彈性力學(xué)中的五個基本假定

如何由這些已知量求出未知量，彈性力學(xué)的研究方法是：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件。即在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束與位移的關(guān)系，建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下從平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。對任何學(xué)科進行研究時，總不可能將所有的影響因素都考慮在內(nèi)，否則該問題將會變成非常復(fù)雜而無法求解。因此，在任何學(xué)科中總是首先對各種影響因素進行分析，既必須考慮那些主要的影響因素，又必須略去那些影響很小的因素。然后抽象地概括出這些主要因素，建立一個所謂的“物理模型”，并對該模型進行研究。當(dāng)然，研究的結(jié)果將可以用于任何符合該物理模型的實際物體。在彈性力學(xué)問題中，通過對主要影響因素的分析，歸結(jié)為以下的幾個彈性力學(xué)基本假定。首先，是對物體的材料性質(zhì)作如下的四個基本假定：一連續(xù)性假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙，這樣物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)力、形變、位移等才可能是連續(xù)的，因而才可能用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。實際上一切物體都是由微粒組成的，嚴(yán)格來說都不符合上述假定。但是可以想見，只要微粒的尺寸以及相鄰微粒之間的距離都比物體的尺寸小很多，那么關(guān)于物體連續(xù)性的假定就不會引起顯著的誤差。二完全彈性假定物體是完全彈性的。所謂完全彈性，指的是“物體在引起形變的外力被除去以后，能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余形變”。這樣的物體在任一瞬時的形變就完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。由材料力學(xué)已知：塑性材料的物體，在應(yīng)力未達到屈服極限以前，是近似的完全彈性體；脆性材料的物體，在應(yīng)力未超過比例極限以前，也是近似的完全彈性體。在一般的彈性力學(xué)中，完全彈性的這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的。因此，這種線性的完全彈性體中應(yīng)力和形變之間服從胡克定律，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。

三均勻性假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的。這樣整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性才不隨位置坐標(biāo)而變。如果物體是由兩種或兩種以上的材料組成的，例如混凝土，那么也只要每一種材料的顆粒遠遠小于物體而且在物體內(nèi)均勻分布，這個物體就可以當(dāng)作是均勻的。

四各向同性假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同。這樣物體的彈性常數(shù)才不隨方向而變。顯然，由木材和竹材做成的構(gòu)件都不能當(dāng)做各向同性體。至于由鋼材做成的構(gòu)件，雖然它含有各向異性的晶體，但由于晶體很微小，而且是隨機排列的，所以鋼材構(gòu)件的彈性（包含無數(shù)多微小晶體隨機排列時的統(tǒng)觀彈性），大致是各向相同的。凡是符合以上四個假定的物體，就稱為理想彈性體。此外，還對物體的變形狀態(tài)作如下的小變形假定。

五位移和形變是微小的這就是說，假定物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便地用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差；并且在考察物體的形變與位移的關(guān)系時，轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次和高次冪或乘積相對于其本身都可以忽略不計。例如：對于微小的轉(zhuǎn)角α，有cosα=1-1/2α2+···≈1，sinα=α-1/3!α3+···≈α，tanα=α+1/3α3+···≈α；對于微小的正應(yīng)變εx，有1/1