2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-例談三角函數(shù)中的最值問題

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-例談三角函數(shù)中的最值問題例談三角函數(shù)中的最值問題 三角函數(shù)的最值問題，其實質(zhì)上是對含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求值，是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用。近幾年高考題中，此類問題及經(jīng)常出現(xiàn)，其解法主要是通過三角函數(shù)恒等變形，將函數(shù)關(guān)系式化為一個角的一種函數(shù)形式，然后借助于三角函數(shù)性質(zhì)來解決。下面就其類型與解法舉例說明。1y=asinx+bcosx+c型例1已知函數(shù)f(x)=2asin2x-2asinx·cosx+a+b(a0)的定義域為[0，]，值域為[-5，1]，求常數(shù)a、b的值。解：f(x)=a(1-cos2x)-asin2x)+2a+b=-a(cos2x+sin2x)+2a+b=-2asin(2x+)+2a+b.x[0,],2x+[,].-sin(2x+)1.因此，由f(x)的值域為[-5，1]可得,或或點評：本題將函數(shù)化為一個角的一種函數(shù)的形式。本題通過降次，逆用二倍角公式后，形成了y=asinx+bcosx+c型的函數(shù)，再應(yīng)用函數(shù)的有界性求解。2.y=asinx2+bsinx+c型例3求函數(shù)f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。解：y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2.設(shè)sinx=t,則-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2.(1)當a<-1時，有ymax=g(1)=3-4a,ymin=g(-1)=3+4a.(2)當-1a1時,有ymin=g(a)=1-2a2,ymax為g(-1)和g(1)中的較大者,即ymax=3-4a(-1a0),(3)當a>1時,有ymax=g(-1)=3+4a,ymin=g(1)=3-4a.本題可以化為以sinx為自變量的二次函數(shù)，定義域為[-1,1],利用二次函數(shù)在閉曲間上的最值求法。對于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性，應(yīng)引起充分的重視。3.y=asinx+b型已知f(x)=sin(2x+)-sin2x+sinxcosx+求f(x)的最小值及此時x的值。解：f(x)=sin(2x+)-(1-cos2x)+sin2x+=sin(2x+)+sin2x+cos2x=sin(2x+)+sin(2x+)=2sin(2x+).當x=k-(kZ)時,f(x)的最小值-2.點評：化為一個角三角函數(shù)形式，再利用有界性求解。4．（xR）型例4．求函數(shù)的最大值與最小值。方法一：去分母，原式化為sinx-ycosx=2-2y,即sin(x-)=,故1解得y,ymax=,ymin=方法二：將函數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為求兩點A(2,2)和B(cosx,sinx)間連線斜率的范圍。而點（cosx,sinx）的軌跡是以原點為圓心,1為半徑的圓。通過點(2,2)的直線方程為y-2=k(x-2),即kx-y+2(1-k)=0.原點到此直線的距離應(yīng)為1.故=1,即得k=,ymax=,ymin=.點評：法一是利用三角函數(shù)的有界性；法二是數(shù)形結(jié)合法，將y看成是兩點連線的斜率；學(xué)習(xí)中應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合法處理最值的問題。5.綜合型例5：當0<x<時，函數(shù)f(x)=的最小值為（）A.2B.2C.4D.4解法一：f(x)===4（“=”cosx=2sinxtanx=）故選C解法二：f(x)==,f/(x)==0對0<x<成立，故cos2x=，sin2x=時,f(x)min==4.故選C.點評：法一利用倍角公式及均值不等式求解；法二利用倍角公式及求導(dǎo)方法求解。例6:若函數(shù)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值。解：其中角滿足，解之得，.點評：本題利用了三角函數(shù)公式恒等變形的技能和運算能力，達到了求三角函數(shù)最值的目的。在解答有關(guān)三角函數(shù)最值問題的題目時，應(yīng)注意正弦、余弦的有界性及函數(shù)的定義域?qū)χ涤虻挠绊?；注意利用二次函?shù)閉區(qū)間內(nèi)的最大值、最小值的方法，以及利用重要不等式或求導(dǎo)的方法來求解。例談用一元三次函數(shù)培養(yǎng)解題能力新的數(shù)學(xué)課程體系確立了以培養(yǎng)能力為核心的新教育觀念和思想，因此近年來高考以及各地模擬試題中，對函數(shù)的考查并不僅僅局限在一些常用的函數(shù)上，出現(xiàn)了不少以三次函數(shù)為背景的好試題，比較成功地培養(yǎng)和考查了學(xué)生各方面能力。以三次函數(shù)為藍本，培養(yǎng)學(xué)生分析運用函數(shù)性質(zhì)的能力考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)=x3+px+q(x∈R)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，則（）A、p=0,q=0B、p∈R,q=0C、p≤0,q=0D、p≥0,q=0解析由奇函數(shù)以及增函數(shù)的定義易知選D考查函數(shù)圖象的對稱性例2函數(shù)f(x)=x3-3x2+x-1的圖象關(guān)于（）對稱A、直線x=1B、直線y=xC、點(1,-2)D、原點解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象關(guān)于成中心對稱知選C運用函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解題例3已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則（）A、b∈(-∞,0)B、b∈(0,1)C、b∈(1,2)D、b∈(2,+∞)論數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，簡稱數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)，是“學(xué)會學(xué)習(xí)”的一個重要組成部分．目前，數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)問題是數(shù)學(xué)教學(xué)理論研究和實踐中的一個重要課題．因此，我想就此問題從四個方面做些探討，以拋磚引玉．一、數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的意義１．數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革的需要

長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)改革偏重于對教的研究，但是對于學(xué)生是如何學(xué)的，學(xué)的活動是如何安排的，往往較少問津．現(xiàn)代教學(xué)理論認為，教學(xué)方法包括教的方法和學(xué)的方法，正如前蘇聯(lián)教學(xué)論專家巴班斯基指出的那樣：“教學(xué)方法是由學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式運用的協(xié)調(diào)一致的效果決定的．”即教學(xué)方法是受教與學(xué)相互依存的教學(xué)規(guī)律所制約的．

當前，教學(xué)方法改革中的一個新的發(fā)展趨向，就是教法改革與學(xué)法改革相結(jié)合，以研究學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)方法作為創(chuàng)建現(xiàn)代化教學(xué)方法的前提，寓學(xué)法于教法之中，把學(xué)法研究的著眼點放在縱向的教法改革與橫向的學(xué)法改革的交匯處．從這個意義上講，學(xué)法指導(dǎo)應(yīng)該是教學(xué)方法改革的一個重要方面．２．培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的需要

埃德加·富爾在《學(xué)會生存》一書中指出：“未來的文盲不再是不識字的人，而是沒有學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)的人．”“教會學(xué)生學(xué)習(xí)”已成為當今世界流行的口號．前蘇聯(lián)教育家贊可夫在他的教學(xué)經(jīng)驗新體系中，把“使學(xué)生理解學(xué)習(xí)過程”作為五大原則之一．就是說，學(xué)生不能只掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，還要檢查、分析自己的學(xué)習(xí)過程，要學(xué)生對如何學(xué)、如何鞏固，進行自我檢查、自我校正、自我評價．學(xué)法指導(dǎo)的目的，就是最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，激發(fā)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生發(fā)揮自己的聰明才智提供和創(chuàng)造必要的條件．３．更好地體現(xiàn)學(xué)生為主體的需要

我國著名教育家陶行知先生早就指出：“我以為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)．”美國心理學(xué)家羅斯也說過：“每個教師應(yīng)當忘記他是一個教師，而應(yīng)具有一個學(xué)習(xí)促進者的態(tài)度和技巧．”專家學(xué)者精辟地闡述了學(xué)生在整個教學(xué)過程中始終是認識的主體和發(fā)展的主體思想，強調(diào)了學(xué)法指導(dǎo)中以學(xué)生為主體的重要性．教師在教學(xué)過程中的作用，只是為學(xué)生的認識的發(fā)展提供種種有利的條件，即幫助、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)的能力和習(xí)慣．二、數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的內(nèi)容１．形成良好的非智力因素的指導(dǎo)

主要包括學(xué)習(xí)需要、動機、興趣、毅力、情緒等良好的非智力因素形成的指導(dǎo)．２．學(xué)習(xí)方法體系的指導(dǎo)（１）指導(dǎo)學(xué)生形成擬定自學(xué)計劃的能力．（２）指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會預(yù)習(xí)的能力．要求學(xué)生邊讀邊思邊做好預(yù)習(xí)筆記，從而能帶著問題聽課．（３）指導(dǎo)學(xué)生讀書的方法．（４）指導(dǎo)學(xué)生做筆記、寫心得、繪圖表的方法，使他們能夠把自己的思想表達出來．（５）指導(dǎo)學(xué)生有效的記憶方法和溫習(xí)教材的方法．３．學(xué)習(xí)能力的指導(dǎo)

包括觀察力、記憶力、思維力、想象力、注意力以及自學(xué)、表達等能力的培養(yǎng)．４．應(yīng)考方法的指導(dǎo)

教育學(xué)生樹立信心，克服怯場心理，端正考試觀．要把題目先看一遍，然后按先易后難的次序作答；要審清題意，明確要求，不漏做、多做；要仔細檢查修改．５．良好學(xué)習(xí)心理的指導(dǎo)

教育學(xué)生學(xué)習(xí)時要專注，不受外界的干擾；要耐心仔細，獨立思考，不抄襲他人作業(yè)；要學(xué)會分析學(xué)習(xí)的困難，克服自卑感和驕傲情緒．三、數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的原則

數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的原則是根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)習(xí)規(guī)律和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出的基本法則．它是用來指導(dǎo)和改進學(xué)生學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率、質(zhì)量的準則．

就目前數(shù)學(xué)教學(xué)研究情況和學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗來看，我以為有以下幾條原則．１．系統(tǒng)化原則

要求學(xué)生將所學(xué)的知識在頭腦中形成一定的體系，成為他們知識總體中的有機組成部分．在教和學(xué)中，要把概念的形成與知識系統(tǒng)化有機聯(lián)系起來，加強各部分學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識內(nèi)部和相互之間，以及數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物之間的邏輯聯(lián)系；注意從宏觀到微觀揭示其變化的內(nèi)在本質(zhì)．并在平時就要十分重視和做好從已知到未知，新舊聯(lián)系的系統(tǒng)化工作，使所學(xué)知識先成為小系統(tǒng)、大結(jié)構(gòu)，達到系統(tǒng)化的要求．２．針對性原則

就是針對數(shù)學(xué)學(xué)科的特征及學(xué)生的實際特點進行指導(dǎo)，這是學(xué)法指導(dǎo)的最根本原則．首先，要針對學(xué)生的年齡特征進行指導(dǎo)．一般來說，初中生知識面較窄，思維能力較差，注意力不持久，學(xué)習(xí)技能不很熟練，因此，對初中生的指導(dǎo)要具體、生動、形象，多舉典型事例，側(cè)重于具體學(xué)習(xí)技能的培養(yǎng)，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．高中生則不同，知識面較廣，理解力較強，因此，可向?qū)W生介紹一些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的方法，側(cè)重于學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，開設(shè)學(xué)法課．其次，要針對學(xué)生的類型差異進行指導(dǎo)．學(xué)生的類型大致有四種：第一種，優(yōu)秀型．雙基扎實，學(xué)習(xí)有法，智力較高，成績穩(wěn)定在優(yōu)秀水平．第二種，松散型．學(xué)習(xí)能力強，但不能主動發(fā)揮，學(xué)習(xí)不夠踏實，雙基不夠扎實，學(xué)習(xí)成績不穩(wěn)定．第三種，認真型．學(xué)習(xí)很刻苦認真，但方法較死，能力較差，基礎(chǔ)不夠扎實，成績上不去．第四種，低劣型．學(xué)無興趣，不下功夫，底子差，方法死，能力弱，學(xué)習(xí)成績差，處于“學(xué)習(xí)脫軌”和“惡性循環(huán)”狀態(tài)．對不同類型的學(xué)生，指導(dǎo)方法和重點要不同．對第一種側(cè)重于幫助優(yōu)生進行總結(jié)并自覺運用學(xué)習(xí)方法；對第二種主要解決學(xué)習(xí)態(tài)度問題；對第三種主要解決方法問題；對第四種主要解決興趣、自信心和具體方法問題．解析顯然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0，又yf(x)=ax3-3ax2+2ax比較系數(shù)可知b=-3a<0，故選A引申試確定的a,b,c,d符號（答：a>0,b<0,c>0,d=0）o12以三次函數(shù)為載體，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力考查集合、映射等知識例4設(shè)f(x)=x3-x,M=｛x|1-k<x<k｝N=｛x|f(x)<0｝，若MN，求k的取值范圍解析由f(x)<0解得x<-1或a<x<1，則N=｛x|x<-1或a<x<1｝，又MN，得0<k<1,0<1-k<1或k<-1,1-k<-1解得0<k<1或k∈故k的取值范圍是（0，1）（2）、考查函數(shù)不等式等知識例5設(shè)函數(shù)f(x)=x3(x∈R)，若時,恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A、(0,1)B、(-∞,0)C、D、(-∞,1)解析由函數(shù)f(x)=x3在R上為奇函數(shù)知，又f(x)=x3在R上為增函數(shù)，得即設(shè)，由知,故選D（3）、考查二項式定理及函數(shù)知識例6設(shè)f(x)=x3-3x2+3x+1，則f(x)的反函數(shù)f-1(x)=解析結(jié)合二項式定理知f(x)=(x-1)3+2，令f(x)=y有y-2=(x-1)3得x-1=,x=+1故f-1(x)=+1以三次函數(shù)為核心，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力以三次函數(shù)為核心，與不等式、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合綜合考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。例7設(shè)f(x)=x3，等差數(shù)列｛an｝中a3=7,a1+a2+a3=12，記Sn=,令bn=anSn，數(shù)列｛｝的前項和為Tn。求｛an｝的通項公式和Sn求的值解析（1）設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d，由a3=a1+d=7,,a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1,d=3∴an=3n-2,∵f(x)=x3∴Sn==an+1(2)bn=anSn=(3n-2)(3n+1),∴故設(shè)曲線C的方程是y=x3-x，將C沿x軸，y軸的正向分別平行移動t,s單位長度后得到曲線C1。寫出曲線C1的方程；證明曲線C與C1關(guān)于點對稱;如果曲線