《九章算術(shù)》（課件）六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

認(rèn)識(shí)《九章算術(shù)》認(rèn)識(shí)《九章算術(shù)》數(shù)學(xué)文化——01《九章算術(shù)》介紹02《九章算術(shù)》——算術(shù)部分03《九章算術(shù)》——代數(shù)部分04《九章算術(shù)》——幾何部分目錄目錄第一部分《九章算術(shù)》介紹《九章算術(shù)》是中國(guó)古典數(shù)學(xué)最重要的著作.這部著作的成書年代，根據(jù)現(xiàn)在的考證，至遲在公元前1世紀(jì)，但其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程(“六藝”)中有一門是“九數(shù)”，劉徽《九章算術(shù)注》“序”中就稱《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼(？一公元前152)、耿壽昌等人刪補(bǔ).近年發(fā)現(xiàn)的湖北張家山漢初古墓竹簡(jiǎn)《算數(shù)書》(1984年出土)，有些內(nèi)容與《九章算術(shù)》類似.因此可以認(rèn)為，《九章算術(shù)》是從先秦至西漢中葉的長(zhǎng)時(shí)期里經(jīng)眾多學(xué)者編纂、修改而成的一部數(shù)學(xué)著作。《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》中收集了二百四六個(gè)應(yīng)用問題和各個(gè)問題的解法，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的。十六世紀(jì)以前的中國(guó)數(shù)學(xué)書大多都是應(yīng)用問題解法的集成，原則上遵守《九章算術(shù)》的體例。后世的數(shù)學(xué)家們結(jié)合當(dāng)時(shí)社會(huì)的實(shí)際需要，引入新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法，超出了《九章算術(shù)》的范圍，但也是在《九章算術(shù)》數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過“再實(shí)踐，再認(rèn)識(shí)”的過程發(fā)展的。劉徽創(chuàng)作的《九章算術(shù)注》，使以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)生了更本性的變化，并上升到了一個(gè)新的階段?！毒耪滤阈g(shù)》《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》中各章里的內(nèi)容比較雜亂，有不符合該章主題的情況，例如方田章里有分?jǐn)?shù)運(yùn)算問題，衰分章有一般比例問題，均輸章里只有4個(gè)均輸問題，卻有很多分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題與衰分問題。因此，在這里我們就分三部分算術(shù)、代數(shù)、幾何來介紹《九章算術(shù)》中的主要問題。第二部分《九章算術(shù)》——算術(shù)部分1.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則《九章算術(shù)》“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則。分?jǐn)?shù)加法——叫作“合分”分?jǐn)?shù)減法——叫作“減分”分?jǐn)?shù)相乘——叫作“乘分”——用相乘的分母作為分母，分子相乘為分子分?jǐn)?shù)相除——叫作“經(jīng)分”“經(jīng)分”后劉輝補(bǔ)充可以將除數(shù)的分子、分母顛倒而與被除數(shù)相乘方田章用相加數(shù)或相減數(shù)的分母的乘積作為共同分?jǐn)?shù)中國(guó)古代籌算除法：以除數(shù)除被除數(shù)，除不盡時(shí)有余數(shù)。以余數(shù)作為分子，除數(shù)作為分母，就產(chǎn)生了一個(gè)分子在上，分母在下的分?jǐn)?shù)籌算形式，連除得的整數(shù)部分在內(nèi)，它是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)。

百十個(gè)

《九章算術(shù)》“約分術(shù)”說：副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。

分子—分母91—49=4249—42=742—7=3535—7=2828—7=2121—7=1414—7=7屢次減7這個(gè)7就是“等數(shù)”就是所求的最大公約數(shù)

這個(gè)“更相減損求等”法和歐幾里得《幾何原本》第七卷中求最大公約數(shù)法是一致的。相等2.比例算法

《九章算術(shù)》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。2.比例算法《九章算術(shù)》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。希臘人的比例論是幾何線段的比例論，數(shù)字比例算法在歐洲出現(xiàn)頗晚，被稱為“三率法”，有時(shí)也叫“黃金法則”。以“今有術(shù)”為基礎(chǔ)就是按一定級(jí)差分配。“均輸”章則運(yùn)用比例分配解決糧食運(yùn)輸負(fù)擔(dān)的平均分配。3.盈不足術(shù)“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價(jià)幾何？”這個(gè)問題相信同學(xué)們可以獨(dú)自解決，可用一元一次方程也可以用一元二次方程，現(xiàn)在我們來看看《九章算術(shù)》是如何解決這個(gè)問題的，你也可以看看它的答案和你是否一樣。3.盈不足術(shù)“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價(jià)幾何？”

同學(xué)們，你們計(jì)算一下，和你們用解方程的方法計(jì)算出來的結(jié)果一樣嗎？第三部分《九章算術(shù)》——代數(shù)部分1.方程術(shù)《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的成就是具有世界意義的?！胺匠獭闭碌谝活}：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十九斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各為幾何？黍米捆打下來的糧食設(shè)上、中、下各一秉打出來的糧食分別為x，y，z（斗），則問題就相當(dāng)于解一個(gè)三元一次方程組：

《九章算術(shù)》沒有表示未知數(shù)的符號(hào)，而是用算籌將x，y，z的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)（長(zhǎng)）方陣（如圖，其中已經(jīng)將算籌換成數(shù)字）

123232311263439003452811392439003052411112439004040400111737

同學(xué)們對(duì)比觀察很容易發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》方程術(shù)的解法，實(shí)質(zhì)上就是我們今天所使用的消元法解方程，西方文獻(xiàn)中稱之為“高斯消去法”。《九章算術(shù)》方程術(shù)，是世界數(shù)學(xué)史上的一個(gè)明珠.2.正負(fù)術(shù)“方程”的每一行是由多項(xiàng)未知量和一個(gè)已知量所組成的等式，其中可能有相反意義的量，由此產(chǎn)生正數(shù)與負(fù)數(shù)的對(duì)立概念。中國(guó)數(shù)學(xué)家在方程章里提出了正負(fù)數(shù)的不同表示法和正負(fù)數(shù)的加減法則。這在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)無比的偉大成就。方程章第3題劉徽注說，用紅色的算籌表示正數(shù)，用黑色的算籌表示負(fù)數(shù)。否則就在布置算籌時(shí)用正列的籌表示正數(shù)，斜列的籌表示負(fù)數(shù)。2.正負(fù)術(shù)同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之.其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之.同號(hào)異號(hào)大意：二數(shù)同號(hào)則絕對(duì)值的差是余數(shù)的絕對(duì)值。二數(shù)異號(hào)則絕對(duì)值的和是余數(shù)的絕對(duì)值。減去的數(shù)如其是正數(shù)而大于被減數(shù)時(shí)，余數(shù)得負(fù)號(hào)；如其是負(fù)數(shù)而小于被減數(shù)時(shí)，余數(shù)得正好。對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)是人類數(shù)系擴(kuò)充的重大步驟.7世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家也開始使用負(fù)數(shù)，對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)在歐洲卻進(jìn)展緩慢，甚至到16世紀(jì)韋達(dá)的著作還在回避使用負(fù)數(shù)。3.開方術(shù)《九章算術(shù)》“少廣”章有“開方術(shù)”和“開立方數(shù)”，給出了開平方和開立方的算法。《九章算術(shù)》開方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。用現(xiàn)代記號(hào)表述，《九章算術(shù)》開放術(shù)相當(dāng)于解方程

3.開方術(shù)《九章算術(shù)》開方術(shù)中特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”，并給這種不盡根數(shù)起了一個(gè)專門的名字——“面”.《九章算術(shù)》時(shí)代的中國(guó)數(shù)學(xué)家，如同他們對(duì)待負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)一樣，對(duì)在開方過程中接觸到的無理量也這樣泰然處之。這或許是因?yàn)橐龑?dǎo)他們發(fā)現(xiàn)不盡根數(shù)的算法本身，使他們能夠有效地計(jì)算這種不盡根數(shù)地近似值。第四部分《九章算術(shù)》——幾何部分《九章算術(shù)》“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積計(jì)算，“商功”章討論體積計(jì)算，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用?！毒耪滤阈g(shù)》中幾何問題具有很明顯的實(shí)際背景，如面積問題多與農(nóng)田測(cè)量有關(guān)，體積問題則主要涉及工程土方計(jì)算。各種幾何圖形的名稱就反應(yīng)著它們的現(xiàn)實(shí)來源。如平面圖形有：“方田”（長(zhǎng)方形）、“圭田”（三角形）、“箕田”（梯形）、“圓田”（圓）、“孤田”（弓形）、“環(huán)田”（圓環(huán)）等，這些圖形都是我們現(xiàn)在熟悉的幾何圖形，只不過在名稱上和以前不同。如立體圖形有：“倉”（長(zhǎng)方體）、“方錐”（正方椎體）、“方亭”（平截頭方錐）、“圓錐”（正圓椎體）、“圓亭”（平截頭圓錐）；“鱉臑”（底面為直角三角形而有一棱與底面垂直的椎體）“陽馬”（底面為長(zhǎng)方形而有一棱與底面垂直的椎體）陽馬塹堵鱉臑“塹堵”（底面為直角三角形的正柱體）“羨除”（三個(gè)側(cè)面均為梯形的鍥形體）“芻童”（上、下底