2022-2023學年吉林省長春市南關(guān)區(qū)新解放學校初中部八年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年吉林省長春市南關(guān)區(qū)新解放學校初中部八年級第

學期期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.下列計算中，正確的是（）

A.日=±3B.±｛（-2）2=±2C.］（T）2=-3D.6啦=娓

2.實數(shù)料7,0,-TT,716'看，0.2020020002…（相鄰兩個2之間依次多一個0）,

其中無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.一個關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則該不等式組的解集是（）

-4-?-2-1012445

A.-2<x<lB.-2<x^lC.-2?1D.-24W1

4.如圖，在AABC中，ZCAB=76°,在同一平面內(nèi)，將AABC繞點A旋轉(zhuǎn)到AA8c的位

置，使CC〃A8,則N848等于（）

A.28°B.30°C.36°D.38°

5.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（)

A.V18B.Ja2bC.Vo.5D.JJ+1

6.下列計算正確的是（）

A.4a2-i-2a2=2a2B.(-2a)(-〃)=2a2

C.-(a3)2=a5D.(a-/?)(-a-b)=a2-b1

7.如圖，在趙爽弦圖中，已知直角三角形的短直角邊長為m長直角邊長為從大正方形的

面積為25,小正方形的面積為5,則H的值是（)

8.如圖一直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm,BC=\2cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線折

疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

9.比較大?。?3

10.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是命題.（填入“真”或“假”）

11.二次根式后莪在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

12.已知3"'=4,3"=5,貝1J32"""=.

13.分解因式：4X3-4x2+x=.

14.如圖，△ABC的周長為15cm,根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，直線DE分別與3C、AC交

于。、E兩點，若AE=2cm,則△A3。的周長為cm.

15.若x-y-7=0,則代數(shù)式x2-y274y的值等于.

16.如圖，有5個形狀大小完全相同的小長方形構(gòu)造成一個大長方形（各小長方形之間不重

疊且不留空隙），圖中陰影部分的面積為50,則每個小長方形的對角線為

三、解答題(本大題共8小題，共72分)

17.計算：

'3x-5y=3

⑴‘三上-1；

,萬亍1

2x-6<3x

⑵'x+2_x-］、J

~5I.1

⑶-百+IM-2I+幅；

⑷6X-\<12W2).

18.先化簡，再求值：4xy+(2x->1)(2x+y)-(2x+y)2,其中x=2022,y=-

19.如圖，在AABC中，AB=AC,。是8c邊上的中點，/B=20°.

(1)求/D4c的大小.

(2)若4B=13,AD=5,求BC的長.

20.圖①、圖②均是10X10的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形

的邊長均為1,線段A8的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求

畫圖.

(1)AB的長為.

(2)在圖①中畫一個以AB為直角邊的等腰直角三角形ABC.

(3)在圖②中畫一個以A8為斜邊的等腰直角三角形A8D

r

佟卜2

21.第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家口市舉行，為了調(diào)查學生

對冬奧知識的了解情況，某校隨機抽取部分學生進行了相關(guān)知識測試，獲得了他們的成

績（滿分100分），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表.

組別成績分組（單位：分）頻數(shù)頻率

A50?6030.06

B60WxV700.24

C70?8016b

D80?90a

E90?10080.16

根據(jù)以上信息，解答下列問題.

（1）填空：計算這次被調(diào)查的學生共有人，a=,b=.

（2）請補全頻數(shù)統(tǒng)計圖.

（3）該校共有學生1000人，成績在80分以上（含80分）的為優(yōu)秀，假如全部學生參

加此次測試，請估計該校學生成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù).

22.數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)

化.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,

通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題

簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.

(1)(思想應(yīng)用)已知用，〃均為正實數(shù)，且m+〃=3,求廬1+廬^的最小值?通

過分析，愛思考的小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問題：如圖，AB=3,AC=1,BD

=3,AC±AB,BD±AB,點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE,DE,

設(shè)AE=/刀，BE=n.

①用含m的代數(shù)式表示CE=，用含〃的代數(shù)式表示DE

(2)(類比應(yīng)用)根據(jù)上述的方法，直接寫出代數(shù)式｛乂？+25+J(x-5)2+49的最小

23.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內(nèi)容.

定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整

的證明過程.

定理應(yīng)用：

(I)如圖②，在△ABC中，直線小"分別是邊BC、AC的垂直平分線，直線機、〃交

于點0,過點。作0H_LAB于點H.求證：AH=BH.

(2)如圖③，在AABC中，AB=BC,邊AB的垂直平分線交AC于點。，邊BC的垂直

平分線交AC于點E.若NA8C=120°,AC=24,則OE的長為

圖①圖②

2.線段垂電平分線

我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段

的垂H.平分線是線段的對稱軸，如圖，出線

MN是線段AB的垂ftT-分線,P是MN上任一

點，連接PA、PB,將線段AB沿江線MN對

折，我們發(fā)現(xiàn)PA1PB完全重合，由此即有:

線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段乖宜平

分線I:的點到線段兩端釣距離相等。

己知:如圖，MN1AB,垂足點為C,AC=BC,

點P是H線MN的任意一點。

求ill'.:PA=PBo

分析:圖中有兩個直ff!~角形APC和BPC,

只要證明這兩個三角形全等，便可證明PA=PB。

24.如圖，在等腰直角△ABC中，ZB=90°,AB=BC,AC=6,點。從點A出發(fā)，以每

秒1個單位長度的速度向終點C運動，過點D作DEVAC交折線AB-BC于點E,以

OE為邊向右作長方形。EGF,使￡>E=2￡>F,設(shè)點。的運動時間為/秒(0</<6).

(1)用含f的代數(shù)式表示線段。E的長；

(2)當點G落在BC邊上時，求f的值；

(3)求長方形DEGF與aABC重疊部分圖形的面積5與t之間的關(guān)系式；

(4)點M為AC的中點，連結(jié)MG,當MG所在的直線垂直AABC的一邊時，直接寫出

f的值.

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.下列計算中，正確的是（）

A.加=±3B.±V（-2）2=±2C.V（-3）2=-3D.M啦二娓

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的加減運算法則計算得出答案.

解：A.向=3,故此選項不合題意；

B.±1（-2）2=±2,故此選項符合題意；

C.4（-3）2=3,故此選項不合題意；

D.百+加無法計算，故此選項不合題意?

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式的加減運算，正確掌握掌握相關(guān)

運算法則是解題關(guān)鍵.

2.實數(shù)^27，0,-n,J正，p0.2020020002…（相鄰兩個2之間依次多一個0）,

其中無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項.

解：斗27'"V161看是有理數(shù)，

-H,0.2020020002…（相鄰兩個2之間依次多一個0）是無理數(shù)，

故選：B.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不

循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如m旄，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式.

3.一個關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則該不等式組的解集是（）

-4-3廣％?2345,

A.-2<x<\B.-2<x^lC.-2?1D.-20W1

【分析】根據(jù)不等式解集的表示方法即可判斷.

解：該不等式組的解集是：-2Wx<l.

故選：C.

【點評】本題考查了不等式組的解集的表示，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法:

“>”空心圓點向右畫折線，實心圓點向右畫折線，空心圓點向左畫折線,

“W”實心圓點向左畫折線.

4.如圖，在△ABC中，ZCAB=16°,在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'C的位

置，使CC〃AB,則/BAU等于（）

C.36°D.38°

【分析】旋轉(zhuǎn)中心為點A,B與夕，C與C'分別是對應(yīng)點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋

轉(zhuǎn)角NBAB'=/C4C',AC=AC',再利用平行線的性質(zhì)得NC'CA=NC4B,把問

題轉(zhuǎn)化到等腰△ACC'中，根據(jù)內(nèi)角和定理求/CAC'.

解：-：CC//AB,/CAB=76°,

CA=NCAB=76°,

又；C、C'為對應(yīng)點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，

J.AC^AC,即△ACC'為等腰三角形，

：.NBAB'=NCAC'=180°-2ZCCA=28°.

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中

心的連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角.同時考查了平行線的性質(zhì).

5.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

2

A.V18B.Ja2bC.VO.5D.x+i

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的

兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

解：人丁女=3衣被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項錯誤,

不符合題意；

B、療三=同人，被開方數(shù)含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，故本選項錯誤,

不符合題意；

c、疝虧=祗，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，故本選項錯誤，不符合題意；

。、符合最簡二次根式的定義，故本選項正確，符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查最簡二次根式的定義.根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須

滿足兩個條件：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

6.下列計算正確的是()

A.4a2+2。2=2。2B.(-2a)(-a)=2a2

C.-(a3)2—a5D.(a-b)(-a-b)—a2-b2

【分析】利用單項式除以單項式的法則，單項式乘單項式的法則，幕的乘方的法則，平

方差公式對各項進行運算即可.

解：A、4a24-2a2=2,故A不符合題意；

B、(-2a)(-a)=2標，故8符合題意；

C、-(〃)』-“故C不符合題意；

D、(a-6)(-a-b)=-a2+b2,故。不符合題意;

故選:B.

【點評】本題主要考查整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握.

7.如圖，在趙爽弦圖中，已知直角三角形的短直角邊長為a,長直角邊長為從大正方形的

面積為25,小正方形的面積為5,則加的值是()

B.6C.8D.10

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

解：設(shè)大正方形的邊長為c,則3=屏+按=25,小正方形的面積(a-b)2=5,

：.25-2ab=5,

解得：ab=lO,

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的運用，要注意的是本題中求不出兩直角邊的值，注意完

全平方公式的靈活運用，有一定難度.

8.如圖一直角三角形紙片，兩直角邊AC=5“”，BC=ncm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線A￡>折

疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CO等于（）cm

「

8n10

33

【分析】先根據(jù)勾股定理求得A8的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE,8E的長，從而利用

勾股定理可求得C。的長.

解：AC=5cm,BC=\2cm,

,AB=VAC2+BC2=13?！ǎ?/p>

???折疊，

.\AE=AC=5cmf

BE=8cm,

設(shè)CQ=xcw,則在RtZ\QE3中，82+x2=（12-x）2,

故選：D.

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、一元二次方程的運用以及利用勾股定理解直角三角形

的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

9.比較大?。?3<_、/7.

【分析】根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小比較即可.

解：I-3|=3,|-Wl-V7,

V3>V7>

-3<-ypj,

故答案為：＜.

【點評】本題考查了絕對值，算術(shù)平方根和實數(shù)的大小比較等知識點，能熟記實數(shù)的大

小比較法則是解此題的關(guān)鍵.

10.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是假命題.(填入“真”或“假”)

【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.

分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，如果能就是真命題.

解：“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等三角形”，根據(jù)

全等三角形的定義，不符合要求，因此是假命題.

【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命

題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命

題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

11.二次根式&W在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可.

解：由題意知6-4x20,

解得

故答案為：

【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

12.已知3m=4,3"=5,則32”+"=80.

【分析】先將算式32，"+"變形為(3，")2X3",再代入進行計算.

解：3m=4,3"=5,

.?.32m+n=(3m)2X3"=42X5=16X5=80,

故答案為：80.

【點評】此題考查了同底數(shù)累相乘與累的乘方的逆運用能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用

以上知識，進行正確地變形、計算.

13.分解因式：4]3-4元2+%=x(2x-1)2.

【分析】先提取公因式X,再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解.

解：4x3-4x2+x,

=x(4x2-4x+l),

=x(2x-1)2.

故答案為：X(2x-1)2.

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提

取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

14.如圖，AABC的周長為15c”?，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，直線。E分別與BC、AC交

于。、E兩點，若AE=2cw,則△A8D的周長為11cm.

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)解決問題即可.

解：由作圖可知，OE垂直平分線段AC,

：.DA=DC,AE=EC,

；4B+BC+AC=15,4c=2AE=4,

/\ABD^^=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=11.

故答案為：11.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理

解題意，靈活運用所學知識解決問題.

15.若x-y-7=0,則代數(shù)式N-y2-14y的值等于49.

【分析】根據(jù)x-y-7=0,得出》=尹7,兩邊平方移項即可得出N-爐一14)，的值.

解：■.■x-y-7^0,

'.x—y+1,

.'.x2=(y+7)2=y2+14>,+49,

.\x2-y2-14y=49,

故答案為：49.

【點評】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，熟練利用因式分解將已知等式變形是解題的關(guān)

鍵.

16.如圖，有5個形狀大小完全相同的小長方形構(gòu)造成一個大長方形(各小長方形之間不重

疊且不留空隙），圖中陰影部分的面積為50,則每個小長方形的對角線為二

【分析】設(shè)小長方形的長為〃，寬為小根據(jù)陰影部分的面積為50可得（2〃+〃）（〃+26）

-5ab=50,從而可求得。2+房=25,則可計算出每個小長方形的對角線為5.

解：設(shè)小長方形的長為小寬為從由圖可得,

(2a+h)(a+2b)-5ab=50,

2a2+5ab+2b2-5az)=50,

2m50,

：.a2+b2=25,

a2+b2=5>

故答案為：5.

【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是能結(jié)合圖形列出算式并計算.

三、解答題（本大題共8小題，共72分）

17.計算:

3x-5y=3

(1)

三2=1；

23

2x-6<3x

(2)x+2x-1

54

(3)-V9+1V2-2i+Vs；

(4)Mx(718-712+V2)-

【分析】（1）先把分數(shù)系數(shù)化為整系數(shù)，然后利用加減消元法解方程;

（2）分別解兩個不等式得到x>-6和-7,然后利用“大大小小找不到”可判斷不

等式組無解;

（3）先利用算術(shù)平方根和平方根的定義以及絕對值的意義計算，然后合并即可;

（4）先把各二次根式化為最簡二次根式，再把括號內(nèi)合并，然后進行二次根式的乘法運

算即可.

解：(1)原方程組變形為'X，

]3x-2y=6(2)

②-①得3y=3,

解得y=l,

把y=l代入①得3x-5=3,

解得x=￡，

'_8

所以原方程組的解為13；

y=l

2x-6<3x①

(2)x+2x-1、7

54

解①得x>-6,

解②得xW-7,

所以不等式組無解；

(3)原式=-3+2-\歷+2

=i-

(4)原式=百、(3&-2百+正)

=6乂(4&-2料)

=4企-6.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各

不等式的解集，再求出這些解集的公共部分.也考查了實數(shù)的運算和解二元一次方程組.

18.先化簡，再求值：4xy+(2%-y)(2%+y)-(2x+y)2,其中x=2022,y=-yf2-

【分析】首先計算乘法，利用完全平方公式計算(2x+y)2,然后再去括號合并同類項，

化筒后，再代入y的值可得答案.

解：原式=4xy+4x2-y2-(4/+4町+儼),

=4xy+4x2-y2-4x2-4xy-y2,

=-2y2,

當時，原式=-2義(-J^)2=-4.

【點評】此題主要考查了整式的混合運算，關(guān)鍵是正確把代數(shù)式進行化簡.

19.如圖，在△A8C中，AB=ACf。是3c邊上的中點，ZB=20°.

(1)求NOAC的大小.

(2)若>8=13,AD=59求的長.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得NAOC=90°,然后利用N8的度數(shù)

求得答案即可；

(2)首先利用勾股定理求得3。的長，然后求得3C的長即可.

解：(1)VAB=AC,NB=20°,

：.ZC=ZB=20°,

\'AD_LBCf

：.ZADB=90°,

：.ZDAC=90°-20°=70°；

(2)VAB=13,AO=5,

=22=22

,BDVAB-ADV13-5=12,

；AD_LBD,

.?.BC=2BD=2X12=24.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得到AOJ_8C是正確解答

本題的關(guān)鍵.

20.圖①、圖②均是10X10的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形

的邊長均為1,線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求

畫圖.

(1)AB的長為

(2)在圖①中畫一個以AB為直角邊的等腰直角三角形ABC.

(3)在圖②中畫一個以AB為斜邊的等腰直角三角形ABD

r

【分析】(1)利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理即可求出A3的長.

(2)在圖①中畫一個以AB為直角邊的等腰直角三角形ABC.

(3)在圖②中畫一個以AB為斜邊的等腰直角三角形A8D.

解：⑴48=病看”=^^；

故答案為：V34;

(2)如圖①，等腰直角三角形A8C即為所求；

國1

砰2

（3）如圖②，等腰直角三角形A3。即為所求.

【點評】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理分析是解題關(guān)鍵.

21.第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家口市舉行，為了調(diào)查學生

對冬奧知識的了解情況，某校隨機抽取部分學生進行了相關(guān)知識測試，獲得了他們的成

績（滿分100分），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表.

組別成績分組（單位：分）頻數(shù)頻率

A50?6030.06

B60?700.24

C70?8016b

D80?90a

E90?10080.16

根據(jù)以上信息，解答下列問題.

（1）填空：計算這次被調(diào)查的學生共有50人,11,b=0.32.

（2）請補全頻數(shù)統(tǒng)計圖.

（3）該校共有學生1000人，成績在80分以上（含80分）的為優(yōu)秀，假如全部學生參

加此次測試，請估計該校學生成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù).

【分析】（1）根據(jù)A組的頻數(shù)和頻率，可以計算出本次調(diào)查的學生人數(shù)，然后即可計算

出4、6的值；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以得到B組和。組的頻數(shù)，然后即可將頻數(shù)分布直方圖補

充完整；

（3）根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出該校學生成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù).

解：（1）這次被調(diào)查的學生共有3+0.06=50（人），

a=50-3-50X0.24-16-8=11,

6=16+50=0.32,

故答案為：50,11,0.32；

（2）B組的頻數(shù)為：50X0.24=12,

。組頻數(shù)為“=11,

補全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示；

（3）lOOOxi^-=380（人），

50

答：估計該校學生成績?yōu)閮?yōu)秀的有380人.

【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題

的關(guān)鍵.

22.數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)

化.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，

通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題

簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.

(1)(思想應(yīng)用)已知〃?，”均為正實數(shù)，且旭+”=3,求廬1+廬^的最小值?通

過分析，愛思考的小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問題：如圖，AB=3,4c=1,BD

=3,AC±AB,8OLA8,點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE,DE,

設(shè)AE=,刀，BE=n.

22

①用含，"的代數(shù)式表示CE=_7m+i_.用含〃的代數(shù)式表示O￡=_Vn+9-5

②據(jù)此直接寫出工6的最小值5；

(2)(類比應(yīng)用)根據(jù)上述的方法，直接寫出代數(shù)式爪2+25+J(X-5)2+49的最小

【分析】(1)利用勾股定理得到CE=儲+1，O￡=Vn2+22^Vn2+4;則

22=C￡+D￡＞

Vm+1+Vn+4利用三角形三邊的關(guān)系得到CE+OE2C。(當且僅當C、E、

。共線時取等號)，作￡W_LCA交CA的延長線于H,如圖，易得四邊形為矩形,

利用勾股定理計算出CD=A/13,從而得到即,m2+1+&2+9的最小值;

(2)如圖，設(shè)A8=5,C4=5,BD=1,AE=x,則8E=5-x,利用勾股定理得到，CE

=VX2+25'O￡=V(X-5)2+49;根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到CE+DE2CD(當且僅

當C、E、。共線時取等號)，作DH1CA交CA的延長線于H,如圖，易得四邊形

為矩形，利用勾股定理計算出CD即可得到式2+25+J(x-5)2+49的最小值?

解：（1）①在RtA/lCE中，CE=7m2+1'

在Rtz^BDE中，DE=Vn2+32^Vn2+9;

@Vm2+l+Vn2+9=CE+DE,

IfijCE+DE^CD(當且僅當C、E、。共線時取等號)，

作。H，C4交C4的延長線于H,如圖，易得四邊形為矩形,

：.AH=BD^3,DH=AB^3,

在RtaC“。中，CQ=5,

...CE+OE的最小值為5,

即Jm，+1+/n，+9的最小值為5;

故答案為：61n2+i；yjn2+g.5；

(2)如圖，設(shè)AB=5,C4=5,BD=1,AE=x,則BE=5-x,

在Rt^ACE中，CE=7X2+52=VX2+25;

在Rt/\BDE中，DE=y(x-5產(chǎn)+49，

VX2+25W(X-5)2+49=CE+DE,

而CE+DE2CD(當且僅當C、E、。共線時取等號)，

作。HJ_CA交CA的延長線于“，如圖，易得四邊形ABQ”為矩形,

:.AH=BD=7,DH=AB=5,

在RtZ\C"Z)中，CD=7S2+(5+7)2=13>

.??CE+DE的最小值為13,

即3+25+J(x-5)2+49的最小值為13?

故答案為：13.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題：靈活運用兩點之間線段最短或垂線段最短

解決此類問題.也考查了勾股定理和類比的方法.

23.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內(nèi)容.

定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整

的證明過程.

定理應(yīng)用：

(1)如圖②，在△4BC中，直線機、〃分別是邊BC、4c的垂直平分線，直線"1、”交

于點0,過點。作。于點從求證：AH=BH.

(2)如圖③，在△ABC中，AB=BC,邊A8的垂直平分線交AC于點。，邊8C的垂直

平分線交AC于點E.若NABC=120°,AC=24,則DE的長為8.

2.線段垂電平分線

我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段

的垂平分線是線段的對稱軸，如圖，出線

MN是線段AB的垂出T-分線,P是MN上任一

點，連接PA、PB,將線段AB沿江線MN對

折，我們發(fā)現(xiàn)PA1PB完全重合，由此即有:

線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段乖宜平

分線I：的點到線段兩端釣距離相等。

己知:如圖，MN1AB,垂足點為C,AC=BC,

點P是H線MN的任意一點。

求ill'.:PA=PBo

分析:圖中有兩個直ff!~角形APC和BPC,

只要證明這兩個三角形全等，便可證明PA=PB。

【分析】定理證明：由SAS證得△尸4c絲△PBC,即可得出結(jié)論；

定理應(yīng)用：(1)連接AO、BO、CO,利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得。A=D8,EB=

EC,再證是等邊三角形，得AD=BD=DE=BE=EC,即可得出結(jié)論;

(2)連接3。，BE,證△8OE是等邊三角形，即可解決問題.

【解答］定理證明：

證明：VM2V1AB,

：.ZPCA=ZPCB=90°,

在△PAC和△PBC中，

'AC=BC

,ZPCA=ZPCB，

PC=PC

:.△PAC/MBC(SAS),

：.PA=PB；

定理應(yīng)用：

(1)證明：如圖2,連接。4、OB、0C,

??,直線機是邊BC的垂直平分線，

???OB=OC,

??,直線〃是邊4C的垂直平分線，

：.OA=OC,

：?OA=OB,

9：OHLAB,

；.AH=BH；

(2)解：如圖③中，連接BQ,BE,

\UAB=BC,ZABC=120°,

AZA=ZC=30°,

V邊AB的垂直平分線交AC于點D,邊BC的垂直平分線交AC于點E,

：.DA=DB,EB=EC,

???NA=ND3A=30°,ZC=ZEBC=30°,

AZBDE=ZA+ZDBA=60°,ZBED=ZC+ZEBC=60°,

???△BDE是等邊三角形，

:.AD=BD=DE=BE=EC,

*：AC=24=AD+DE+EC=3DEf

???DE=8,

故答案為：8.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等

邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

24.如圖，在等腰直角aABC中，NB=90°,AB^BC,AC=6,點。從點A出發(fā)，以每

秒1個單位長度的速度向終點C運動，過點D作DELAC交折線AB-BC于點E,以

OE為邊向右作長方形力EGF,使力E=2。凡設(shè)點。的運動時間為，秒(0</<6).

(1)用含，的代數(shù)式表示線段QE的長；

(2)當點G落在5c邊上時，求「的值；

(3)求長方形。EG尸與△ABC重疊部分圖形的面積S與f之間的關(guān)系式；

(4)點M為AC的中點，連結(jié)MG,當MG所在的直線垂直△ABC的一邊時，直接寫出

，的值.

【分析】(1)過點8作B”,AC于點”，利用等腰直角三角形性質(zhì)可得：AH=CH=BH

=3,/A=NC=45°,再分兩種情況：當0V/W3時，當3V/V6時，分別求得OE即

可;

(2)根據(jù)題意可得：0<fW3,DE=AD=t,再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)建立

方程求解即可；

(3)分三種情況：當0<fW孕時，當時，當3<f<6時，分別畫出圖形，求

出重疊部分的面積即可；

(4)分三種情況：當時，當MGLAC時，當MGJ_BC時，分別建立方程求解

即可.

解：(1)如圖1,過點8作4c于點H,

VZB=90°,AB=BC,AC=6,BHLAC,

:.AH=CH=BH=3,ZA=ZC=45°,

當0VfW3時，AD=t,

'：DE±AB,/A=45°,

...△ACE是等腰直角三角形，

：.DE=AD=t-,

當3<f<6時，如圖2,AO=f,CD=AC-AD=6-t,

■JDELAB,/C=45°,

...△CDE是等腰直角三角形,

：.DE=CD=6-t,

t(0<t<3)

綜上所述,

6-t(3<t<6)

(2)如圖3,過點B作BHL4c于點H,

由題意得：AD-t,

由(1)得：AH=CH=BH=3,NA=NC=45°,

當0V，<3時，DE=AD=tf

?；DE=2DF,

：.DF=—t,

2

?：/\ADE和aABC是等腰直角三角形，

:.AE=?AD=?t,AB=^AC=^X6=3衣,

：.BE=AB-AE=3yf2-揚，

:四邊形OEG尸是矩形，

:.EG=DF=±,EG//AC,