高中數(shù)學(xué)平面向量單元檢測題

平面向量單元檢測

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

設(shè)向量方=(0,2),石=(2,2)，則()

A.|a|=\b\B.(a-b)//b

c.“.與小的夾角為,D.(a-h)1a

2.如圖在梯形力BCD中，BC=24。，OE=EC,設(shè)函=

a^BC=6-則屁=()

A..+*

24

B.1五+

36

c.冢+|石

D.|a+|h

24

3.已知向量,=(x,2)E=(2,y)/=(2,—4),且五//?工_1.石則?—臼=()

A.3B.VToC.VTTD.2V3

4.如圖，正方形/8C。的邊長為2,E為8c邊的中點(diǎn)，

尸為CC邊上一點(diǎn)，若喬荏=|荏|2,則?麗=（）

A.3

B.5

5.三個(gè)不共線的向量而，0B，玩滿足篇,（矗+蒜）=麗,（贏+澈）=訛，

儒+高）=°，則。點(diǎn)是AAB"（）

A.垂心B.重心C,內(nèi)心D.外心

6.已知向量品=（1,2），近=（4,-2），則AABC的面積為（)

A.5B.10C.25D.50

7.下列命題中正確命題個(gè)數(shù)為（）

H向量引/石=存在唯一的實(shí)數(shù)入，使得向量3=入出

第1頁，共18頁

i5為單位向量，且向量方//落則向量G=±@3；

f若向量益?石=五.3則E=m

i若平面向量G_L?，d1C＞則向量弓/"；

A.1B.2C.3D.4

8.已知點(diǎn)O、N、P在力BC所在平面內(nèi)，且|函=|布|=|西，而+而+枇=6,

同?麗=麗?同=近?可，則點(diǎn)O、N、P依次是48（?的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

9.已知非零向量蒼、b滿足同=網(wǎng)=|五—b|=1，~c-2a—b＜則cos＜力力＞=

A.0B.IC.JD.-更

10.點(diǎn)4（3,0）、B（0,3）、[，＜，、，，、W，1、。（0,0）,若|瓦5+而I=V13.aG（0,兀），則而，配

的夾角為（）

A.IB.C消D.I

11.如圖，在△力BC中，AD=2DB,AE=3EC,CD與BE交于F,AF=xAB+yAC＜

則。4）為（）

B

A.（聶）B.D.&3）

12.在AABC,4c=90。，AB=2BC=4,M,N是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1,

則國?國的取值范圍為（）

A.邛,9]B.[5,9]C.0,9]D.冷5]

第II卷（非選擇題）

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知。?石=一9,擊，出分別是與3方方向相同的單位向量，石在石上的投影向量為一3備,

加在益上的投影向量為-!?i，則正與石的夾角。為.

14.關(guān)于平面向量益，b，3有下列三個(gè)命題：

第2頁，共18頁

①若('b=a-c<則b—c;

②若,=(l,k),b=(-2,6).a//b>則k=一3;

③非零向量澇和石滿足回=\b\=\a-b\>貝皈與H+石的夾角為60。.

其中真命題為.(寫出所有真命題的序號(hào))

15.已知丘=(2,-l),b=(x,-2),c=(3,y).若元//石,(a+b)1(b-辦M(x,y),N(y,x),

則向量標(biāo)的模為.

16.如圖，在4力BC中，AB=4,AC=2,NB4C=60。.已知點(diǎn)E,尸分別是邊

4c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在邊8C上，若麗?麗=f,則線段8。的長為

4---------------

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分)

17.已知銳角4BC的內(nèi)角4SC所對的邊分別Q,b,c,且a=31=b.若力=(Q,—b),

q=(sin2B,sin24),且萬_L

(1)求角8和邊c.

(2)若點(diǎn)。滿足1入\Ail-；1(',求△4CD的面積.

3J

18.已知向量a=(3,2),b=(x,-1).

第3頁，共18頁

(1)若，:“?2「.：2“1>),且％>0,求同+力;

(2)若不=(一8,—1),a//(b+c).求N與石的夾角.

19.已知向量益=(一3,2),b=(2,1),c=(3,-l),teR.

(1)求叵+成的最小值;

(2)若五一正與不共線，求f的值.

20.已知平面向量4=(1,2)1=(一3,—2).(1)若。/(2N+1)，且|司=2遍，求^的坐

標(biāo)；

(2)若五與五+五的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

第4頁，共18頁

21.M、N分別是AABC的邊BC、上的點(diǎn)，S.BM=-BC,AN^^-AB,AM交CN

42

于p.

(1)若宿=五通+丫而，求x—y的值；

(2)若48=4,AC=3,Z.BAC=60",求而.近的值.

第5頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】D

【解答】

解：因?yàn)橥?2,同=V4T4=2a力同患A錯(cuò)誤；

因?yàn)槲逡粎^(qū)=(一2,0)，5=(2,2)，所以/=-1g=0,所以(五一石)與環(huán)共線，故8

錯(cuò)誤；

因?yàn)?了—(0,2)-(2,2)-4＞|a|=2,\b\=V4+4-2V2?

所以c°s(五/＞=蠡=熹=￥，

因?yàn)椋蓟蛴遥?[0,回，所以＜乙石＞=彳，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)锧—E)=(—2,0)，a=(0,2),所以0—分弓=—2x0+0x2=0，

所以@一石)J.方，故。正確.

故選D.

2.【答案】D

【解答】

解：取8c中點(diǎn)尸，連接E4,

因?yàn)樵谔菪蝂8C。中，BC=2AD,所以四邊形/DC尸是平行四邊形，

所以FA//CD,FA=CD,

則配=JC+CE=BC+^CD=BC+^FA

=BC+1(B7-FF)=eC+1(^4-|BC)

=；面+三麗=為+活

2424

故選。.

3.【答案】B

第6頁，共18頁

【解析】

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積，考查向量平行及垂直的判斷與證明，考查向量的模，考查計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題已知計(jì)算可得x=—1,y=l,即可得五一3=(-3,1)，即可得到答案.

【解答】

解:由題得向量丘=(區(qū)2),b=(2,y)，c=(2,-4),

且五//?,i1,,

a//c=；=勺

b±c=>4-4y=0>

???x=-1.y=1,

a=(-1,2),b=(2,1),

即五一1=(-3,1)，

???|a-b\=J(-3)2+1=VTO>

故選B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的數(shù)量積應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

法一：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

法二：由題意，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得荏1阮，即EF_LAE,再由E是BC的中點(diǎn),

進(jìn)而可求解，得到答案.

【解答】

解：法一：以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸,

建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

第7頁，共18頁

則4(0,0),E(2,l).設(shè)|而|=x，則尸(*,2),故方=(x,2)，荏=(2,1).

??-AF-'AE=\AE\2,(x,2)-(2,1)=2x4-2=5,解得x=|,

,,1麗=1(IT+22=|-

故選D.

法二：連接E尸

由題意，vAF-AE=\AF\-\AE\cosz.EAF=\AE\2,

\AF\cosZ.EAF=函，

???EF_LAE.?：E是8c的中點(diǎn)，

BE=CE=1.設(shè)DF=X,

則CF=2-X,

在RtAAEF中，AE2+EF2=AF2,

即2z4-I2+(2-x)2+I2=22+X2,

解得%=|,AF-y/AD2+DF2=

故選D

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查的重點(diǎn)是向量加法的幾何意義和向量數(shù)量積

的性質(zhì)，屬于中檔題.

備，需是單位向量，且由向量焉為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，得到。/在NBAC的

平分線上，即可得出結(jié)論.

第8頁，共18頁

【解答】

解：向量/的模等于1,

因而向量]是單位向量，

|?|

,響量簫，簫儡等都是單位向量，

由向量圣，德為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，

\AC\\AB\

?.?亦(晅-匹)=0,

'網(wǎng)\AC\J

可得OA在NB4C的平分線上，

同理可得08平分乙IBC,OC平分4ZCB,

???0是△ABC的內(nèi)心.

故選C.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了向量的數(shù)量積，兩向量的夾角，向量的模，三角形的面積公式，平面向量的

坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

先求出而?而，及|荏|、\AC\，可求出兩向量的夾角，再根據(jù)三角形的面積公式可求答

案.

【解答】

解：由題意而|=V12+22=逐，I福=+(-2)2=2而，

設(shè)向量荏與前的夾角為仇

[j|||f)-ABAC_lx4+2x(-2)_n

則rC°nvSG-兩鬲-國2代-0'

所以。=乙4=90°,

故SA48c=11而11前|sin90°=ix(V5)x2V5=5.

故選4

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查平面向量共線的條件、共線向量概念、單位向量概念及數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

第9頁，共18頁

結(jié)合平面向量的基本概念進(jìn)行逐個(gè)判斷即可.

【解答】

解：(1)不正確，例如當(dāng)Zt=0，bH0時(shí)，這樣的人不存在；

(2)正確，由于3為單位向量，且可/?,故方的模等于向，方向與3的方向相同或相反，故

a=±|a|?e;

(3)不正確，例如當(dāng)丘=6,了與Z不一定相等；

(4)不正確，alb，blc，貝皈與下可能不共線，

綜上，正確的命題為(2),共1個(gè).

故選4

8.【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了向量的幾何運(yùn)用，涉及向量的加減運(yùn)算，向量的數(shù)量積以及三角形

三心的判斷，考查了分析和運(yùn)用能力，屬于中檔題.

根據(jù)|而|=\OB\=|OC|.得到點(diǎn)。到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)O為4ABC

的外心；再根據(jù)隔+近+配=6,得而+而=一配=而，得到點(diǎn)N在Z8邊的中

線上，同理可得點(diǎn)N也在其他邊的中線上,即可得到N為XABC的重心;再根據(jù)西?同=

PBPC='PC-PA^PA-PB-PB-PC=VBCA=0.得到點(diǎn)尸在4C邊的垂線上，同理可

得點(diǎn)P在其他邊的垂線上，進(jìn)而得到點(diǎn)尸為A4BC的垂心，進(jìn)而得到答案.

【解答】解：因?yàn)閨而|=|而|=|而所以點(diǎn)O到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

所以點(diǎn)。為AABC的外心；

由海+而+祝=6，得福+而=-近=而，

由中線的性質(zhì)可知點(diǎn)N在48邊的中線上，

同理可得點(diǎn)N在其他邊的中線上，

所以點(diǎn)N為△ABC的重心；

由可PB=PBPC=PCPA，

得同-^B-~PBPC=PB(PA-PC)=PB-CA=0，

則點(diǎn)P在力C邊的垂線上，同理可得點(diǎn)P在其他邊的垂線上，

所以點(diǎn)P為△ABC的垂心.

故選C.

9.【答案】A

第10頁，共18頁

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的數(shù)量積和向量的夾角及余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，將向量五％轉(zhuǎn)化為說得出三角形Z8C為等邊三角形，再根據(jù)余弦定理得

出4屏=AC2+CD2,進(jìn)而求出答案.

【解答】

解：設(shè)立=荏，AD=2a,K=AC<

則往—b=AB—AC=CB;c=2a—b=AD—AC=CD;

因?yàn)橥?同=忖一同=1,所以三角形48c為等邊三角形，所以八

所以5肥笄，即;德尹得吁倔

所以力。2=4。2+。。2,

所以-》,所以，…「八一A；n,

故選/.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積以及向量夾角，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出麗,配的夾角的余弦值，最后結(jié)合

夾角的范圍求出夾角的大小.

【解答】

解：:4(3,0),>J?■.?,0(0,0),

..O.i(X,：3.<g，.川”>|，|函+沉|=J(3+cosa)2+sin2a="0+6cosa=

V13，

1

一<m,,>

1?,ae(0,?r),

「?a嗎即C&3

麗,歷夾角余弦值為星%=送=在，

\OB\\OC\3x12

第11頁，共18頁

V區(qū),灰夾角范圍為］0,捫，

???麗,沆夾角為也

故選。.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義，同時(shí)考查了分析問題的能力和計(jì)算能力,

屬于中檔題.

根據(jù)4O=2DB,AE=3EC,利用8、F、￡三點(diǎn)共線和C、F、。三點(diǎn)共線分別表示出

向量都，根據(jù)平面向量基本定理可求出x、y的值.

【解答】

解：AD=2DB,AE=3EC,

設(shè)麗5=痂，CF=fiCD，

.-.AF=AB+BF=AB+XBE

=AB+人(沼?-萬)=(1-X)AB+|A^4C,

且方=AC+CF=AC+fiCD

=AC+以“8-AC)=泊B+(1-

Li2r,2

1—A=-u1A=-

可得.3解得｛

匕入=1-〃

所以而=g荏+g而，

因?yàn)榉?%荏+、前，

所以x=g,y=

則?y)為&力

故選A.

12.【答案】A

X.

【解析】解：以CN,CB為坐標(biāo)軸建

立坐標(biāo)系如圖所示：

C：4"X

笛1

VAB=2BC=4,Z.BAC=30°,AC=2>/3

設(shè)川V=a,則N（2汽一年，沙M（2國一駕之等），

CM-CN=（2V3-亨）（2國-乜+].等=a2-5a+9.

vM,N在43上，???0WQ工3.

???當(dāng)Q=0時(shí)，麗?麗取得最大值9,

當(dāng)a=|時(shí)，麗?麗取得最小值日.

故選：A.

建立坐標(biāo)系，設(shè)4N=a,用。表示出城，麗，得出麗.前關(guān)于a的函數(shù)，從而得出范

圍.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

13.【答案】120°

【解析】

【分析】

本題考查投影向量、向量的數(shù)量積、夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)投影向量定義，列出方程，求解@=6,由=3,再根據(jù)夾角公式，即可求解.

【解答】

|a|cos0=-3

同cos。=mn|5|=6

同=3'

{a-b=-9

a-b—91

ACOS0=

\a\\b\-6x32

v0°<9<180°,0=120°.

故答案為：120°.

14.【答案】②

【解析】

【分析】本題考查向量平行的條件，向量的夾角，向量的模等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

將原式變?yōu)樾。ǚ?。=01可判斷①錯(cuò)誤；根據(jù)平面向量共線的條件可判斷②正確;

第13頁，共18頁

畫出圖形根據(jù)向量的平行四邊形法則可判斷③錯(cuò)誤.

【解答】

解：①往不=方々時(shí)，a-(b-c)=O>-.al(b-c)，不一定有了=高故①錯(cuò)誤.

②)=(1,k),b=(-2,6)，由刃/函I,1x6-(-2k)=0,k=-3,故②正確.

③非零向量落石滿足回=歷|=|五-流，則三向量落石,弓構(gòu)成正三角形，如圖.

由向量加法的平行四邊形法則知，五+石平分/B4C,.?.有+石與日的夾角為30。，故③錯(cuò)

誤.

15.【答案】8V2

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，向量平行以及垂直的充要條

件，屬于基礎(chǔ)題.

由方〃石求出x值，進(jìn)一步求出;5+京b-c，又由(丘+石)>1@一引，構(gòu)造方程，解方程

求出y,有了M、N的坐標(biāo)，代入向量模的計(jì)算公式，即可求出向量的模.

【解答】

解：因?yàn)樯n〃石，所以％=4,所以5=(4,—2)，

所以方+3=(6,-3)，b-c=(1,-2-y).

因?yàn)槲?b)1(b-c)，所以@+b)-(b-c)=0,

即6—3(—2—y)=0,所以y=—4.

所以向量而=(-8,8)，|而|=8VL

故答案為8V2.

第14頁，共18頁

16.【答案】當(dāng)

【解析】

【分析】

本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算，先是以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，過力點(diǎn)

的48的垂線為y軸建立坐標(biāo)系，故可得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由而?屏=吊和8、D、C

三點(diǎn)共線，解出答案.

【解答】

解：以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z8為x軸，過力點(diǎn)的的垂線為y軸建立坐標(biāo)系，如下圖：

由題意得4(0,0),8(4,0),C(1,V3).E(2,0),F&.)，

設(shè)￡>(x,y)(0<x<4,0<y<V5),

則D?-5)鼠-(「3.、夕卜BB—(x

則D?-Df=(2-J,11J\-r/i—y)?,①,

又B、D、C三點(diǎn)共線，則有灰與前共線，曲\J，rII,②，

故答案為理.

2

17.【答案】解：（1）由方，本

得戶可=°

即（u.bi、in#-0疝u2/Jb>：.J.?

第15頁，共18頁

由正弦定理，

,2sm.sinlisinAII，

又sinA*0,sinBH0,

?■■CUK2?-2，

又B(?,<,)?.

由川=a2+c2-2accosB,

代入a3.I,\7得c?-3c+2=0,

「，I或2,

當(dāng)c=1時(shí)，a，6,-不合題意，舍；

當(dāng)r2時(shí)，/?/?M，符合題意，

所以。2；

,2),：W1

33

：,B^-ADAS-1.\ii■■.i(,AB-(1?AI：

3333

??.D在8。上，且為靠近C的三等分點(diǎn)，

_1.V3_3V3

SeA/IBC=-acsmB=-X3X2x—=-y-，

c_1c_1s,3>/3_V3

、A4CD=—Jx-y=-?

【解析】本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，平面向量的線性運(yùn)算，兩向

量垂直的坐標(biāo)表示，解題關(guān)鍵是由正弦定理化邊為角，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由向量垂直得數(shù)量積為0,再由正弦定理化邊為角，可求得8角，然后由余弦定理

求得c,注意取舍.

(2)由向量的線性運(yùn)算求得。在8c上位置，利用48c的面積得出結(jié)論.

18.【答案】解：(1)因?yàn)樵?(3,2),b=(x,~1),

所以丘+2石=(3+2%,0)，2a-b=(6-x,5).

由2匚Ii2(/，八可得(3+2分(2■-])=0,

即(3+2x)(6-x)=0,解得x=6或x=-其舍去，因?yàn)閤>0),

所以Z+b=(9,1),

第16頁，共18頁

故恒+臼=A/924-l2=我L

(2)由題意,h4-c=(—8+%,—2)?

Xa//(K+0，則-2x3=2x0-8),

解得%=5,則石=(5,—1),

r-r；Ki/一工、a215-242

所以cos<a,b>=麗=衣瘍=了,

又.，--，所以2與E的夾角為：.

【解析】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模和夾角，向量之間的

平行，垂直判定，屬于較易題.

(1)得出Z+2石=(3+2x,0),2a-b=(6-x,5),根據(jù)(五+2石>(2五一石)=0即可求解

x的值，從而可得叵+可;

(2)可得石+不=(一8+%—2)，根據(jù)引/@+刁可得x的值，再運(yùn)用向量之間的夾角公

式求解即可.

19.【答案】解：(1)???五=