2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-空間向量解立體幾何

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-空間向量解立體幾何“橋”飛架，天塹變通途向量的引入為數(shù)形結(jié)合思想注入了新鮮血液，為其開辟了更為廣闊的天地。特別是將空間向量知識應(yīng)用在立體幾何題目中，更是一改立體幾何題目以前單一的傳統(tǒng)幾何法,給我們以耳目一新的感覺.下面通過一個題的不同問題，領(lǐng)會空間向量中”直線的方向向量”和”平面的法向量”在解立體幾何題目中的獨到應(yīng)用。例題長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且CP=2，Q是DD1的中點。zB1C1D1BP D1BPMA1 Q C y A Dx一求點線距離問題1：求點M到直線PQ的距離。分析：本題屬于立體幾何中求點與線距離類型，若用傳統(tǒng)幾何法需過點M引直線PQ的垂線，在圖中尋找垂線不是件容易事情，而用向量法就可使問題得以解決。解：如圖，以點B為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。得P（0，4，0），Q（4，6，2），M（2，3，4）∴=（-2，-3，2）=（-4，-2，-2）又點M到直線PQ的距離d=||sin<,>而cos<,>===∴sin<,>=,∴d==小結(jié)：本例充分體現(xiàn)了利用直線QP的一個方向向量、M到直線QP的距離及斜線段QM所構(gòu)成的直角三角形，借助于向量與的夾角公式使問題得以解決，而不必將點線之間的距離作出,請讀者加以體會。二求點面距離問題2：求點M到平面AB1P的距離。分析：采用幾何法做出點面距，然后來求距離的傳統(tǒng)法，很難求解，但若借助于平面的法向量即易解決。解：建系同上。A(4,0,0)=(-2,3,4)=(-4,4,0)=(-4,0,4)設(shè)=(x,y,z)是平面AB1P的一個法向量,則⊥,⊥∴,∴可取=(1,1,1)∴點M到平面AB1P的距離d=||==.小結(jié):點面距離的向量求法為:設(shè)是平面的一個法向量,AB是平面的一條斜線,則點B到平面的距離為d=||.三求線面夾角問題3:求直線AM與平面AB1P所成的角.解:建系同上。由問題2可知=(-2,3,4),平面AB1P的一個法向量=(1,1,1)∴|cos<,>|=||=,又直線AM與平面AB1P所成的角為線AM與平面AB1P的法向量夾角的余角,故直線AM與平面AB1P所成的角為arcsin.小結(jié):本例屬于線面成角問題,向量法求解的方法是:設(shè)為平面α的一個法向量,是直線L的方向向量,則直線L與平面α所成的角為arcsin||.四求面面所成的角(二面角)問題4:求平面B1PQ與平面D1DCC1所成的銳二面角的大小.解:∵面D1DCC1垂直與坐標(biāo)平面yoz,故設(shè)面D1DCC1的一個法向量為=(0,1,0),又設(shè)面B1PQ的一個法向量為=(x,y,z)∵=(0,4,-4),=(4,2,2)又⊥,⊥∴即∴可取(-1,1,1)∴|cos<,>|=||==.故平面B1PQ與平面D1DCC1所成的銳二面角的大小為arccos.小結(jié):用向量法求二面角的具體方法是:設(shè),是二面角α-L-β的兩個半平面α,β的法向量,則<,>=arccos||就是所求二面角的平面角或其補角.五求兩異面直線間的距離問題5:求兩異面直線AB1與PQ間的距離.解:設(shè)兩異面直線AB1與PQ的公垂線的一個方向向量為=(x,y,z)又=(-4,0,4),=(4,2,2).而⊥,⊥∴即∴=(1,-3,1),又=(0,4,-4)故兩異面直線AB1與PQ間的距離d=||cos<,>=||=.小結(jié):向量法解決兩異面直線間的距離的作法是:L1,L2是兩條異面直線,是L1,L2的公垂線AB的一個方向向量,又C,D分別是L1,L2上任兩點,則|AB|=||.以上介紹了直線的方向向量和平面的法向量在解決立體幾何的“點線距離”,“點面距離”,“線面夾角”,“面面成角”以及“兩異面直線間的距離”這五種題型中的應(yīng)用,涉及的題目用傳統(tǒng)立體幾何法求解有一定的難度,而空間向量的介入使得問題迎刃而解.從中充分展現(xiàn)了向量法的獨到之處和強大威力.在近幾年的高考中利用向量的模和夾角公式求立體幾何中的線段長和兩直線的夾角已多次出現(xiàn),隨著新一輪課改的推進(jìn),直線的方向向量和平面的法向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用必將成為高考命題的一個新的熱點.利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)，不等式，單調(diào)性，最值。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（?。┲?、求函數(shù)的值域等等。而在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)；因此，很多時侯可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題。下面具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問題時的作用。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（一）、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式：直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來證明不等式成立。例1：x>0時,求證；x－ln(1+x)＜0證明：設(shè)f(x)=x－ln(1+x)(x>0),則f(x)=∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上遞減，所以x>0時,f(x)<f(0)=0，即x－ln(1+x)<0成立。2、把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e,求證:ab>ba,(e為自然對數(shù)的底)證：要證ab>ba只需證lnab>lnba即證：blna－alnb>0設(shè)f(x)=xlna－alnx(x>a>e)；則f(x)=lna－,∵a>e,x>a∴l(xiāng)na>1,<1,∴f(x)>0,因而f(x)在（e,+∞）上遞增∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb所以ab>ba成立。（注意，此題若以a為自變量構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnx－xlnb(e<x<b)則，f′(x)>0時時，故f(x)在區(qū)間（e,b）上的增減性要由的大小而定，當(dāng)然由題可以推測故f(x)在區(qū)間（e,b）上的遞減,但要證明則需另費周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來構(gòu)造函數(shù)好，由本例可知用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時，如何選擇自變量來構(gòu)造函數(shù)是比較重要的。）（二）、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。例3、求證：n∈N*,n≥3時，2n>2n+1證明：要證原式，即需證：2n－2n－1>0,n≥3時成立設(shè)f(x)=2x－2x－1(x≥3),則f(x)=2xln2－2(x≥3),∵x≥3,∴f(x)≥23ln3－2>0∴f(x)在[3，+∞上是增函數(shù)，∴f(x)的最小值為f(3)=23－2×3－1=1>0所以，n∈N*,n≥3時，f(n)≥f(3)>0,即n≥3時,2n－2n－1>0成立，例4、的定義域是A=[a,b，其中a,b∈R+,a<b若x1∈Ik=[k2,(k+1)2,x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2求證:>（k∈N*）證明：由題知g(x)=g(x)==0時x4－ax3－a2b2+a2bx=0即(x4－a2b2)－ax(x2－ab)=0,化簡得(x2－ab)(x2－ax+ab)=0所以x2－ax+ab=0或x2－ab=0，∵0<a<b,∴x2－ax+ab=0無解由x2－ab=0解得（舍）故g(x)>0時x∈[,g(x)<0時x∈[a,,因而g(x)在[上遞增，在[a,上遞減所以x=是gA(x)的極小值點，又∵gA(x)在區(qū)間[a,b只有一個極值∴gA()=2是gA(x)的最小值。所以，的最小值為=2的最小值為2又∵∴x1∈Ik=[k2,(k+1)2,x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2時>（k∈N*）成立、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。例5：f(x)=x3－x,x1,x2∈[－1,1]時，求證：|f(x1)－f(x2)|≤證明：∵f(x)=x2－1,x∈[－1,1]時,f(x)≤0,∴f(x)在[－1,1]上遞減.故f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)=最小值為f(1)=,即f(x)在[－1,1]上的值域為；所以x1,x2∈[－1,1]時，|f(x1)|,|f(x2)|,即有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f(x)(或m<f(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法。例6、已知函數(shù),對f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍解：函數(shù)f(x)的定義域為（0，+∞），由f(x)≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立知對一切x∈（0，+∞）恒成立，即對x∈（0，+∞）恒成立設(shè)則，由h′(x)=0解h′(x)>0時，解得0＜x＜,h′(x)＞0時x＞所以h(x)在（0，）上遞增，在（，+∞）上遞減,故h(x)的最大值為，所以三、利用導(dǎo)數(shù)解不等式例8：函數(shù)f(x)=,解不等式f(x)≤1解：由題知①∵∴a≥1時,f(x)<1－a<0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞減，又f(0)=1，所以x≥0時f(x)≤f(0)=1，即a≥1時f(x)≤1的解為{x|x≥0}②0<a<1時，若=0則>0時解得x∈∪,<0時解得故f(x)在上單調(diào)遞減，f(x)在或上單調(diào)遞增，又f(x)=1時解得x=0或x=，且0<a<1時所以0<a<1時f(x)≤1的解為{x|}由上得，a≥1時f(x)≤1的解為{x|x≥0}0<a<1時f(x)≤1的解為{x|}總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來解決。這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)。參考資料：（1）趙大鵬：《3+X高考導(dǎo)練.數(shù)學(xué)》，中國致公出版社（2）王宜學(xué)：《沙場點兵.數(shù)學(xué)》，遼寧大學(xué)出版社（3）《狀元之路.數(shù)學(xué)》高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：利用高中數(shù)學(xué)新教材全面推進(jìn)素質(zhì)教育

一、問題的提出：

在課程改革的大潮中，高中數(shù)學(xué)新教材應(yīng)運而生并試用幾年了。它那綜合編排的體系、富有一定彈性的教材結(jié)構(gòu)、注重從實際問題引入等特點更符合高中學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，更適合一線教師進(jìn)行教學(xué)改革、全面推進(jìn)素質(zhì)教育，博得了教師們的好評。但在高考選拔制度未改變的情況下，也有很多教師無視新教材的這些變化，在教法、學(xué)法上沒有作相應(yīng)的調(diào)整，甚至只是瀏覽一下新教材中刪除、補充了哪些內(nèi)容，然后按照自己多年歸納、總結(jié)好了的知識體系進(jìn)行輕車熟路的灌輸，與素質(zhì)教育、課程改革的指導(dǎo)思想背道而馳。因此，如何科學(xué)、合理、正確地使用好新教材，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)、提高課堂效率、培養(yǎng)學(xué)生能力是每一個基層教育工作者急需解決的問題。

二、充分利用新教材是課程改革的重要一環(huán)

現(xiàn)在，我們所說的課程已經(jīng)不再只是教學(xué)計劃、教學(xué)大綱、教科書等文件（即課程不再只是特定知識的載體），而且包括教師和學(xué)生共同探求知識的過程。因此，教材改革只是課程改革的突破口，而課程改革的核心環(huán)節(jié)是課程實施，是如何充分利用新教材進(jìn)行教法、學(xué)法的改革。實際上，課程方案一旦確定，教學(xué)改革就成了課程改革的重頭戲。如果教學(xué)觀念不更新，教學(xué)方式不轉(zhuǎn)變，新編教材得不到充分利用，課程改革就會流于形式，事倍功半甚至勞而無功。因此，如何挖掘新教材的教育功能，充分體現(xiàn)課程改革的指導(dǎo)思想，是我們基層教育工作者的一項持久、復(fù)雜而艱巨的任務(wù)，它的好壞關(guān)系著我國課程改革的成敗。

三、高中數(shù)學(xué)新教材的很多特點更適合實施素質(zhì)教育現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)新教材是根據(jù)教育部頒布的新課程計劃和新教學(xué)大綱，在兩省一市試驗教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行修訂的，它以全面推進(jìn)素質(zhì)教育為宗旨，具有許多適合實施素質(zhì)教育的特點：

a）綜合編排的知識體系，便于學(xué)生自主學(xué)習(xí)

教材打破了原來分科安排內(nèi)容（分為代數(shù)、立體幾何、解析幾何）的編寫體系；安排知識順序時注意處理好與初中數(shù)學(xué)的銜接；符合邏輯上基本規(guī)則；在深淺上注意坡度的設(shè)計；工具性內(nèi)容靠前安排；相關(guān)內(nèi)容適當(dāng)集中。這些特點更加符合高中學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，更適合學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和課前預(yù)習(xí)，也有利于我們展開素質(zhì)教育、培養(yǎng)學(xué)生能力。

b）滲透數(shù)學(xué)思想方法，突出培養(yǎng)思維能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)僅僅是單純的知識傳授，而應(yīng)在講知識內(nèi)容的同時注意對其中的數(shù)學(xué)思想方法加以提煉總結(jié)，使之能逐步被學(xué)生掌握并對他們發(fā)揮指導(dǎo)作用。因此，新教材在各章的內(nèi)容安排上，十分注意對數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)。

c）采用實際問題引入，強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

新教材突出了數(shù)學(xué)與實際問題的聯(lián)系，意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。在教材編排上：章前圖的設(shè)計為了說明數(shù)學(xué)來源于實際；章前引言從實際問題導(dǎo)出；閱讀材料很多是介紹數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用方法；習(xí)題也適當(dāng)?shù)卦黾恿寺?lián)系實際的題目，所有這些都是為了創(chuàng)設(shè)聯(lián)系實際問題的氛圍，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

d）增加實習(xí)作業(yè)和研究性課題培養(yǎng)學(xué)生實踐能力及創(chuàng)新精神

增加“實習(xí)作業(yè)”和“研究性課題”是高中數(shù)學(xué)新教材的又一大特色，它強調(diào)學(xué)生的動手能力，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從教室走向了社會，使學(xué)生在充滿合作機會的群體交往中，學(xué)會溝通、學(xué)會互助、學(xué)會分享，學(xué)會合作，實現(xiàn)知識、情感、態(tài)度和價值觀的完善。

四、如何挖掘新教材的教育功能，全面推進(jìn)素質(zhì)教育

由以上分析可知，我國新一輪課程改革的成敗關(guān)鍵在于教學(xué)一線的教師如何充分挖掘、利用新教材的這些特征，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念、優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，全面推進(jìn)素質(zhì)教育。以下是本人在使用新教材過程的一點體會：

a）科學(xué)指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，在預(yù)習(xí)中自主探索、獲取知識

高中數(shù)學(xué)新教材是一個綜合編排的知識體系，知識編排順序符合高中學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，更適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)和課前預(yù)習(xí)。而一個善于提前閱讀教材、自我探索知識的學(xué)生，通過閱讀，對知識有了一定的理性認(rèn)識，逐步提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)習(xí)更加積極主動，學(xué)習(xí)成績也比較好。因此教師要鼓勵學(xué)生提前預(yù)習(xí)、閱讀教材，主動探索數(shù)學(xué)知識。我在教學(xué)過程中，抓住新教材的這一特征，每節(jié)課都拿出十至十五分鐘的時間給學(xué)生閱讀教材，讓其知道知識的來龍去脈，形成自己的知識體系。在閱讀的過程中要注意：

（1）設(shè)置出適合本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)目標(biāo)，激發(fā)起學(xué)生的興趣和動機，讓學(xué)生帶著問題和強烈的求知欲去閱讀。

（2）在閱讀的過程中，要鼓勵學(xué)生提出自己的問題、觀點。

（3）對于有爭議問題，鼓勵學(xué)生積極討論，嘗試在小組中得出答案，即使錯了，也要給予積極的肯定。

在課堂閱讀的同時，我積極鼓勵學(xué)習(xí)成績很好的學(xué)生超前預(yù)習(xí)、閱讀教材，有些學(xué)生總是比我的教學(xué)進(jìn)度提前一章的內(nèi)容，并把問我尚未講過的問題作為一種興趣、樂趣，甚至同學(xué)之間進(jìn)行相互競爭。通過鼓勵學(xué)生閱讀教材、提前預(yù)習(xí)，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良性循環(huán)，取得了很好的教學(xué)效果。一些原來學(xué)習(xí)成績較差的同學(xué)，經(jīng)過一段時間的努力，學(xué)習(xí)成績也有了飛速的提高。

b）創(chuàng)設(shè)問題情景，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性

創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情景可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機，使學(xué)生產(chǎn)生"疑而未解，又欲解之"的強烈愿望，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一種對知識的渴求，從而調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，達(dá)到提高課堂教學(xué)效果的目的。

利用高中數(shù)學(xué)新教材創(chuàng)設(shè)問題情景、調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，與原來的教材相比可以說是信手拈來、得心應(yīng)手。章前圖的解說；章前引言的實際問題；與之相關(guān)的閱讀材料；甚至有些聯(lián)系實際的例題、習(xí)題均可作為創(chuàng)設(shè)問題情景的材料。當(dāng)然，如果你把這些素材用現(xiàn)代教學(xué)手段進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸ぃЧ蜁谩?/p>

例如：我在講解三角函數(shù)中《函數(shù)的圖像》這節(jié)課時，就是利用課后習(xí)題中求彈簧振子的振幅、周期、頻率這個題目引入本節(jié)課，把它做成一個FLASH課件，創(chuàng)設(shè)問題的情景，促使學(xué)生積極參與活動，把學(xué)生的學(xué)置于問題之中，使整個教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)新問題”的能力培養(yǎng)過程。這樣通過創(chuàng)設(shè)問題情景，使教學(xué)活動在知識和情感兩條主線的相互作用下完成，知識通過情感功能更好地被學(xué)生接受、內(nèi)化。取得了意想不到的教學(xué)效果。（本節(jié)課詳細(xì)內(nèi)容限于篇幅不再贅述，該課件榮獲青島市課件比賽一等獎，已經(jīng)上傳到k12網(wǎng)站）

c）

傳授知識的過程中要注重結(jié)論與過程的統(tǒng)一

拋棄“高分低能”，講求知識與能力并重，是素質(zhì)教育的根本出發(fā)點。因此，在傳授知識的過程中注重結(jié)論與過程的統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則。

從教學(xué)的角度講，重結(jié)論、輕過程的教學(xué)只是一種“形式上的走捷徑”的教學(xué)，把形成結(jié)論的生動過程變成了單調(diào)刻板的背誦條文，剝離了知識與智力的內(nèi)在聯(lián)系。它排斥學(xué)生的思考與個性發(fā)展，把教學(xué)過程庸俗化到無需智慧努力，而只需聽講和記憶就能掌握知識的程度。這實際上是對學(xué)生智慧的扼殺和個性的摧殘。強調(diào)過程，就是強調(diào)學(xué)生探索知識的經(jīng)歷和獲得知識的體驗。它不但使學(xué)生在獲取知識的過程中培養(yǎng)了各種能力，而且也使所學(xué)的知識更加牢固。

例如：在講高中新教材&4.11節(jié)《已知三角函數(shù)值求角》時，我做過這樣一個可控性對比試驗：

在我所教的兩個平行班級中，其中一個班級直接告訴這種題目的求解方法，并總結(jié)出解題的規(guī)律：先求在第一象限的正角，然后判斷：若所求角在第二象限，則為；若所求角在第三象限，則為；若所求角在第四象限，則為.在做課后練習(xí)的過程中，非常順利，即便是學(xué)習(xí)比較差的