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關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真第3章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真-離散相似法
控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真就是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在數(shù)字計算機上求解的過程。從前一章可以看到,控制系統(tǒng)的動態(tài)模型一般是用常微分方程、一階常微分方程組(狀態(tài)方程)或傳遞函數(shù)來描述的。因此,要在數(shù)字計算機上進行這類系統(tǒng)的仿真,必須先將連續(xù)模型變換為離散化的模型。這一章主要介紹連續(xù)模型離散化的方法及其差分方程的求取,最后介紹仿真程序的設(shè)計。第2頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.1連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)是隨時間連續(xù)變化的,但是連續(xù)系統(tǒng)的解析解無法用數(shù)字計算機求出,只能求出其數(shù)值解。也就是說,只能得到連續(xù)響應(yīng)曲線上的有限個點。為此,必須把連續(xù)系統(tǒng)離散化,得到差分方程,再用數(shù)字計算機求解。這就是把微分運算轉(zhuǎn)化為算術(shù)運算的過程。下面先討論線性定常系統(tǒng)的離散過程。設(shè)一線性定常系統(tǒng)為
式中:X為n×1維狀態(tài)向量;U為r×1維輸入向量;A為n×n維狀態(tài)矩陣;B為n×r維輸入矩陣;Y為m×1維輸出向量;C為m×n維輸出矩陣;D為m×r維傳遞矩陣。此系統(tǒng)的方框,如圖3.1所示。
第3頁,共105頁,2024年2月25日,星期天此系統(tǒng)的方框,如圖3.1所示。第4頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第5頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第6頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
由圖3.3所示的離散結(jié)構(gòu)即可導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)離散后的離散數(shù)學(xué)模型,這個模型通常為差分方程的形式。由于這個過程使得離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相似,因此可以認為差分方程式的解序列就是連續(xù)系統(tǒng)運動的采樣值。這就是離散相似法。嚴格地講,系統(tǒng)輸出處的采樣開關(guān)后面也應(yīng)加上再現(xiàn)環(huán)節(jié),才能與原系統(tǒng)相似。但是在仿真時,用計算機也只能得到離散序列的解,所以輸出處的再現(xiàn)環(huán)節(jié)加與不加對于離散解序列都是一樣的。實際上輸出處的采樣開關(guān)加與不加也無所謂,只要認為離散后的系統(tǒng)與原系統(tǒng)在采樣點上的輸出值近似相等就行了。
第7頁,共105頁,2024年2月25日,星期天由香農(nóng)定理可知,為使采樣后的信號能無失真地再現(xiàn),采樣頻率比信號最高頻率要高兩倍以上(或采樣周期Ts≤0.5Tmin),且加入的保持器應(yīng)有如圖3.4所示的頻率特性。第8頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.1.1零階保持器
這是一種最常見的保持器,它的脈沖傳遞函數(shù)和頻率特性如圖3.5和圖3.6所示。第9頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第10頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第11頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第12頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.1.2一階保持器
一階保持器也稱外推器,它的脈沖傳遞函數(shù)和頻率特性如圖3.8和圖3.9所示。第13頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第14頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第15頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第16頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.1.3三角保持器
三角保持器是一種理想保持器,物理上不能實現(xiàn),數(shù)學(xué)上也是不能實現(xiàn)的,除非它所再現(xiàn)的信號為一已知信號。這一點從下面的定義中可以看出。它的脈沖傳遞函數(shù)曲線和頻率特性曲線如圖3.11和圖3.12所示。第17頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第18頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第19頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
在實際中有時使用滯后一拍的三角保持器,它的脈沖傳遞函數(shù)曲線和頻率特性曲線如圖3.13和圖3.14所示。第20頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
經(jīng)過三角保持器及滯后三角保持器再現(xiàn)后的函數(shù)如圖3.15和圖3.16所示。第21頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
從上面的保持器特性可以看出,實際保持器與理想保持器的特性總是有差別的,所以要想使保持器引起的失真足夠小,采樣頻率就要足夠高。也就是說,在仿真計算時,為了使結(jié)果準確,計算步距就得足夠小。這樣勢必要增加計算時間。為了使計算速度較快又不使誤差過大,通常在保持器后加一補償環(huán)節(jié)(也可加在保持器前)。保持器再現(xiàn)被采樣的連續(xù)信號時,這些信號一般都有相位移,而且再現(xiàn)信號同其被采樣的連續(xù)信號相比,都有所衰減。所以通常采用超前裝置進行補償。例如,當采用零階保持器再現(xiàn)信號時,再現(xiàn)后的信號要比被采樣的連續(xù)信號平均滯后T/2。故應(yīng)采用超前半個周期的補償(即取c=eTs/2)去抵消零階再現(xiàn)過程引入的滯后影響。在仿真中所采用的補償器的數(shù)學(xué)表達式形式一般為
C=λerTs(3-11)第22頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.2離散系統(tǒng)差分方程的求取在上一節(jié)中,已經(jīng)敘述了怎樣由一個連續(xù)系統(tǒng)求出它的離散相似系統(tǒng)。有了這個離散相似系統(tǒng),就可以求出連續(xù)系統(tǒng)的離散化數(shù)學(xué)模型。離散化數(shù)學(xué)模型是用差分方程表示的,它的求解方法如下。設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述如式(3-12)所示。
式中A、B均為常數(shù)陣。推導(dǎo)可得:第23頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第24頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第25頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第26頁,共105頁,2024年2月25日,星期天系統(tǒng)的離散解:
(3-23)
在推導(dǎo)上式的過程中未作任何近似的假設(shè),該式是一種精確的采樣值計算公式。但是,當U(τ)是一個復(fù)雜的函數(shù)時,該式右端的積分是難以求得的。由于該積分的積分區(qū)間僅為T,當T較小時,一般來說U(τ)在這個積分區(qū)間的變化是不大的。因此,可以加入采樣及再現(xiàn)環(huán)節(jié),以使U(τ)在積分區(qū)間內(nèi)為一個簡單的特殊函數(shù),從而使該積分計算容易進行。通常使用下面三種保持器作為再現(xiàn)環(huán)節(jié)。
第27頁,共105頁,2024年2月25日,星期天1.零階保持器第28頁,共105頁,2024年2月25日,星期天2.一階保持器第29頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.三角保持器用與上述相同的方法,可以求出加三角保持器和滯后三角保持器時的系統(tǒng)差分方程。用各種保持器時的差分方程,詳見表3.1。第30頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第31頁,共105頁,2024年2月25日,星期天[例3.1]己知某控制系統(tǒng)框圖如圖3.17所示,求該系統(tǒng)的仿真模型,即差分方程。第32頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第33頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第34頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第35頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第36頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
如果把采樣開關(guān)保持器加在系統(tǒng)入口R處,則得到的離散相似系統(tǒng)框圖如圖3.19所示。第37頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第38頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第39頁,共105頁,2024年2月25日,星期天于是得到零階保持器時的差分方程:第40頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
由此可見,采樣器及保持器的位置不同,得到的差分方程也不相同。但應(yīng)注意,無論離散-再現(xiàn)環(huán)節(jié)加到哪里,被離散再現(xiàn)的信號都應(yīng)是狀態(tài)方程中的輸入量。
從保持器的定義式可以看出,零階保持器能無失真地再現(xiàn)階躍輸入信號,即當輸入信號為階躍函數(shù)時,導(dǎo)出的差分方程是精確的。而三角保持器能無失真地再現(xiàn)斜坡輸入信號。第41頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第42頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第43頁,共105頁,2024年2月25日,星期天[例3.2]求如圖3.21所示系統(tǒng)的差分方程。第44頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第45頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第46頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第47頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第48頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第49頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第50頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第51頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第52頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
對于許多控制系統(tǒng),都可以把系統(tǒng)分解成由積分和慣性環(huán)節(jié)組成系統(tǒng)。因此,可以事先求出這兩個環(huán)節(jié)的差分方程的通用式,以后就不需要每次求解差分方程了。對于積分環(huán)節(jié),如圖3.23所示。第53頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
對于慣性環(huán)節(jié),如圖3.24所示。第54頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第55頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.3連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真程序設(shè)計前兩節(jié)講述了連續(xù)系統(tǒng)離散化及其差分方程的求取。有了系統(tǒng)的差分方程,就可以在計算機上編制仿真程序了。隨系統(tǒng)性質(zhì)的不同,對仿真程序要求也不同,一般的要求是計算速度快、精度高、使用方便、通用性強等。但這些要求往往是相互矛盾的,所以具體到某一問題時,應(yīng)根據(jù)其特性突出某一要求而犧牲另外一些要求。
第56頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
在一般情況下,仿真程序由以下幾個基本模塊構(gòu)成:
(1)初始化程序塊;
(2)輸入?yún)?shù)程序塊;
(3)主運行程序塊;
(4)輸出仿真結(jié)果程序塊。仿真程序流程圖如圖3.25所示。下面分別討論這三個程序塊。第57頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第58頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.3.1初始化程序塊這個功能塊主要是對程序中所用到的變量、數(shù)組等進行定義,并賦以初值。在通用仿真程序里這個程序完成被仿真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組態(tài)。
這個程序塊的內(nèi)容隨使用的程序設(shè)計語言的不同而不同,沒有統(tǒng)一的格式。本書所有的程序均使用C,matlab和VisualC++6.0作為程序設(shè)計語言。自20世紀90年代以來,隨著多媒體技術(shù)和圖像技術(shù)的蓬勃發(fā)展,可視化技術(shù)得到了廣泛重視,越來越多的計算機專業(yè)人員和非專業(yè)人員都開始研究并應(yīng)用可視化技術(shù)。一般講,可視化技術(shù)包含兩個方面的含義:一是軟件開發(fā)階段的可視化,即可視化編程,它使編程工作成為一件輕松愉快、饒有趣味的工作;二是通過可視化窗口將不改變的參數(shù)輸入給計算機。在通用仿真程序中,可視化輸入?yún)?shù)程序塊是非常復(fù)雜的,該程序塊直接關(guān)系到人-機交互的方便性和程序的通用性。一般人們會花很大的精力來設(shè)計輸入?yún)?shù)程序塊。在后面的章節(jié)中將逐步介紹該程序塊的設(shè)計方法。第59頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.3.2輸出仿真結(jié)果程序塊
該程序塊輸出仿真結(jié)果,它們可以是狀態(tài)變量、中間變量、輸出變量的仿真結(jié)果。輸出的形式總是數(shù)據(jù)表格或曲線的形式。下面介紹這兩種輸出程序的設(shè)計方法。在以后的程序中只寫出調(diào)用這兩個輸出仿真結(jié)果函數(shù)的語句,而不再列寫程序清單。1.打印數(shù)據(jù)函數(shù)PrintData()
一般要求打印數(shù)據(jù)函數(shù)能打印各變量的仿真數(shù)據(jù)及各數(shù)據(jù)對應(yīng)的時間。由于仿真點數(shù)較多,輸出數(shù)據(jù)量較大,用戶不一定需要觀察每一步的數(shù)據(jù)。因此,往往時隔一定的間隔打印一個數(shù)據(jù)。下面的函數(shù)可打印1~4個變量(變量個數(shù)用VN表示)的仿真數(shù)據(jù)及其對應(yīng)的時間,每隔IN點打印一個數(shù)據(jù)。并要求在調(diào)用的程序里把需輸出的變量值存放在數(shù)組Output[][]里,其中第一維下標表示第幾個變量,第二維下標表示該變量的第幾個仿真數(shù)據(jù)。LP、DT的意義表示計算步數(shù)和采樣周期。第60頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第61頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
2.顯示曲線函數(shù)Dispcurve()
該程序可以在顯示器上同時顯示l~8條響應(yīng)曲線。橫軸為響應(yīng)時間,縱軸為響應(yīng)數(shù)值。要求在調(diào)用的程序里把需要輸出的變量值存放在數(shù)組Output[][]里,其中,第一維下標表示第幾個變量,第二維下標表示該變量的第幾個仿真數(shù)據(jù)。VN表示要顯示變量的個數(shù),LP、DT的意義表示計算步數(shù)和采樣周期。第62頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第63頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第64頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.3.3主運行程序塊
這個程序塊用來求解被仿真系統(tǒng)的差分方程。所選用的仿真算法不同,得到的差分方程也不同,仿真精度也不一樣。不管怎樣,這個程序要忠實于原差分方程,它不能改變原差分方程的意義,對于初編程序者來說在這方面是很容易出錯的。從上一節(jié)可以看到,系統(tǒng)的仿真模型都是差分方程的形式。因為差分方程最容易用數(shù)字計算機求得數(shù)值解。差分方程的一般形式如式(2-8)所示。如果改變一下符號并寫成遞推計算的形式第65頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第66頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第67頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第68頁,共105頁,2024年2月25日,星期天[例3.3]設(shè)計例3.2所述的控制系統(tǒng)仿真程序中的主運行程序塊。取R為單位階躍函數(shù),狀態(tài)變量初值為零。
第69頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第70頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第71頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第72頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
從上面的仿真程序設(shè)計過程中可以看出,由于串行計算的原因,三角保持器不是放在哪里都可以實現(xiàn)的。實際上,不只是三角保持器,有超前作用的其他保持器或加超前補償?shù)牧汶A、一階保持器也不是放在哪里都可以實現(xiàn)的,因為在有超前作用的保持器下,其差分方程的輸入項可能會需要k+1時刻的值。這樣,在系統(tǒng)的反饋支路與主支路求和點后的第一個環(huán)節(jié)入口處,不能加有超前作用的離散-再現(xiàn)環(huán)節(jié)。第73頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第74頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第75頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.4典型非線性環(huán)節(jié)的仿真程序設(shè)計
一般工業(yè)系統(tǒng)均存在非線性問題。例如,調(diào)節(jié)儀表的輸出可能存在飽和非線性,執(zhí)行機構(gòu)可能存在齒輪間隙非線性,還有些系統(tǒng)采用非線性調(diào)節(jié)器。因此,應(yīng)當考慮非線性系統(tǒng)的仿真問題。
實際上,前面介紹的按環(huán)節(jié)離散化的仿真方法,可以很容易地推廣到具有典型非線性環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng)的仿真。只要事先編好這些典型非線性環(huán)節(jié)的仿真子程序,讓信號通過它再輸入到線性環(huán)節(jié)就行了。為了以后編程的方便,下面給出幾種典型非線性環(huán)節(jié)的仿真子程序。
第76頁,共105頁,2024年2月25日,星期天1.繼電器繼電器的非線性特性如圖3.29所示。圖中y0為繼電器常數(shù),它的特性可用如下的數(shù)學(xué)表主式描述:當u<0時,y=-y0
當u≥0時,y=y(tǒng)0。第77頁,共105頁,2024年2月25日,星期天2.有不靈敏區(qū)的繼電器具有不靈敏區(qū)的繼電器特性如圖3.30所示,圖中yo、c為常數(shù)。其數(shù)學(xué)表達式為當u≥c時,y=y(tǒng)0
當|u|<c時,y=0;當u≤c時,y=-y0第78頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.限幅器限幅器的特性如圖3.31所示,其數(shù)學(xué)表達式為當u>c時,y=c
當|u|≤c時,y=u
當u<-c時,y=-c式中:c為常數(shù)。第79頁,共105頁,2024年2月25日,星期天4.不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)特性如圖3.32所示,圖中c為常數(shù),其數(shù)學(xué)表達式為當u>c時,y=u-c
當|u|≤c時,y=0
當u<-c時,y=u+c第80頁,共105頁,2024年2月25日,星期天5.齒輪間隙非線性第81頁,共105頁,2024年2月25日,星期天6.具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電非線性第82頁,共105頁,2024年2月25日,星期天[例3.4]某發(fā)電機勵磁系統(tǒng)框圖如圖3.35所示,試求URFF為單位階躍函數(shù)時系統(tǒng)的響應(yīng)。第83頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第84頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第85頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第86頁,共105頁,2024年2月25日,星期天第87頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.5關(guān)于采樣周期(計算步距)和仿真時間的選擇
計算步距和仿真時間是兩個重要的仿真參數(shù),特別是計算步距。如果選擇得不恰當,就可能造成較大的計算誤差,甚至可以使一個本來穩(wěn)定的系統(tǒng)歪曲成一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)。計算步距不僅和被仿真的系統(tǒng)有關(guān),還和仿真算法、精度要求等因素有關(guān)。因此,要在仿真計算之前準確地選好這兩個參數(shù)是件不容易的事情。第88頁,共105頁,2024年2月25日,星期天3.5.1計算步距的估計
計算步距可用式(3-71)估計
(3-71)式中:DT為計算步距;n為被控對象傳遞函數(shù)的階次;T為被控對象傳遞函數(shù)的時間常數(shù)。第89頁,共105頁,2024年2月25日,星期天
如果被控對象有若干個,則應(yīng)以其中nT最小的為準。一般使用者按上述區(qū)間選擇一個適當?shù)挠嬎悴骄啵浞抡娼Y(jié)果是令人滿意的。一般來說,計算步距選擇的越小,計算精度就越高(但步距太小,也可能由于計算機的舍入誤差占了主導(dǎo)地位而降低了計算精度),耗費的計算時間就越長;反之,就會導(dǎo)致計算精度差,計算時間短。但對于一般工程設(shè)計來說,最關(guān)心的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性,能夠大致觀察過渡過程曲線就可以了,對計算數(shù)據(jù)精確度的要求并不太高,所以只需采用試算的方法求計算步距即可。如果過渡過程曲線的第一個半波含有20到30個計算點,則說明計算步距選擇是恰當?shù)?。否則,可適當增大或減小計算步距,再試算。第90頁,共105頁,2024年2月25日,星期天[例3.5]某火力發(fā)電廠汽包水位控制系統(tǒng)采用單級三沖量調(diào)節(jié)方式,系統(tǒng)框圖如圖3.38所示。對此系統(tǒng)進行仿真,繪制蒸汽量D擾動時,水位H的變化曲線。第91頁,共
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