江西省萬安中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年

高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)

一、單選題（每題5分，共40分）

1.已知集合A={x[—6<2-x<-2},5=j,vl=則AB=（）

A.（3,6）B.（4,6）C.（3,8）D.（4,8）

2.若復(fù)數(shù)（4+i）（3+4i）的實部與虛部相等，則實數(shù)。=（）

A.7B.-7C.1D.-1

3.已知{4}為等差數(shù)列，S“為其前〃項和，?2=-l,S5-S,=8,則Sg=（）

A.36B.45C.54D.63

4.五一國際勞動節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽.某班有甲、乙、丙等6名同學(xué)參加，抽

簽確定出場順序，在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的條件下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（）

5.已知函數(shù)〃x)=21nx+2-x

則不等式/'（3尤的解集為（)

6.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-44CQ中，E為線段。。的中點，尸為線段8片的中點.直線FG到

平面ABE的距離為（）.

A.立B.我?

cD

35-f-1

7.^0<b<a<-,則()

2

B.e"+'+2〃>e"+二+28

A.bea-eb<aeh-ea

e“斯

C.asinh+h<hsina+aD.sin/Tco&z〉sin。

8.如圖，設(shè)直線/：y=（+會與拋物線C：V=2px（p>0,〃為常數(shù)）交于不同的兩點M,N,且當(dāng)

k=；時:拋物線C的焦點下到直線/的距離為竽.過點M的直線交拋物線于另一點Q,且直線過

C.(2,0)D.(2,-4)

二、多選題(每題5分，共20分)

9.已知正方體。為對角線AG上一點(不與點A,G重合)，過點。作垂直于直線AQ

的平面a,平面a與正方體表面相交形成的多邊形記為例，下列結(jié)論正確的是()

A.M只可能為三角形或六邊形

B.直線AG與直線8。所成的角為3

C.當(dāng)且僅當(dāng)。為對角線AG中點時，M的周長最大

D.當(dāng)且僅當(dāng)。為對角線AG中點時，M的面積最大

10.已知函數(shù)〃x)，g(x)的定義域為R,g'")為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)+g'(x)-l()=0,

f(x)-g\4-x)-l0=0,若g(x)為偶函數(shù)，則下列一定成立的有()

A./(2)=10B./(4)=10

C.f(-l)=f(-3)D.廣(2023)=0

2

11.如圖，過雙曲線右支上一點P作雙曲線的切線/分別交兩漸近線于A、B兩點,交

x軸于點。，片,用分別為雙曲線的左、右焦點，。為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的是()

B.SAOAP=S^OBP

C.S208=2b

D.若存在點P,使cosNZPR=1，且耳。=2DE),則雙曲線C的離心率e=2

12.已知函數(shù)/(x)=e”n(l+x),則以下判斷正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的零點是(0,0)

B.不等式〃力>0的解集是(0,+8).

C.設(shè)g(x)=/'(x),則g(x)在［0,+向上不是單調(diào)函數(shù)

D.對任意的s,f都有〃s+f)>/(s)+〃f).

三、填空題(共20分)

13.若將函數(shù)〃幻=爐表示為/(x)=ao+q(l+x)+a2(l+x)2+...+%(l+x)5，其中4，4，/，…嗎為實數(shù)，

則?5-.

14.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，若｛4｝與｛底｝均為等差數(shù)列，請寫出滿足題意的一個｛%｝的通項公

式，??=.

—x3,x<0

15.已知左為常數(shù)，函數(shù)f(x)=2,若關(guān)于x的方程八外=丘+1有且只有2個不同的解，則實數(shù)

—^,x>0

,X—1

%的取值范圍是.

16.已知。>1,若對于任意的xe2，+8］，不等式4-2x+ln3x?—Z+lnn恒成立，則。的最小值

.3)3xae

為.

四、解答題(共70分)

17.48C的內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a也c,設(shè)塔=二￡士普

C-DsinA

⑴求c；

(2)^(^+lja+2/?=-76c,求sinA.

18.已知正項數(shù)列｛%｝滿足4=1,%=2,且對任意的正整數(shù)”，1是和a，的等差中項.

(1)證明：是等差數(shù)列，并求｛4,｝的通項公式；

(2)若bfi=a“,且〃=a,,求數(shù)列出｝的通項公式.

19.如圖，在直四棱柱ABCO-AMGR中，BC1CD,AB//CD,BC=石，AAi=AB=AD=2,且p

為B々的中點.

（1）設(shè)過B點的平面為a,若平面a〃平面AP。，求平面a與四邊形B/CG和四邊形交線的長度

之和；

（2）求平面APR與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

20.全球變暖已經(jīng)是近在眼前的國際性問題，冰川融化、極端氣候的出現(xiàn)、生物多樣性減少等等都會給人類

的生存環(huán)境帶來巨大災(zāi)難.某大學(xué)以對于全球變暖及其后果的看法為內(nèi)容制作一份知識問卷，并邀請40名

同學(xué)（男女各占一半）參與問卷的答題比賽，將同學(xué)隨機分成20組，每組男女同學(xué)各一名，每名同學(xué)均回答

同樣的五個問題，答對一題得一分，答錯或不答得零分，總分5分為滿分.最后20組同學(xué)得分如下表：

組別號12345678910

男同學(xué)得分4554554455

女同學(xué)得分3455545553

組別號11121314151617181920

男同學(xué)得分4444445543

女同學(xué)得分5545435345

（1）完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該次比賽是否得滿分”與“性別”有關(guān):

男同學(xué)女同學(xué)總計

該次比賽得滿分

該次比賽未得滿分

總計

（2）隨機變量X表示每組男生分?jǐn)?shù)與女生分?jǐn)?shù)的差，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式和數(shù)據(jù)：KJ3砌;n=a+b+c+d.

P(K2>k]0.100.050.010

k2.7063.8416.635

21.已知雙曲線C。-卷=1(〃>08>0)的左、右焦點分別為耳(―c,O),g(c,O),離心率為手，點P(&2)

是C右支上一點，△P46的面積為4.

(1)求C的方程；

(2)點4是C在第一象限的漸近線上的一點，軸，點。是C右支在第一象限上的一點，且C在點。處

的切線/與直線A8相交于點與直線x=G相交于點N.試判斷曾的值是否為定值？若為定值，

c年|

求出它的值；若不為定值，請說明理由.

22.已知函數(shù)〃x)=#,g(%)=log“％,其中

⑴若〃(x)=7^(x>°)，

f\x)

(i)當(dāng)a=2時，求力⑺的單調(diào)區(qū)間；

(ii)曲線y=/z(x)與直線y=i有且僅有兩個交點，求”的取值范圍.

(2)證明：當(dāng)時，存在直線/，使直線/是曲線>=/(6的切線，也是曲線，=g(x)的切線.

1.B

3

由-6<2-x<-2可得，2<x-2<6,所以4vxv8,所以3vy=：x<6.

所以A={x|4<x<8},8={y|3<y<6}.

所以AB={x|4<x<6},即A8=（4,6）.

故選：B.

2.B

因（a+i）（3+4i）=（3a—4）+（3+4a）i,依題意，（3a-4）+（3+4a）i實部與虛部相等，而〃是實數(shù),

則3a—4=3+4],解得。=—7,

所以實數(shù)。二一7.

故選：B

3.B

設(shè)公差為"，

由%=-1,85-83=8,

a+d=-i4=-3

得巧}+十為+7〃=8,解得

d=2

所以%=2〃-5,

所以$9=9"；%)=9%=9x5=45.

故選：B.

4.B

設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場”為事件A,“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場“為事件8,

A6

依題意共有A：種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場的情況有資種,

A?

所以尸(8)=與」

A：2

甲乙同學(xué)按出場順序一定，且相鄰出場的情況共有A；種,

所以尸（48）=金|=:，

A66

1

-

岫61

=--

則P（A|8）⑸13-

2-

故選：B.

5.C

由題意可知，函數(shù)f（x）=21ar+：T的定義域為（0,+8）.

又因為r(x)=2—二_1=_[1_1140恒成立,

X入VX)

所以〃X）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

3x-l>0?

則由/(3x—l)</(l-x)可得T-x>0?解得/<x<1，

3x~1>1—x

即原不等式的解集為e1).

故選：C.

6.D

AE尸C"C?平面ABRAfu平面48道，.?.尸G平面48避,

因此直線FC,到平面AB.E的距離等于點C,到平面ABtE的距離，

如圖，以。點為坐標(biāo)原點，OA所在的直線為x軸，DC所在的直線為了軸，。。所在的直線為z軸，建立

直角坐標(biāo)系.

ZA

y

則A(l,0,0)㈤(1,1,1),G(0,1,1),E(0,0,1),F(l,l,g)

FC,=(-l,0,1)M￡=(-l,0,^),AB,=(0,1,1),C向=(1,0,0)

設(shè)平面AB}E的法向量為〃=(x,y,z),則

n-AE=-x+—z=0

v2,令Z=2,則〃=(1,一2,2)

n?AB1=y+z=0

設(shè)點G到平面ABE的距離為d,則

故直線FG到平面AB]E的距離為g.

故選：D.

7.C

對于A,令〃x）=邑且0<》<：,貝ij尸

故“X）在（0舟上單調(diào)遞增，則〃4）>/伍），即工〉上，

V2）。+1b+1

所以e"（b+l）>e〃（a+l）,即左"-e〃>ae〃一e",故A錯誤；

對于B,令〃x）=e*-^■-2x且0cxe々，則于（x）=e*+4-2>2舊」-2=0,

故"X）在位）上單調(diào)遞增，貝（j/（a）>/（b）,即e"-』一?<e"一上一2。，所以e，+e+2a<e"+4+2b,

XzCCCC

故B錯誤；

NT-人，/\siar-1口八7i￡,（、xcosx-sinx+l八

對于C,令/（力=——KO<x<-,貝mi1I」/（力=------------>0,

故“X）在（0馬上單調(diào)遞增，則%）>〃。），即W二1>電器，

所以〃（sina-l）>a（sin0一l）,pjijr/sinZ?+b<bsina+a,故C正確；

對于D,當(dāng)b==g時，sinZ?cos6r=—<sina=—,故D錯誤.

故選：C.

8.A

直線=即2x-4y+p=0,

依題意，4,01到直線2x-4y+p=0的距離為=2叵,p=2,

<2）,4+165

所以拋物線方程為丁=4X，直線/:y=Z（x+l）,

由卜'；=1）消去x并化簡得江一4），+4%=0,

[y=4x

△=16-16公且kwO,

設(shè)例（4弘）,"（七，力）,。（七,%），則%為=4.

k一）'f一4

由“°g-與片_w兇+丫3，

44

直線M3的方程為y+i=^^@T）,

%+為

4

所以％+1=5?7^（為7）'即（乂+1心+%）=4百一4，

則犬+y%+y+%=犬-4,故y=—--1,

1十Z3

所以4三=一4+含y\，所以％為+4z(為+%、)+4=0，

4

直線QN的方程為y-%=,,,(x~&),即(y—%)(%+%)=4x-4&,

必十必

則y(%+%)一員一%為=4x-￥,故為%-y(%+%)+?=。，

所以x=l,y=-4,也即直線QV過定點(LT).

故選:A.

9.ABD

???正方體"CD-ABCQ,體對角線AC與平面48。垂直，則。//平面A8Q,a若向點A方向平移，則M

為三角形，。若向點。方向平移，則M可能為六角形，A正確；

1平面AACG，.?.直線AG與直線BZ)的夾角為楙，B正確；

?.?當(dāng)。為對角線AG中點時，M為正六邊形PQRS7W,

而三角形AB。為等邊三角形，根據(jù)中位線定理，TS=-BD,易得兩個截面周長相等，故C錯誤；

對于。，當(dāng)。為對角線AG中點時，M為正六邊形尸QRSM,

設(shè)邊長7N=a,面積為述片,當(dāng)。向下移動時，M為六邊形[Q內(nèi)SZ叱，

2

結(jié)合圖形可知兩鄰邊一條增大，一條減小，且變化量相等，

設(shè)W[6=〃+x,P]Q1=a-xf(0<x<a),

而且所有六邊形的高都相等，且等于小，兩鄰邊夾角都為120。,

貝US六邊形/jQKS團(tuán)喝=—(a+x)(。一x)sin120。乂2+—(a+x+a-x)xG。

與一金

222

當(dāng)M為三角形時，面積最大為扁，而屈2<竽出

.?.當(dāng)且僅當(dāng)。為對角線AG中點時，M的面積最大，故D正確.

故選：ABD

?

10.ABC

因為g(x)是偶函數(shù)，則g(-x)=g(x),兩邊求導(dǎo)得一g'(r)=g'(x),

所以g'(x)是奇函數(shù)，故g'(0)=0,

由〃x)+g'(x)T0=0,/(x)-^(4-x)-10=0,得f(x)-10=-g'(x)=g'(4-x),

即/(—x)=g《—x+4),所以g'(x)是周期函數(shù)，且周期為4,g'(0)=g'(4)=0,

g<2)=g'(2-4)=g'(-2)=-g'(2),所以g'(2)=0,

對選項A：由〃x)+g'(x)—10=0,令x=2得，/(2)+^(2)-10=0,所以"2)=10,故A正確；

對選項B：由〃x)-g'(4—x)-10=0,令x=4得，/(4)-/(0)-10=0,故"4)=10,所以B正確；

對選項C：由f(x)+g'(x)—10=0,可得“47)+g'(4—x)—10=0,

又〃x)—g'(4-x)-10=0,所以“r)+/(4—x)=20,

又g'(x)是奇函數(shù)，/(_x)+g，(T)_10=/(T)_g，(x)_10=0,

所以/(x)+/(-x)=20,又/(x)+/(4—x)=20,

所以/(-x)=/(4-x),即/(x)=/(4+x),

所以/'(x)=/'(4+x),==

所以函數(shù)f(x)為周期為4的偶函數(shù)，

所以r(T)=/<3)=/'(—3),故C正確；

對選項D：r(2023)=_f(4x505+3)=r⑶,由題得不出/'(3)=0,所以/'(2023)=0不一定成立，故D

錯誤.

故選：ABC.

11.ABD

2

對于A項，先求雙曲線/一馬=1上一點的切線方程，不妨先探究雙曲線在第一象限的部分(其

b-

他象限由對稱性同理可得).

.2___________

由%2一/=］得：y-xjtTX2--b1?

所以八日F

則在點P(x°,%)的切線斜率為k=/”。=2A,

夜飛-b-%

所以在點尸(七,%)的切線方程為：丁-%=一」。-/),

%

又因為X；-善=1,

b-

所以在點尸(%,%)的切線方程為：x°x-爺=1,

不失一般性，設(shè)點P(x0,%)是雙曲線在第一象限的一點，A(x”％)是切線與漸近線在第一象限的交點,

8(々,%)是切線與漸近線在第四象限的交點，

雙曲線的漸近線方程為廣土笈，

聯(lián)立

3一為'如「為

b-b*2*

同理可得：8(

bxn+y?'bx(t+y0

則|AB|=(―^———^)2+(-^―+—^―)2=2702+1)%,；-1，

V尻0-%bxn+ynbx()-y0bxa+y0

又因為七21,

所以IAB|22?及+1)-1=力，即：\AB\m.n=2b,故A項正確；

bfbb2-b2

對于B項，由A項知，如)-%bxv+y0_,bxn-y()bx0+y0_

2=%=%

所以點是A、8的中點，

所以S￡,OAP=S^OBP)故B項正確；

對于C項，因為在點P(x°,%)的切線方程為：y—%="k(rxx-x°),

令〉=0得》=一,所以點￡>(一,0),

則S.OB=SMOD+S?>=彳x|。。|x|%%1=彳x—x(??)=b,

22x,如,-%bx0+yQ

當(dāng)點P(%,%)在頂點(1,0)時,仍然滿足％a=b,故C項錯誤;

對于D項，因為K(-c,0),瑪(c,0),0(-,0),

所以耳。=(—>'c,0),DF2=(c---,0),

又因為耳。=20居,

1133

所以一+c=2(c---),解得：c=一,即：x0=-,

X。工0*0c

代入片-4=1得巾="3

bc

222

所以|尸片|=(x0+c)+=(-+c)=2+/+6+^--/=二+/+6+9","-0?-1)=16，

CCCCCC

222229(C2

|PK|=(xo-c)+yo=(--c)+^■?一/=與+。2-6+^--Z?=-^+C-64-f-(c-1)=4,

cccccc

由|刊"2+|尸"|2一|耳耳|216+4-4025-C21

所以cosZErE>=!-------------——=---------=-----=—,

XX

2X\PF}\X\PF2\24244

解得：C2=4,所以C=2,

所以離心率為e=￡=2,故D項正確.

a

故選：ABD.

12.BD

對于A項，零點是數(shù)不是點，故A錯誤；

對于B項，令f(x)=e'ln(l+x)>0,而丫=心>0恒成立,原不等式等價于ln(l+x)>0,解之得xe(0,yo),

故B正確；

對于C項，/(x)=e*ln(l+x)ng(x)=r(x)=e*ln(l+x)+占,

所以g'(x)=e*ln(l+x)+-2x+j,

(1+x)J

則ln(l+x)+2x+1=皿"+2--1

設(shè)l+x=/n(m>0),川I(1+x)mm,

設(shè)M"?)=ln機+工一一Ln〃(,")=(--p20

mm',加3

即y=/?(/?)定義域上單調(diào)遞增，/z(l)=l>0,/7^=2e-e2-l<0,

即存在使得M”)=0,

2x+1

使得y=ln(l+x0)+0=0

即存在%=%)T$(1+%)2

所以xNO時有皿1+》)+^^>0,

則g'(x)>0,g(x)在［0,+e)上單調(diào)遞增,故C錯誤；

對于D項，設(shè)〃(x)=f(x+r)-f(x)(x,f>O)n/(x)=r(x+1-r(x)=g(x+f)-g(x),

由C項結(jié)論可知g(x+r)>g(x)n〃(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以有〃(s)=/(s+f)-/(s)>〃(O)=/(f)-/(O),

又〃0)=0n/(s+r)—/(s)>/(r),即〃s+r)>/(s)+/(r)成立，故D正確.

故選：BD

13.1

由題可知：F(X)=X5=[(X+1)-1F

=C；(X+l)5+C；(X+l)4(_l)+C；(X+l)3(_l)2+C；(X+l)2(_l)3+C；(X+l)l(_l)4+C；(_l)5而

f｛x｝=aa+。|(1+X)+%(1+x)2+…+%(1+X)，

則%=C：=1

故答案為：1

14.2〃-1

令數(shù)列｛&“｝的公差為d,顯然a?。，由｛四｝是等差數(shù)列，得店+店=2店，

即飆"+,3q+3d=2"2"+d,兩邊平方得4"+d=2d3a；+3a],

兩邊平方并整理得d=2at,則an=q+(n-\)d=(2〃-l)q,

此時S“=4愛.〃=〃2勾，底=〃苑，有歷—瘋=用為常數(shù)，即｛四｝是等差數(shù)歹U,

所以數(shù)列｛q｝的通項公式是4,=(2〃-1)4(420),取q=l,得％=

故答案為：2〃-1

15.(-°0,-4)jl-|I

因為關(guān)于X的方程/(X)=辰+1有且只有2個不同的解，

所以y=〃x)的圖像與直線)，="+1有兩個不同的交點，

又y=/(x)及了=爪+1的圖像如圖所示：

當(dāng)4>0時，因y=/(x)的圖像與直線)，=依+1有兩個不同的交點，

故直線y="+l與>=:亡工40相切，與y=—^,xe(l,+8)有一個交點,

2X—1

1,..

-xn=kx0+\

設(shè)切點為卜o，gxj,從而..,解得飛=-1,左=：.

人產(chǎn)

當(dāng)％<0時，因y=/")的圖像與直線產(chǎn)丘+1有兩個不同的交點，

故直線y="+l與y=—有兩個公共點，

x-1

X

所以方程依+1=—r,0<工<1有兩個不同的解，

即％=-"亓叱(0'1)有兩個不同的解，即—=X(l-X)，X€(0,l),

所以故％€(YO,-4),

綜上，Are(-oo,-4)|||.故填(-<?,-4)j|j.

16.A

2e

因為lna+2x=ln〃+lne2*=ln(6ze2v),

所以，--21+1113工4」7+山〃可化為:;!-+1113X￡，7+111(枇2),

3xac2x3xae.')

iS/W=-+lnx(x>l),則/(x)=--L+-=^->o,

XX"XX

???/3)在［1,位)上單調(diào)遞增，

因為〃>1,xe；，+8),所以3xNl,e2x>>1,訛酎>1,

所以W+lnBxwTM+ln,/')可化為/(3幻工/(役力，所以標(biāo)《加力，

二?。2坐在x￡-，+001上恒成立，

e13)

設(shè)g(x)=M，XW^,+00^,則g'(x)=，

令g'(x)>°,得;g'(x)vO,得工,g，

所以g(x)在上單調(diào)遞增，在(g,+8)上單調(diào)遞減,

所以g（x）a=g（9=W,所以心方,

3

即。的最小值為丁.

2e

_3

故答案為：

2e

2兀

17.（Dy

（2）sinA=#一立

4

（1）根據(jù)題意，由正弦定理可得土?=土也，即,2=/+〃+而，

c-ba

所以根據(jù)余弦定理cosC='「+"-c-=一」及ABC中。€（0,兀）可得C==.

2ab23

（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得（6+1卜inA+2sinB="sinC,

2兀與osA

所以(G+1卜in4+2sin，inA+2—sin4+=石(sinA+cosA)=

22

解得sinA+cosA=亞①,

2

因為sit?A+cos2A=1②，①②聯(lián)立可解得sinA=近業(yè)1或近二業(yè)

44

又因為C=,，則A<1,sin2A<5,

、4J（舍去），

所以sin*=約自

18.⑴證明見解析；an=n.

⑵〃=

2

⑴證明：由題知。3+曙=2（1+。3），得（。3-匕1）-（4幻-4）=2,所以｛吮一。；｝是以d-幻=3為

首項，公差為2的等差數(shù)列，即。3-。：=3+（“-1）2=2〃+1,當(dāng)“22時,

a；=(a：-a：_i)+(a3-a；-2)++(@--)+/=2(1+2+〃-l)+"=2x--—+〃=〃。，當(dāng)〃=1時，〃；=1

也符合題意，所以。；=〃2,又4>0所以《,=〃.

（2）解：由題得么-勿_|=",所以打-4=2,4-4=3,，b“-b,i=n，所以

2-1=2+3++〃,.也=1+2+3++”,所以2=硬羅，又”=1時4=1符合該式，故a=若11.

19.(1)立十叵

⑵受

2

(1)因為在直四棱柱中，AB//CD,BBt//CC,,AB?BByB,CDCCt=C,

所以平面A8BM〃平面OCCQ.

如圖，取。。的中點E,連接BE.在矩形中，BE//PDt,

因為BEZ平面AP",平面AP。，所以BE〃平面APR.

取AB的中點G,P8的中點H,連接G",則GH〃4P.

13

取CQ=*CG，CF=-CC,,連接GO,DQ,HQ,EF,BF.

因為8C，C￡>,AB//CD,BC=6,AB=AD=2,

所以AG=GB=Z)C=1,所以HQ〃G。，且HQ=G￡).

所以四邊形OG〃Q為平行四邊形，所以GH〃OQ.

因為灰)〃/。，且ED=FQ,所以四邊形EOQ尸為平行四邊形.

所以E尸〃DQ,所以GH〃跖，所以所〃

因為即(Z平面APR,APu平面APR,所以防〃平面APR.

又BEEF=E,所以平面班?〃平面APR,

所以平面0即為平面BEF.

所以BF,EF分別為平面&與四邊形旦2CG和四邊形GC。。的交線.

因為EF=BF=

所以平面。與四邊形B、BCC1和四邊形交線的長度之和為史上也1.

2

(2)以C為原點,CD所在直線為x軸,C8所在直線為y軸，CC,所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

則C(0,0,0),網(wǎng)0,6,1),僅(1,0,2),A(2,GO).

所以=(-1,-6,2),”=(-2,0,1).

設(shè)平面AP"的一個法向量為〃=（x,y,z）,

”.“=0,-2x+z=0,

則

-x-\/3y+2z=0.

ADtH=0,

=6,2).

取平面48C￡＞的一個法向量為加=（0,0,1）,

則H〃同=前『冬

故平面APDt與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為且.

2

20.（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有90%的把握認(rèn)為“該次大賽是否得滿分”與“性別”有關(guān)；（2）分布列答案

見解析，數(shù)學(xué)期望：0.

（1）2x2列聯(lián)表如下:

男同學(xué)女同學(xué)總計

該次比賽得滿分81119

該次比賽未得滿分12921

總計202040

所以，片=40x(8x9-11x12)2

?0.902<2.706,

19x21x20x20

所以沒有90%的把握認(rèn)為“該次大賽是否得滿分”與“性另小有關(guān).

（2）X的可能取值為-2,-1,0,1,2.

13711

P（X=-2）=mP（X=T）=GP（X=0）=mP（X=l）=M，P（X=2）=歷,

則X的分布列為

X-2-1012

13711

r

201020510

13711

所以E（x）=（—2）x——十（—l）x二-+0X——+1X—+2x—=0.

V7V720V71020510

21.（I）---y2=l

3

（2）是定值史.

2

⑴△環(huán)馬的面積為4,則S△臉=g恒用|y』=gx2cx2=4,得c=2.由離心率為歲，得e=?=￥,

解得。=石，所以62=02一片=1,所以C的方程為5-

（2）為定值.

設(shè)Q（%,%）,由題意可知，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為）-%=%（了-毛）.

丫2Y2所以在第一象限內(nèi)丁=業(yè)二

由^—y2=1?可得y2=L_]=上=

3.33&

,2xx7工0

所以"2"&-3="6-3'故出也，

因為苧一卻1,所以4-3=3%八房膜器

代入直線/的方程，得)一%=棄(》一%).

?)

即x°x-3%y=x；-3y：.由,-),；=],可得石-3第=3,所以直線/的方程為公-3%>=3,即

產(chǎn)C.

3%、7

因為直線AK的方程為x=2,所以直線/與直線AF,的交點M的坐標(biāo)為￡,學(xué)二^.

I3%)

X3

2Q320-

直線/與直線=5的交點N的坐標(biāo)為

53%

所以阿閭=J(2-2>+(0-爭二2天—3

3%

1b"玉…。+4-6盾-12X。+9

2一T3^

■>/324—3=乎|網(wǎng).

F3%

所以需二歲即睛的值為定值今

22.(1)(i)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,白)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+8)；(ii)(l,e)(e,伏);

(2)證明見解析

丫27，/\2x,2'—x2?2'In2x(2-xln2)

(1)(i)由〃=2時，咐卜全且工〉。，則〃(町=----y--------