考研數(shù)學(xué)一(填空題)高頻考點(diǎn)模擬試卷16(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（填空題）高頻考點(diǎn)模擬試卷16(題后含答案及解析)題型有：1.1．設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=__________．正確答案：m解析：令x=一1，則f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=na．當(dāng)n=1，2，3時(shí)，已知或者已證．假設(shè)n≤k時(shí)，有f(k)=ka．當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故對一切正整數(shù)n，有f(n)=na，令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負(fù)整數(shù)n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．知識模塊：函數(shù)、極限、連續(xù)2．設(shè)f(x)連續(xù)，且，則=__________。正確答案：a2f(a)解析：知識模塊：高等數(shù)學(xué)部分3．設(shè)正確答案：z涉及知識點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)4．對隨機(jī)變量X，Y，Z，已知EX=EY=1，EZ=-1，DX=DY=1，DZ=4，ρ(X，Y)=0，ρ(X，Z)=1／3，ρ(Y，Z)=-1／2，(ρ為相關(guān)系數(shù))則E(X+Y+Z)=_______，D(X+Y+Z)=_______，cov(2X+Y，3Z+X)=_______。正確答案：1；16/3；3解析：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2coy(X，Y)+2cov(X，Z)+2cov(Y，Z)=1+1+4+0+2ρ(X，Z)，cov(2X+Y，3Z+X)=6cov(X，Z)+2DX+3cov(Y，Z)+cov(Y，X)=6×ρ(X，Z)知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)5．過曲面z—ez＋2xy＝3上點(diǎn)M0(1，2，0)處的切平面方程為______·正確答案：0解析：曲面方程F(x，y，z)＝0，F(xiàn)(x，y，z)＝z一ex＋2xy一3，gradF＝＝{2y，2x，1—ez}，gradF＝｛4，2，0｝＝2｛2，1，0｝.點(diǎn)M0的切平面方程為2(x一1)＋(y一2)＝0，即2x＋y一4＝0．知識模塊：高等數(shù)學(xué)6．=_______。正確答案：i+j+k解析：知識模塊：向量代數(shù)和空間解析幾何7．曲線在xOy平面上的投影曲線為__________．正確答案：解析：知識模塊：高等數(shù)學(xué)部分8．設(shè)α為3維列向量，αT是α的轉(zhuǎn)量．若ααT=，則αTα=_____．正確答案：3涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)9．設(shè)曲線y=ax2與y=ln2x相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_______．正確答案：解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則則y0=ln2x0=．故所求切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)=知識模塊：高等數(shù)學(xué)10．過直線且和點(diǎn)(2，2，2)的距離為的平面方程是______．正確答案：5x－y－z－3=0或x+y－z－1=0解析：已知直線的一般式方程為顯然平面3x－z－2=0不符合題意，可設(shè)過該直線的平面束方程為πλ：(2+3λ)x－y－λz－(1+2λ)=0，由點(diǎn)(2，2，2)到πλ的距離為得化簡得λ2=1，λ=±1．當(dāng)λ=1時(shí)，對應(yīng)一個(gè)平面π1：5x－y－z－3=0；當(dāng)λ=－1時(shí)，對應(yīng)另一個(gè)平面π2：x+y－z－1=0．知識模塊：向量代數(shù)與空間解析幾何11．設(shè)XA＝AT＋X，其中A＝，則X＝______．正確答案：解析：由XA—X＝AT有X(A—E)＝AT，因?yàn)锳可逆，知X與A—E均可逆．知識模塊：線性代數(shù)12．若函數(shù)f(x)滿足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex，則f(x)=___________。正確答案：ex解析：已知條件中二階常微分方程的特征方程為λ2+λ一2=0，特征根為λ1=1，λ2=一2，則二階齊次微分方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解為f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一C2e-2x=2ex，可知C1=1，C2=0．故f(x)=ex。知識模塊：常微分方程13．微分方程y′=1+x+y2+xy2的通解為________。正確答案：y=，其中C為任意常數(shù)解析：將已知方程變形后，并整理得=(1+x)(1+y2)，則兩邊積分可得arctany=(1+x)2+C，因此y=，其中C為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程14．歐拉方程(x＞0)的通解為________。正確答案：，C1，C2為任意常數(shù)解析：令x=et，則，且代入原方程，整理得解此方程，得通解為y=C1e—t+C2e—2t=，C1，C2為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程15．f(x)=ln(2+x一3x2)在x=0處的泰勒展開式為_________．正確答案：解析：f(x)的泰勒展式為f(x)=ln[(1一x)(2+3x)]=ln(1一x)+ln(2+3x)知識模塊：無窮級數(shù)16．設(shè)X，Y相互獨(dú)立且都服從(0，2)上的均勻分布，令Z=min(X，Y)，則P(0＜Z＜1)=___________．正確答案：解析：由X，Y在(0，2)上服從均勻分布得因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以fz(z)=P(Z≤z)=1一P(Z＞z)=1一P{min(X，Y)＞Z}=1—P(X＞z，Y＞z)=1一P(X＞z)P(Y＞z)=1一[1一P(X≤z)][1一P(Y≤z)]=1一[1一FX(z)][1一FY(z)]于是P(0＜Z＜1)=FZ(1)一FZ(0)=．知識模塊：概率統(tǒng)計(jì)17．已知矩陣A=有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則a=_______．正確答案：－1解析：由A的特征多項(xiàng)式|λE－A|=(λ+1)3，知矩陣A的特征值是λ=－1(三重根)，因?yàn)锳只有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故從而a=－1．知識模塊：線性代數(shù)18．獨(dú)立投骰子兩次，X，Y表示投出的點(diǎn)數(shù)，令A(yù)＝{X＋Y＝10}，B＝{X＞Y)，則P(A＋B)＝___________.正確答案：解析：P(A)＝P{X＝4，Y＝6)＋P{X＝5，Y＝5)＋P{X＝6，Y＝4}＝，P(B)＝P{X＝2，Y＝1}＋P{X＝3，Y＝1}＋P{X＝3，Y＝2}＋P{X＝4，Y＝3}＋P{X＝4，Y＝2}＋P{X＝4，Y＝1}＋P{X＝5，Y＝4}＋P{X＝5，Y＝3}＋P{X＝5，Y＝2}＋P{X＝5，Y＝1}＋P{X＝6，Y＝5}＋P{X＝6，Y＝4}＋P{X＝6，Y＝3}＋P{X＝6，Y＝2}＋P{X＝6，Y＝1}＝P(AB)＝P{X＝6，Y＝4)＝，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)一P(AB)＝．知識模塊：概率統(tǒng)計(jì)部分19．微分方程3extanydx+(1－ex)sec2ydy=0的通解是______．正確答案：tany=C(ex－1)3，其中C為任意常數(shù)解析：方程分離變量得積分得lntan｜y｜=3ln｜ex－1｜+lnC1．所以方程的通解為tany=C(ex－1)3，其中C為任意常數(shù)．知識模塊：常微分方程20．已知X，Y為隨機(jī)變量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=，設(shè)A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，則P(A)=________，P(B)=________，P(C)=_____。正確答案：解析：首先分析事件的關(guān)系，用簡單事件運(yùn)算去表示復(fù)雜事件，后應(yīng)用概率性質(zhì)計(jì)算概率。由于A={max(X，Y)≥0}={X，Y至少有一個(gè)大于等于0}={X≥0}∪{Y≥0}，所以P(A)=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{x≥0，Y≥0}=又{max(X，Y){min(X，Y)＜0}，則B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}={max(X，Y)＜0}=。從而P(B)=根據(jù)全集分解式知：A={max(X，Y)≥0}={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}+{max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0}=C+{X≥0，Y≥0}，故P(C)=P(A)-P{X≥0，Y≥0}=知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)21．設(shè)隨機(jī)變量X與－X服從同一均勻分布U(a，b)，已知X的概率密度f(x)的平方f2(x)也是概率密度，則b=______．正確答案：解析：因X～U(a，b)，則－X～U(－b，－a)，又X與－X同分布，故有a=－b，即X～U(－b，b)，所以又因?yàn)閒2(x)也是概率密度，所以有1=∫－∞+∞f2(x)dx=知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)22．設(shè)隨機(jī)變量X與一X服從同一均勻分布U[a，b]，已知X的概率密度f(x)的平方f2(x)也是概率密度，則b=__________．正確答案：解析：若x～U[a，b]，則一X～U[一b，一a]，由X與一X同分布可知a=一b，即x～U[一b，b]．于是有由題設(shè)f2(x)也是概率密度，則由知識模塊：隨機(jī)變量及其分布23．設(shè)隨機(jī)變量X和Y均服從，且D(X+Y)=1，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=_________。正確答案：1解析：根據(jù)題意可知D(X)=D(Y)=，且1=D(X