北師大版七年級

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北師大版學(xué)校數(shù)學(xué)定理學(xué)問點匯總七班級上冊

第一章豐富的圖形世界

?圓柱:底面是圓面，側(cè)面是曲面¤1.?柱體

?棱體:底面是多邊形，側(cè)面是正方形或長方形

?圓錐:底面是圓面，側(cè)面是曲面¤2.錐體

?

?棱錐:底面是多邊形，側(cè)面都是三角形¤3.球體：由球面圍成的（球面是曲面）¤4.幾何圖形是由點、線、面構(gòu)成的。

①幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面；②面與面相交得到線；③線與線相交得到點。

※5.棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線都叫做棱。．※6.側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，全部側(cè)棱長都相等。．．

¤7.棱柱的上、下底面的外形相同，側(cè)面的外形都是長方形。

¤8.依據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形

狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形……¤9.長方體和正方體都是四棱柱。

¤10.圓柱的表面綻開圖是由兩個相同的圓形和一個長方形連成。¤11.圓錐的表面綻開圖是由一個圓形和一個扇形連成。

※12.設(shè)一個多邊形的邊數(shù)為n(n≥3，且n為整數(shù))，從一個頂點動身的對角線有(n-3)條；可以把n邊

形成(n-2)個三角形；這個n邊形共有

n(n?3)

條對角線。2

◎13.圓上兩點之間的部分叫做弧，弧是一條曲線。．

◎14.扇形，由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形。

¤15.凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。

第二章有理數(shù)及其運算

?正整數(shù)(如:1,2,3?)

??

?整數(shù)?零(0)

?負(fù)整數(shù)(如:1,2,3?)?

?

※有理數(shù)?

?

11?正分?jǐn)?shù)(如:,,5.3,3.8?)??23?

11?分?jǐn)?shù)?負(fù)分?jǐn)?shù)(如:?,?,?2.3,?4.8?)??23?

※數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（三者缺一不行）?！魏我粋€有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。（反過來，不能說數(shù)軸上全部的點都表示有理數(shù)）※假如兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）

※在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的側(cè)，且到原點的距離相等?！钄?shù)軸上兩點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點的右邊，負(fù)數(shù)在原點的左邊。

※肯定值的定義：一個數(shù)a的肯定值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的肯定值記作|a|?！龜?shù)的肯定值是它本身；負(fù)數(shù)的肯定值是它的數(shù)；0的肯定值是0。

越來越大

?a(a?0)

?a(a?0)?

|a|?0(a?0)或|a|?

??a(a?0)??a(a?0)

?

※肯定值的性質(zhì)：除0外，肯定值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)；

互為相反數(shù)的兩數(shù)（除0外）的肯定值相等；任何數(shù)的肯定值總是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0

※比較兩個負(fù)數(shù)的大小，肯定值大的反而小。比較兩個負(fù)數(shù)的大小的步驟如下：①先求出兩個數(shù)負(fù)數(shù)的肯定值；②比較兩個肯定值的大??；

③依據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，肯定值大的反而小”做出正確的推斷?！隙ㄖ档男再|(zhì)：

①對任何有理數(shù)a，都有|a|≥0②若|a|=0，則|a|=0，反之亦然③若|a|=b，則a=±b

④對任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a|

※有理數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把肯定值相加。

②異號兩數(shù)相加，肯定值相等時和為0；肯定值不等時取肯定值較大的數(shù)的符號，并用較大數(shù)的肯定值減去較小數(shù)的肯定值。

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

※加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運算中同樣適用?！杳艚葸\用運算律，使用運算簡化，通常有下列規(guī)律：①互為相反的兩個數(shù)，可以先相加；②符號相同的數(shù)，可以先相加；③分母相同的數(shù)，可以先相加；

④幾個數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。

※有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)?！栌欣頂?shù)減法運算時留意兩“變”：①轉(zhuǎn)變運算符號；②轉(zhuǎn)變減數(shù)的性質(zhì)符號（變?yōu)橄喾磾?shù)）

有理數(shù)減法運算時留意一個“不變”：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律?！栌欣頂?shù)的加減法混合運算的步驟：

①寫成省略加號的代數(shù)和。在一個算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法，然后再省略加號和括號；

②利用加法則，加法交換律、結(jié)合律簡化計算。（留意：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)有減法統(tǒng)一成加法時，減數(shù)應(yīng)變成它本身的相反數(shù)。）※有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，肯定值相乘。②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。

※假如兩個數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1。（如：-2與

135

、與…等）253

※乘法的交換律、結(jié)合律、安排律在有理數(shù)運算中同樣適用。

¤有理數(shù)乘法運算步驟：①先確定積的符號；②求出各因數(shù)的肯定值的積?！璩朔e為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。留意：①零沒有倒數(shù)

②求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一個帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)。③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。

※有理數(shù)除法法則：①兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把肯定值相除。②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不行作為除數(shù)，否則無意義。

n個

a※有理數(shù)的乘方?????????a?a?a????a?

※留意：①一個數(shù)可以看作是本身的一次方，如5=51；

②當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)?！朔降倪\算性質(zhì)：

①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；

②負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)；

④1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0；⑤-1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；

⑥在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的肯定值?！欣頂?shù)混合運算法則：①先算乘方,再算乘除,最終算加減。②假如有括號,先算括號里面的。

第三章字母表示數(shù)

※代數(shù)式的概念：

用運算符號（加、減、乘除、乘方、開方等）把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。．．．

單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

留意：①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號；

②代數(shù)式中不含有“=、、、≠”等符號。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號和不等號兩邊的式子一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必需要使這個代數(shù)式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。

※代數(shù)式的書寫格式：

①代數(shù)式中消失乘號，通常省略不寫，如vt；

②數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后與字母相乘，如2?a應(yīng)寫作④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號，即“×”號不省略；

⑤在代數(shù)式中消失除法運算時，一般根據(jù)分?jǐn)?shù)的寫法來寫，如4÷（a-4）應(yīng)寫作

1

37a；3

4

；留意：分a?4

數(shù)線具有“÷”號和括號的雙重作用。

⑥在表示和（或）差的代差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必需把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如(a?b)平方米

※代數(shù)式的系數(shù)：

代數(shù)式中的數(shù)字中的數(shù)字因數(shù)叫做代數(shù)式的系數(shù)。如3x,4y的系數(shù)分別為3，4。．．．．．．留意：①單個字母的系數(shù)是1，如a的系數(shù)是1；

②只含字母因數(shù)的代數(shù)式的系數(shù)是1或-1，如-ab的系數(shù)是-1。a3b的系數(shù)是1※代數(shù)式的項：

代數(shù)式6x2?2x?7表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的項，其中把不含字母的項叫做常數(shù)項

留意：在交待某一項時，應(yīng)與前面的符號一起交待。

2

2

※同類項：

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。

留意：①推斷幾個代數(shù)式是否是同類項有兩個條件：a.所含字母相同；b.相同字母的指數(shù)也相同。這兩個條件缺一不行；

②同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列挨次無關(guān)；③幾個常數(shù)項也是同類項。※合差同類項：

把代數(shù)式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。①合并同類項的理論依據(jù)是逆用乘法安排律；

②合并同類項的法則是把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。留意：

①假如兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項后結(jié)果為0；

②不是同類項的不能合并，不能合并的項，在每步運算中都要寫上；③只要不再有同類項，就是最終結(jié)果，結(jié)果還是代數(shù)式?！罁?jù)去括號法則去括號：

括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不轉(zhuǎn)變符號；括號前面是“－”號去掉，括號里各項都轉(zhuǎn)變符號?！罁?jù)安排律去括號：

括號前面是“+”號看成+1，括號前面是“－”號看成-1，依據(jù)乘法的安排律用+1或-1去乘括號里的每一項以達(dá)到去括號的目的?！粢猓?/p>

①去括號時，要連同括號前面的符號一起去掉；

②去括號時，首先要弄清晰括號前是“+”號還是“－”號；

③轉(zhuǎn)變符號時，各項都變號；不轉(zhuǎn)變符號時，各項都不變號。

第四章平面圖形及位置關(guān)系

一.線段、射線、直線

※1.

※2.二.比較線段的長短

※1.線段公理:兩點間線段最短;兩之間線段的長度叫做這兩點之間的距離.

※2.比較線段長短的兩種方法:圖1①圓規(guī)截取比較法;②刻度尺度量比較法.

※3.用刻度尺可以畫出線段的中點,線段的和、差、倍、分;用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍.

三.角的度量與表示

※1.角:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角;這個公共端點叫做角的頂點;

圖6

這兩條射線叫做角的邊.

※2.角的表示法：角的符號為“∠”

①用三個字母表示，如圖1所示∠AOB②用一個字母表示，如圖2所示∠b③用一個數(shù)字表示，如圖3所示∠1④用希臘字母表示，如圖4所示∠β

※經(jīng)過兩點有且只有一條直線。

※兩點之間的全部連線中，線段最短。

※兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。．．．．．．．．

B

1o=60’1’=60”

※角也可以看成是由一條射線圍著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示：

※一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。如圖6所示：．．※終邊連續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時，所成的角叫做周角。如圖7所示：．．

※從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。．．．．．※經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

※假如兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線相互平行?！嗷ゴ怪钡膬蓷l直線的交點叫做垂足。．．

※平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直?！鐖D8所示，過點C作直線AB的垂線，垂足為O點，線段CO的長度叫做點到直線的距離。．C．．．．AB．．．．．第五章一元一次方程※在一個方程中，只含有一個未知數(shù)x（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）,這樣的方程叫做一元一次．．．．方程。．．

※等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式?！仁絻蛇呁瑫r乘同一個數(shù)（或除以同一個不為0的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式。

※解方程的步驟：解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1等幾個步驟，把一個一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成x=m的形式。

第六章生活中的數(shù)據(jù)

※科學(xué)記數(shù)法：一般地，一個大于10的數(shù)可以表示成a×10n的形式，其中1