計(jì)數(shù)原理-2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)夯基固本專項(xiàng)練

（10）計(jì)數(shù)原理

1.5名同學(xué)到甲、乙、丙3個(gè)社區(qū)協(xié)助工作人員調(diào)查新冠疫苗的接種情況，若每個(gè)社區(qū)

至少有1名同學(xué),每名同學(xué)只能去1個(gè)社區(qū)，且分配到甲、乙兩個(gè)社區(qū)的人數(shù)不同，則

不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.60B.80C.100D.120

2.2021年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)以“共圓小康夢(mèng)、歡樂(lè)過(guò)大年”為主題，突出時(shí)代性、人民性、

創(chuàng)新性，節(jié)目?jī)?nèi)容豐富多彩，呈現(xiàn)形式新穎多樣，某小區(qū)的5個(gè)家庭買了8張連號(hào)的

門票，其中甲家庭需要3張連號(hào)的門票，乙家庭需要2張連號(hào)的門票，剩余的3張隨

機(jī)分到剩余的3個(gè)家庭即可，則這8張門票分配到家庭的不同方法種數(shù)為（）

A.48B.72C.120D.240

3.為貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》的文

件精神，某學(xué)校推出了《植物栽培》、《手工編織》、《實(shí)用木工》、《實(shí)用電工》4

門校本勞動(dòng)選修課程，要求每個(gè)學(xué)生從中任選2門進(jìn)行學(xué)習(xí)，則甲、乙兩名同學(xué)的選

課中恰有一門課程相同的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3324

4.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子

算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文

獻(xiàn).這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作

為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著

的概率為（）

A.—B.—C.-D.-

151599

5.現(xiàn)有6家商戶預(yù)租賃某夜市的6個(gè)相鄰的推位，其中3家商戶開特色小吃店，2家商

戶開文創(chuàng)產(chǎn)品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理部門要求特色小吃店必須都相

鄰，且文創(chuàng)產(chǎn)品店不相鄰，則不同的排法總數(shù)為（）

A.48B.72C.144D.96

6.2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕.某學(xué)校社團(tuán)將舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年革命

歌曲展演.現(xiàn)從《歌唱祖國(guó)》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒(méi)有共產(chǎn)黨就沒(méi)有新中國(guó)》4

首獨(dú)唱歌曲和《保衛(wèi)黃河》《唱支山歌給黨聽》《我和我的祖國(guó)》3首合唱歌曲中共

選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排方法共有（）

A.40B.240C.120D.360

7.北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日到20日在北京和張家口舉行.為紀(jì)念申奧成功，中

國(guó)郵政發(fā)行《北京申辦2022年冬奧會(huì)成功紀(jì)念》郵票，圖案分別為冬奧會(huì)會(huì)徽“冬

夢(mèng)”、冬殘奧會(huì)會(huì)徽“飛躍”、冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”及“志愿

者標(biāo)志”.現(xiàn)從一套5枚郵票中任取3枚，則恰有1枚吉祥物郵票的概率為（）

8.（多選）在二項(xiàng)式%--的展開式中，下列說(shuō)法正確的是（）

Ixj

A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項(xiàng)為20D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)

9.（多選）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中

間，則下列選項(xiàng)中恰有8種不同站法的是（）

A.甲、乙都不與老師相鄰B.甲、乙都與老師相鄰

C.甲與老師不相鄰，乙與老師相鄰D.甲、乙相鄰

10.（多選）關(guān)于（2》-1）8的展開式，下列說(shuō)法正確的有（）

A.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為2'

B.展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)

D.展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為-448

11.冬奧會(huì)首金誕生于短道速滑男女混合接力賽，賽后4位運(yùn)動(dòng)員依次接受采訪，曲春

雨要求不第1個(gè)接受采訪，武大靖在任子威后接受采訪（可以不相鄰），則采訪安排

方式有種.

12.在10件產(chǎn)品中有8件一等品，2件二等品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求取到的產(chǎn)品

中至多有一件二等品的概率為.

13.一條街道上共有12盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，決定每天晚上十點(diǎn)熄滅其

中的4盞，并且不能熄火相鄰2盞和首尾2盞，則不同的熄燈方法有種.

14.設(shè)（尤+1）（2尤2—1）=%+qx++L+a]/'.

(1)求小的值；

(2)求g+22%+2乜+1.+2%。的值.

15.將4個(gè)不同的紅球和6個(gè)不同的白球，放入同一個(gè)袋中，現(xiàn)從中取出4個(gè)球.

(1)若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法？

⑵取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)白球記1分,若取出4個(gè)球的總分不少于5分,則有多

少種不同的取法？

(3)若將取出的4個(gè)球放入一個(gè)箱子中，記“從箱子中任意取出2個(gè)球，然后放回箱子中”為

一次操作，若操作三次，求恰有一次取到2個(gè)紅球并且恰有一次取到2個(gè)白球的概率.

答案以及解析

L答案：C

解析：根據(jù)題意，分2種情況討論:①將5人分為1,1,3的三組，此時(shí)5人分三組有

C；=10種分組方法,分配到甲、乙兩個(gè)社區(qū)的人數(shù)不同,有C；A；=4種情況,則此時(shí)

有10x4=40種分配方法;②將5人分為1,2,2的三組，此時(shí)5人分三組有

種分組方法,分配到甲、乙兩個(gè)社區(qū)的人數(shù)不同,有C；A；=4種情況,則此時(shí)有

15x4=60種分配方法.綜上，有40+60=100種分配方法.

2.答案：C

解析：若甲、乙2個(gè)家庭的5張票連號(hào)，則有=48種不同的分配方法，若甲、

乙2個(gè)家庭的5張票不連號(hào)，則有A/A；=72種不同的分配方法，綜上，這8張門票

共有48+72=120種不同的分配方法.

3.答案：B

解析：甲、乙兩名同學(xué)各從4門校本勞動(dòng)選修課程中任選2門的選法共有C；C：=36

種，其中甲、乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的選法共有C；C；C；=24種，所以

74?

甲、乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的概率P=-=-.故選B.

363

4.答案：A

解析：從10部專著中選擇2部的所有可能情況有C；。=45(種).

設(shè)“所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著”為事件A,則A包含的基本

事件個(gè)數(shù)為C；C；+C；=42.由古典概型概率公式可得P(A)=^|=i|.故選A.

5.答案：B

解析：先把3家小吃店捆綁全排共有A；=6種排法，

再把小吃店與玩具店全排共有A；=2種排法，

然后把2家文創(chuàng)店插空全排共有A；=6種排法，

所以共有6x2x6=72種.

故選：B.

6.答案：D

解析：根據(jù)題意，在3首合唱歌曲中任選1首，安排在最后，有3種安排方法，在其

他6首歌曲中任選3首，作為前3首歌曲，有A：=120種安排方法，則有3x120=360

種不同的安排方法，

故選：D.

7.答案：C

解析：一套5枚郵票中吉祥物郵票有2枚，從一套5枚郵票中任取3枚，共有C；=10

種，恰有1枚吉祥物郵票有C；C；=6種，故恰有1枚吉祥物郵票的概率為￡=工

105

故選：C.

8.答案：ABD

解析：A項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和為C"C：++C^=26=64,故A項(xiàng)正確;

B項(xiàng),中令x=l得所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,故B項(xiàng)正確;

C項(xiàng)，|x-的展開式的通項(xiàng)為7；+|=C)6-(—=(-D'C)6-2r,廠=0/，，6,令

6-2廠=0得廠=3,即展開式的常數(shù)項(xiàng)為n=(-1)3屋=-20,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

D項(xiàng)，卜-的展開式共有7項(xiàng)，最中間的為第4項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D

項(xiàng)正確.

9.答案：CD

解析：對(duì)于A,甲、乙只能站左、右兩端，有2種站法，丙、丁在老師相鄰兩邊，有

2種站法，所以有2x2=4種站法，不符合;

對(duì)于B,同A一樣，有4種站法，不符合;

對(duì)于C,甲站兩端，有2種站法,乙與老師相鄰，有2種站法，丙、丁站剩下位置,

有2種站法，所以有2x2x2=8種站法，C符合；

對(duì)于D,甲、乙要么都在老師左邊，要么都在老師右邊，且甲、乙還可以相互交換，

有2x2種站法，丙、丁站剩下兩個(gè)位置，有2種站法，所以共有2x2x2=8種站法，D

符合.

10.答案：BCD

解析：對(duì)于A,令x=l,可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,展

開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為28T=128,故B正確；對(duì)于C,易知展開式中二

項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D,展開式中含/的項(xiàng)為

C^(2X)3(-1)5=-448X3,故(2x-以的展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為一448,故D正確.故選BCD.

11.答案：9

解析：先考慮曲春雨，有3種采訪安排，再考慮剩下的3位選手，武大靖在任子威

后，有色=3種，按照分步計(jì)數(shù)原理共有3x3=9種.

故答案為：9.

12.答案：—

45

解析：從10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品有C；。=45種方法；

其中至多有1件二等品有C；C；+C；=44種方法；

44

因此事件取到的產(chǎn)品中至多有一件二等品的概率的概率p=—,

45

44

故答案為：—.

45

13.答案:35

解析：記熄滅的燈為0,未熄滅的燈為1,則相當(dāng)于4個(gè)0和8個(gè)1排一行，并且要求

各個(gè)0不相鄰，且不排在兩端，故先將1排好，再在8個(gè)1之間形成的7個(gè)空中選取4

個(gè)插入0,則不同的熄燈方法共有C：=35(種).

14.答案：(1)由題意，知&是。+1乂2尤2一1)5的展開式中含f項(xiàng)的系數(shù).

2525r102r

(2x-l)的通項(xiàng)公式為Tr+l=C；(2xJ"(-l)=(-1)「C⑵，x-,0<r<5,reN,

令10-2r=5,得r舍去；

2

令10-2r=6,得r=2,

則(-iyq25T=(_iyc；23=8o,

即4=80.

(2)令'x=2,彳導(dǎo)3x75=4+2q+2~電+L+2"a”

令"x=—2,《導(dǎo)-7，=—2%+2之4-L-2"q],②)

210=5

①;②，得a0+