《現(xiàn)代通信原理與技術(shù)》課件第8章

8.1匹配濾波器8.2最小差錯(cuò)概率接收準(zhǔn)則8.3確知信號(hào)的最佳接收機(jī)8.4隨相信號(hào)的最佳接收機(jī)8.5最佳接收機(jī)性能比較8.6最佳基帶傳輸系統(tǒng)

第8章數(shù)字信號(hào)的最佳接收8.1匹配濾波器

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，濾波器是其中重要部件之一，濾波器特性的選擇直接影響數(shù)字信號(hào)的恢復(fù)。在數(shù)字信號(hào)接收中，濾波器的作用有兩個(gè)方面，第一是使濾波器輸出有用信號(hào)成分盡可能強(qiáng)；第二是抑制信號(hào)帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對(duì)信號(hào)判決的影響。通常對(duì)最佳線性濾波器的設(shè)計(jì)有兩種準(zhǔn)則：一種是使濾波器輸出的信號(hào)波形與發(fā)送信號(hào)波形之間的均方誤差最小，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器；另一種是使濾波器輸出信噪比在某一特定時(shí)刻達(dá)到最大，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器。在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。

由第7章分析的數(shù)字信號(hào)解調(diào)過程我們知道，解調(diào)器中抽樣判決以前各部分電路可以用一個(gè)線性濾波器來等效，接收過程等效原理圖如圖8-1所示。圖中，s(t)為輸入數(shù)字信號(hào)，信道特性為加性高斯白噪聲信道，n(t)為加性高斯白噪聲，H(ω)為濾波器傳輸函數(shù)。由數(shù)字信號(hào)的判決原理我們知道，抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，與濾波器輸出信號(hào)波形和發(fā)送信號(hào)波形之間的相似程度無關(guān)，也即與濾波器輸出信號(hào)波形的失真程度無關(guān)，而只取決于抽樣時(shí)刻信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，錯(cuò)誤判決的概率就越??；反之，信噪比越小，錯(cuò)誤判決概率就越大。圖8–1數(shù)字信號(hào)接收等效原理圖因此，為了使錯(cuò)誤判決概率盡可能小，就要選擇濾波器傳輸特性使濾波器輸出信噪比盡可能大的濾波器。當(dāng)選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí)，該濾波器就稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。下面就來分析當(dāng)濾波器具有什么樣的特性時(shí)才能使輸出信噪比達(dá)到最大。分析模型如圖8-1所示。設(shè)輸出信噪比最大的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)為H(ω),濾波器輸入信號(hào)與噪聲的合成波為

r(t)=s(t)+n(t)

式中，s(t)為輸入數(shù)字信號(hào)，其頻譜函數(shù)為S(ω)。n(t)為高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度為。(8.1-1)由于該濾波器是線性濾波器，滿足線性疊加原理，因此濾波器輸出也由輸出信號(hào)和輸出噪聲兩部分組成，即

y(t)=so(t)+no(t) (8.1-2)式中輸出信號(hào)的頻譜函數(shù)為So(ω)，其對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)為濾波器輸出噪聲的平均功率為(8.1-3)(8.1-4)在抽樣時(shí)刻t0，線性濾波器輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為由式(8.1-5)可見，濾波器輸出信噪比ro與輸入信號(hào)的頻譜函數(shù)S(ω)和濾波器的傳輸函數(shù)H(ω)有關(guān)。在輸入信號(hào)給定的情況下，輸出信噪比ro只與濾波器的傳輸函數(shù)H(ω)有關(guān)。使輸出信噪比ro達(dá)到最大的傳輸函數(shù)H(ω)就是我們所要求的最佳濾波器的傳輸函數(shù)。式(8.1-5)是一個(gè)泛函求極值的問題，采用施瓦茲(Schwartz)不等式可以容易地解決該問題。(8.1-5)式中，X(ω)和Y(ω)都是實(shí)變量ω的復(fù)函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)

X(ω)=KY*(ω)時(shí)式(8.1-6)中等式才能成立。式(8.1-7)中K為任意常數(shù)。將施瓦茲不等式用于式(8.1-5)，并令

X(ω)=H(ω)(8.1-8)

Y(ω)=S(ω)ejωt0(8.1-9)施瓦茲不等式為(8.1-6)(8.1-7)可得根據(jù)帕塞瓦爾定理有(8.1-10)(8.1-11)式中E為輸入信號(hào)的能量。代入式(8.1-10)有式(8.1-12)說明，線性濾波器所能給出的最大輸出信噪比為根據(jù)施瓦茲不等式中等號(hào)成立的條件X(ω)=KY*(ω)，可得不等式(8.1-10)中等號(hào)成立的條件為

H(ω)=KS*(ω)e-jωt0

式中，K為常數(shù)，通?？蛇x擇為K=1。S*(ω)是輸入信號(hào)頻譜函數(shù)S(ω)的復(fù)共軛。式(8.1-14)就是我們所要求的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)，該濾波器在給定時(shí)刻t0能獲得最大輸出信噪比。(8.1-12)(8.1-13)(8.1-14)

這種濾波器的傳輸函數(shù)除相乘因子Ke-jωt0外，與信號(hào)頻譜的復(fù)共軛相一致，所以稱該濾波器為匹配濾波器。從匹配濾波器傳輸函數(shù)H(ω)所滿足的條件，我們也可以得到匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)：(8.1-15)即匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為

h(t)=Ks(t0-t)

式(8.1-16)表明，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)是輸入信號(hào)s(t)的鏡像函數(shù)，t0為輸出最大信噪比時(shí)刻。其形成原理如圖8-2所示。對(duì)于因果系統(tǒng)，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足:Ks(t0-t),t≥00,t＜0h(t)=(8.1-17)(8.1-16)圖8-2匹配濾波器單位沖激響應(yīng)原理

s(t0－t)=0,t＜0

(8.1-18)

s(t)=0,t0－t＜0或t＞t0

(8.1-19)上式條件說明，對(duì)于一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸入信號(hào)s(t)必須在它輸出最大信噪比的時(shí)刻t0之前結(jié)束。也就是說，若輸入信號(hào)在T時(shí)刻結(jié)束，則對(duì)物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸出最大信噪比時(shí)刻t0必須在輸入信號(hào)結(jié)束之后，即t0≥T。對(duì)于接收機(jī)來說，t0是時(shí)間延遲，通?？偸窍Ｍ麜r(shí)間延遲盡可能小，因此一般情況可取t0=T。為了滿足式(8.1-17)的條件，必須有：

若輸入信號(hào)為s(t)，則匹配濾波器的輸出信號(hào)為(8.1-20)令t0-τ=x,有(8.1-21)式中，R(t)為輸入信號(hào)s(t)的自相關(guān)函數(shù)。上式表明，匹配濾波器的輸出波形是輸入信號(hào)s(t)的自相關(guān)函數(shù)的K倍。因此，匹配濾波器可以看成是一個(gè)計(jì)算輸入信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器，其在t0時(shí)刻得到最大輸出信噪比romax=。由于輸出信噪比與常數(shù)K無關(guān)，所以通常取K=1。

[例8-1］設(shè)輸入信號(hào)如圖8-3(a)所示，試求該信號(hào)的匹配濾波器傳輸函數(shù)和輸出信號(hào)波形。 1,0≤t≤0,其他s(t)=解

(1)輸入信號(hào)為圖8-3信號(hào)時(shí)間波形匹配濾波器的傳輸函數(shù)為匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為

h(t)=s(t0－t)取t0=T，則有h(t)=s(T-t)輸入信號(hào)s(t)的頻譜函數(shù)為(2)由式(8.1-21)可得匹配濾波器的輸出為其他=匹配濾波器的輸出波形如圖8-3(c)所示?？梢姡ヅ錇V波器的輸出在t=T時(shí)刻得到最大的能量E=。8.2最小差錯(cuò)概率接收準(zhǔn)則8.2.1數(shù)字信號(hào)接收的統(tǒng)計(jì)模型

在數(shù)字信號(hào)的最佳接收分析中，我們不是采用先給出接收機(jī)模型然后分析其性能的分析方法，而是從數(shù)字信號(hào)接收統(tǒng)計(jì)模型出發(fā)，依據(jù)某種最佳接收準(zhǔn)則，推導(dǎo)出相應(yīng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)，然后再分析其性能。數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型如圖8-4所示。圖中消息空間、信號(hào)空間、噪聲空間、觀察空間及判決空間分別代表消息、發(fā)送信號(hào)、噪聲、接收信號(hào)波形及判決結(jié)果的所有可能狀態(tài)的集合。各個(gè)空間的狀態(tài)用它們的統(tǒng)計(jì)特性來描述。圖8–4數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，消息是離散的狀態(tài)，設(shè)消息的狀態(tài)集合為

X={x1,x2,…,xm}(8.2-1)若消息集合中每一狀態(tài)的發(fā)送是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，第i個(gè)狀態(tài)xi的出現(xiàn)概率為P(xi)，則消息X的一維概率分布為x1

x2

…

xm

P(x1)P(x2)…P(xm)

若消息各狀態(tài)x1,x2,…,xm出現(xiàn)的概率相等，則有

P(x1)=P(x2)=…=P(xm)=(8.2-3)

消息是各種物理量，本身不能直接在數(shù)字通信系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸，因此需要將消息變換為相應(yīng)的電信號(hào)s(t)，用參數(shù)S來表示。將消息變換為信號(hào)可以有各種不同的變換關(guān)系，通常最直接的方法是建立消息與信號(hào)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即消息xi與信號(hào)si(i=1,2，…，m)相對(duì)應(yīng)。這樣，信號(hào)集合S也由m個(gè)狀態(tài)所組成，即根據(jù)概率的性質(zhì)有(8.2-2)

S={s1,s2,…,sm}(8.2-4)同時(shí)也有并且信號(hào)集合各狀態(tài)出現(xiàn)概率與消息集合各狀態(tài)出現(xiàn)概率相等，即

P(s1)=P(x1)

P(s2)=P(x2)

P(sm)=P(xm)

……(8.2-5)

若消息各狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，則有

(8.2-6)

P(si)是描述信號(hào)發(fā)送概率的參數(shù)，通常稱為先驗(yàn)概率，它是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的第一數(shù)據(jù)。信道特性是加性高斯噪聲信道，噪聲空間n是加性高斯噪聲。在前面各章分析系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)，用噪聲的一維概率密度函數(shù)來描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,在本章最佳接收中，為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，采用噪聲的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(n)=f(n1,n2,…,nk)(8.2-7)式中，n1,n2,…,nk為噪聲n在各時(shí)刻的可能取值。

根據(jù)隨機(jī)信號(hào)分析理論我們知道，若噪聲是高斯白噪聲，則它在任意兩個(gè)時(shí)刻上得到的樣值都是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；若噪聲是帶限高斯型的，按抽樣定理對(duì)其抽樣，則它在抽樣時(shí)刻上的樣值也是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。根據(jù)隨機(jī)信號(hào)分析，若隨機(jī)信號(hào)各樣值是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則其k維聯(lián)合概率密度函數(shù)等于其k個(gè)一維概率密度函數(shù)的乘積，即

f(n1,n2,…,nk)=f(n1)f(n2)…f(nk)

(8.2-8)

式中，f(ni)是噪聲n在ti時(shí)刻的取值ni的一維概率密度函數(shù)，若ni的均值為零，方差為σ2n，則其一維概率密度函數(shù)為噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為根據(jù)帕塞瓦爾定理，當(dāng)k很大時(shí)有(8.2-9)(8.2-10)(8.2-11)

信號(hào)通過信道疊加噪聲后到達(dá)觀察空間，觀察空間的觀察波形為式中，為噪聲的單邊功率譜密度。代入式(8.2-10)可得(8.2-12)由于在一個(gè)碼元期間T內(nèi)，信號(hào)集合中各狀態(tài)s1,s2,…,sm

中之一被發(fā)送，因此在觀察期間T內(nèi)觀察波形為

y(t)=n(t)+si(t)(i=1,2,…,m)

y=n+s

(8.2-13)

(y)稱為似然函數(shù)，它是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的第二數(shù)據(jù)。根據(jù)y(t)的統(tǒng)計(jì)特性，按照某種準(zhǔn)則，即可對(duì)y(t)作出判決，判決空間中可能出現(xiàn)的狀態(tài)r1,r2,…,rm與信號(hào)空間中的各狀態(tài)s1,s2,…,sm相對(duì)應(yīng)。由于n(t)是均值為零，方差為σ2n的高斯過程，則當(dāng)出現(xiàn)信號(hào)si(t)時(shí),y(t)的概率密度函數(shù)fsi(y)可表示為(8.2-14)8.2.2最佳接收準(zhǔn)則在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀且最合理的準(zhǔn)則是“最小差錯(cuò)概率”準(zhǔn)則。由于在傳輸過程中，信號(hào)會(huì)受到畸變和噪聲的干擾，發(fā)送信號(hào)si(t)時(shí)不一定能判為ri出現(xiàn)，而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn)。這樣將會(huì)造成錯(cuò)誤接收，我們期望錯(cuò)誤接收的概率愈小愈好。在噪聲干擾環(huán)境中，按照何種方法接收信號(hào)才能使得錯(cuò)誤概率最?。课覀円远M(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)為例分析其原理。在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)送信號(hào)只有兩種狀態(tài)，假設(shè)發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)的先驗(yàn)概率分別為P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在觀察時(shí)刻的取值分別為a1和a2，出現(xiàn)s1(t)信號(hào)時(shí)y(t)的概率密度函數(shù)fs1(y)為同理，出現(xiàn)s2(t)信號(hào)時(shí)y(t)的概率密度函數(shù)

為

(y)和

(y)的曲線如圖8-5所示。若在觀察時(shí)刻得到的觀察值為yi，可依概率將yi判為r1或r2。在yi附近取一小區(qū)間Δa，yi在區(qū)間Δa內(nèi)屬于r1的概率為(8.2-15)(8.2-16)(8.2-17)圖8-5

(y)和

(y)的曲線圖yi在相同區(qū)間Δa內(nèi)屬于r2的概率為可以看出，即yi屬于r1的概率大于yi屬于r2的概率。因此，依大概率應(yīng)將yi判為r1出現(xiàn)。由于

(y)和

(y)的單調(diào)性質(zhì)，圖8-5所示的判決過程可以簡(jiǎn)化為圖8-6所示的判決過程。(8.2-18)圖8–6判決過程示意圖

根據(jù)

(y)和

(y)的單調(diào)性質(zhì)，在圖8-6中y坐標(biāo)上可以找到一個(gè)劃分點(diǎn)y0′。在區(qū)間(-∞,y0′，q1＞q2；在區(qū)間(y0′,∞)，q1＜q2。根據(jù)圖8-6所分析的判決原理，當(dāng)觀察時(shí)刻得到的觀察值yi∈(-∞,y0′)時(shí)，判為r1出現(xiàn)；若觀察時(shí)刻得到的觀察值yi∈(y0′,∞)時(shí)，判為r2出現(xiàn)。如果發(fā)送的是s1(t)，但是觀察時(shí)刻得到的觀察值yi落在(y0′,∞)區(qū)間,被判為r2出現(xiàn)，這時(shí)將造成錯(cuò)誤判決，其錯(cuò)誤概率為(8.2-19)同理，如果發(fā)送的是s2(t)，但是觀察時(shí)刻得到的觀察值yi落在(-∞,y0′)區(qū)間,被判為r1出現(xiàn)，這時(shí)也將造成錯(cuò)誤判決，其錯(cuò)誤概率為此時(shí)系統(tǒng)總的誤碼率為(8.2-20)(8.2-21)-P(s1)

(y0)+P(s2)

(y0)=0

(8.2-23)由此可得最佳劃分點(diǎn)將滿足如下方程:由式(8.2-21)可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗(yàn)概率、似然函數(shù)及劃分點(diǎn)有關(guān)，在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)總的誤碼率Pe是劃分點(diǎn)y0′的函數(shù)。不同的y0′將有不同的Pe，我們希望選擇一個(gè)劃分點(diǎn)y0使誤碼率Pe達(dá)到最小。使誤碼率Pe達(dá)到最小的劃分點(diǎn)y0稱為最佳劃分點(diǎn)。y0可以通過求Pe的最小值得到。即(8.2-24)式中y0即為最佳劃分點(diǎn)。

如果觀察時(shí)刻得到的觀察值y小于最佳劃分點(diǎn)y0，應(yīng)判為r1出現(xiàn)，此時(shí)式(8.2-24)左邊大于右邊；如果觀察時(shí)刻得到的觀察值y大于最佳劃分點(diǎn)y0，應(yīng)判為r2出現(xiàn)，此時(shí)式(8.2-24)右邊大于左邊。因此，為了達(dá)到最小差錯(cuò)概率，可以按以下規(guī)則進(jìn)行判決:判為r1(即s1)判為r2(即s2)(8.2-25)以上判決規(guī)則稱為似然比準(zhǔn)則。在加性高斯白噪聲條件下，似然比準(zhǔn)則和最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則是等價(jià)的。

當(dāng)s1(t)和s2(t)的發(fā)送概率相等時(shí)，即P(s1)=P(s2)時(shí)，則有上式判決規(guī)則稱為最大似然準(zhǔn)則，其物理概念是，接收到的波形y中，哪個(gè)似然函數(shù)大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。以上判決規(guī)則可以推廣到多進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，對(duì)于m個(gè)可能發(fā)送的信號(hào)，在先驗(yàn)概率相等時(shí)的最大似然準(zhǔn)則為判為r1(即s1)判為r2(即s2)(8.2-26)判為si(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m;i≠j)(8.2-27)

最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則是數(shù)字通信系統(tǒng)最常采用的準(zhǔn)則，除此之外，貝葉斯(Bayes)準(zhǔn)則、尼曼-皮爾遜(Neyman-Pearson)準(zhǔn)則、極大極小準(zhǔn)則等有時(shí)也被采用。8.3確知信號(hào)的最佳接收機(jī)

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機(jī)輸入信號(hào)根據(jù)其特性的不同可以分為兩大類，一類是確知信號(hào)，另一類是隨參信號(hào)。所謂確知信號(hào)是指一個(gè)信號(hào)出現(xiàn)后，它的所有參數(shù)(如幅度、頻率、相位、到達(dá)時(shí)刻等)都是確知的。如數(shù)字信號(hào)通過恒參信道到達(dá)接收機(jī)輸入端的信號(hào)。在隨參信號(hào)中，根據(jù)信號(hào)中隨機(jī)參量的不同又可細(xì)分為隨機(jī)相位信號(hào)、隨機(jī)振幅信號(hào)和隨機(jī)振幅隨機(jī)相位信號(hào)(又稱起伏信號(hào))。本節(jié)討論確知信號(hào)的最佳接收問題。信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)是利用概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的工具來設(shè)計(jì)接收機(jī)。所謂最佳接收機(jī)設(shè)計(jì)是指在一組給定的假設(shè)條件下，利用信號(hào)檢測(cè)理論給出滿足某種最佳準(zhǔn)則接收機(jī)的數(shù)學(xué)描述和組成原理框圖，而不涉及接收機(jī)各級(jí)的具體電路。本節(jié)分析中所采用的最佳準(zhǔn)則是最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則。8.3.1二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)接收端原理圖如圖8-7所示。設(shè)到達(dá)接收機(jī)輸入端的兩個(gè)確知信號(hào)分別為s1(t)和s2(t)，它們的持續(xù)時(shí)間為(0,T)，且有相等的能量，即噪聲n(t)是高斯白噪聲，均值為零，單邊功率譜密度為n0。要求設(shè)計(jì)的接收機(jī)能在噪聲干擾下以最小的錯(cuò)誤概率檢測(cè)信號(hào)。根據(jù)上一節(jié)的分析我們知道，在加性高斯白噪聲條件下，最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則與似然比準(zhǔn)則是等價(jià)的。因此，我們可以直接利用式(8.2-25)似然比準(zhǔn)則對(duì)確知信號(hào)作出判決。(8.3-1)圖8–7接收端原理發(fā)送s1(t)時(shí)發(fā)送s2(t)時(shí)

由上一節(jié)分析可知，當(dāng)出現(xiàn)s1(t)或s2(t)時(shí)觀察空間的似然函數(shù)分別為在觀察時(shí)間(0，T)內(nèi)，接收機(jī)輸入端的信號(hào)為s1(t)和s2(t)，合成波為(8.3-2)(8.3-3)(8.3-4)其似然比判決規(guī)則為(8.3-5)判為s1(t)出現(xiàn)，而(8.3-6)則判為s2(t)出現(xiàn)。式中，P(s1)和P(s2)分別為發(fā)送s1(t)和s2(t)的先驗(yàn)概率。整理式(8.3-5)和(8.3-6)可得判為s1(t)出現(xiàn)，而則判為s2(t)出現(xiàn)。式中：(8.3-7)(8.3-8)(8.3-9)

在先驗(yàn)概率P(s1)和P(s2)給定的情況下，U1和U2都為常數(shù)。

根據(jù)式(8.3-7)和式(8.3-8)所描述的判決規(guī)則，可得到最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖8-8所示，其中比較器是比較抽樣時(shí)刻t=T時(shí)上下兩個(gè)支路樣值的大小。這種最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)是按比較觀察波形y(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)性而構(gòu)成的，因而稱為相關(guān)接收機(jī)。其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。接收過程是分別計(jì)算觀察波形y(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)函數(shù)，在抽樣時(shí)刻t=T，y(t)與哪個(gè)發(fā)送信號(hào)的相關(guān)值大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。

如果發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)的出現(xiàn)概率相等，即P(s1)=P(s2)，由式(8.3-9)可得U1=U2。此時(shí)，圖8-8中的兩個(gè)相加器可以省去，則先驗(yàn)等概率情況下的二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖8-9所示。圖8–8二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)圖8-9二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)由8.1節(jié)匹配濾波器分析我們知道，匹配濾波器可以看成是一個(gè)計(jì)算輸入信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器。設(shè)發(fā)送信號(hào)為s(t)，則匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為若匹配濾波器輸入合成波為

y(t)=s(t)+n(t)h(t)=s(T-t)(8.3-10)(8.3-11)則匹配濾波器的輸出在抽樣時(shí)刻t=T時(shí)的樣值為(8.3-12)

由式(8.3-12)可以看出匹配濾波器在抽樣時(shí)刻t=T時(shí)的輸出樣值與最佳接收機(jī)中相關(guān)器在t=T時(shí)的輸出樣值相等,因此，可以用匹配濾波器代替相關(guān)器構(gòu)成最佳接收機(jī)，其結(jié)構(gòu)如圖8-10所示。在最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則下，相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)與匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)是等價(jià)的。另外，無論是相關(guān)器還是匹配濾波器形式的最佳接收機(jī),它們的比較器都是在t=T時(shí)刻才作出判決，也即在碼元結(jié)束時(shí)刻才能給出最佳判決結(jié)果。因此，判決時(shí)刻的任何偏差都將影響接收機(jī)的性能。圖8-10匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)8.3.2二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)誤碼性能最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)如圖8-8所示，輸出總的誤碼率為

其中,P(s1)和P(s2)是發(fā)送信號(hào)的先驗(yàn)概率。Ps1(s2)是發(fā)送s1(t)信號(hào)時(shí)錯(cuò)誤判決為s2(t)信號(hào)出現(xiàn)的概率；Ps2(s1)是發(fā)送s2(t)信號(hào)時(shí)錯(cuò)誤判決為s1(t)信號(hào)出現(xiàn)的概率。分析Ps1(s2)與Ps2(s1)的方法相同，我們以分析Ps1(s2)為例。(8.3-13)設(shè)發(fā)送信號(hào)為s1(t)，接收機(jī)輸入端合成波為

y(t)=s1(t)+n(t)

(8.3-14)其中,n(t)是高斯白噪聲，其均值為零，方差為σ2n。若則判為s1(t)出現(xiàn)，是正確判決。若則判為s2(t)出現(xiàn)，是錯(cuò)誤判決。(8.3-15)(8.3-16)將y(t)=s1(t)+n(t)代入式(8.3-16)可得代入，并利用s1(t)和s2(t)能量相等的條件可得(8.3-18)式(8.3-18)左邊是隨機(jī)變量，令為ξ，即(8.3-19)(8.3-17)式(8.3-18)右邊是常數(shù)，令為a,即(8.3-20)式(8.3-18)可簡(jiǎn)化為

ξ＜a(8.3-21)判為s2(t)出現(xiàn)，產(chǎn)生錯(cuò)誤判決。則發(fā)送s1(t)將其錯(cuò)誤判決為s2(t)的條件簡(jiǎn)化為ξ＜a事件，相應(yīng)的錯(cuò)誤概率為(8.3-22)只要求出隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù),即可計(jì)算出式(8.3-22)的數(shù)值。根據(jù)假設(shè)條件，n(t)是高斯隨機(jī)過程，其均值為零，方差為σ2n。根據(jù)隨機(jī)過程理論可知，高斯型隨機(jī)過程的積分是一個(gè)高斯型隨機(jī)變量。所以ξ是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，只要求出ξ的數(shù)學(xué)期望和方差，就可以得到ξ的概率密度函數(shù)。ξ的數(shù)學(xué)期望為ξ的方差為(8.3-23)(8.3-24)式中E［n(t)n(τ)］為高斯白噪聲n(t)的自相關(guān)函數(shù)，由第2章隨機(jī)信號(hào)分析可知t=τt≠τ

(8.3-25)將上式代入式(8.3-24)可得(8.3-26)于是可以寫出ξ的概率密度函(8.3-27)至此,可得發(fā)送s1(t)將其錯(cuò)誤判決為s2(t)的概率為

利用相同的分析方法，可以得到發(fā)送s2(t)將其錯(cuò)誤判決為s1(t)的概率為(8.3-28)(8.3-29)系統(tǒng)總的誤碼率為式中b和b′分別為(8.3-30)(8.3-31)

由式(8.3-30)、式(8.3-31)和式(8.3-32)可以看出，最佳接收機(jī)的誤碼性能與先驗(yàn)概率P(s1)和P(s2)、噪聲功率譜密度n0及s1(t)和s2(t)之差的能量有關(guān)，而與s1(t)和s2(t)本身的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。一般情況下先驗(yàn)概率是不容易確定的，通常選擇先驗(yàn)等概的假設(shè)設(shè)計(jì)最佳接收機(jī)。在發(fā)送s1(t)和s2(t)的先驗(yàn)概率相等時(shí)，誤碼率Pe還與s1(t)和s2(t)之差的能量有關(guān)，如何設(shè)計(jì)s1(t)和s2(t)使誤碼率Pe達(dá)到最小，是我們需要解決的另一個(gè)問題。(8.3-32)

比較式(8.3-31)和式(8.3-32)可以看出，當(dāng)發(fā)送信號(hào)先驗(yàn)概率相等時(shí)，b=b′，此時(shí)誤碼率可表示為式中:

為了分析方便，我們定義s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)為(8.3-33)(8.3-34)(8.3-35)

E=E1=E2=Eb

(8.3-36)將Eb和ρ代入式(8.3-34)可得:上式即為二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)誤碼率的一般表示式。它與信噪比及發(fā)送信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ有關(guān)。式中,E是信號(hào)s1(t)和s2(t)在0≤t≤T期間的平均能量。當(dāng)s1(t)和s2(t)具有相等的能量時(shí)，有此時(shí)，式(8.3-33)可表示為(8.3-37)(8.3-38)由互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)的性質(zhì)我們知道，互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。因此，隨著自變量x的增加，函數(shù)值減小。由式(8.3-38)可知，為了得到最小的誤碼率Pe，就要使 最大化。當(dāng)信號(hào)能量Eb和噪聲功率譜密度n0一定時(shí)，誤碼率Pe就是互相關(guān)系數(shù)ρ的函數(shù)?；ハ嚓P(guān)系數(shù)ρ愈小，誤碼率Pe也愈小，要獲得最小的誤碼率Pe

，就要求出最小的互相關(guān)系數(shù)ρ。根據(jù)互相關(guān)系數(shù)ρ的性質(zhì)，ρ的取值范圍為－1≤ρ≤1當(dāng)ρ取最小值ρ=-1時(shí)，誤碼率Pe將達(dá)到最小，此時(shí)誤碼率為(8.3-39)上式即為發(fā)送信號(hào)先驗(yàn)概率相等時(shí)，二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)所能達(dá)到的最小誤碼率，此時(shí)相應(yīng)的發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1。也就是說，當(dāng)發(fā)送二進(jìn)制信號(hào)s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1時(shí)的波形就稱為最佳波形。當(dāng)互相關(guān)系數(shù)ρ=0時(shí)，誤碼率為(8.3-40)若互相關(guān)系數(shù)ρ=1，則誤碼率為若發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)是不等能量信號(hào)，如E1=0，E2=Eb，ρ=0，發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)的平均能量為 ，在這種情況下，誤碼率表示式(8.3-40)變?yōu)?8.3-41)圖8–11二進(jìn)制最佳接收機(jī)誤碼率曲線

在第5章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能分析中我們知道，雙極性信號(hào)的誤碼率低于單極性信號(hào)，其原因之一就是雙極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，而單極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=0。在第7章數(shù)字頻帶傳輸系統(tǒng)誤碼性能分析中，2PSK信號(hào)能使互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，因此2PSK信號(hào)是最佳信號(hào)波形；2FSK和2ASK信號(hào)對(duì)應(yīng)的互相關(guān)系數(shù)ρ=0,因此2PSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2FSK和2ASK系統(tǒng)；2FSK信號(hào)是等能量信號(hào)，而2ASK信號(hào)是不等能量信號(hào)，因此2FSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2ASK系統(tǒng)。8.4.1二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)

二進(jìn)制隨相信號(hào)具有多種形式，我們以具有隨機(jī)相位的2FSK信號(hào)為例展開分析。設(shè)發(fā)送的兩個(gè)隨相信號(hào)為式中，ω1和ω2為滿足正交條件的兩個(gè)載波角頻率；φ1和φ2是每一個(gè)信號(hào)的隨機(jī)相位參數(shù)，它們的取值在區(qū)間［0,2π］上服從均勻分布，即8.4隨相信號(hào)的最佳接收機(jī)0≤t≤T

其他0≤t≤T

其他(8.4-1)(8.4-2)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)持續(xù)時(shí)間為(0,T)，且能量相等，即0≤φ1≤2π其他f(φ2)=0≤φ2≤2π其他假設(shè)信道是加性高斯白噪聲信道，則接收機(jī)輸入端合成波為

s1(t,φ1)+n(t),發(fā)送s1(t,φ1)時(shí)

s2(t,φ2)+n(t),發(fā)送s2(t,φ2)時(shí)y(t)=(8.4-6)式中，n(t)是加性高斯白噪聲，其均值為零，方差為σ2n，單邊功率譜密度為n0。(8.4-5)(8.4-4)(8.4-3)

在確知信號(hào)的最佳接收中，通過似然比準(zhǔn)則可以得到最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)。然而在隨相信號(hào)的最佳接收中，接收機(jī)輸入端合成波y(t)中除了加性高斯白噪聲之外，還有隨機(jī)相位，因此不能直接給出似然函數(shù)fs1(y)和fs2(y)。此時(shí)，可以先求出在給定相位φ1和φ2的條件下關(guān)于y(t)的條件似然函數(shù)fs1(y/φ1)和fs2(y/φ2)，即(8.4-7)(8.4-8)由概率論知識(shí)可得(8.4-9)式中(8.4-10)為常數(shù)。令隨機(jī)變量ξ(φ1)為(8.4-11)于是，式(8.4-9)可表示為式中，

K為常數(shù)，為零階修正貝塞爾函數(shù)。式中:(8.4-12)(8.4-13)(8.4-14)(8.4-15)代入M1和M2的具體表示式可得:

同理可得，出現(xiàn)s2(t)時(shí)y(t)的似然函數(shù)為(8.4-16)式中(8.4-17)(8.4-18)(8.4-19)(8.4-20)(8.4-21)

假設(shè)發(fā)送信號(hào)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)的先驗(yàn)概率相等，采用最大似然準(zhǔn)則對(duì)觀察空間樣值作出判決，即

,判為s1

, 判為s2

將式(8.4-15)和式(8.4-16)代入上式可得:判為s2判為s1(8.4-22)(8.4-23)(8.4-24)(8.4-25)判為s2判決式兩邊約去常數(shù)K后有判為s1(8.4-26)(8.4-27)

根據(jù)零階修正貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可知，I0(x)是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，若函數(shù)I0(x2)＞I0(x1)，則有x2＞x1。因此，式(8.4-26)和式(8.4-27)中，根據(jù)比較零階修正貝塞爾函數(shù)大小作出判決，可以簡(jiǎn)化為根據(jù)比較零階修正貝塞爾函數(shù)自變量的大小作出判決。此時(shí)判決規(guī)則簡(jiǎn)化為判為s1

(8.4-28)判為s2

(8.4-29)判決式兩邊約去常數(shù)并代入M1和M2的具體表示式后有

M1＞M2,判為s1

M1＜M2,判為s2 (8.4-31)(8.4-30)即判為s1,而(8.4-32)(8.4-33)圖8–12二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)判為s2。式(8.4-32)和式(8.4-33)就是對(duì)二進(jìn)制隨相信號(hào)進(jìn)行判決的數(shù)學(xué)關(guān)系式，根據(jù)以上二式可構(gòu)成二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)如圖8-12所示。

上述最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)形式是相關(guān)器結(jié)構(gòu)形式。可以看出，二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)比二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜很多，實(shí)際中實(shí)現(xiàn)也較復(fù)雜。與二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)分析相類似，可以采用匹配濾波器對(duì)二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化。由于接收機(jī)輸入信號(hào)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)包含有隨機(jī)相位φ1和φ2，因此無法實(shí)現(xiàn)與輸入信號(hào)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)完全匹配的匹配濾波器。我們可以設(shè)計(jì)一種匹配濾波器，它只與輸入信號(hào)的頻率匹配，而不匹配到相位。與輸入信號(hào)s1(t,φ1)頻率相匹配的匹配濾波器單位沖激響應(yīng)為h1(t)=cosω1(T－t),0≤t≤T(8.4-34)當(dāng)輸入y(t)時(shí)，該濾波器的輸出為式中(8.4-36)(8.4-35)式(8.4-35)在t=T時(shí)刻的取值為可以看出，濾波器輸出信號(hào)在t=T時(shí)刻的包絡(luò)與圖8-12所示的二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)中的參數(shù)M1相等。這表明，采用一個(gè)與輸入隨相信號(hào)頻率相匹配的匹配濾波器，再級(jí)聯(lián)一個(gè)包絡(luò)檢波器，就能得到判決器所需要的參數(shù)M1。同理，選擇與輸入信號(hào)s2(t,φ2)的頻率相匹配的匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為

h2(t)=cosω2(T-t),0≤t≤T

(8.4-37)(8.4-38)從而得到了比較器的第二個(gè)輸入?yún)?shù)M2，通過比較M1和M2的大小即可作出判決。根據(jù)以上分析，可以得到匹配濾波器加包絡(luò)檢波器結(jié)構(gòu)形式的最佳接收機(jī)如圖8-13所示。由于沒有利用相位信息，所以這種接收機(jī)是一種非相干接收機(jī)。該濾波器在t=T時(shí)刻的輸出為(8.4-39)圖8–13匹配濾波器形式的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)8.4.2二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)誤碼性能

二進(jìn)制隨相信號(hào)與二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)誤碼性能分析方法相同，總的誤碼率為

Pe=P(s1)Ps1(s2)+P(s2)Ps2(s1)當(dāng)發(fā)送信號(hào)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)出現(xiàn)概率相等時(shí)

Pe=Ps1(s2)=Ps2(s1) (8.4-40)因此只需要分析Ps1(s2)或Ps2(s1)其中之一就可以，我們以Ps1(s2)為例進(jìn)行分析。在發(fā)送s1(t,φ1)信號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤判決的條件是

M1＜M2,判為s2

此時(shí)的錯(cuò)誤概率為

Ps1(s2)=P(M1＜M2) (8.4-41)其中，M1和M2如式(8.4-20)和式(8.4-21)。與7.2節(jié)2FSK信號(hào)非相干解調(diào)分析方法相似，首先需要分別求出M1和M2的概率密度函數(shù)f(M1)和f(M2)，再來根據(jù)式(8.4-41)計(jì)算錯(cuò)誤概率。接收機(jī)輸入合成波為

y(t)=s1(t,φ1)+n(t)=Acos(ω1t+φ1)+n(t)

(8.4-42)X1和Y1的數(shù)學(xué)期望分別為在信號(hào)s1(t,φ1)給定的條件下，隨機(jī)相位φ1是確定值。此時(shí)X1和Y1分別為(8.4-43)(8.4-44)(8.4-45)(8.4-46)X1和Y1的方差為(8.4-47)

由此可知，X1和Y1是均值分別為cosφ1和sinφ1，方差為的高斯隨機(jī)變量。(8.4-48)根據(jù)ω1和ω2構(gòu)成兩個(gè)正交載波的條件，同理可得參數(shù)M2服從瑞利分布，其一維概率密度函數(shù)為(8.4-49)錯(cuò)誤概率Ps1(s2)為總的誤碼率為(8.4-50)(8.4-51)由誤碼率表示式可以看出，二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)是一種非相干接收機(jī)。誤碼率性能曲線如圖8-14所示。圖8–14二進(jìn)制數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)誤碼率性能曲線

實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)誤碼性能一覽表如表8-1所示。可以看出，兩種結(jié)構(gòu)形式的接收機(jī)誤碼率表示式具有相同的數(shù)學(xué)形式，實(shí)際接收機(jī)中的信噪比與最佳接收機(jī)中的能量噪聲功率譜密度之比相對(duì)應(yīng)。8.5最佳接收機(jī)性能比較

假設(shè)在接收機(jī)輸入端信號(hào)功率和信道相同的條件下比較兩種結(jié)構(gòu)形式接收機(jī)的誤碼性能。由表8-1可以看出，橫向比較兩種結(jié)構(gòu)形式接收機(jī)誤碼性能可等價(jià)于比較r與Eb/n0的大小。在相同的條件下，若r＞Eb/n0，實(shí)際接收機(jī)誤碼率小于最佳接收機(jī)誤碼率，則實(shí)際接收機(jī)性能優(yōu)于最佳接收機(jī)性能；若r＜Eb/n0，實(shí)際接收機(jī)誤碼率大于最佳接收機(jī)誤碼率，則最佳接收機(jī)性能優(yōu)于實(shí)際接收機(jī)性能；若r＜Eb/n0，實(shí)際接收機(jī)誤碼率等于最佳接收機(jī)誤碼率，則實(shí)際接收機(jī)性能與最佳接收機(jī)性能相同。下面我們就來分析r與Eb/n0之間的關(guān)系。由第7章分析我們知道，實(shí)際接收機(jī)輸入端總是有一個(gè)帶通濾波器，其作用有兩個(gè)：一是使輸入信號(hào)順利通過；二是使噪聲盡可能少的通過，以減小噪聲對(duì)信號(hào)檢測(cè)的影響。

信噪比r=S/N是指帶通濾波器輸出端的信噪比。設(shè)噪聲為高斯白噪聲，單邊功率譜密度為n0，帶通濾波器的等效矩形帶寬為B，則帶通濾波器輸出端的信噪比為可見，信噪比r與帶通濾波器帶寬B有關(guān)。對(duì)于最佳接收系統(tǒng)，接收機(jī)前端沒有帶通濾波器，其輸入端信號(hào)能量與噪聲功率譜密度之比為(8.5-1)(8.5-2)式中，S為信號(hào)平均功率，T為碼元時(shí)間寬度。比較式(8.5-1)和式(8.5-2)可以看出，對(duì)系統(tǒng)性能的比較最終可歸結(jié)為對(duì)實(shí)際接收機(jī)帶通濾波器帶寬B與碼元時(shí)間寬度T的比較。若B＜1/T，則實(shí)際接收機(jī)性能優(yōu)于最佳接收機(jī)性能；若B＞1/T，則最佳接收機(jī)性能優(yōu)于實(shí)際接收機(jī)性能；若B=1/T，則實(shí)際接收機(jī)性能與最佳接收機(jī)性能相同。

1/T是基帶數(shù)字信號(hào)的重復(fù)頻率，對(duì)于2PSK等數(shù)字調(diào)制信號(hào)，1/T的寬度等于2PSK信號(hào)頻譜主瓣寬度的一半。若選擇帶通濾波器的帶寬B≤1/T，則必然會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重的失真，這與實(shí)際接收機(jī)中假設(shè)“帶通濾波器應(yīng)使輸入信號(hào)順利通過”條件相矛盾。這表明，在實(shí)際接收機(jī)中，為使信號(hào)順利通過，帶通濾波器的帶寬必須滿足B＞1/T。在此情況下，實(shí)際接收機(jī)性能比最佳接收機(jī)性能差。8.6最佳基帶傳輸系統(tǒng)8.6.1最佳基帶傳輸系統(tǒng)的組成在加性高斯白噪聲信道下的基帶傳輸系統(tǒng)組成如圖8-15所示。圖中，GT(ω)為發(fā)送濾波器傳輸函數(shù)；GR(ω)為接收濾波器傳輸函數(shù)；C(ω)為信道傳輸特性，在理想信道條件下C(ω)=1；n(t)為高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度為。最佳基帶傳輸系統(tǒng)的準(zhǔn)則是：判決器輸出差錯(cuò)概率最小。由第5章基帶傳輸系統(tǒng)和本章最佳接收原理我們知道，影響系統(tǒng)誤碼率性能的因素有兩個(gè)：其一是碼間干擾；其二是噪聲。碼間干擾的影響，可以通過系統(tǒng)傳輸函數(shù)的設(shè)計(jì)，使得抽樣時(shí)刻樣值的碼間干擾為零。圖8–15基帶傳輸系統(tǒng)組成

對(duì)于加性噪聲的影響，可以通過接收濾波器的設(shè)計(jì)，盡可能減小噪聲的影響，但是不能消除噪聲的影響。最佳基帶傳輸系統(tǒng)的設(shè)計(jì)就是通過對(duì)發(fā)送濾波器、接收濾波器和系統(tǒng)總的傳輸函數(shù)的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)輸出差錯(cuò)概率最小。設(shè)圖8-15中發(fā)送濾波器的輸入基帶信號(hào)為對(duì)于理想信道C(ω)=1，此時(shí)系統(tǒng)總的傳輸函數(shù)為

H(ω)=GT(ω)C(ω)GR(ω)=GT(ω)GR