE=CE=^BC=3V3,NB=/ACB=,(/180-NBAC)=30°,

：.AE=BE-tan30°=3bx*=3,

VZ7^C=180°-ZBAC=60°,

1

AZOAG=ZOAT=7XC=30°,

：.ZOAG=ZACB,

J.OA//BC,

：.OH=AE=OT=OL=3,

???直線8C與。。相切，

VZATO=90°,

：.OA=2OT=6,

.\AL=3,

作AK_L4C于點K,由旋轉(zhuǎn)得AK=AE=3,ZAKBf=ZAEB=90°,

如圖2,△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到點K與點L重合，

*：ZOLB'=180°-ZALBf=180°-ZAKB'=90°,

：.B'CLOL,

TOL為。。的半徑，

：.B'C與。。相切；

如圖3,△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到5,C//OA,作0RL5'C交C，B'的延長線于點R,

"：OR=AK=3,

：.B'C與O。相切；

當(dāng)aABC繞點A旋轉(zhuǎn)到8'C與BC重合，即旋轉(zhuǎn)角a=360°,則4C與0O相切,

綜上所述，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊8'C所在直線與。。相切3次，

【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的判定、銳角三角函數(shù)以及數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)

學(xué)思想的運用等知識與方法，畫出圖形并且正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.（2021?青島）如圖，是。。的直徑，點E,C在。。上，點A是我的中點，過點A畫。。的切線,

交BC的延長線于點。，連接EC.若NA￡）B=58.5°,則/ACE的度數(shù)為（）

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)圓周角定理得到

90°,進而求出/8AC,根據(jù)垂徑定理得到BA,EC,進而得出答案.

【解答】解：是。。的切線，

：.BA±AD,

"403=58.5°,

.\ZB=90°-ZADB=31.5°,

「AB是。。的直徑，

/.ZACB=90°,

/ft4c=90°-ZB=58.5°,

?.?點A是比的中點，

：.BA±EC,

：.ZACE=900-ZBAC=31.5°,

故選：B.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解

題的關(guān)鍵.

20.（2021?孝感）如圖，是RtZXABC的外接圓，OE_LAB交。。于點E,垂足為點。，AE,CB的延長

線交于點?若。。=3,AB=8,則PC的長是（）

【分析】由題知，AC為直徑，得OD〃BC,且。。是△ABC的中位線，?！晔侨切蜛PC的中位線，根

據(jù)勾股定理求出圓的半徑即可.

【解答】解：由題知，AC為直徑，

ZABC=90°,

'：OE±AB,

J.OD//BC,

"：OA=OC,

...0。為三角形ABC的中位線，

.*.AD=1AB=1x8=4,

又：0￡）=3,

OA=\]AD2+OD2=A/42+32=5,

：.OE=OA=5,

'J0E//CF,點。是AC中點，

OE是三角形ACF的中位線，

：.CF=2OE=2X5=10,

故選：A.

【點評】本題主要考查勾股定理，三角形中位線等知識點，熟練掌握勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共15小題）

21.（2023?徐州）如圖，在。。中，直徑與弦C。交于點E.就=2皿，連接AD過點B的切線與AD

的延長線交于點?若NAFB=68°,則/￡＞班=66°.

;A

BF

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得出°,結(jié)合NAEB=68°可求出NBAP的度數(shù)，再根據(jù)弧之間

的關(guān)系得出它們所對的圓周角之間的關(guān)系，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出NQEB的度數(shù).

【解答】解：如圖，連接。C,OD,

A

e

BF

??,8/是。。的切線，AB是。。的直徑，

：.OB±BF,

：.ZABF=90°,

VZAFB=68°,

：.ZBAF=90°-ZAFB=22°,

AZBOZ）=2ZBAF=44°,

U：AC=2RD,

：.ZCOA=2ZBOD=8S°,

1

：.ZCDA=^ACOA=44°,

：ZDEB是△AED的一個外角，

/DEB=ZBAF+ZCDA^66°,

故答案為：66.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知：圓的切線垂直于過切點的半

徑；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

22.（2023?湖北）如圖，在△ABC中，ZACB=70°,△ABC的內(nèi)切圓O。與AB，BC分別相切于點D,E,

連接。E,AO的延長線交DE于點R則乙4即=35°.

【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的定義和切線長定理，可以計算出NA08的度數(shù)和NOGP的度數(shù)，然后即可計算出

ZAFD的度數(shù).

【解答】解：連接OD,OE,OB,OB交ED于點、G,

VZACB=10°,

：.ZCAB+ZCBA=nO°,

:點。為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，

：.ZOAB+ZOBA=55a,

，408=125

\'0E=0D,BD=BE,

：.OB垂直平分DE,

：.ZOGE=9Q°,

：.ZAFD=ZAOB-ZOGF=125°-90°=35°,

【點評】本題考查三角形內(nèi)切圓、切線長定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

23.（2023?河南）如圖，抬與。。相切于點A,尸。交于點點C在上，且CB=CA.若OA=5,

10

PA=n,則CA的長為—.

-3-

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得/。4尸=90°,然后利用SSS證明△0ACg/\02C,從而可得/

OAP=ZOBC=90°再在RtZ\OAP中，利用勾股定理求出OP=13,最后根據(jù)△OAC的面積+ZXOCP的

面積=2\。4尸的面積，進行計算即可解答.

丁卓與OO相切于點4

：.ZOAP=90°，

\'OA=OB,OC=OC,CA=CB,

.,.△OAC^AOBC(SSS),

：.ZOAP=ZOBC=90°,

在RtZkOA尸中，OA=5,PA=12,

：.OP=Vox2+XP2=V52+122=13,

VAOAC的面積+4OCP的面積=△(14P的面積,

111

AOAACOPBC

-2-+42-=2

，OA?AC+O尸?3C=0A?AP,

A5AC+13BC=5X12,

：.AC=BC=號10，

10

故答案為：—.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.

24.（2023?廣元）如圖，ZACB=45°,半徑為2的。。與角的兩邊相切，點尸是。。上任意一點，過點尸

向角的兩邊作垂線，垂足分別為E,F,^t=PE+&PF,則t的取值范圍是2二金為4+2a.

A

【分析】設(shè)半徑為2的OO與角的兩邊相切于M,N,連接。M,ON,延長NO交CB于。，求得NCND

=NOMD=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/CDN=45°,求得OD=2近,得至ljCN=DN=2+2a,

如圖1,延長EP交8c于。，推出AEC。與△PPQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得

到CE=EQ,FQ=V2PF,求得t=PE+<2PF=PE+FQ=EQ,當(dāng)EQ與。。相切且點尸在圓心的右側(cè)時，

f有最大值，連接。尸，則四邊形ENO尸是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EN=OP=2,求得-4+2e；

如圖2,當(dāng)E。與。。相切且點P在圓心的，左側(cè)時，f有最小值，同理可得f=2位,于是得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)半徑為2的。。與角的兩邊相切于M,N,連接OM,ON,延長NO交CB于。，

A

TOC

MFD'、

圖1

:.NCND=/OMD=90°,

VZACB=45°,

△C/VD是等腰直角三角形，

：.ZCDN=45°,

,：0N=0M=2,

：.OD=2近,

:.CN=DN=2+2位,

如圖1,延長EP交BC于。，

"：EQ±AC,PFLBC,

：.ZCEQ^ZPFQ^9Q°,

VZACB=45°,

：.ZEQC=45°,

：./\ECQ與△尸尸。是等腰直角三角形，

:.CE=EQ,FQ="PF,

：.t=PE+<2PF=PE+FQ=EQ,

當(dāng)與。。相切且點P在圓心的右側(cè)時，f有最大值，

連接OP,

則四邊形ENOP是正方形，

:.EN=OP=2,

：.t=PE+V2PF=PE+FQ=EQ=CE=CN+EN=2+2V2+2=4+2V2；

如圖2,當(dāng)￡。與。。相切且點P在圓心的，左側(cè)時，f有最小值，

A.

圖2

同理可得t=PE+V2PF=PE+FQ=EQ=CE=CN-EN=2>/2,

故t的取值范圍是2位qW4+2企，

故答案為：2&qW4+2夜.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

25.(2023?衡陽)如圖，在中，ZACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心，/■為半徑作圓，

24

當(dāng)所作的圓與斜邊A8所在的直線相切時，廠的值為—.

—5—

【分析】設(shè)0c與A8所在的直線相切，切點為點D,連接。，根據(jù)切線的性質(zhì)得ABLCZ),再由勾股

定理求得AB=y/AC2+BC2=10,WJ|AB?CD=%C?BC=5M)B,所以［xlOCD=1X8X6,則r=CD=曾,

于是得到問題的答案.

【解答】解：設(shè)OC與48所在的直線相切，切點為點。，連接C￡),

是OC的半徑，A2與OC相切于點，

J.ABLCD,

VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB^VXC2+BC2=V82+62=10,

"."-AB*CD=^AC*BC=S/^AOB>

11

X1OC￡>=4x8X6,

22

解得CD=昌

24

:.r=CD=管,

24

故答案為：-

【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出

所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.（2023?上海）在△ABC中，AB=7,BC=3,NC=90°，點。在邊AC上，點E在CA延長線上，且

CD=DE,如果過點A,QE過點D,若OB與有公共點，那么OE半徑r的取值范圍是<r<

2V10_.

【分析】先畫出圖形，連接BE,利用勾股定理可得BE=V9+4r2,AC=2V10,從而可得VlUVrW

2V10,再根據(jù)與OE有公共點列不等式，用二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次不等式的關(guān)系解答.

【解答】解：連接BE,如圖：

過點A,且A2=7,

03的半徑為7,

過點。，它的半徑為廠，且CQ=￡>￡,

:.CE=CD+DE=2r,

"：BC=3,ZC=90°,

：.BE=>JBC2+CE2=V9+4r2,AC=<AB2-BC2=2V10,

在邊AC上，點E在C4延長線上,

Jr<2V10

■■(2r>2V10，

.,.V10<r^2V10,

。8與OE有公共點，

r.AB-DEWBEWAB+DE,

,CV9+4r2<7+r①

(7—r<V9+4r2@

由①得：3J-14-40W0,

解方程3,-14r-40=0得：r=-2或「=號

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)yWO時，—2WrW詈，即不等式①的解集為一2WrW詈，

同理可得：不等式②的解集為r22或-孕

不等式組的解集為2WrW至，

XvVTo<r<2V10,

OE半徑廠的取值范圍是VTU<?w2VIU.

故答案為：V10<r<2V10.

【點評】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系正確建

立不等式組是解題關(guān)鍵.

27.（2022?泰安）如圖，在△ABC中，ZB=90°,。。過點4、C,與AB交于點。，與相切于點C,

若NA=32°,則64°.

A

\O\

DfC\/

c

【分析】連接OC,根據(jù)圓周角定理求出NDOC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0CL5C,證明A8〃0C,根據(jù)平

行線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：連接。C,

VZA=32°,

：.ZDOC=2ZA=64°,

???BC與。。相切于點C,

???OC.LBC,

VZB=90°,

AZB+ZOCB=180°,

C.AB//OC,

：.ZADO=ZDOC=64°,

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

28.（2022?黑龍江）如圖，在。0中，A3是。0的弦，的半徑為30n.。為。。上一點，ZACB=60°,

則AB的長為3V3cm.

B

c

【分析】連接AO并延長交。。于點D根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/AB￡>=90°,再利用同弧

所對的圓周角相等可求出/ADB=60°,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解

答.

【解答】解：連接A。并延長交O。于點。，

?.,AD是OO的直徑,

ZABD=9Q°,

VZACB=60°,

ZADB=ZACB=60°,

在RtZXABD中，AD=6cm,

F5

.*.AjB=AD?sin60°=6xg=3遮(cm),

故答案為：3V3.

C

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

29.（2022?瀘州）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,AC=6,BC=2百，半徑為1的。。在RtaABC內(nèi)

平移（。0可以與該三角形的邊相切），則點A到。。上的點的距離的最大值為2b+1.

【分析】連接?！?、OF,根據(jù)正切的定義求出/ABC,根據(jù)切線長定理得到/。2尸=30°,根據(jù)含30°

角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案.

【解答】解：當(dāng)O。與2C、都相切時，連接A。并延長交。。于點。，則AD為點A到。。上的點

的距離的最大值，

設(shè)。。與BC、BA的切點分別為E、F,連接OE、OF,

貝l|OEVBC,OF±AB,

"：AC=6,BC=2同

：.tanZABC=益=亞AB=y/AC2+BC2=4同

/.ZABC=60°,

：.ZOBF=30°,

：，BF=tanloBF=

：.AF^AB-BF=3小,

：.OA=>JOF2+AF2=2s/7,

：.AD=2y/7+l,

故答案為：2b+1.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線長定理，根據(jù)題意得出4。為點A到。O

上的點的距離的最大值是解題的關(guān)鍵.

30.（2022?泰州）如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。為內(nèi)心，過點。的直線分別與AC、

1

A3邊相交于點。、E,若DE=CD+BE,則線段CD的長為2或一.

---------2-

B

O

CA

【分析】連接BO,CO,結(jié)合內(nèi)心的概念及平行線的判定分析可得當(dāng)OE=CD+BE時，DE//BC,從而利

用相似三角形的判定和性質(zhì)分析計算.

【解答】解：如圖，過點。的直線分別與AC、A2邊相交于點E,連接2。，CO,

:0為△ABC的內(nèi)心,

；.CO平分/AC8,80平分/ABC,

：.ZBCO^ZA