專題1共頂點(diǎn)模型-【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題1共頂點(diǎn)模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】把兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BD，EC，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜360°)．(1)當(dāng)DE⊥AC時(shí)，AD與BC的位置關(guān)系是，AE與BC的位置關(guān)系是．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí)，求∠BEC的度數(shù)；(3)若△ABD的外心在邊BD上，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值．【例2】已知中，，，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，以為邊作，，連接．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，①請(qǐng)寫出和之間的數(shù)量關(guān)系________，位置關(guān)系________；②線段、、之間的關(guān)系是_________；(2)嘗試探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，(1)中、、之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，若，，則線段的長(zhǎng)為________．

【例3】有如下一道作業(yè)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CEF，DF．求證：△BCE≌△DCF．

(1)請(qǐng)你完成這道題的證明：(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)N是邊CD上一點(diǎn)，CM＝CN，連接DM，連接FC．①求證：∠BFC＝45°．②把FC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到FP，連接CP(如圖3)．求證：BF＝CP+DF．【例4】已知等邊，為邊中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)(不與A，重合)，連接．(1)如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，當(dāng)在線段上(不與A，重合)時(shí)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．①依題意補(bǔ)全圖1；②此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系為：，=°．(2)如圖2，若，在邊上有一點(diǎn)，使得．直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【例5】如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，點(diǎn)M，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AC上，且CD＝2AD，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)．將△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接MG，F(xiàn)N．(1)問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時(shí)，F(xiàn)NGM=32；直線MG與直線FN(2)類比探究當(dāng)0°＜α＜360°時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．(3)拓展應(yīng)用若AB＝4，直線MG和直線FN交于點(diǎn)O，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)N重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段FN的長(zhǎng)．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．和都是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí)，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，直線、交于點(diǎn)F，再連接，求證：；(3)如圖3，，，G為中點(diǎn)，連接，，以直角邊構(gòu)造等腰，過H作交于點(diǎn)I，連接，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)度．2．在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B，C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．(1)(請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；(2)設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．3．有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，DE，M是BF的中點(diǎn)(觀察猜想)(1)線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(探究證明)(2)將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．(3)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將其沿EF翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在BC邊上，直接寫出DG+DH的最小值4．(1)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)．連接AD，過點(diǎn)A作AE⊥AD，并滿足AE＝AD，連接CE．則線段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探索：如圖2，當(dāng)D點(diǎn)為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，Rt△ABC與Rt△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．試探索線段BD、CD、DE之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，則線段AD的長(zhǎng)為5．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．6．如圖，點(diǎn)A，M，B在同一直線上，以AB為邊，分別在直線兩側(cè)作等邊三角形ABC和等邊三角形ABD，連接CM，DM，過點(diǎn)M作MN＝DM，交BC邊于點(diǎn)G，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．(1)求證：∠BCM＝∠BDM；(2)求∠CMN的度數(shù)；(3)求證：AM＝BN．7．問題發(fā)現(xiàn)(1)如圖①，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外分別作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD，BE．試探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題探究(2)如圖②，四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的長(zhǎng)．問題解決(3)如圖③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一個(gè)變化的角，以AB為邊向△ABC外作等邊△ABD，連接CD，試探究，隨著∠ACB的變化，CD的長(zhǎng)是否存在最大值，若存在求出CD長(zhǎng)的最大值及此時(shí)∠ACB的大??；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成在相對(duì)位置變化的同時(shí)始終存在一對(duì)全等三角形通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進(jìn)行了如下探究：(1)如圖1，兩個(gè)等腰三角形和中，，，，連接、，如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手，這個(gè)就是“手拉手模型”，在這個(gè)模型中，和全等的三角形是______，此線和的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接、，兩線交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段和的關(guān)系，并說明理由．9．在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對(duì)位置變化的過程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)如圖1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°(AB＞AD)，連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上，且D，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，則在這個(gè)“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是，∠BDC的度數(shù)為．(2)如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)判斷線段BD和CE的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，已知△ABC，請(qǐng)畫出圖形：以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE(等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60°)，連接BE，CD，交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠BPD的度數(shù)．

10．如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．(1)求證：∠EAD＝∠CBD；(2)求證：BF＝2AE；(3)如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請(qǐng)猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．11．如圖，在四邊形中，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)如圖①，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)與全等時(shí)，求和的值；(3)如圖③，當(dāng)(2)中的點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)．連接當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)求出此時(shí)的值．12．(1)如圖1，已知△CAB和△CDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CB上，易得線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系是．(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點(diǎn)F．①判斷線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中∠AFB的度數(shù)是．(3)如圖3，若△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直線AD和直線BE交于點(diǎn)F，分別寫出∠AFB的度數(shù)，線段AD、BE間的數(shù)量關(guān)系．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，若∠BPO＝45°，AC=6，請(qǐng)直接寫出BQ14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．(1)如圖1，求DE與BC的數(shù)量關(guān)系是DE=32BC(2)如圖2，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，∠PDF＝60°，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照(2)中的作法，請(qǐng)猜測(cè)DE，BF，BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．15．(1)觀察理解：如圖①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．(2)理解應(yīng)用：如圖②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用(1)中的結(jié)論，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S＝50；(3)類比探究：如圖③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB'，連接B′C，則S△AB′C＝8．(4)拓展提升：如圖④，等邊△EBC中，EC＝BC＝3cm，點(diǎn)O在BC上，且OC＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以1cm/s速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF．若點(diǎn)F恰好落在射線EB上，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間ts．(畫出示意圖)16．已知等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線時(shí)，連接AE、BD，找出AE與DB的關(guān)系，并說明理由；(2)材料：材料：圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在AC上，點(diǎn)E不在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AD、BE，點(diǎn)M為AD中點(diǎn)，連接MC，并延長(zhǎng)MC交BE與N，我們可以證明MN⊥BE：輔助線和證明方法為：過點(diǎn)D作DG∥AC交CM的延長(zhǎng)線于G，易證△AMC≌△DMG(AAS)，再證明△GDC≌△BCE(SAS)，從而得到∠CNE＝90°，MN⊥BE；問題：把等腰Rt△DCE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)至如圖3位置，點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，問MN與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生改變？如果沒有，請(qǐng)?jiān)趫D3畫出輔助線，并說明理由．17．某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時(shí)，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B，C重合)，以AD為腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，連接CF．(1)觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①CF與BC的位置關(guān)系為CF⊥BC；②CF，DC，BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC＝DC+CF(直接寫出結(jié)論)；(2)數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，將△DAF沿線段DF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，連接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，請(qǐng)求出線段CE的長(zhǎng)．18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B，C重合)，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．(1)觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：BC⊥CF；②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BC＝CF+CD．(將結(jié)論直接寫在橫線上)(2)數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明，(3)拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE．若AB＝22，CD＝1，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．19．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，以AD為邊在AD的上邊作正方形ADEF，連接CF．(1)觀察猜想：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：BC⊥CF；②BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為：CF＝BC﹣CD．(2)數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，以上①②關(guān)系是否成立，請(qǐng)?jiān)诤竺娴臋M線上寫出正確的結(jié)論．①BC與CF的位置關(guān)系為：BC⊥CF；②BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為：CF＝CD﹣BC．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GD，若已知AB＝22，CD=14BC，請(qǐng)求出20．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B，C重合)，以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．(1)觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)可以證明△ABD≌△ACF，則，①BC與CF的位置關(guān)系為：BC⊥CF．②BC，DC，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BC＝DC+CF；(2)類比探究如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，(1)中①，②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變．①BC、DC、CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為：BC＝DC﹣CF．②若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AE、DF相交于點(diǎn)O，連結(jié)OC，則OC的長(zhǎng)度為2．21．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝42．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C即停止，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)PD至點(diǎn)Q，使得PD＝QD，以PQ為斜邊在PQ左側(cè)作等腰直角三角形PQE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t＞0)(1)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，判斷PE與AB的位置關(guān)系是(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，連接AQ、AP，是否存在這樣的b，使得AP＝PQ？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)t＝4時(shí)，點(diǎn)D經(jīng)過點(diǎn)A：當(dāng)t=163時(shí)，點(diǎn)E在邊AB上．設(shè)△ABC與△PQE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，以及寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍，并求出當(dāng)4＜t≤1622．【問題情境】如圖1，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B小明認(rèn)為線段PA是點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：在⊙O上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)C，連接OC、CP，則有OP＜OC+PC，即OP﹣OC＜PC，由OA＝OC得OP﹣OA＜PC，即PA＜PC，從而得出線段PA是點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的距離中最短的線段小紅認(rèn)為在圖1中，線段PB是點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段，你認(rèn)為小紅的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由【直接運(yùn)用】如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是5?【構(gòu)造運(yùn)用】如圖4，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請(qǐng)求出A′C長(zhǎng)度的最小值解：由折疊知A′M＝AM，又M是AD的中點(diǎn)，可得MA＝MA′＝MD，做點(diǎn)A′在以AD為直徑的圓上，如圖5，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑畫⊙M，過M作MH⊥CD，垂足為H(請(qǐng)繼續(xù)完成本題的后續(xù)解題過程)【深度運(yùn)用】如圖6，△ABC、△EFG均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M，當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，則線段BM長(zhǎng)的最小值和最大值分別是23?2和23+23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DE﹣EB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)P在線段AD上以5cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在折線DE﹣EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M在線段AQ上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DP的長(zhǎng)為(t﹣2)cm(用含t的代數(shù)式表示)．(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，設(shè)五邊形的面積為S(cm2)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．(4)連接CD，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，有一點(diǎn)H從點(diǎn)M出發(fā)，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M﹣N﹣M連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)H停止往返運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H始終在線段MN的中點(diǎn)處，直接寫出在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)H落在線段CD上時(shí)t的取值范圍．24．如圖①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接CD，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，連接MN、PN、PM，判斷△PMN的形狀，并說明理由；(3)在(2)中，把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝6，請(qǐng)分別求出△PMN周長(zhǎng)的最小值與最大值．25．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知△ABC，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想在圖1中，線段PM與QM的數(shù)量關(guān)系是PM＝MQ；(2)探究證明當(dāng)∠BAC＝60°，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，判斷△PMQ的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸當(dāng)∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，再連接BE，再取BE的中點(diǎn)N，把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，①請(qǐng)你判斷四邊形PMQN的形狀，并說明理由；②請(qǐng)直接寫出四邊形PMQN面積的最大值．26．【問題提出】如圖1，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于E，連接CD，F(xiàn)，G，H分別是線段CD，DE，BC的中點(diǎn)，則線段FG，F(xiàn)H的數(shù)量關(guān)系是FG＝FH(直接寫出結(jié)論)．【類比探究】將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【拓展延伸】如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)E在BC上，且BE=61，過點(diǎn)E作ED⊥AB，垂足為D，將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連接DF．當(dāng)AE與AC垂直時(shí)，線段DF的長(zhǎng)度為34或106(直接寫出結(jié)果)．【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題1共頂點(diǎn)模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】把兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BD，EC，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜360°)．(1)當(dāng)DE⊥AC時(shí)，AD與BC的位置關(guān)系是，AE與BC的位置關(guān)系是．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí)，求∠BEC的度數(shù)；(3)若△ABD的外心在邊BD上，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值．【答案】(1)垂直，平行；(2)90°；(3)90°或270°【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，利用三線合一性質(zhì)可證明AD與BC垂直，再根據(jù)平行線的判定可證明AE與BC平行；(2)利用等腰三角形的性質(zhì)證明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；(3)根據(jù)題意畫出圖形，由題意知，當(dāng)△ABD的外心在邊BD上時(shí)，△ABD是以BD為斜邊的直角三角形，所以旋轉(zhuǎn)角為90°或270°．【詳解】解：(1)如圖，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)H，在等腰直角△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，∵DE⊥AC，∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，∴∠BAD＝∠DAH，∴AD⊥BC，∵∠EAH＝∠C＝45°，∴AE∥BC，故答案為：垂直，平行；(2)在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；(3)如圖，因?yàn)椤鰽BD的外心在邊BD上時(shí)，△ABD是以BD為斜邊的直角三角形，所以旋轉(zhuǎn)角為90°或270°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意畫出圖形．【例2】已知中，，，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，以為邊作，，連接．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，①請(qǐng)寫出和之間的數(shù)量關(guān)系________，位置關(guān)系________；②線段、、之間的關(guān)系是_________；(2)嘗試探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，(1)中、、之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，若，，則線段的長(zhǎng)為________．

【答案】(1)①，．②．(2)不成立，．(3)5【分析】(1)①根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；(2)證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；(3)根據(jù)△BAD≌△CAE得到BD=CE=1，再證明△DCE是直角三角形，利用勾股定理求出DE，即可求出AD的長(zhǎng)度；【詳解】(1)①解：結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE，理由：∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=90°，即BD⊥CE，故答案為：BD=CE；BD⊥CE；②證明：∵BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD；故答案為：．

(2)解：(1)中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系不成立，新的數(shù)量關(guān)系是CE=BC+CD，理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴CE=BC+CD；(3)解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE=1，∠ABD=∠ACE=135°，∵∠ACB=45°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，CD=BD+BC=7，CE=1，∴DE=；∴；故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【例3】有如下一道作業(yè)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CEF，DF．求證：△BCE≌△DCF．

(1)請(qǐng)你完成這道題的證明：(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)N是邊CD上一點(diǎn)，CM＝CN，連接DM，連接FC．①求證：∠BFC＝45°．②把FC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到FP，連接CP(如圖3)．求證：BF＝CP+DF．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②見解析【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可知CB=CD，∠BCD=90°，再根據(jù)題意推出∠BCE=∠DCF，以及CE=CF，從而利用“SAS”證明全等即可；(2)①根據(jù)題意可先證明△BCN≌△DCM，從而推出∠CBN=∠CDM，然后作CG⊥CF交BF于G點(diǎn)，再證明△BCG≌△DCF，即可得到△CFG為等腰直角三角形，從而得出結(jié)論；②作CQ⊥CF交BF于Q點(diǎn)，結(jié)合①的結(jié)論，可得BQ=DF，然后結(jié)合題意證明四邊形CQFP為平行四邊形，即可得到CP=QF，從而證得結(jié)論．【詳解】(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，即：∠BCE+∠ECD=90°，∵△CEF為等腰直角三角形，∴CE=CF，∠ECF=90°，即：∠ECD+∠DCF=90°，∴∠BCE=∠DCF，在△BCE與△DCF中，∴△BCE≌△DCF(SAS)；(2)①由正方形性質(zhì)可知，∠BCN=∠DCM=90°，在△BCN和△DCM中，∴△BCN≌△DCM(SAS)，∴∠CBN=∠CDM，如圖，作CG⊥CF交BF于G點(diǎn)，則∠GCF=90°，∴∠BCG=∠DCF，在△BCG和△DCF中，∴△BCG≌△DCF(ASA)，∴CG=CF，∴△CFG為等腰直角三角形，∴∠BFC=45°；②如圖所示，作CQ⊥CF交BF于Q點(diǎn)，由①可知，△BCQ≌△DCF，∴BQ=DF，且由①證明可知，△CQF為等腰直角三角形，∵FP由FC繞F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到，∴△CFP為等腰直角三角形，∴∠P=∠CQF=45°，∠QFP=∠QCP=90°+45°=135°，∴四邊形CQFP為平行四邊形，∴CP=QF，∵BF=QF+BQ，∴BF=CP+DF．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平四邊形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)，掌握幾何證明中的常見模型是解題關(guān)鍵．【例4】已知等邊，為邊中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)(不與A，重合)，連接．(1)如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，當(dāng)在線段上(不與A，重合)時(shí)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．①依題意補(bǔ)全圖1；②此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系為：，=°．(2)如圖2，若，在邊上有一點(diǎn)，使得．直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①見解析；②，120；(2)，證明見解析【分析】(1)①根據(jù)提示畫出圖形即可；②連接DE，證明△DME≌△DFB即可得到結(jié)論；(3)取線段中點(diǎn)，連接．由三角形中位線定理得，，．根據(jù)是等邊三角形可證明，，再證明得，，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：(1)①補(bǔ)全圖形如圖1．②線段與的數(shù)量關(guān)系為；．連接DE，∵D為BC的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中?線，∴DE=AB，DE//AB∵是等邊三角形，∴，．∵D為BC的中點(diǎn)，∴∵∴，∴∵，∴△DME≌△DFB∴；．∵∴∴．故答案為：；．(2)證明：取線段中點(diǎn)，連接．如圖2．∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，．∵是等邊三角形，∴，．∴，．∴，∵，∴．∴．∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【例5】如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，點(diǎn)M，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AC上，且CD＝2AD，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)．將△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接MG，F(xiàn)N．(1)問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時(shí)，F(xiàn)NGM=32；直線MG與直線FN(2)類比探究當(dāng)0°＜α＜360°時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．(3)拓展應(yīng)用若AB＝4，直線MG和直線FN交于點(diǎn)O，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)N重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段FN的長(zhǎng)．【分析】(1)首先證明點(diǎn)C，點(diǎn)G，點(diǎn)M三點(diǎn)共線，由直角三角形的性質(zhì)可求GM＝CM﹣CG=12AB-12DE=12(AB﹣DE)，直線MG與直線FN相交所成的較小夾角的度數(shù)為30°，由中點(diǎn)的定義可得FN＝FC﹣NC(2)通過證明△CDA∽△CGM，可得GM=33AD，由三角形中位線定理可得FN=12AD，可得結(jié)論，由相似三角形的性質(zhì)可得∠ADC＝∠(3)分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可得NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°，利用直角三角形的性質(zhì)可求NG的長(zhǎng)，由勾股定理可求MN的長(zhǎng)，即可求解．【解析】(1)∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴sin∠CAB=BC∴∠CAB＝30°，∴AC=3BC∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠CAB＝30°，∴DE＝2CE，CD=3CE如圖1，連接CG，CM，∵Rt△DCE中，點(diǎn)G是DE中點(diǎn)，∴CG＝DG＝GE=12∴∠CDE＝∠DCG＝30°，∵Rt△ACB中，點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，∴AM＝BM＝CM=12∴∠CAB＝∠ACM＝30°，∴∠ACM＝∠DCG，∴點(diǎn)C，點(diǎn)G，點(diǎn)M三點(diǎn)共線，∴GM＝CM﹣CG=12AB-12DE=12(AB﹣∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，∴FC=12AC=32BC=34AB，∴FN＝FC﹣NC=34(AB﹣∴FNGM故答案為：32(2)仍然成立，理由如下：如圖，連接AD，CM，CG，延長(zhǎng)MG交NF于H，設(shè)GM與DE交于點(diǎn)I，如圖1，∵CD＝2AD，∴CD=23∵DE∥AB，∴CDAC∴DE=23∵CG=12DE，CM=∴CGCM∴CGCM如圖2，∵∠ACM＝∠DCG，∴∠DCA＝∠DCM，∴△CDA∽△CGM，∴CMAC∴12∴GM=33∵點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴FN=12AD∴FNGM∵△CDA∽△CGM，∴∠ADC＝∠MGC，∵∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，∠MGC+∠GCF+∠GIC＝180°，∴∠GIC＝∠DAC+∠DCG＝∠DAC+30°，∵NF∥AD，∴∠DAC＝∠NFC，∵∠GIC＝∠CFN+∠FHG，∴∠DAC+30°＝∠CFN+∠FHG，∴∠FHG＝30°；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在線段MN上時(shí)，連接AD，CG，CM，∵CG＝DG，DN＝CN，∴NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°，∵AB＝4，∴BC＝2，AC＝23，AM＝CM＝2，∴CD=23AC∴CN=2∵∠DCG＝30°，NG⊥CD，∴NC=3NG∴NG=2∵M(jìn)N=CM∴MG=2∵FNGM∴FN=32GM若點(diǎn)N在線段GM上時(shí)，同理可求：MN=CM2-CN2∴MG=2∵FNGM∴FN=32GM綜上所述：線段FN的長(zhǎng)為2-33培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．和都是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí)，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，直線、交于點(diǎn)F，再連接，求證：；(3)如圖3，，，G為中點(diǎn)，連接，，以直角邊構(gòu)造等腰，過H作交于點(diǎn)I，連接，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)度．【答案】(1)34，(2)證明見解析，(3)【分析】(1)作CF⊥DB于F，根據(jù)勾股定理求出CF和BF即可；(2)將△CEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CDM，可證點(diǎn)M在BD上，再證△FCM是等腰直角三角形即可；(3)作CN⊥AB于N，作AF⊥AC交AN延長(zhǎng)線于F，得出△GAC≌△HAF，當(dāng)點(diǎn)H落在CF上時(shí)，HI最小，此時(shí)點(diǎn)I與點(diǎn)N重合，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)作CF⊥DB于F，∵，，都是等腰直角三角形，∴，，∵點(diǎn)B落在直線上，∴，∴；的長(zhǎng)為34．

(2)將△CEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CDM，由(1)得，∠CDB=∠CEA，∴點(diǎn)M在BD上，CF=CM，∠FCM=90°，EF=DM，∴，∵；∴．(3)作CN⊥AB于N，作AF⊥AC交AN延長(zhǎng)線于F，∵是等腰直角三角形，∴∠ACF=45°，∴AC=AF，∵∠GAH=∠CAF=90°，∴∠GAC=∠HAF，∵AG=AH，∴△GAC≌△HAF，∴CG=FH，∴當(dāng)點(diǎn)H落在CF上時(shí)，HI最小，此時(shí)點(diǎn)I與點(diǎn)N重合，如圖所示，∵∠GCA=∠AFC=45°，∴∠GCI=90°，∵，，∴，，；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行推理證明．2．在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B，C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．(1)(請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；(2)設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．【答案】(1)①90；②80；(2)①α+β＝180°，理由見解析；②圖見解析，α+β＝180°或α＝β【分析】、(1)①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；②由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝40°，則可得出結(jié)論；(2)①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②分兩種情況畫出圖形，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE＝40°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案為：80．(2)①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如圖1：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，α+β＝180°，連接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如圖2：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α＝β．連接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；綜上所述：點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，α+β＝180°或α＝β．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是關(guān)鍵．3．有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，DE，M是BF的中點(diǎn)(觀察猜想)(1)線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(探究證明)(2)將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．(3)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將其沿EF翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在BC邊上，直接寫出DG+DH的最小值【答案】(1)DE＝2AM，DE⊥AM；(2)成立，見解析；(3)【分析】(1)由四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，可得AD＝AB，AF＝AE，可證△DAE≌△BAF(SAS)，可得DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，可證∠ADE+∠AFB＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得AM＝FM＝BM＝BF，可得DE＝2AM．再證AN⊥DN即可；(2)仍然成立，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，先證△AMB≌△HMF(SAS)，再證△EAD≌△AFH(SAS)，可得DE＝AH，∠ADE＝∠FHA，可證DE＝AM+MH＝2AM，再在∠ADE+∠DAM＝90°即可；(3)過D作DK⊥GE延長(zhǎng)線交于K，把△GKD沿DK折疊得△DKG′，連結(jié)HG′，可得GG′=2GK，DG=DG′，在△HDG′中，DH+DG=DH+DG′＞HG′，當(dāng)點(diǎn)H、D、G′三點(diǎn)共線時(shí)，DH+DG最短，根據(jù)四邊形FHGE≌四邊形FADE，HG=AD=4，GE=DE，∠EGD=∠EDG，即∠GDC=∠DGK，再△CGD≌△KDG(AAS)，可得DC=GK=G′K=4，最后根據(jù)勾股定理HG′=即可．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，在△DAE和△BAF中，∴△DAE≌△BAF(SAS)，∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中點(diǎn)，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣(∠ADE+∠MAF)＝90°，即AN⊥DN；故答案為DE＝2AM，DE⊥AM；(2)仍然成立，證明：如下：延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，∵M(jìn)是BF的中點(diǎn)，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF(SAS)，∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH(SAS)，∴DE＝AH，∠ADE＝∠FHA，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣(∠ADE+∠DAM)＝90°，即AN⊥DN．故線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM．線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE⊥AM；(3)解：過D作DK⊥GE延長(zhǎng)線交于K，把△GKD沿DK折疊得△DKG′，連結(jié)HG′，則GG′=2GK，DG=DG′，在△HDG′中，DH+DG=DH+DG′＞HG′，當(dāng)點(diǎn)H、D、G′三點(diǎn)共線時(shí)，DH+DG最短，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將其沿EF翻折，∴四邊形FHGE≌四邊形FADE，∴HG=AD=4，GE=DE，∠EGD=∠EDG，即∠GDC=∠DGK，∵DK⊥GK，∠C=90°，∴∠DKG=∠GCD，在△CGD和△KDG中，，△CGD≌△KDG(AAS)，∴DC=GK=G′K=4，∴GG′=2GK=8，∵∠HGG′=90°，在Rt△HGG′中，根據(jù)勾股定理HG′=，∴DH+GD最小=4，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形判定，直角三角形斜邊中點(diǎn)性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，圖形折疊性質(zhì)，勾股定理，本題是正方形猜想，探究，應(yīng)用，難度較大，應(yīng)用知識(shí)多，圖形復(fù)雜，通過輔助線畫出準(zhǔn)確圖形，是中考的壓軸題．4．(1)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)．連接AD，過點(diǎn)A作AE⊥AD，并滿足AE＝AD，連接CE．則線段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探索：如圖2，當(dāng)D點(diǎn)為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，Rt△ABC與Rt△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．試探索線段BD、CD、DE之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，則線段AD的長(zhǎng)為【答案】(1)BD＝EC，BD⊥CE；(2)BD2+CD2＝DE2，證明見解析；(3)2【分析】(1)利用SAS證明△BAD≌△CAE即可解決問題．(2)由△BAD≌△CAE，推出BD＝CE，∠ACE＝∠B，可得∠DCE＝90°，利用勾股定理即可解決問題．(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，連接CE，DE．由△BAD≌△CAE(SAS)，推出BD＝CE＝3，由∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，可得∠EDC＝90°，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：(1)結(jié)論：BD＝EC，BD⊥CE．理由如下：如圖1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BD⊥CE．故答案為：BD＝CE，BD⊥CE．(2)結(jié)論：BD2+CD2＝DE2．理由：如圖2中，連接CE，由(1)得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2．BD2+CD2＝DE2(3)如圖3中，作AE⊥AD，使AE＝AD，連接CE，DE．∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE＝3，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝＝，∵∠DAE＝90°，∴AD2+AE2＝DE2∴AD2＝4，∵AD＞0，∴AD＝2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，有一定的難度，綜合性較強(qiáng)．5．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【分析】(1)由已知條件可得，對(duì)頂角，則，根據(jù)即可的；(2)過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于,證明，得,進(jìn)而可得，再證明即可得證點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)延長(zhǎng)至，使得，連接，設(shè)交于點(diǎn)，先證明，進(jìn)而證明，根據(jù)角度的計(jì)算以及三角形內(nèi)角和定理求得，進(jìn)而證明，再根據(jù),證明，根據(jù)已知條件求得最后證明即可．【詳解】(1)設(shè)交于，如圖1，是等腰和是等腰即故答案為(2)如圖2，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于,是等腰和是等腰又又即是的中點(diǎn)(3)延長(zhǎng)至，使得，連接，設(shè)交于點(diǎn)，如圖即是等腰和是等腰在與中，(SAS)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，(SAS)(SAS)，即，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)A，M，B在同一直線上，以AB為邊，分別在直線兩側(cè)作等邊三角形ABC和等邊三角形ABD，連接CM，DM，過點(diǎn)M作MN＝DM，交BC邊于點(diǎn)G，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．(1)求證：∠BCM＝∠BDM；(2)求∠CMN的度數(shù)；(3)求證：AM＝BN．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】(1)根據(jù)和為等邊三角形，且為公共邊，可以得出條件，，即可證明，由性質(zhì)即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)，得出，，又根據(jù)和為對(duì)頂角，可得，再根據(jù)和為全等三角形，為平角，利用等量代換即可求出；(3)連接由(1)可知：，即可得，證出為等邊三角形，進(jìn)而證明出，由性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)證明：和為等邊三角形，且為公共邊，，又在和中，，，；(2)，，，又和為對(duì)頂角，，又和為全等三角形，為平角，，，，(3)證明：連接，如圖所示：由(1)可知：，，又，，為等邊三角形，，又為等邊三角形，是和重疊的部分，，又在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理及性質(zhì)，再利用等量代換的思想進(jìn)行解答．7．問題發(fā)現(xiàn)(1)如圖①，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外分別作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD，BE．試探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題探究(2)如圖②，四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的長(zhǎng)．問題解決(3)如圖③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一個(gè)變化的角，以AB為邊向△ABC外作等邊△ABD，連接CD，試探究，隨著∠ACB的變化，CD的長(zhǎng)是否存在最大值，若存在求出CD長(zhǎng)的最大值及此時(shí)∠ACB的大小；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，理由見解析；(2)90；(3)存在，CD長(zhǎng)的最大值為5，∠ACB的大小為【分析】(1)通過證明即可得到CD與BE的數(shù)量關(guān)系；(2)以AB為腰向上作等腰直角，連接GC，通過證明即可得到，再根據(jù)、運(yùn)用勾股定理求出GC的長(zhǎng)即可得到BD的長(zhǎng)；(3)以BC為邊向外作等邊，連接AH，通過證明即可得到，再由可知當(dāng)A，C，H三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，進(jìn)而求出∠ACB的值即可．【詳解】(1)證明：∵△ABD和△ACE是等邊三角形∴，，∵∴在與中∴∴；(2)如下圖，以AB為腰向上作等腰直角，連接GC∵與是等腰直角三角形∴，，∵∴在與中∴∴；∵是等腰直角三角形，∴，，，∵∴∴∴∴；(3)如下圖，以BC為邊向外作等邊，連接AH∵與是等邊三角形∴，，∵∴在與中∴∴；又∵是等邊三角形，∴，∵，∴∴當(dāng)A，C，H三點(diǎn)共線時(shí)，∵∴則當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)三角形的解題方法是解決本題的關(guān)鍵．8．在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成在相對(duì)位置變化的同時(shí)始終存在一對(duì)全等三角形通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進(jìn)行了如下探究：(1)如圖1，兩個(gè)等腰三角形和中，，，，連接、，如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手，這個(gè)就是“手拉手模型”，在這個(gè)模型中，和全等的三角形是______，此線和的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接、，兩線交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段和的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)△AEC，BD=CE；(2)BD=CE且BD⊥CE，理由見解析【分析】(1)先判斷出∠DAB=∠EAC，進(jìn)而判斷出△DAB≌△EAC，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出△DAB≌△EAC，得出BD=CE，∠DBA=∠ECA，進(jìn)而判斷出∠DBC+∠ECB，即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD=CE，故答案為：△AEC，BD=CE；(2)BD=CE且BD⊥CE；理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．∴∠DAB=∠EAC．在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD=CE，∠DBA=∠ECA，∵∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，∴∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°，即∠DBC+∠ECB=90°，∴∠BPC=180°-(∠DBC+∠ECB)=90°，∴BD⊥CE，綜上所述：BD=CE且BD⊥CE．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對(duì)位置變化的過程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)如圖1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°(AB＞AD)，連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上，且D，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，則在這個(gè)“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是，∠BDC的度數(shù)為．(2)如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)判斷線段BD和CE的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，已知△ABC，請(qǐng)畫出圖形：以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE(等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60°)，連接BE，CD，交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠BPD的度數(shù)．

【答案】(1)△ACE，40°；(2)BD=CE且BD⊥CE，理由見解析；(3)作圖見解析，BE=CD，∠BPD=60°．【分析】(1)利用全等三角形的判定定理可以證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出是解題的突破口；(2)通過∠BAC=∠DAE=90°及等量代換可得相等關(guān)系，再通過證明△DAB≌△EAC(SAS)，通過等量代換推出∠DBC+∠ECB=90°即可間接證明垂直；(3)利用全等三角形的判定定理可以證明三角形全等得出BE=CD，通過等量代換求解可得∠BPD=60°．【詳解】解：(1)由題意在△ABD和△ACE中，,，，，，，，，故答案是：△ACE，40°；(2)BD=CE且BD⊥CE；理由：因?yàn)椤螧AC=∠DAE=90°，所以∠DAC+∠DAB=∠DAC+∠EAC．所以∠DAB=∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC(SAS)，所以BD=CE，∠DBA=∠ECA，因?yàn)椤螪BA+∠EBC+∠ACB=90°，所以∠ECA+∠EBC+∠ACB=90°，即∠DBC+∠ECB=90°，所以∠BEC=180°﹣(∠DBC+∠ECB)=90°，所以BD⊥CE，(3)BE=CD，∠BPD=60°，理由如下：如圖所示，為等邊三角形，，，，，在中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理的同時(shí)，要靈活運(yùn)用等量代換的思想進(jìn)行解答．10．如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．(1)求證：∠EAD＝∠CBD；(2)求證：BF＝2AE；(3)如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請(qǐng)猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)：AG＝AB，理由見解析【分析】(1)根據(jù)角度的等量代換即可求解．(2)證明△AEC≌△BPC后，運(yùn)用角度等量代換，求得CF＝PF；證明△AED≌△CFD即可求解．(3)證明△AEB≌△BHA，根據(jù)線段的等量代換以及運(yùn)用等腰三角形三線合一的證明即可求解．【詳解】(1)證明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAD＝∠CBD；(2)證明：如圖1，連接CE，在BF上截取BP＝AE，連接CP，∵∠EAD＝∠CBD，AC＝BC，∴△AEC≌△BPC(SAS)，∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP，∴∠ECP＝∠DCB＝90°，∵CE＝CP，CF⊥BD，∴∠CEP＝∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(AAS)，∴AE＝CF，∴AE＝PF，∴BF＝BP+PF＝2AE；(3)結(jié)論：AG＝AB，證明如下：如圖2，取BG的中點(diǎn)H，連接CE，CH，AH，∴BH＝＝＝AE，∵∠HBC＝∠PBC＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAB＝∠HBC+∠CBA，∴∠EAB＝∠HBA，∵AB＝BA，∴△AEB≌△BHA(SAS)，∴∠BHA＝∠AEB＝90°，∴AH⊥BG，∵BH＝HG，∴AG＝AB．【點(diǎn)睛】本題考察了全等三角形的判定與性質(zhì)以及運(yùn)用等邊三角形三線合一的證明，運(yùn)用全等可以進(jìn)行角度與線段的等量代換進(jìn)行題目求解，全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS、HL要熟記．11．如圖，在四邊形中，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)如圖①，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)與全等時(shí)，求和的值；(3)如圖③，當(dāng)(2)中的點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)．連接當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)求出此時(shí)的值．【答案】(1)；(2)，或，；(3)【分析】(1)由“”可證，可得，可求解；(2)分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)可求解；(3)由，可求的值，由面積和差關(guān)系可求，可求的值．【詳解】解：(1)，，，，，在和中，，，，，；(2)若，，，，，，，，，若，，，，，，，；綜上所述：，或，；(3)如圖，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．12．(1)如圖1，已知△CAB和△CDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CB上，易得線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系是．(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點(diǎn)F．①判斷線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中∠AFB的度數(shù)是．(3)如圖3，若△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直線AD和直線BE交于點(diǎn)F，分別寫出∠AFB的度數(shù)，線段AD、BE間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)①，證明見解析；②；(3)，【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)即可求解；(2)①由“SAS”可證,可得；②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可解決問題；(3)結(jié)論：先證明可得由此即可解決問題．【詳解】(1)；證明：∵和是等邊三角形，∴∴，故填：；(2)①；證明：∵和是等邊三角形，∴∴在和中∵∴,∴；②∵,∴設(shè)BC交AF于點(diǎn)O，如圖，∵∴∴故答案為：；(3)結(jié)論：理由如下：在Rt中，∵∴∵∴∴∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換旋轉(zhuǎn)綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，若∠BPO＝45°，AC=6，請(qǐng)直接寫出BQ【分析】(1)先判斷出△POQ是等邊三角形，進(jìn)而判斷出∠COP＝∠BOQ，進(jìn)而判斷出△COP≌△BOQ，即可得出結(jié)論；(2)同(1)的方法即可得出結(jié)論；(3)先求出BC，進(jìn)而利用三角形中位線求出CH，OH，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出PH，同(1)的方法得出BQ＝CP，即可得出結(jié)論．【解析】(1)CP＝BQ，理由：如圖1，連接OQ，由旋轉(zhuǎn)知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°?∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中點(diǎn)，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，OC=OB∠COP=∠BOQ∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ，(2)CP＝BQ，理由：如圖2，連接OQ，由旋轉(zhuǎn)知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°?∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中點(diǎn)，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，OC=OB∠COP=∠BOQ∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ，(3)如圖3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC=6∴BC＝AC?tan∠A=2過點(diǎn)O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中點(diǎn)，∴CH=12BC=22，OH∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH=6∴CP＝PH﹣CH=6連接BQ，同(1)的方法得，BQ＝CP=614．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．(1)如圖1，求DE與BC的數(shù)量關(guān)系是DE=32BC(2)如圖2，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，∠PDF＝60°，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照(2)中的作法，請(qǐng)猜測(cè)DE，BF，BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】(1)由∠ACB＝90°，∠A＝30°得到∠B＝60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB＝DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE=32(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF＝60°，DP＝DF，易得∠CDP＝∠BDF，則可根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP＝BF，利用CP＝BC﹣BP，DE=32BC可得到BF+BP=(3)與(2)的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP＝BF，而CP＝BC+BP，則BF﹣BP＝BC，所以BF﹣BP=23【解析】(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DB＝DC，∴△DCB為等邊三角形，∵DE⊥BC，∴DE＝BC；故答案為DE=32(2)BF+BP=23∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，∴∠PDF＝60°，DP＝DF，而∠CDB＝60°，∴∠CDB﹣∠PDB＝∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP＝∠BDF，在△DCP和△DBF中DC=DB∠CDP=∠BDF∴△DCP≌△DBF(SAS)，∴CP＝BF，而CP＝BC﹣BP，∴BF+BP＝BC，∵DE=32∴BC=23∴BF+BP=23(3)如圖，與(2)一樣可證明△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，而CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，∴BF﹣BP=2315．(1)觀察理解：如圖①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．(2)理解應(yīng)用：如圖②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用(1)中的結(jié)論，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S＝50；(3)類比探究：如圖③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB'，連接B′C，則S△AB′C＝8．(4)拓展提升：如圖④，等邊△EBC中，EC＝BC＝3cm，點(diǎn)O在BC上，且OC＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以1cm/s速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF．若點(diǎn)F恰好落在射線EB上，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間ts．(畫出示意圖)【分析】(1)根據(jù)AAS證明△AEC≌△CDB；(2)利用(1)中的結(jié)論，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面積差求S的值；(3)如圖3，過B′作B′E⊥AC于E，證明△AEB′≌△BCA，得AC＝B′E＝4，根據(jù)面積公式可得結(jié)論；(4)由題意得：EP＝t，則PC＝t﹣3，如圖4，證明△PCO≌△OBF，則PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4．【解析】(1)在△AEC和△CDB中，∵∠AEC=∠CDB∠CAE=∠BCD∴△AEC≌△CDB(AAS)；(2)∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，由(1)得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD=12(4+6)×16﹣2×1故答案為：50；(3)如圖3，過B′作B′E⊥AC于E，由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AB′，∵∠BAB′＝90°，∴△AEB′≌△BCA，∴AC＝B′E＝4，∴S△AB′C=12AC?B′E故答案為：8；(4)由題意得：設(shè)EP＝t，則PC＝t﹣3，如圖4，∵∠FOP＝120°，∴∠FOB+∠COP＝60°，∵∠BCE＝60°，∴∠COP+∠OPC＝60°，∴∠FOB＝∠OPC，∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°，∴△PCO≌△OBF，∴PC＝OB＝1＝t﹣3，則t＝4，即當(dāng)t＝4秒時(shí)，點(diǎn)F恰好落在射線EB上．16．已知等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線時(shí)，連接AE、BD，找出AE與DB的關(guān)系，并說明理由；(2)材料：材料：圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在AC上，點(diǎn)E不在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AD、BE，點(diǎn)M為AD中點(diǎn)，連接MC，并延長(zhǎng)MC交BE與N，我們可以證明MN⊥BE：輔助線和證明方法為：過點(diǎn)D作DG∥AC交CM的延長(zhǎng)線于G，易證△AMC≌△DMG(AAS)，再證明△GDC≌△BCE(SAS)，從而得到∠CNE＝90°，MN⊥BE；問題：把等腰Rt△DCE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)至如圖3位置，點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，問MN與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生改變？如果沒有，請(qǐng)?jiān)趫D3畫出輔助線，并說明理由．【分析】(1)延長(zhǎng)BD交AE于H，由“SAS”可證△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，由余角的性質(zhì)可證AE⊥DB；(2)過點(diǎn)D作DG∥AC交CM的延長(zhǎng)線于G，由“AAS”可證△AMC≌△DMG，可得DG＝AC＝BC，由“SAS”可證△GDC≌△BCE，可得∠GCD＝∠BEC，可得結(jié)論；(3)過點(diǎn)A作AQ∥CD，交CM的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)BE交CQ于N，由“AAS”可證△AQM≌△DCM，可得AQ＝CD＝CE，由“SAS”可證△QAC≌△ECB，可得∠ACQ＝∠CBE，可得結(jié)論．【解析】(1)AE＝DB，AE⊥DB，理由如下：如圖1，延長(zhǎng)BD交AE于H，∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD，∠DBC＝∠EAC，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∴∠DBC+∠AEC＝90°，∴∠BHE＝90°，∴AE⊥BD．(2)如圖2，過點(diǎn)D作DG∥AC交CM的延長(zhǎng)線于G，∵DG∥AC，∴∠G＝∠ACM，∵點(diǎn)M為AD中點(diǎn)，∴AM＝DM，又∵∠G＝∠ACM，∠AMC＝∠DMG，∴△AMC≌△DMG