《數(shù)學史》第13章20世紀數(shù)學概觀(Ⅲ)

第13章20世紀數(shù)學概觀(Ⅲ)現(xiàn)代數(shù)學成果十例

13.1哥德爾不完全性定理

哥德爾是奧地利著名數(shù)學家,不完備性定理是他在1931年于《論<數(shù)學原理>及有關系統(tǒng)中的形式不可判定命題》中提出來的。這一理論使數(shù)學根底研究發(fā)生了劃時代的變化,更是現(xiàn)代邏輯史上很重要的一座里程碑哥德爾哥德爾〔1906—1978〕生于捷克的布爾諾，卒于美國普林斯頓。早年在維也納大學攻讀修讀理論物理、根底數(shù)學，后來又轉研數(shù)理邏輯、集合論。但1940年代中就將注意力投放在哲學上，并參加哲學小組活動。1930年獲博士學位。其博士論文證明了「狹謂詞演算的有效公式皆可證」。之后在維也納大學工作。1938年到美國普林斯頓高等研究院任職，1948年參加美國籍。1953年成為該所教授。

哥德爾開展了馮·諾伊曼和伯奈斯等人的工作，其主要奉獻在邏輯學和數(shù)學根底方面。在20世紀初，他證明了哥德爾不完全性定理,這一著名結果發(fā)表在1931年的論文中。他還致力于連續(xù)統(tǒng)假設的研究，在1930年采用一種不同的方法得到了選擇公理的相容性證明。3年以后又證明了〔廣義〕連續(xù)統(tǒng)假設的相容性定理，并于1940年發(fā)表。他的工作對公理集合論有重要影響，而且直接導致了集合和序數(shù)上的遞歸論的產(chǎn)生。性格哥德爾是個要求嚴格的人。因此，他很多的想法在生前都沒有正式發(fā)表甚至記錄，要逝世后從其手稿找出。他不喜歡談論自己或受到注目。哥德爾曾要求王浩在死后才可以發(fā)表一篇有關他的傳記。他在學術研究之外的東西，都不公開發(fā)表意見。他亦討厭旅行。他自幼多病，而且從小便患了疑病癥。他還患過抑郁癥。后來他在普林斯頓的醫(yī)院絕食而死，因為他認為那些食物有毒。

國籍

雖然他的傳記列出很多國家，他通常被視為奧地利人。他出生在奧匈帝國的布爾諾，在十二歲時成為捷克斯洛伐克公民，在二十三歲時成為奧地利公民。當希特勒吞并奧地利時，哥德爾自動成為德國人。1948年4月，哥德爾夫婦宣誓成為美國公民。在獲得美國公民前接受面試時，假設不是愛因斯坦等老朋友的拼命阻止，哥德爾對美國憲法較真的探究將使例行的審核程序難以進行下去。

哥德爾第一不完全定理設系統(tǒng)S包含有一階謂詞邏輯與初等數(shù)論，如果S是一致的，那么下文的T與非T在S中均不可證。哥德爾第二不完全定理如果系統(tǒng)S含有初等數(shù)論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。

第一不完備性定理任意一個包含算術系統(tǒng)在內的形式系統(tǒng)中，都存在一個命題，它在這個系統(tǒng)中既不能被證明也不能被否認。第二不完備性定理任意一個包含算術系統(tǒng)的形式系統(tǒng)自身不能證明它本身的無矛盾性。但是哥德爾不完全性定理的影響遠遠超出了數(shù)學的范圍。它不僅使數(shù)學、邏輯學發(fā)生革命性的變化，引發(fā)了許多富有挑戰(zhàn)性的問題，而且還涉及哲學、語言學和計算機科學，甚至宇宙學。2002年8月17日，著名宇宙學家霍金在北京舉行的國際弦理論會議上發(fā)表了題為《哥德爾與M理論》的報告，認為建立一個單一的描述宇宙的大統(tǒng)一理論是不太可能的，這一推測也正是基于哥德爾不完全性定理。

哥德爾不完全性定理的影響

哥德爾不完全性定理的影響

哥德爾不完全性定理一舉粉碎了數(shù)學家兩千年來的信念。他告訴我們，真與可證是兩個概念?？勺C的一定是真的，但真的不一定可證。某種意義上，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。無怪乎大數(shù)學家外爾發(fā)出這樣的感慨：“上帝是存在的，因為數(shù)學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”13.2高斯-博內公式的推廣

高斯－博內公式有許多重要應用，其中之一就是關于曲面上向量場奇點的龐加萊定理:設S是緊致無邊界的可定向曲面。對于S上任何只有孤立奇點的向量場,它在所有奇點處的指標之和等于S的歐拉示性數(shù)。因為球面〔以及與球面同胚的閉曲面〕的歐拉示性數(shù)為2,所以球面上的向量場必有奇點。這一點可比喻如下：假設把地球上各地的風速看成一個向量場，那么任何時候地球上總有一個地方?jīng)]有風。

陳省身生于1911年，15歲考上南開大學，是第一位獲得國際數(shù)學界最高榮譽“沃爾夫數(shù)學獎”的華人。1943年，32歲的陳省身完成了關于高斯-博內公式的簡單內蘊證明，這篇論文被譽為數(shù)學史上劃時代的論文，他因此被國際數(shù)學界尊稱為“微分幾何之父”。1985年，陳省身創(chuàng)辦南開大學陳省身數(shù)學研究所，培養(yǎng)了大批優(yōu)秀的青年數(shù)學家，為我國的數(shù)學事業(yè)做出了重大奉獻。2000年，89歲的陳省身葉落歸根，定居母校南開大學，九旬高齡時仍親自為本科生講課、指導研究生。

13.3米爾諾怪球米爾諾約翰·米爾諾〔1931－〕，美國數(shù)學家。他的主要奉獻在于微分拓撲、K-理論和動力系統(tǒng)及其著作。他曾獲得1962年度菲爾茲獎、1989年度沃爾夫獎及2011年度阿貝爾獎。生平

米爾諾出生于美國新澤西州奧蘭治。在普林斯頓大學就讀本科期間，證明了Fary–Milnor定理。之后，他在進入普林斯頓大學的研究生院，并完成了論文《IsotopyofLinks》。獲得博士學位后，他繼續(xù)在普林斯頓工作。1962年，米爾諾因他在微分拓撲領域的工作獲得菲爾茲獎。之后，他又獲得了美國國家科學獎章〔1967年〕、LeroyPSteelePrize〔1982年，2004年，2011年〕、沃爾夫獎〔1989年〕。他還著有許多出色的書籍。這些書通俗，簡潔而又嚴謹。2011年，他因其“在拓撲，幾何和代數(shù)的開拓性發(fā)現(xiàn)”獲得了阿貝爾獎。作為回應，他告訴《新科學家》，“這感覺非常好”(“Itfeelsverygood”)，并說“早上6點的總是讓人感到意外?！?/p>

微分拓撲學在20世紀50年代由于米爾諾等的工作而進入了黃金時期。此前，數(shù)學家們都以為在流形上只存在一種微分結構。但1956年，美國數(shù)學家米爾諾卻在七維球面上找到了28種不同的微分結構。這一令人震驚的結論為這種七維流形贏來了“米爾諾怪球”的著稱。

米爾諾怪球觸發(fā)的微分拓撲學的開展可以說是奇峰迭起。其中尤以4維歐幾里得空間微分流形的有關結論最為引人注目。

1980年以前，數(shù)學家們已經(jīng)證明了，除4維外，所有的歐幾里得空間都只具有一種微分結構。1982年，英國牛津大學的數(shù)學家唐納爾遜證明了在4維歐幾里得空間上存在著與通常不同的微分結構。也就是說世界數(shù)學家和物理學家們從牛頓時代以來所慣用的微分結構并不是唯一可能的。不久又有人證明了在4維歐幾里得空間上可以有無窮多種微分結構，通常的微分結構只不過是其中之一。究竟是什么原因造成了四維時空的與眾不同。數(shù)學家們目前還不能答復這個事關重大的問題。

13.4阿蒂亞-辛格指標定理阿蒂亞-辛格指標定理可以表達為：“對任何一個線性橢圓微分算子D，下面的公式成立：D的分析指標=D的拓撲指標?！卑⒌賮?辛格指標定理M.F.阿蒂亞生于英國，阿蒂亞給出了阿蒂亞-辛格指標定理，解決了李群表示論等，把不動點原理推廣到一般形式。阿蒂亞1929年4月22日生于倫敦，1949年入劍橋三一學院學習，1952年畢業(yè)，1955年獲博士學位，1954—1958年任研究員，1958—1961年任講師，1961年去牛津大學任高級講師，1963—1969年任塞維爾幾何講座教授：1969一1972年任美國普林斯頓高等研究院數(shù)學教授。1973年回牛津任皇家學會研究教授，199O年回劍橋任三一學院院長。阿蒂亞-辛格指標定理阿蒂亞的最重大奉獻是同辛格在1963年證明了指標定理，把拓撲不變量通過解析不變量來表示。由這個定理可以推出許多數(shù)學上的重要定理，其證明也涉及數(shù)學上諸多領域，特別是偏微分算子和他參與建立的K理論。K理論是第一個重要的廣義上同調理論。有廣泛應用，英國拓撲學家亞當斯〔J.Adams〕曾用來解決球面上獨立向量場的數(shù)目問題。到1970年阿蒂亞啟動新一輪研究，即標準理論和拓撲與幾何關系，進而導致20世紀最后25年低維拓撲及幾何和理論物理如量子場論與弦論的奇妙關系的發(fā)現(xiàn)，它把拓樸、幾何和物理都帶到一個全新的境界。

阿蒂亞是英國倫敦皇家學會會員，美國國家科學院和法國科學院外籍院士，1983年獲爵上稱號，1990—1995年任皇家學會會長，1990年他任新建牛頓數(shù)學科學研究所首任所長，在這些位置上對科學政策、教育與研究方向發(fā)揮重大作用。

13.5孤立子與非線性偏微分方程〔1965〕

13.6四色問題〔1976〕

13.7分形與混沌〔1977〕