湖北省黃岡市黃梅縣部分學校2023-2024學年八年級上學期第一次月考數(shù)學試卷

2023-2024學年湖北省黃岡市黃梅縣部分學校八年級第一學期第

一次月考數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列各組線段中，能構成三角形的是（）

A.2,5,7B.9,3,5C.4,5,6D.4,5,10

2.如圖，在△A8C中，ADA.AB,有下列三個結論：①是△ACQ的高；②AQ是△A8D

的高；③是△ABC的高.其中正確的結論是（）

A.①和②B.①和③C.②和③D.只有②正確

3.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運用的數(shù)學原理是（）

B.兩點確定一條直線

C.兩點之間線段最短

D.三角形的兩邊之和大于第三邊

4.如圖，在△ABC中，。為8c上一點，Z1=Z2,Z3=Z4,ZBAC=108°,則ND4C

的度數(shù)為（）

A.78°B.80°C.82°D.84°

5.在AABC和△OEP中，下列條件不能判斷這兩個三角形全等的是（）

A.=BC=EF,AB=DE

B.ZA^ZD,AB=DE,AC^DF

C.AB=DE,AC=DF,BC=EF

D.ZC=ZF=90°,AB=DE,AC=DF

6.如圖，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=()

A.480°B.500°C.540°D.600"

7.如圖，在△ABC中，NBAC=60。，/8C￡=40。，AC平分N84C,CEJ_AB于點E,

則NAOC的度數(shù)為()

8.如圖，過點C作垂足為。，若N43W=55°,則NBCZ）

的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

9.如圖，把△ABC紙片沿OE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則/A與N1+/2

之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，這個規(guī)律是（）

B

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2

C.3ZA=2Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

10.如圖，在△4BC中，ZBAC=9QQ,AO是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD

于點G,交BE于點H,以下結論：①&ASE=SABCE;②NAFG=/AGF；③NE4G=2

ZACF；?AF=FB.其中正確結論的個數(shù)有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，AABC^AADE,AB=8,AC=5,BC=6,貝ljC￡）=.

12.如圖，五邊形ABCDE的一個內(nèi)角NA=110°,則/1+N2+N3+/4等

13.如圖，點E、F分別為80、CE的中點，若△ABC的面積為32,則陰影部分△AEF的

面積是

14.如圖，點￡>,E分別在線段A8,4c上，CD與BE相交于。點，已知AB=AC,若要

判定△ABEg/VlCZ）,則需添加條件.（只要求寫出一個）

15.如圖，B力是△ABC的角平分線，AELBD,垂足為F,連結OE.若/ABC=36°,Z

16.如圖，在△ACQ中，ZCAD=90Q,AC=6,AD=8,AB//CD,E是CD上一點,BE

交A。于點凡若EF=BF,則圖中陰影部分的面積為.

X

CED

17.一個多邊形截去一個角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原多邊形邊數(shù)

為.

18.如圖，在△ABC中，/A=64°,ZABC與/AC￡>的平分線交于點Ai,則

=；NABC與N4CD的平分線相交于點A2,得NA?；…；NA“-iBC與N4

iCD的平分線相交于點A,”要使NA“的度數(shù)為整數(shù)，則〃的值最大為.

三、解答題（本題7小題，共66分）

19.己知一個〃邊形的每一個外角都等于30°.

(1)求"的值.

(2)求這個，邊形的內(nèi)角和.

20.己知：如圖，點A、D、B、E在同一直線上，AC=EF,AD=BE,BC=DF.求證：Z

ABC=NEDF.

21.如圖，在△ABC中，ZB=30°，ZC=65°,AE_LBC于E,A。平分N54C,

(1)求/D4E的度數(shù)；

(2)如圖②，若把“AELBC”變成“點尸在。A的延長線上，F(xiàn)ELBC",其它條件不

變，求NOFE的度數(shù).

②

22.如圖，在△ABC中，。為A3上一點，E為AC中點，連接OE并延長至點凡使得EF

=ED,連CF.

(1)求證：CF//AB-,

(2)若/ABC=50°,連接B￡,BE平分NA8C,AC平分NBCF,求N4的度數(shù).

23.如圖，DEJ_AB于E,OF_L4C于尸，若8O=CD,BE=CF.

(1)求證：△BOE絲△CQF；

(2)已知AC=12,BE=2,求AB的長.

E

R

24.如圖，已知AO〃BC一點E為C。上一點，AE,BE分別平分/D4B、ZCBA,BE交

AD的延長線于點F.

(1)求證：/XABE^^AFE；

(2)求證：AD+BC=AB.

25.在四邊形ABCD中.

(1)如圖1,AB=AD,ZABC=ZADC=90Q,E,F分別是BC,CD上的點，且/EAF

=/NOAB,探究圖中EF,BE,DF之間的數(shù)量關系.

小林同學探究此問題的方法是：延長CB到點G,使8G=。尸.連接AG,先對比△A8G

與△4。尸的關系，再對比aAE尸與△4EG的關系，可得出EF、BE、DF之間的數(shù)量關

系，他的結論是:

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，A8=A￡>,ZB+ZADF=180°,E、/分另lj是BC,CD

上的點，且則上述結論是否仍然成立，請說明理由.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=\S0°,AB=AD,若點尸在CB的

延長線上，點E在CD的延長線上，若EF=BF+DE,請寫出NE4F與ND4B的數(shù)量關

系，并給出證明過程.

G

圖I圖2圖3

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列各組線段中，能構成三角形的是（）

A.2,5,7B.9,3,5C.4,5,6D.4,5,10

【分析】根據(jù)三角形的三邊關系定理逐項判斷即可得.

解：三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊.

A、2+5=7,不能構成三角形，此項不符題意；

B、3+5=8<9,不能構成三角形，此項不符題意；

C、4+5>6,能構成三角形，此項符合題意；

D、4+5<10,不能構成三角形，此項不符題意.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的三邊關系定理，熟練掌握三角形的三邊關系定理是解題關

鍵.

2.如圖，在AABC中，AD1AB,有下列三個結論：①是△ACD的高；②AZ）是△ABO

的高；③AO是AABC的高.其中正確的結論是（）

A.①和②B.①和③C.②和③D.只有②正確

【分析】從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.

解：根據(jù)題意知，從△A8。的一個頂點。向底邊AB作垂線，垂足A與頂點。之間的線

段叫做三角形的高.即AZ）是△A8。的高，即②正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了三角形的角平分線，中線和高，掌握三角形的高的概念即可解

題，屬于基礎題.

3.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤8c可將其固定，這里所運用的數(shù)學原理是（)

A.三角形具有穩(wěn)定性

B.兩點確定一條直線

C.兩點之間線段最短

D.三角形的兩邊之和大于第三邊

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可.

解：一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定

性，

故選：A.

【點評】本題考查的三角形的性質，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵.

4.如圖，在△A2C中，D為BC上一點,Z1=Z2,Z3=Z4,ZBAC=108°,則NOAC

的度數(shù)為（）

【分析】設Nl=/2=x,利用三角形內(nèi)角和定理構建方程求出x即可解決問題.

解：設/l=/2=x,

VZ4=Z3=Zl+Z2=2x,

...ND4c=180°-4x,

108°,

.,.x+1800-4x=108°,

：.x=24°,

AZDAC=180°-4X24°=84°.

故選：D.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題.

5.在AABC和中，下列條件不能判斷這兩個三角形全等的是（）

A.ZA=ZD,BC=EF,AB=DE

B.ZA=ZD,AB=DE,AC=DF

C.AB=DE,AC=DF,BC=EF

D.ZC=ZF=90°,AB=DE,AC^DF

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL,進行判斷即可；

解：4利用SSA,不能判斷兩個三角形全等，符合題意；

B、利用SAS,得到兩個三角形全等，不符合題意；

C、利用SSS,得到兩個三角形全等，不符合題意；

。、利用HL得到兩個三角形全等，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查全等三角形的判定.熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關

鍵.

6.如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=()

A.480°B.500°C.540°D.600°

【分析】由四邊形的內(nèi)角和得，Z2+Z3+Z5+Z8=360°,Z6+Z7+Z9+Z10=

360°,再根據(jù)N8+N9=180°,Z1O=Z1+Z4,代入整理即可.

解：如圖,

由四邊形的內(nèi)角和得，Z2+Z3+Z5+Z8=360°,Z6+Z7+Z9+Z10=360°,

/.Z2+Z3+Z5+Z8+Z6+Z7+Z9+Z10=720o,

VZ8+Z9=180°,Z1O=Z1+Z4,

AZl+Z2+Z3+Z5+Z4+Z6+Z7=720°-180°=540°,

故選：C.

【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質是解

題關鍵.

7.如圖，在△ABC中，ZBAC=60°,ZBCE=40°,AO平分NBAC,CE_LAB于點E,

則/ADC的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出與NBAD的度數(shù)即可求

解.

解：'JCELAB,

：.ZBEC=90°,

:NBCE=40°,

.,.ZB=50°,

VZBAC=60°,AO平分NBAC,

AZBAD=—ZBAC=30a,

2

AZADC=ZB+ZfiAD=80°.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角定理以及角平分線的定義，熟練

掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵.

8.如圖，△ABC四△ABC,過點C作CD_LBC,垂足為。，若NA8A'=55°,則NBC。

的度數(shù)為（)

c

A.25°B.35°C.45°D.55°

【分析】根據(jù)全等三角形的性質得出NABC=NA'BC,可得NOBC=NABA=

55°,根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出答案即可.

解：V

：.ZABC=BC,

：.ZABC-ZA;BC=NA'BC'-NA'BC,

；.N￡)BC=NABA'=55°,

；CDLBC,

：.ZBCD=90°-NO8c=35°,

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的性質和垂線的性質，能熟記全等三角形的對應角相等

是解此題的關鍵.

9.如圖，把△A8C紙片沿QE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則NA與N1+N2

之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，這個規(guī)律是()

C.3ZA=2Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。以及四邊形的內(nèi)角和為360。得到幾個角之間的等

量關系，整理化簡即可得到所求角之間的關系.

解：?.?在△ABC中，/4+NB+/C=180°①；

在△ACE中NA+/ACE+NAE￡)=180°②；

在四邊形3cZ）E中/B+/C+N1+N2+NAQE+NAED=36O°③；

.?.①+②-③得2/A=/l+N2.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及翻折變換，解題的關鍵是求角的度數(shù)常

常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件.

10.如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD

于點G,交BE于點H,以下結論：?S^ABE^S^BCE;②ZA/GuNAGE③/E4G=2

NACF；?AF=FB.其中正確結論的個數(shù)有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)三角形中線的性質可證明①；根據(jù)三角形的高線可得NABC=NCAO,利

用三角形外角的性質結合角平分線的定義可求解N4FC=NAG凡可判定②；根據(jù)角平

分線的定義可求解③；根據(jù)已知條件無法判定④.

解：是△ABC的中線，

：.AE=CE,

...△A8E的面積等于aBCE的面積，故①正確；

???A力是△A8C的高線，

/.ZADC=90°,

，NA8C+N8AO=90°,

VZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAD=90°,

：.ZABC^ZCAD,

為aABC的角平分線，

ZACF=ZBCF=—ZACB,

2

ZAFC=NABC+NBCF,ZAGF=ZACF+ZCAD,

：.ZAFC=ZAGF=ZAFG,

故②正確；

VZBAD+ZCAD=ZACB+ZCAD=90°,

：.ZBAD=ZACD,

:./BAD=2/ACF,

即NE4G=2/ACF,故③正確；

根據(jù)已知條件無法證明AF=F8,故④錯誤，

...正確結論的有①②③，共3個.

故選：B.

【點評】本題主要考查三角形的中線，高線，角平分線，靈活運用三角形的中線，高

線，角平分線的性質是解題的關鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，/^ABC^/XADE,AB=8,AC=5,BC=6,則CD=3.

【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答即可.

解：/\ABC^/\ADE,AB=8,AC=5,BC=6,

：.AD=AB=S,

:.CD=AD-4c=8-5=3,

故答案為：3.

【點評】此題考查全等三角形的性質，關鍵是根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答.

12.如圖，五邊形ABCOE的一個內(nèi)角NA=110°,則/1+/2+/3+N4等于290°

【分析】根據(jù)NA=I1O°，所以/A的外角為180°-110°=70°,用五邊形的外角和

減去70。即可解答.

解：VZA=110°,

的外角為180°-110°=70°,

；./1+/2+/3+/4=360°-70°=290°,

故答案為：290°.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關鍵是得出的外角度數(shù)及外角和為

360°.

13.如圖，點E、尸分別為B。、CE的中點，若△A8C的面積為32,則陰影部分尸的

面積是8

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可.

【解答】解是8。的中點，

?'?S^ADE—S&ABE>SACDE=SABCE,

SAAC￡=SAAD肝SACDE=SAAB/SABCE=~S&ABC=16,

?.?/是CE的中點，

S^AEF=~~S/\ACE=8,

2

故答案為：8.

【點評】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相

等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等.

14.如圖，點。，E分別在線段48,4c上，CD與BE相交于。點，已知A8=AC,若要

判定△A8E絲△AC。，則需添加條件AD=AE.（只要求寫出一個）

【分析】添加條件：AD=AE,再由已知條件AB=AC和公共角NA可利用SAS定理證明

解：添加條件：AD=AE,

在△AEB和△ADC中，

，AD=AE

<ZA=ZA-

AB=AC

:.XABEmMACD(SAS),

故答案為：AD=AE.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方

法有：SSS、SAS,ASA,AAS.HL.

15.如圖，BO是△ABC的角平分線，AE±BD,垂足為F,連結OE.若48C=36°,Z

【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出/BAC的度數(shù)，由BD平分/

ABC,利用角平分線的定義，可求出NAB。的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和

定理，可求出NBA尸的度數(shù)，再結合NEAO=NBAC-/BA凡即可求出NE4O的度

數(shù).

解：在△43C中，N43C=36°,ZC=44°,

：.ZBAC=\S0°-AABC-ZC=180°-36°-44°=100°.

???BD平分N4BC,

：.ZABD^—ZABC^—X36Q=18°.

22

'：AELBD,

：.ZAFB=90°,

AZBAF=90°-ZABD=90a-18°=72°,

：.ZEAD^ZBAC-ZBAF=100°-72°=28°.

故答案為：28°.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記“三角形內(nèi)角和是

180°”是解題的關鍵.

16.如圖，在△ACO中，NC4O=90°,AC=6,AO=8,AB//CD,E是CD上一點,BE

交AO于點F,若EF=BF,則圖中陰影部分的面積為24.

X

CED

【分析】證明△BAF會△笈>/(A4S),貝ijS△胡產(chǎn)以陽，利用割補法可得陰影部分的面

積.

解：-：AB//CD,

：.4BAD=4D,

在產(chǎn)和△￡：￡)/中，

,ZBAD=ZD

<ZAFB=ZDFE-

BF=EF

:.△BAF9XEDF(AAS),

S^BAF=S^DEFf

圖中陰影部分的面積=S四娜ACEF+SAAFBMSAACDM^^AOADM/X6X8=24.

故答案為：24.

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質，三角形的面積，熟練掌

握全等三角形的判定是關鍵.

17.一個多邊形截去一個角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原多邊形邊數(shù)為

15,16,17.

【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相

等，多1,少1三種情況進行討論.

解：設新多邊形的邊數(shù)是〃，則(〃-2)780°=2520°,

解得〃=16,

?.?截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多1或少1,

二原多邊形的邊數(shù)是15,16,17.

故答案為：15,16,17.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，難點在于截去一個角后的多邊形與原多邊形

的邊數(shù)相等，多1,少1,有這么三種情況.

18.如圖，在△ABC中，NA=64°,ZABC與NACZ)的平分線交于點4,則NA=

32°；N4BC與N4CO的平分線相交于點4,得/A2；…；NA”一出C與/4“一

的平分線相交于點A“，要使NA“的度數(shù)為整數(shù)，則〃的值最大為6

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得N4CD=N4+N

ABC,ZAiCD^ZAi+ZAiBC,根據(jù)角平分線的定義可得/48C=/NABC,ZAiCD

=—ZACD,然后整理得到/4=上乙4,由/4C￡)=N4+NAi8C,ZACD^ZABC+

22

/A,而AiB、A\C分別平分/ABC和/AC。，得到N4CD=2N4CO,/ABC=2N

A\BC,于是有NA=2NAi,同理可得/4=2/4,即/4=22/4,因此找出規(guī)律.

解：由三角形的外角性質得，ZACD=ZA+ZABC,N4c￡>=N4+N4BC,

VAABC的平分線與N4C。的平分線交于點Ai,

：.ZA\BC^—ZABC,ZAiCD^—ZACD,

22

AZA\+ZA\BC=—(ZA+ZABC)=—ZA+ZA\BC,

22

：.ZA=—ZA=—X64°=32。；

I22

：4B、4c分別平分乙4BC和/AC。，

：.ZACD^2ZAiCD,ZABC=2ZAiBC,

而NAICZ)=/AI+N4BC,ZACD=ZABC+ZA,

.".ZA=2ZAi,

：.ZA,=—ZA,

2

同理可得/4=2/42,

：.ZA^—ZA,

24

/A=2"/4,

I64。

「?NA”=(一)"/A=—,

22n

：的度數(shù)為整數(shù)，

V/?=6.

故答案為：32°,6.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角的和的性質，角平分線的定義，熟記性質并準確識圖然后求出后一個角是前一個角的

《是解題的關鍵.

2

三、解答題（本題7小題，共66分）

19.已知一個〃邊形的每一個外角都等于30°.

（1）求〃的值.

（2）求這個“邊形的內(nèi)角和.

【分析】（1）根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求

出外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)"；

（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可.

解：（1）多邊形的邊數(shù)〃：360°+30°=12,

則n=12.

（2）這個“邊形的內(nèi)角和為：（12-2）X1800=1800°.

【點評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關，由外角和

求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握.

20.已知：如圖，點A、D、B、E在同一直線上，AC^EF,AD=BE,BC=DF.求證：Z

【分析】根據(jù)等式的性質證得AB=E￡>,然后利用SSS證明兩三角形全等即可.

【解答】證明：

：.AD+DB=BE+DB,即AB=ED,

在△A8C和△EOF中，

AC=EF

<AB=ED>

BC=DF

.?.△ABC也△EOF（SSS）,

二NABC=NEDF.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是選擇最合適的方法證明兩

三角形全等.

21.如圖，在△ABC中，ZB=30°,ZC=65°,AE±BC^E,A。平分N8AC,

(1)求ND4E的度數(shù)；

(2)如圖②，若把“AEJ_BC”變成“點F在D4的延長線上，F(xiàn)E_LBC"，其它條件不

變，求NOFE的度數(shù).

①②

【分析】(1)由三角形內(nèi)角和定理可得NBAC=85°,NCAE=25°,由角平分線的性

質可得/C4O=42.5°,即可求得ND4E；

(2)由三角形內(nèi)角和定理可得/BAC=85°,/CGE=25°,從而可得/4GF=/CG￡

=25°,由角平分線的性質可得NCAD=42.5°,從而可得/E4G=137.5°,由三角形

內(nèi)角和定理即可求得NCFE.

解：(1)VZB=30°,ZC=65°,

...N84C=85°,

平分NBAC,

AZCAD=42.5°,

?：AE±BC,

：.ZCAE=25°,

：.ZDAE^ZCAD-ZCA￡=17.5°；

(2)如圖，

VZB=30°,ZC=65°,

：.ZBAC=S5°,

?.?AO平分NBAC,

；./CA￡>=42.5°,

AZFAG=180°-ZCAD=137.5°,

,：EFLBC,

AZCGE=25°,

：.ZAGF^25°,

：.ZDFE=lS0°-NAGF-NE4G=17.5°.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質，解題的關鍵是熟練運用三角形

內(nèi)角和定理，角平分線的性質.

22.如圖，在△ABC中，。為AB上一點，E為AC中點，連接DE并延長至點凡使得EF

=ED,連CF.

(1)求證：CF//AB-,

(2)若/4BC=50°,連接BE,BE平分NA8C,AC平分NBC凡求N4的度數(shù).

【分析】(1)求出△AEDgaCEF,根據(jù)全等三角形的性質得出NA=NACF,根據(jù)平

行線的判定得出即可；

(2)根據(jù)(1)求出/A=/4CB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【解答】(1)證明：:E為AC中點，

：.AE=CE,

在△AED和△CEF中，

'AE=CE

<ZAED=ZCEF，

DE=EF

AAAED^ACEF(SAS),

，ZA=ZACF,

.".CF//AB-

(2)解：:AC平分NBC兄

ZACB^ZACF,

'：ZA^ZACF,

：.ZA=ZACB,

VZA+ZABC+ZACB=180°,ZABC=50°,

...2/4=130°,

AZA=65°.

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定、平行線的性質和判定、三角形內(nèi)角和定

理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

23.如圖，DEVABTE,。尸_LAC于凡若BD=CD,BE=CF.

(1)求證：△BOE絲△C￡>F；

(2)已知AC=12,BE=2,求A(的長.

【分析】⑴由“HL”可證RtADBE^RtADCF；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得到。凡又由OELAB于E,OFJ_AC于凡即可得

出結論.

【解答】(1)證明：-：DE1AB,DFVAC,

:.NE=NDFC=90°,

在RtADBE和Rt/\DCF中，

/BD=CD

(BE=CF，

ARtADBE^RtADCF(HL).

(2)解：VRtADBE^RtADCF,

：.DE=DF,

；Z)E_LAB于E,￡>F_LAC于F,

:.NE=NDFC=90°,

在RtADAE和Rt/XDAF中,

[DE=DF

1AD=AD'

.,.RtADAE^RtADAF(HL),

J.AE^AF,

：AC=12,BE=CF=2,

：.AB=AE-BE=AC-CF-BE=12-2-2=8.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，

證明三角形全等是解題的關鍵.

24.如圖，已知AO〃BC一點E為CQ上一點，AE,BE分別平分/D48、NCBA,BE交

AD的延長線于點F.

(1)求證：

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得Nl=/2,N3=N4,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯

角相等可得N2=/F,然后求出Nl=NF,再利用“角角邊”證明△ABE和△川￡全等

即可；

(2)根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=FE,然后利用“角邊角”證明△BCE和4

FDE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得8c=。凡然后根據(jù)AO+BC整理即可得證.

【解答】(1)證明：如圖，:AE、BE分別平分ND48、NCBA,

.".Z1=Z2,Z3=Z4,

'：AD//BC,

：.Z2=ZF,N1=NF,

在△A8E和△AFE中，

"1=NF

<N3=N4，

AE=AE

A(A4S)；

(2)證明：VAABE^A/IFE,

：.BE=EF,

在△BCE和△下￡>七中，

'N2=NF

<BE=FE，

ZBEC=ZFED

：./\BCE^/\FDE(4SA),

：.BC=DF,

：.AD+BC=AD+DF=AF=AB,

即AD+BC=AB.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握三角形全等的

判定方法是解題的關鍵.

25.在四邊形ABCZ)中.

(1)如圖I,AB=AD,NABC=N4DC=90°,E,尸分別是BC,CD上的點，S.ZEAF

探究圖中EF,BE,力尸之間的數(shù)量關系.

2

小林同學探究此問題的方法是：延長C8到點G,使BG=QF.連接AG,先對比△A8G

與△AOF的關系，再對比△AEF與AAEG的關系，可得出EF、BE、OF之間的數(shù)量關

系，他的結論是EF=BE+DF:

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB^AD,N8+N4D產(chǎn)=180°,E、尸分別是BC,CD

上的點，且NE4尸=/