山東省濰坊市2022-2023學年高一年級下冊期末數(shù)學 含解析

高一數(shù)學試卷

本試卷共4頁.滿分150分,考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號.姓名.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

i

z=-----

1.已知復數(shù)l—i（i為虛數(shù)單位），貝I的虛部為（）

1.1.一1

A.—IB.1C.-D.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的除法運算化簡z,由此求得z的虛部.

iz（l+z）-1+z11.i

【詳解】Z-=（M（M=-=-2+2z-故虛部為1

故選：C

【點睛】本小題主要考查復數(shù)的除法運算，考查復數(shù)虛部的概念，屬于基礎題.

2.已知向量a=（1,3）力=（3,2）,若a上b，則實數(shù)2的值為（）

A.7B.3C.-1D.-3

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量垂直的坐標運算即可求出結果.

【詳解】因為a=（l,3）,b=（3,/l）,又aj_b，

所以3+34=0,解得;1=—1,

故選：C.

3.在平面直角坐標系xQy中，若角a的終邊經(jīng)過點”(-1,2),貝i」sin15+aj=()

ARV5「后n2>/5

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義求出cosa=-好，再利用誘導公式即可求出結果.

5

【詳解】角a終邊經(jīng)過點M(—l,2),所以cosa=]甘彳=—9,

又5抽(]+&)=(：0$<7,所以sin(]+a)=—咚，

故選：B.

4.已知水平放置的平面圖形A8CO的直觀圖如圖所示，其中

AB'HD'C',ZD'A'B'=45°,A'B'=3,CZ>'=1,AD=1,則平面圖形ABC。的面積為()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形A8C0的形狀，求出上下底邊邊長，以及高，然

后求出面積

【詳解】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，直觀圖中4。平行于V軸，AD=\'43,在f軸上,

AB'//D'C',A'B'=3,C'￡>'=1

則原平面圖形ABC。中平行于V軸，A8在x軸上，AB//DC

從而有ADSAB，且4)=2477=2,AB=3,CD=\,如圖所示,

【答案】D

【解析】

【分析】設4?=。，先利用余弦定理求出AC=再根據(jù)題意建立方程求出a=2,再利用正弦定理

即可求出結果.

【詳解】設則3c=2a,因為ACD為等邊三角形，所以NA3C=120。，

在中，由余弦定理得到，AC2=a2+4a2-2ax(2a)xcosl20°=la2,所以AC=J7a，

由題有￡)C+8C-AD=AC-8。，所以axJ7a+2ax=6*，解得。=2,所以

AC=2行

由正弦定理知，———=2s=2r，解得2r=生巨，

sinZABCsin12003

故選：D.

8.在二ABC中，已知AC+8A-8d=2cA?CB，則內(nèi)角。的最大值為()

兀兀兀2兀

A.-B.-C.—D.—

6433

【答案】C

【解析】

【分析】由定義法用邊和角表示已知條件中的向量數(shù)量積，利用余弦定理化簡，再利用不等式的性質(zhì)求

cosC的最小值，可得角C的最大值.

【詳解】JSC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,

由AB-AC+BA-BC-2CA-CB-becosA+accosB-labcosC.

由余弦定理得。2+。2-。2+。2+c.2一/72=2("+/-2),即=202.

則cosC="+""c型=1,當a=o=c時，cose取到最小值

2ab4ab4ab22

所以角C的最大值為三.

3

故選：C

二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)z=a+(a+l)i(aeR),則()

A.若zwR，則。=-1

B.若z是純虛數(shù)，則。=0

C.若a=l,則7=1+2i

D.若a=3,貝生|=5

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的概念判斷A、B,根據(jù)共物復數(shù)判斷C,根據(jù)復數(shù)的模判斷D.

【詳解】因為z=a+(a+l)i(aeR),

對于A：若zeR，則a+l=0,解得。=-1,故A正確；

<2=0

對于B：若z是純虛數(shù)，則《解得。=0,故B正確；

口+1工0

對于C：若。=1,則z=l+2i,所以［=1—2i，故c錯誤；

對于D：若。=3,則z=3+4i,所以忖=力2+42=5,故D正確；

故選：ABD

10.某球形巧克力設計了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克

力相切，與包裝盒接觸的6個球形巧克力與圓柱形包裝盒側面及上下底面都相切，如圖是平行于底面且

過圓柱母線中點的截面，設包裝盒的底面半徑為R，球形巧克力的半徑為『，每個球形巧克力的體積為

匕，包裝盒的體積為匕，則()

A.R=3rB.R=6r

C.匕=9匕D.2匕=27K

【答案】AD

【解析】

【分析】從截面圖可得R與，?的關系，由球和圓柱的體積公式計算乂和匕，判斷選項.

【詳解】由截面圖可以看出，圓柱的底面直徑是球形巧克力直徑的3倍，即可得R=3r，

圓柱的高等于球形巧克力的直徑，即。=2〃，

K=4無尸,匕=兀7?2〃=1871r3,則有2匕=27vl.

故選：AD

11.已知函數(shù)/(x)=tan(2s用(0>0)的最小正周期是：，則()

A.0=2

B《一卦倘

C.f(x)的對稱中心為(?+記',0卜女￡Z)

(TTITj

D./(力在區(qū)間內(nèi),§上單調(diào)遞增

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)條件求出&=1,從而得到/(x)=tan(2x-C),再對各個選項逐一分析判斷即可得出結

6

果.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=tan(2&x-彳卜0>0)的最小正周期是,，所以7=向=曰，

兀

又力>0,得到0=1,所以/(x)=tan(2x-z)，

6

選項A,因為0=1,故選項A錯誤；

選項B,因為/(-肉=tan(-1)=-tanf>/(y)=tan(翳=-tan蝶),

711In7171117t

又0<—<——<-,由丁=1211》的性質(zhì)知，tan-<tan——，

3302330

所以《-耐>/(第，故選項B正確；

選項C,由2x—色=@(%GZ),得到x=@+2(%eZ),

62412、'

所以/(x)=tan(2xj)的對稱中心為［"+jo］(ZeZ),故選項c正確；

選項D,當無/石,彳］時，2x—1€(0,7)，由丁=tanx的性質(zhì)知，/(x)在區(qū)間［w］上單調(diào)遞

\123J62\123y

增，故選項D正確.

故選：BCD.

12.東漢末年的數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關系給出了勾股定理的證明，后

人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1,它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過

類比得到圖2,它由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形OEF拼成的一個大等邊三角形ABC,則

()

A.這三個全等的鈍角三角形可能是等腰三角形

B.若A8=SOP，則

sn

C.若AF=3,sin/CAE=*，則￡F=2

14

D.若DE=；BE,則三角形A8C的面積是三角形。瓦1面積的19倍

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)三個全等的鈍角三角形及一個小等邊三角形DEF,應用正弦定理及余弦定理分別判斷各個選

項即可.

【詳解】選項A,若三個全等的鈍角三角形是等腰三角形，則Ab=CE=BE=CE=A￡)=BD,

從而三點重合，不合題意，故A錯誤；

在AABD中,不妨設AB=sJlDF=5，

由余弦定理=8萬+（BZ）+f）-2BD（BD+r）cosl20，

7產(chǎn)=必+（BD+t\+BD\BD+t）

解得BD=t,BD=OE,故B正確；

5、6

在△AC尸中，sinZCAF=—.而NAEC=120,

14

所以cosZCAF=Vl-sin2ZC4F=—,

14

sinNACE=sin（60-ZCAF）=sin60cosZCAF-cos60sinZCAF=

CFAF

由正弦定理得,解得C「=5,

sinZCAFsinZACF

又因為AF=EC=3,所以EF=CF-EC=2,故C正確;

若DE=LBE,設DE=LBE=m,BE=AD=3m,BD=2m,

33

在△ABO中，AB2=BD：+AD2-2B￡>-A￡>cosl20=19療，

1、八i八

s=-ABBCsin60=19m2x—7,S=-DF■￡>Esin60?=m2x，

AoRCr24Lft,r24

所以H"C=19SOEF，故D正確.

故選:BCD.

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.

13.請寫出一個周期為兀的偶函數(shù)〃x)=.

【答案】cos2%(答案不唯一)

【解析】

【分析】只要寫出一個滿足題意的函數(shù)即可.

【詳解】由/(x)=cos2x的周期為：7寧=1=兀，

且/(—x)=cos(—2x)=cos2x=/(x),

故/(x)=cos2x為一個周期為兀的偶函數(shù)，

故答案為：cos2%(答案不唯一).

14.已知點A(2,l),向量04繞原點。順時針旋轉3得到向量08,則點8的坐標為.

【答案】(1,-2)

【解析】

【分析】設3（x,y）,由。8_L。4，|OB|=|OA|,結合點B所在象限，可求坐標.

倒=煙，即+y=0

【詳解】設B（x,y）,由題意有06_L04,

由旋轉方向可知點B第四象限，即x>0,y<0,

X=1

解得,所以點8的坐標為（1,-2）.

〔y=一2

故答案為：（1,-2）.

（兀、'JI

15.已知cos。+cos6+一一,ee[o,5，則sin8=

I3J3

【答案】牛

【解析】

【分析】利用兩角和的余弦公式得到cos（6+W71）=g

,即可求出sin-I,再根據(jù)

6

sine=sin—￡71利用兩角差的正弦公式計算可得.

6

/、

=-^-,即6,

【詳解】因為cose+cose+~cos0+cos0cos--sin^sin—

I3j333

所以3cos。一迫^sin。=

―,所以百—cos^--sin^

22

2237V

71

0/1+—兀s.in?！?/p>

66

2727311276-1

---------X----------------X—=-----------------

32326

故答案為：馬區(qū)二1

6

16.將半徑均為2的四個球堆成如圖所示的“三角垛”，則由球心A,B,C,。構成的四面體的外接球的表

面積為，若該三角垛能放入一個正四面體容器內(nèi)，則該容器棱長的最小值為.

【答案】24K②.4+4〃

【解析】

【分析】正四面體補形成一個正方體，利用正方體對角線，求外接球的半徑和表面積如；利用正四面體

中心到底面的距離與棱長的關系，列方程求容器棱長的最小值.

【詳解】由球心A,B,C,。構成的四面體是正四面體，其棱長為4,

將正四面體補形成一個正方體，正方體的棱長為2正，正四面體的棱是正方體各面的對角線，如圖所

則正四面體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，即外接球的半徑/?=痛，外接球的表面積為

S=4K/?2=24兀.

對于正四面體38中，若邊長為。為正四面體外接球球心，”是正四面體底面三角形的中

心，如圖所示，

c

由于M為CQ的中點，所以

2

則AH=yjAB2-BH2=—a>

333

設外接球的半徑為R，則。4=03=R,

Rt30〃中，R2=B*（AH-R『,解得R=^a，

所以0H=AH-R=^a.，即正四面體的中心。到正四面體底面的距離為亞〃，

1212

半徑均為2的四個球堆成的“三角垛”，由球心A,B,C,。構成的四面體，棱長為4,該三角垛能放入一

個正四面體容器內(nèi)，

則該容器棱長的最小值時，此時每個小球均與正四面體的面相切，任意兩個小球外切，

設這個正四面體容器棱長為/,則有X&/="x4+2,

1212

解得/=4+4"，則該容器棱長的最小值為4+4指.

故答案為：24兀；4+4".

【點睛】方法點睛：正四面體的外接球問題，經(jīng)常把正四面體補形成正方體，利用正方體的對角線為外

接球的直徑，可減少運算量；與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時要認真分析圖

形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，找到等量關系列出算

式.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知i是虛數(shù)單位，設復數(shù)Z1=l+i,Z2=m—2i（/〃eR）.

（1）若Z1+z?=2-i,求實數(shù)機的值；

（2）若z「Z2在復平面上對應的點位于右半平面（不包括虛軸），求實數(shù)心的取值范圍.

【答案】（1）1（2）m>-2

【解析】

【分析】（1）利用復數(shù)相等的條件即可求出結果；

（2）利用復數(shù)的四則運算求出Z「Z2,再根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到Z1『2對應的點，從而求出結果.

【小問1詳解】

因為％=l+i,Z2=w-2i（根eR）,所以馬+z2=l+m-i,

又Z]+Zz=2-i,所以1+,〃=2,解得m-\.

【小問2詳解】

因為Zj-l+i,z2=m-2i（/neR）,所以z1-z2=/M-2i+mi-2i?=m+2+（,”-2）i,其在復平面上對

應點為（加+2,加一2）,

所以m+2>0,得到相>-2.

18.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知點A（3,4）,3（—2,2）,且四邊形Q4BC平行四邊

形.

（1）求點C的坐標及k4；

（2）若點P為直線0B上的動點，求PA-PC的最小值.

【答案】（1）C（-5,-2）,|AC|=10.

（2）-25

【解析】

【分析】（1）Q48C是平行四邊形，利用OC=AB求出點。的坐標，可得AC的坐標及|AC|；

（2）設點尸的坐標，表示出PA-PC，結合函數(shù)思想求最小值.

【小問1詳解】

如圖所示，

設C點坐標為(x,y),則OC=(x,y),Afi=(-5,-2),

x=-5

因為四邊形Q4BC是平行四邊形，0C=A8,則有｛.，所以C（—5,—2）,

。=-2

可得AC=（—8,-6）,|AC|=10.

【小問2詳解】

由題意直線08的方程為）=一％,設P（a,一。），

則=(3—a,4+a),PC=(-5—a,—2+a),

所以P4PC=(3-a)(—5-a)+(4+a)(—2+a)=2a2+4a—23=2(a+l)2-25,

故當a=-l,點P坐標為(-1,1)時，PA-PC取得最小值-25.

19.已知LABC的內(nèi)角A6,C所對的邊分別為a,仇c,tanB=咽G±!.

tanC-1

(1)求A；

（2）若cosB=±叵為=血，求邊

10

【答案】（1）-

4

（2）4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩角和差的正切公式結合角的范圍即可求解;

（2）利用兩角和的正弦公式，結合正弦定理可求得c.

【小問1詳解】

〃兀

,廠1tanC+tan—,、

tanB=------?-=-------------=-tanfC+—=-tan(n-B),

tad1-tanCxtan^(4

4

3￡(0,兀),?！?0,兀)，3+0+：=兀，

A兀

:,A=—

4

【小問2詳解】

cosB=3ycos28+sin28=1,8￡(0,兀),二sinB=,

10v710

所以9=2配一乙(keZ),又M<g,所以租=苫，

323

所以/(X)=2cos

【小問2詳解】

將〃x)的圖象向左平移.個單位可得到函數(shù)g(x)=2cos(2x+m)的圖象，

方程g%x)+(2-m)g(x)+加一3=0,可得[g(x)-(加一3)][g(x)-l]=0,

可得g(x)=l時,cos(2尤+所以％=0；

所以g(x)=m-3在xw。弓有兩個不相等的實數(shù)根，

即>=8(%)與丁=加-3的圖象在xe0段有兩個不同的交點，畫出它們的大致圖象，

由圖象可得，—2</%—34一1,所以lv/n<2.

:°\=廿g(xji*

21.如圖，在正六棱錐P—ABCDE下中，球O是其內(nèi)切球，AB=2,PC=5/百，點M是底面

ABCDEF內(nèi)一動點(含邊界)，且OM=OP.

公

(1)求正六棱錐P-ABCDEF的體積；

(2)當點M在底面ABC。跖內(nèi)運動時，求線段所形成的曲面與底面ABCD瓦'所圍成的幾何體

的表面積.

【答案】⑴6百

（2）（3+26）兀

【解析】

【分析】（1）由正六棱錐的結構特征，結合已知數(shù)據(jù)，求出底面積和高，可求體積；

（2）由=可得所示兒何體的圓錐，求出底面半徑和母線長，可計算表面積.

【小問1詳解】

設。?是底面的中心，連接P。，。。，

底面A6CDE尸為正六邊形，可知△QBC為等邊三角形，OlC=OlB=2,

S0回=3?？?。。$皿N8℃=gx2x2x*=6

在Rtpqc中，PO、=c02_m2=3,

在正六邊形ABCDEF中，5AB=6s0肛=6G，

所以％.ABCOEF-~X6\/3x3=673.

［小問2詳解］

FV

AB

取8C的中點N,連接ON,O、N,PN,

設正六棱錐P—A5C0EE的內(nèi)切球與側面P8C相切于點“，可知H在PN上，連接OH,

等邊三角形中，O\N=6

在RtPRN中，PO［=3,O、N=上,則PN=2jL所以NOPH=30"，

設內(nèi)切球。的半徑為r,則。a=OH=r,由PO=2O”,得3-r=2r,所以r=l,

所以0M=0P=2,

在RtOO|N中，ON=d（）O；+O\N2=2,所以ON=OM,

所以點M在六邊形ABCDEF中，且以。?為圓心6為半徑的圓上，

所以點M在底面ABCDEF內(nèi)運動時，線段所形成的曲面與底面ABCD跖所圍成的幾何體為圓

錐，

圓錐底面半徑為G，母線長為2,

此幾何體的表面積為3兀+gx2x7rxJ5x2=（3+26）兀

【點睛】方法點睛：圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表

面積是側面積與底面圓的面積之和.與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時要認真

分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，找到等量關系

列出算式.

22.已知的內(nèi)角所對邊分別為a,上c.若內(nèi)部有一個圓心為尸，半徑為古米的圓，

它沿著.ABC的邊內(nèi)側滾動一周，且始終保持與三角形的至少一條邊相切.

（1）若一ABC為邊長是16米的等邊三角形，求圓心P經(jīng)過的路程；

（2）若用28米的材料剛好圍成這個三角形，請你設計一利'ABC的圍成方案，使得圓心P經(jīng)過的路程

最大并求出該最大值（若a*,c為正數(shù)，則a+O+cN3V詼，當且僅當。=力=。時取等號）.

【答案】（1）30米

28

（2）圍成三角形為邊長是三米的等邊三角形時，圓心P經(jīng)過的路程最大，最大值為10米

【解析】

【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到A￡>=AE=3G=M=CH=C/=3,即可得解；

（2）依題意=BG=BF=^^c“=a=^^,則圓心p走過的路程

tan——tan——tan——

222

/\

L=a+b+c-2金^+[^+上？，再由誘導公式、兩角和的正切公式及基本不等式得到

ABC

tan——tan——tan—

I222

]11c國

ABC,即可求出L的最大值.

tan—tan—tatn一

222

【小問1詳解】

71

如下圖，因為..ABC是等邊三角形，所以44=/B=/C=—,

3

比.百*AO=AE=-^BG=BFCH=CI=

依題屈、A，B，C，

tan——tan——tan——

2