專題7弦圖與垂直模型-【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題7弦圖與垂直模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】如圖所示，中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，且，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，為上一點(diǎn)，連接，若，，求的長．【例2】已知：中，，，為直線上一動點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，過點(diǎn)作于，連接．求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，連接交的延長線于點(diǎn)．求證：；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上時，連接交直線于，若，請求出的值．【例3】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．(1)如圖1，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，連接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示)；②用等式表示線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖2，點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足E在線段AD上，連接CE．①依題意補(bǔ)全圖2；②直接寫出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系．【例4】(1)如圖1，四邊形ABCD為正方形，BF⊥AE，那么BF與AE相等嗎？為什么？(2)如圖2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，求AF：FC的值；(3)如圖3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．【例5】(1)如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC邊上的點(diǎn)，CE與BF交于點(diǎn)G，BF⊥CE，求證：BF＝CE；(2)如圖2，矩形ABCD中，AB＝2AD，E、F分別是AD、DC邊上的點(diǎn)，CE與BF交于點(diǎn)G，∠A+∠BGE＝180°，求證：CE＝2BF；(3)如圖3，若(2)中的四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A＜90°，則CE＝2BF是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【例6】在正方形ABCD中，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動，同時點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請你直接回答“是”或“否”，不需證明)；連接AC，請你直接寫出△ACE為等腰三角形時CE：CD的值；(3)如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)分別在直線DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動路徑的草圖．若AD＝2，試求出線段CP的最大值．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動到點(diǎn)C，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作DE的垂線交AB于點(diǎn)F(1)求證：∠BFE＝∠ADE；(2)求BF的最大值；(3)如圖2，在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，以EF為邊，在EF上方作等邊△EFG，求邊EG的中點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長．2．綜合與實踐﹣﹣﹣折疊中的數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)完特殊的平行四邊形之后，某學(xué)習(xí)小組針對矩形中的折疊問題進(jìn)行了研究．問題背景：在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的動點(diǎn)，且BE＝DF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，射線EC′與射線DA相交于點(diǎn)M．猜想與證明：(1)如圖1，當(dāng)EC′與線段AD交于點(diǎn)M時，判斷△MEF的形狀并證明你的結(jié)論；操作與畫圖：(2)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，請在圖2中作出此時的折痕EF和折疊后的圖形(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)注相應(yīng)的字母)；操作與探究：(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在線段DA延長線上時，線段C′D'分別與AD，AB交于P，N兩點(diǎn)時，C′E與AB交于點(diǎn)Q，連接MN并延長MN交EF于點(diǎn)O．求證：MO⊥EF且MO平分EF；(4)若AB＝4，AD＝43，在點(diǎn)E由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)D'所經(jīng)過的路徑的長為163π3．如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為1cm/s，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時停止運(yùn)動，連接DE并延長交矩形ABCD的邊于點(diǎn)F．點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，MN⊥DF于點(diǎn)H交矩形的邊AD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的時間為t(s)．(1)當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時，求t的值；(2)當(dāng)t＝2時，求ND的長；(3)如圖2，點(diǎn)M從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動，速度為1cm/s，且與點(diǎn)E同時開始運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動時，點(diǎn)E也停止運(yùn)動，其他條件不變．①連接FM，點(diǎn)Q為FM的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD邊上，CP＝4cm，請直接寫出點(diǎn)F從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，△PQC周長的最小值；②當(dāng)EF=13ED時，請直接寫出線段4．如圖，己知中，，，分別過、向過的直線作垂線，垂足分別為．(1)如圖1，過的直線與斜邊不相交時，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，過的直線與斜邊相交時，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(3)在(2)的條件下，如圖3，直線交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．

5．在中，，，點(diǎn)D為直線BC上的一個動點(diǎn)(不與B、C重合)，連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)EC．(1)如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，如圖1：求證：(2)如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，請寫出AC與CE的位置關(guān)系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點(diǎn)E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系，請你寫出證明過程．(3)如果點(diǎn)D在線段CB的延長線上運(yùn)動，利用圖3畫圖分析，(2)中的結(jié)論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．6．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證AE⊥BF；(2)如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；7．如圖，正方形ABCD邊長為4，點(diǎn)G在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合)，BG的垂直平分線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EG．(1)當(dāng)AG=1時，求EG的長；(2)當(dāng)AG的值等于時，BE=8－2DF；(3)過G點(diǎn)作GM⊥EG交CD于M①求證：GB平分∠AGM；②設(shè)AG=x，CM=y，試說明的值為定值．8．如圖1，正方形中，是對角線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接(與不垂直)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．

(1)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，其他條件不變，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．9．如圖1，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，連接、，點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線翻折，使得的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，正方形的邊長為3，求線段的長．10．直線與x軸交于A，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC的解析式為，與x軸交于B．(1)如圖1，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；(2)如圖2，D為BC延長線上一點(diǎn)，過D作x軸垂線于點(diǎn)E，連接CE，若，設(shè)的面積為S，求S與k的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接OD交AC于點(diǎn)F，將沿CF翻折得到，直線FG交CE于點(diǎn)K，若，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．11．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)E在AD上，ED＝3．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒3個單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)P作PF∥CE，與邊BA交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥BC，與CE交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)P停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式分別表示線段BF和PF的長度，則有BF＝4t，PF＝5t．(2)如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)D′，當(dāng)FG恰好過點(diǎn)D′時，求t的值．(3)如圖3，作△FGP的外接圓⊙O，當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中．①當(dāng)外接圓⊙O與四邊形ABCE的邊BC或CE相切時，請求出符合要求的t的值；②當(dāng)外接圓⊙O的圓心O落在△FGP的內(nèi)部(不包括邊上)時，直接寫出t的取值范圍．12．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點(diǎn)P，Q分別從C點(diǎn)，A點(diǎn)同時以每秒1個單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿C→A，A→B的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s)，連接PQ，過點(diǎn)P作PE⊥PQ，PE與邊BC相交于點(diǎn)E，連接QE．(1)如圖2，當(dāng)t＝5s時，延長EP交邊AD于點(diǎn)F．求證：AF＝CE；(2)在(1)的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，當(dāng)t＞94s時，延長EP交邊AD于點(diǎn)F，連接FQ，若FQ平分∠AFP，求13．如圖1，已知矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿BC的延長線方向以每秒2個單位的速度勻速運(yùn)動，當(dāng)E運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)F停止運(yùn)動．連接EF交DC于K，連接DE，DF，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)求證：△DAE∽△DCF；(2)當(dāng)DK＝KF時，求t的值；(3)如圖2，連接AC與EF相交于O，畫EH⊥AC于H．①試探索點(diǎn)E、F在運(yùn)動過程中，OH的長是否發(fā)生改變，若不變，請求出OH的長；若改變，請說明理由．②當(dāng)點(diǎn)O是線段EK的三等分點(diǎn)時，直接寫出tan∠FOC的值．14．【情景觀察】將含45°角的三角板的直角頂點(diǎn)R放在直線l上，分別過兩銳角的頂點(diǎn)M，N作l的垂線，垂足分別為P、Q，如圖1，觀察圖1可知：與NQ相等的線段是PR，與∠NRQ相等的角是∠PMR．【問題探究】直角△ABC中，∠B＝90°，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L．試探究EK與HL之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【拓展延伸】直角△ABC中，∠B＝90°，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點(diǎn)T，如圖3，如果AC＝kCE，CD＝kCH，試探究TE與TH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．15．已知，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB．D為直線AB上一點(diǎn)，連接CD，過C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，交AC于F．(1)如圖1，當(dāng)D，B重合時，求證：△FAB≌△FEC；(2)如圖2，當(dāng)D在線段AB上，且∠DCB＝30°時．請?zhí)骄緿F、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，在FC上任取一點(diǎn)G．連接DG，作射線GP使∠DGP＝60°，交∠DFG的角平分線于點(diǎn)Q，求證：FD+FG＝FQ．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)N為BC邊上的一點(diǎn)，且BN＝n(n＞0)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動，連接NP，作射線PM⊥NP交AD于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間是t秒(t＞0)．(1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，t＝4秒，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時，n＝-13t2(2)若n＝2，則①在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，點(diǎn)M是否可以到達(dá)線段AD的延長線上？通過計算說明理由；②連接ND，當(dāng)t為何值時，ND∥PM？(3)過點(diǎn)N作NK∥AB，交AD于點(diǎn)K，若在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，點(diǎn)K與點(diǎn)M不會重合，直接寫出n的取值范圍．17．如圖1，菱形ABCD中，AB＝5，AE⊥BC于E，AE＝4．一個動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BC方向運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，交折線段BA﹣AD于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點(diǎn)N在射線BC上，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，運(yùn)動結(jié)束．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒(t＞0)．(1)求出線段BD的長，并求出當(dāng)正方形PQMN的邊PQ恰好經(jīng)過點(diǎn)A時，運(yùn)動時間t的值；(2)在整個運(yùn)動過程中，設(shè)正方形PQMN與△BCD的重合部分面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時，線段PQ與對角線BD交于點(diǎn)O，將△BPO繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)α°(0＜α＜180)，記旋轉(zhuǎn)中的△BPO為△B′P′O，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)直線B′P′與直線BC交于G，與直線BD交于點(diǎn)H，是否存在這樣的G、H兩點(diǎn)，使△BGH為等腰三角形？若存在，求出此時OH2的值；若不存在，請說明理由．18．如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠ABC＝60°．AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)F．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD向點(diǎn)D以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動．過點(diǎn)P作PQ⊥AD，交射線AE于點(diǎn)Q，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APMQ，平行四邊形APMQ與△ADF重疊部分面積為S．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時停止運(yùn)動，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒．(t＞0)(1)用含t的代數(shù)式表示QF的長．(2)當(dāng)點(diǎn)M落到CD邊上時，求t的值．(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．(4)連結(jié)對角線AM與PQ交于點(diǎn)G，對角線AC與BD交于點(diǎn)O(如圖②)．直接寫出當(dāng)GO與△ABD的邊平行時t的值．19．問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC＝∠A＝∠B＝90°時，我們都知道，可以得到：AD?BC＝AP?BP；變式：(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、B在雙曲線y=kx(x＞0)上，BC與x軸交于點(diǎn)D．過點(diǎn)A作EF⊥y軸，垂足為E，再過點(diǎn)B作BF⊥AF，垂足為F，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為探究：(2)如圖3，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝4，點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動，且滿足∠A＝∠CPD，設(shè)運(yùn)動時間為t(秒)，BD的長度為s，求s與t的函數(shù)解析式，并求出CD的最小值．應(yīng)用：(3)如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(7，0)，點(diǎn)P為線段ON上的動點(diǎn)，始終保持∠APM＝∠AOP，射線PM交直線x＝7于點(diǎn)M，求MN的最大值．20．如圖1，矩形ABCD中，AB＝21，AD＝12，E是CD邊上的一點(diǎn)，DE＝16，M是BC邊上的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB以每秒1單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)P的運(yùn)動時間是t秒；(1)求線段AE的長；(2)當(dāng)△ADE與△PBM相似時，求t的值；(3)如圖2，連接EP，過點(diǎn)P作PH⊥AE于H．①當(dāng)EP平分四邊形PMEH的面積時，求t的值；②以PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′，當(dāng)線段B′C′與線段AE有公共點(diǎn)時，寫出t的取值范圍(直接寫出答案)．21．四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG(點(diǎn)D，點(diǎn)F在直線CE的同側(cè))，連接BF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，請直接寫出BF的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時，AE＝1；①求點(diǎn)F到AD的距離；②求BF的長；(3)若BF＝310，請直接寫出此時AE的長．22．四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在射線AD上，點(diǎn)F在邊CD所在的直線上，連接BE，BF，EF，且∠EBF＝45°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時，求證：AE+CF＝EF；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時，AE＝2，求EF的長；(3)若EF＝10，請直接寫出此時AE的長．【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題7弦圖與垂直模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】如圖所示，中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，且，求證：；(3)如圖3，在(2)的條件下，為上一點(diǎn)，連接，若，，求的長．【答案】(1)45°；(2)見解析；(3)2【分析】(1)先證明再證明再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；(2)利用全等三角形的性質(zhì)先求解，證明再求解，從而可得結(jié)論；(3)如圖，過作于交于連接證明為等邊三角形，再證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案.【解析】解：(1)，即，，．(2)，,∴，∵，∴．

(3)如圖，過作于交于連接為等邊三角形，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等腰斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用以上知識解題的關(guān)鍵.【例2】已知：中，，，為直線上一動點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，過點(diǎn)作于，連接．求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，連接交的延長線于點(diǎn)．求證：；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上時，連接交直線于，若，請求出的值．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)或【分析】(1)由“AAS”可證，可得EH=AC，即可求證；(2)過點(diǎn)作，交延長線于，由"AAS"可證，可得AC=EN=BC，由“AAS”可證，可得BM=EM；(3)，，分三種情況：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，點(diǎn)D在線段CB的延長線上，由全等三角形的性質(zhì)可求得相應(yīng)線段的長，再由三角形的面積公式可求解．【解析】證明(1)∵，，∴，，，在與中，，；(2)如圖2，過點(diǎn)作，交延長線于，∵，，∴，，，在與中，，，又∵，，又在與中，，則；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，∵，∴可設(shè)，，由(1)得：，則，，由∵，，∴，∴，即，∴，∴，，，，；如圖，點(diǎn)在延長線上時，過點(diǎn)作，交延長線于，∵，∴可設(shè)，，∵，，∴，∴，，，在與中，，，，又∵，，又在與中，，∴，，∴，，，∴，，點(diǎn)在延長線上由圖2得：，∴不可能，故舍去綜上：的值為或【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【例3】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．(1)如圖1，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，連接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示)；②用等式表示線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖2，點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足E在線段AD上，連接CE．①依題意補(bǔ)全圖2；②直接寫出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①∠DBE＝45°﹣α；②AE﹣BEEC，證明見解析；(2)①補(bǔ)全圖形見解析；②EB﹣EAEC．【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=．根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠DBE=∠CAD=；②過點(diǎn)C作CR⊥CE交AE于R，然后證明△ACR≌△BCE，得到AR＝BE，CR＝CE，即可得到△CER是等腰直角三角形，ERCE，由此即可求解；(2)①根據(jù)題目要求作圖即可；②過點(diǎn)C作CF⊥CE，交AD的延長線于點(diǎn)F.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CAF=∠CBE，證明△ACF≌△BCE.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)有AF=BE，CF=CE．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)有EF=EC．則有AF-EA=EC，即可求出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：(1)①如圖1中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠BAD＝α，∴∠CAD＝45°﹣α．∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；②結(jié)論：AE﹣BEEC．理由：如圖，過點(diǎn)C作CR⊥CE交AE于R．∴∠ACB＝∠RCE＝90°，∴∠ACR＝∠BCE，∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠CAR＝∠CBE，在△ACR和△BCE中，，∴△ACR≌△BCE(ASA)，∴AR＝BE，CR＝CE，∴△CER是等腰直角三角形，∴ERCE，∴AE﹣BE＝AE﹣AR＝EREC．(2)①補(bǔ)全圖形，如圖2所示：②猜想：當(dāng)D在BC邊的延長線上時，EB﹣EAEC；理由如下：過點(diǎn)C作CF⊥CE，交AD的延長線于點(diǎn)F，如圖3所示：則∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，即∠ACF＝∠BCE，∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，∴∠CAF＝∠CBE，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE(ASA)，∴AF＝BE，CF＝CE．∵∠ECF＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EFEC，即AF﹣EAEC．∴EB﹣EAEC．【點(diǎn)睛】考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等，難度一般，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【例4】(1)如圖1，四邊形ABCD為正方形，BF⊥AE，那么BF與AE相等嗎？為什么？(2)如圖2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，求AF：FC的值；(3)如圖3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．【分析】(1)先判斷出AB＝AD，再利用同角的余角相等，判斷出∠ABF＝∠DAE，進(jìn)而得出△ABF≌△DAE，即可得出結(jié)論；(2)構(gòu)造出正方形，同(1)的方法得出△ABD≌△CBG，進(jìn)而得出CG=12AB，再判斷出△AFB∽△(3)先構(gòu)造出矩形，同(1)的方法得，∠BAD＝∠CBP，進(jìn)而判斷出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同(2)的方法判斷出△CFP∽△AFB，建立方程即可得出結(jié)論．【解析】(1)BF＝AE，理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠BAE+∠DAE＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，∠BAD=∠ADC=90°AB=AD∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，(2)如圖2，過點(diǎn)A作AM∥BC，過點(diǎn)C作CM∥AB，兩線相交于M，延長BF交CM于G，∴四邊形ABCM是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴?ABCM是矩形，∵AB＝BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB＝BC＝CM，同(1)的方法得，△ABD≌△BCG，∴CG＝BD，∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴BD=12BC=∴CG=12CM=∵AB∥CM，∴△AFB∽△CFG，∴AFCF(3)如圖3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴BD=12過點(diǎn)A作AN∥BC，過點(diǎn)C作CN∥AB，兩線相交于N，延長BF交CN于P，∴四邊形ABCN是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴?ABCN是矩形，同(1)的方法得，∠BAD＝∠CBP，∵∠ABD＝∠BCP＝90°，∴△ABD∽△BCP，∴ABBC∴34∴CP=8同(2)的方法，△CFP∽△AFB，∴CFAF∴CF5-CF∴CF=40【例5】(1)如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC邊上的點(diǎn)，CE與BF交于點(diǎn)G，BF⊥CE，求證：BF＝CE；(2)如圖2，矩形ABCD中，AB＝2AD，E、F分別是AD、DC邊上的點(diǎn)，CE與BF交于點(diǎn)G，∠A+∠BGE＝180°，求證：CE＝2BF；(3)如圖3，若(2)中的四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A＜90°，則CE＝2BF是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【分析】(1)只要證明△CDE≌△BCF，即可解決問題；(2)先根據(jù)∠CFG+∠DCE＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，判斷出∠CFB＝∠DEC，進(jìn)而得出△CDE∽△BCF，即可得出結(jié)論；(3)先判斷出∠BFC＝∠BCG，進(jìn)而得出△BCG∽△BFC，即BCBF=CGFC，再判斷出△CFG∽△【解析】(1)如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠D＝∠BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠CBF+∠BCG＝90°，∠BCG+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∴△CDE≌△BCF，∴BF＝CE(2)如圖2中，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB，BC＝AD，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，∵AB＝2AD，∴CD＝2BC，∵∠A+∠BGE＝180°，∴∠CGF＝∠BGE＝90°＝∠D，∴∠CFG+∠DCE＝90°，∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠CFB＝∠DEC，∵∠D＝∠BCF，∴△CDE∽△BCF，∴CEBF∴CE＝2BF；(3)如圖3中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠BCD，CD＝AB，BC＝AD，∵AB＝2AD，∴CD＝2BC，∵∠A+∠BGE＝180°，∠BGE+∠BGC＝180°，∴∠BGC＝∠A＝∠BCD，∵∠BGC＝∠BFC+∠FCG，∠BCD＝∠BCG+∠FCG，∴∠BFC＝∠BCG，∵∠CBF＝∠FBC，∴△BCG∽△BFC，∴BCBF∵∠A+∠D＝180°，∠A+∠CGF＝180°，∴∠D＝∠CGF，∵∠FCG＝∠ECD，∴△CFG∽△CED，∴CFCE∴CGCF∴BCBF∵CD＝2BC，∴CE＝2BF；【例6】在正方形ABCD中，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動，同時點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請你直接回答“是”或“否”，不需證明)；連接AC，請你直接寫出△ACE為等腰三角形時CE：CD的值；(3)如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)分別在直線DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動路徑的草圖．若AD＝2，試求出線段CP的最大值．【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，求出DE＝CF，根據(jù)SAS推出△ADE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝DF，∠DAE＝∠FDC即可；(2)有兩種情況：①當(dāng)AC＝CE時，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理求出AC＝CE=2a即可；②當(dāng)AE＝AC時，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理求出AC＝AE=2a，根據(jù)正方形的性質(zhì)∠ADC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE＝CD＝(3)根據(jù)(1)(2)知：點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD＝90°，得出點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接CQ并延長交圓弧于點(diǎn)P，此時CP的長度最大，求出QC即可．【解析】(1)AE＝DF，AE⊥DF，理由是：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中AD=DC∠ADE=∠DCF∴△ADE≌△DCF，∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；(2)(1)中的結(jié)論還成立，CE：CD=2理由是：有兩種情況：①如圖1，當(dāng)AC＝CE時，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC＝CE=a2則CE：CD=2a：a=②如圖2，當(dāng)AE＝AC時，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC＝AE=a2∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2；即CE：CD=2(3)∵點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD＝90°，∴點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓，如圖3，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接CQ并延長交圓弧于點(diǎn)P，此時CP的長度最大，∵在Rt△QDC中，QC=C∴CP＝QC+QP=5即線段CP的最大值是5+培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動到點(diǎn)C，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作DE的垂線交AB于點(diǎn)F(1)求證：∠BFE＝∠ADE；(2)求BF的最大值；(3)如圖2，在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，以EF為邊，在EF上方作等邊△EFG，求邊EG的中點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長．【分析】(1)依據(jù)∠BFE+∠BEF＝90°，∠CED+∠BEF＝90°，即可得到∠BFE＝∠CED，再根據(jù)∠CED＝∠ADE，即可得出∠BFE＝∠ADE；(2)依據(jù)△BEF∽△CDE，即可得到BFCE=BECD，設(shè)BE＝x(0≤x≤3)，則CE＝3﹣x，根據(jù)BF=BE?CECD=-3(3)連接FH，取EF的中點(diǎn)M，連接BM，HM，依據(jù)BM＝EM＝HM＝FM，可得點(diǎn)B，E，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，連接BH，則∠HBE＝∠EFH＝30°，進(jìn)而得到點(diǎn)H在以點(diǎn)B為端點(diǎn)，BC上方且與射線BC夾角為30°的射線上，再過C作CH'⊥BH于點(diǎn)H'，根據(jù)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動到點(diǎn)C，即可得到點(diǎn)H從點(diǎn)B沿BH運(yùn)動到點(diǎn)H'，再利用在Rt△BH'C中，BH'＝BC?cos∠CBH'＝3×32=32【解析】(1)證明：如圖1，在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠BFE+∠BEF＝90°，∵DE⊥EF，∴∠CED+∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠CED，∵AD∥BC，∴∠CED＝∠ADE，∴∠BFE＝∠ADE；(2)由(1)可得，∠BFE＝∠CED，∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴BFCE在矩形ABCD中，BC＝AD＝3，AB＝CD=3設(shè)BE＝x(0≤x≤3)，則CE＝3﹣x，∴BF=BE?CECD=∵-33＜∴當(dāng)x=32時，BF存在最大值(3)如圖2，連接FH，取EF的中點(diǎn)M，連接BM，HM，在等邊三角形EFG中，EF＝FG，H是EG的中點(diǎn)，∴∠FHE＝90°，∠EFH=12∠又∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴FM＝HM＝EM，在Rt△FBE中，∠FBE＝90°，M是EF的中點(diǎn)，∴BM＝EM＝FM，∴BM＝EM＝HM＝FM，∴點(diǎn)B，E，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，連接BH，則∠HBE＝∠EFH＝30°，∴點(diǎn)H在以點(diǎn)B為端點(diǎn)，BC上方且與射線BC夾角為30°的射線上，如圖，過C作CH'⊥BH于點(diǎn)H'，∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動到點(diǎn)C，∴點(diǎn)H從點(diǎn)B沿BH運(yùn)動到點(diǎn)H'，在Rt△BH'C中，∠BH'C＝90°，∴BH'＝BC?cos∠CBH'＝3×3∴點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長是322．綜合與實踐﹣﹣﹣折疊中的數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)完特殊的平行四邊形之后，某學(xué)習(xí)小組針對矩形中的折疊問題進(jìn)行了研究．問題背景：在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的動點(diǎn)，且BE＝DF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，射線EC′與射線DA相交于點(diǎn)M．猜想與證明：(1)如圖1，當(dāng)EC′與線段AD交于點(diǎn)M時，判斷△MEF的形狀并證明你的結(jié)論；操作與畫圖：(2)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，請在圖2中作出此時的折痕EF和折疊后的圖形(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)注相應(yīng)的字母)；操作與探究：(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在線段DA延長線上時，線段C′D'分別與AD，AB交于P，N兩點(diǎn)時，C′E與AB交于點(diǎn)Q，連接MN并延長MN交EF于點(diǎn)O．求證：MO⊥EF且MO平分EF；(4)若AB＝4，AD＝43，在點(diǎn)E由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)D'所經(jīng)過的路徑的長為163π【分析】(1)由AD∥BC，可得∠MFE＝∠CEF，由折疊可得，∠MEF＝∠CEF，依據(jù)∠MFE＝∠MEF，即可得到ME＝MF，進(jìn)而得出△MEF是等腰三角形；(2)作AC的垂直平分線，即可得到折痕EF，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到D'的位置；(3)依據(jù)△BEQ≌△D'FP，可得PF＝QE，依據(jù)△NC'P≌△NAP，可得AN＝C'N，依據(jù)Rt△MC'N≌Rt△MAN，可得∠AMN＝∠C'MN，進(jìn)而得到△MEF是等腰三角形，依據(jù)三線合一，即可得到MO⊥EF且MO平分EF；(4)依據(jù)點(diǎn)D'所經(jīng)過的路徑是以O(shè)為圓心，4為半徑，圓心角為240°的扇形的弧，即可得到點(diǎn)D'所經(jīng)過的路徑的長．【解析】(1)△MEF是等腰三角形．理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MFE＝∠CEF，由折疊可得，∠MEF＝∠CEF，∴∠MFE＝∠MEF，∴ME＝MF，∴△MEF是等腰三角形．(2)折痕EF和折疊后的圖形如圖2所示：(3)如圖3，∵FD＝BE，由折疊可得，D'F＝DF，∴BE＝D'F，在△NC'Q和△NAP中，∠C'NQ＝∠ANP，∠NC'Q＝∠NAP＝90°，∴∠C'QN＝∠APN，∵∠C'QN＝∠BQE，∠APN＝∠D'PF，∴∠BQE＝∠D'PF，在△BEQ和△D'FP中，∠BQE=∠DPF∠B=∠D∴△BEQ≌△D'FP(AAS)，∴PF＝QE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴AD﹣FD＝BC﹣BE，∴AF＝CE，由折疊可得，C'E＝EC，∴AF＝C'E，∴AP＝C'Q，在△NC'Q和△NAP中，∠C'NQ=∠ANP∠NC'Q=∠NAP∴△NC'P≌△NAP(AAS)，∴AN＝C'N，在Rt△MC'N和Rt△MAN中，MN=MNAN=C'N∴Rt△MC'N≌Rt△MAN(HL)，∴∠AMN＝∠C'MN，由折疊可得，∠C'EF＝∠CEF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∴∠C'EF＝∠AFE，∴ME＝MF，∴△MEF是等腰三角形，∴MO⊥EF且MO平分EF；(4)在點(diǎn)E由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)D'所經(jīng)過的路徑是以O(shè)為圓心，4為半徑，圓心角為240°的扇形的弧，如圖：故其長為L=240×π×4故答案為：1633．如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為1cm/s，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時停止運(yùn)動，連接DE并延長交矩形ABCD的邊于點(diǎn)F．點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，MN⊥DF于點(diǎn)H交矩形的邊AD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的時間為t(s)．(1)當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時，求t的值；(2)當(dāng)t＝2時，求ND的長；(3)如圖2，點(diǎn)M從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動，速度為1cm/s，且與點(diǎn)E同時開始運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動時，點(diǎn)E也停止運(yùn)動，其他條件不變．①連接FM，點(diǎn)Q為FM的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD邊上，CP＝4cm，請直接寫出點(diǎn)F從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，△PQC周長的最小值；②當(dāng)EF=13ED時，請直接寫出線段【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，利用勾股定理求出AC即可解決問題．(2)證明∠ADF＝∠DCN，可得tan∠ADF＝tan∠DCN，推出AFAD(3)①如圖2﹣1中，取AD的中點(diǎn)K，BC的中點(diǎn)G，連接KG．作點(diǎn)P關(guān)于直線GK的對稱點(diǎn)P′(點(diǎn)P′在線段B上，AP′＝2)，連接CP′，P′Q．易知C，Q，P′共線時，PQ+QC的值最小，此時△PQC的周長最?。诜謨煞N情形分別求解即可解決問題．【解析】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC=6當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，此時t＝5．(2)如圖1﹣1中，當(dāng)t＝2時，AE＝2，EC＝10﹣2＝8，∵AF∥CD，∴AFCD∴AF=3∵CN⊥DF，∴∠CHD＝90°，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCN＝90°，∴∠ADF＝∠DCN，∴tan∠ADF＝tan∠DCN，∴AFAD∴32∴DN=9(3)①如圖2﹣1中，取AD的中點(diǎn)K，BC的中點(diǎn)G，連接KG．作點(diǎn)P關(guān)于直線GK的對稱點(diǎn)P′(點(diǎn)P′在線段B上，AP′＝2)，連接CP′，P′Q．∵QF＝QM，∴點(diǎn)Q在線段GK上，∵QP＝QP′，∴QP+QC＝QP′+QC，∴C，Q，P′共線時，PQ+QC的值最小，此時△PQC的周長最?。赗t△BCP′中，CP′=42+∵QP′+QC≥CP′，∴PQ+CQ的最小值為45，∴△PQC的周長的最小值為4+45．②如圖2﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時，∵AF∥CD，∴AFCD∵CD＝6，AC＝10，∴AF＝2，AE=5∴CM＝AE=52，DM∵tan∠ADF＝tan∠DCN，∴AFAD∴2∴DN=如圖2﹣3中，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時，∵CF∥AD，∴EFDE∴AE=34×∵點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)D的時間為6秒，152＞6，此時點(diǎn)綜上所述，滿足條件的DN的值為784．如圖，己知中，，，分別過、向過的直線作垂線，垂足分別為．(1)如圖1，過的直線與斜邊不相交時，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，過的直線與斜邊相交時，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(3)在(2)的條件下，如圖3，直線交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．

【答案】(1)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF；(2)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．證明見詳解；(3)S△GHC=15．【分析】(1)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．利用一線三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC(AAS)可得BE=AF，AE=CF即可；(2)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．先證∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，可得∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC(AAS)，可得BE=AF，AE=CF即可；(3)先由(2)結(jié)論EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用對角線垂直的四邊形面積可求BG=，再求EG=3，AH=10，分別求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面積差即可求出．【解析】解：(1)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC(AAS)，∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF+AE=BE+CF；(2)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC(AAS)，∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF-AE=BE-CF；(3)∵EF=BE-CF；，∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，∵，EH+FH=EF=6，∴2FH+FH=6，解得FH=2，∴EH=2FH=4，S四邊形ABFG==90，∴BG=，∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15．【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計算，掌握圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計算是解題關(guān)鍵．5．在中，，，點(diǎn)D為直線BC上的一個動點(diǎn)(不與B、C重合)，連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)EC．(1)如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，如圖1：求證：(2)如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，請寫出AC與CE的位置關(guān)系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點(diǎn)E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系，請你寫出證明過程．(3)如果點(diǎn)D在線段CB的延長線上運(yùn)動，利用圖3畫圖分析，(2)中的結(jié)論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)垂直，理由見解析；(3)成立，證明見解析【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明即可；(2)過點(diǎn)E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系；(3)如圖3所示，過點(diǎn)E作于F，證明，進(jìn)一步可證明【解析】解：(1)證明：∵∴∵∴∴(2)垂直∵∴∵∴在和中∴∴，∵∴，∴即．∴又∵∴，且∴即．(3)(2)中的結(jié)論仍然成立如圖3所示，過點(diǎn)E作于F∵∴在和中∴∴，∴即∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．6．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證AE⊥BF；(2)如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；【答案】(1)見解析；(2)見解析；【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC，，用SAS證明，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即可得；(2)過點(diǎn)B作，交AN于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，用SAS證明，得，根據(jù)角平分線性質(zhì)得，則是等腰直角三角形，用SAS證明，得AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理即可得；【解析】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，，在和中，∴(SAS)，∴，∵，∴，∴，∴；(2)如圖所示，過點(diǎn)B作，交AN于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AC，，∵，，∴，由(1)得，，∴，∴,∴，∴，在和中，∴(SAS)，∴，∵AN平分，∴，∴，，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴BH=BN，在和中，∴(SAS)，∴AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)．7．如圖，正方形ABCD邊長為4，點(diǎn)G在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合)，BG的垂直平分線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EG．(1)當(dāng)AG=1時，求EG的長；(2)當(dāng)AG的值等于時，BE=8－2DF；(3)過G點(diǎn)作GM⊥EG交CD于M①求證：GB平分∠AGM；②設(shè)AG=x，CM=y，試說明的值為定值．【答案】(1)；(2)(3)①見解析；②，理由見解析【分析】(1)根據(jù)EF是線段BG的垂直平分線，BE=EG，設(shè)EG=EB=x，則AE=AB-BE=4-x，再由勾股定理求解即可；(2)過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，連接FB，F(xiàn)G，由BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，得到BE=2CF，先證明四邊形BCFH是矩形，得到CF=HB，則BH=EH=FC，設(shè)AG=x，BE=y，則AE=4-y，GD=4-x，CF=，由，，，可以得到①，②，聯(lián)立①②求解即可得到答案；(3)①先證明∠EBG=∠EGB，然后根據(jù)ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，即可得到∠AGB=∠BGM；②連接BM，過點(diǎn)B作BH⊥GM，由角平分線的性質(zhì)得到BH=AB=4，由，可以得到，由勾股定理可以得到即，最后解方程即可得到答案．【解析】解：(1)∵EF是線段BG的垂直平分線，∴BE=EG，∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，∴AB=4，∠A=90°，設(shè)EG=EB=x，則AE=AB-BE=4-x，∵，∴，解得，∴；(2)如圖所示，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，連接FB，F(xiàn)G∵EF是線段BG的垂直平分線，∴BF=FG，∵BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，∴BE=2CF，∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)H⊥AB，∴∠HBC=∠C=∠BHF=90°，∴四邊形BCFH是矩形，∴CF=HB，∴BH=EH=FC，設(shè)AG=x，BE=y，則AE=4-y，GD=4-x，CF=，∵，，，∴①，②，聯(lián)立①②解得或(舍去)，∴當(dāng)時，BE=8-2DF，故答案為：；(3)①∵EF是線段BG的垂直平分線，∴EG=BE，∴∠EBG=∠EGB，∵四邊形ABCD是正方形，EG⊥GM，∴∠A=∠EGM=90°，∴∠ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，∴∠AGB=∠BGM，∴BG平分∠AGM；②如圖，連接BM，過點(diǎn)B作BH⊥GM，由(3)①得BG平分∠AGM，∴BH=AB=4，∵AG=x，CM=y，∴DG=4-x，DM=4-y，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴∴，∴，∴，當(dāng)時，則，∴(不符合題意)，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．8．如圖1，正方形中，是對角線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接(與不垂直)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．

(1)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，其他條件不變，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析【分析】(1)過作的垂線，分別交于，連接，利用正方形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，證明出，通過等量代換得出為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；(2)由(1)中，得，從而得，通過等量代換計算可得，根據(jù)為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；(3)過點(diǎn)作垂線，分別交于，連接，證明出，通過等量代換計算得，再根據(jù)為等腰直角三角形即可得出結(jié)論．【解析】解：(1)，理由如下；過作的垂線，分別交于，連接，為正方形，,,，垂直平分，，，，，又，，為等腰直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，．(2)，理由如下：由(1)中，，由下圖：，四邊形為矩形，，在中，由正方形的性質(zhì)知，，，為等腰直角三角形，又，四邊形為正方形，，同理四邊形為矩形，，，，在中，由正方形的性質(zhì)知，，，為等腰直角三角形，，．(3)，理由如下：過點(diǎn)作垂線，分別交于，連接，，，，由(2)得，，，由(2)可得：，為等腰直角三角形，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形、解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，掌握相關(guān)的知識點(diǎn)，通過等量代換的思想進(jìn)行求解．9．如圖1，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，連接、，點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線翻折，使得的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，正方形的邊長為3，求線段的長．【答案】(1)見解析；(2)四邊形為正方形，理由見解析；(3)【分析】(1)由四邊形為正方形，可得，推得，由，可得，可證即可；(2)、為、中點(diǎn)，可得為的中位線，可證，，由點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，可得PQ是的中位線，MQ為的中位線，NP為的中位線，可證，，，，，，可證四邊形為平行四邊形．再證四邊形為菱形，最后證即可；(3)延長交于點(diǎn)，由對稱性可得，，，由勾股定理可求，可得，設(shè)，在中，，解得，在中，可求．【解析】(1)證明：∵四邊形為正方形，∴，∴，∵，∴∠AHB=90°，∴，∴，在與中，，∴，∴．(2)解：四邊形為正方形，理由如下：∵、為、中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，，∵點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，∴PQ是的中位線，MQ為的中位線，NP為的中位線，，∴，，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴，∴四邊形為菱形，∵，，∴，∵，∴，∴四邊形為正方形．(3)解：延長交于點(diǎn)，由對稱性可知，，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)與判定，等角的余角性質(zhì)三角形全等判定與性質(zhì)，三角形中位線判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理建構(gòu)方程，解拓展一元一次方程等知識，掌握以上知識是解題關(guān)鍵．10．直線與x軸交于A，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC的解析式為，與x軸交于B．(1)如圖1，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；(2)如圖2，D為BC延長線上一點(diǎn)，過D作x軸垂線于點(diǎn)E，連接CE，若，設(shè)的面積為S，求S與k的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接OD交AC于點(diǎn)F，將沿CF翻折得到，直線FG交CE于點(diǎn)K，若，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】(1)令，求x；(2)過點(diǎn)D作y軸的垂線，先證明，再由K型全等，得E點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出S與k的函數(shù)關(guān)系式；(3)由等腰直角三角形和四點(diǎn)共圓把已知條件轉(zhuǎn)化為簡單的等量關(guān)系，得出，再利用垂直平分線性質(zhì)構(gòu)造，通過解直角三角形求出求出k的值，再求點(diǎn)K的坐標(biāo)．【解析】解：(1)∵直線與x軸交于A，與y軸交于C點(diǎn)，∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，得：，∴，，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．(2)過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，∵，，∴，∴，對直線BC：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，即：，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，∴，(3)連接AD，過AD的中點(diǎn)N作交DE于點(diǎn)M，連接AM，(3)連接，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，，在四邊形中，，，點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，為圓的直徑，點(diǎn)為圓心，，是的中垂線，，，，，，，又，，即：，在中，，，設(shè)，則：，，，解得：，，，，，即：，解得：，，，，直線的解析式為：，直線的解析式為：，直線的解析式為：，由，解得：，點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，，直線的解析式為：，由，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的求法、K型全等的應(yīng)用和四點(diǎn)共圓的判定、以及利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化等知識，是一個代數(shù)幾何綜合題．對于比較復(fù)雜的條件，需要學(xué)生學(xué)會將復(fù)雜的條件轉(zhuǎn)化為簡單直接的條件，可以從等量關(guān)系，倍數(shù)關(guān)系入手．11．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)E在AD上，ED＝3．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒3個單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)P作PF∥CE，與邊BA交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥BC，與CE交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)P停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式分別表示線段BF和PF的長度，則有BF＝4t，PF＝5t．(2)如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)D′，當(dāng)FG恰好過點(diǎn)D′時，求t的值．(3)如圖3，作△FGP的外接圓⊙O，當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中．①當(dāng)外接圓⊙O與四邊形ABCE的邊BC或CE相切時，請求出符合要求的t的值；②當(dāng)外接圓⊙O的圓心O落在△FGP的內(nèi)部(不包括邊上)時，直接寫出t的取值范圍．【分析】(1)由△PFB∽△ECD，得PFEC(2)如圖2中，由△D′MG∽△CDE，得D'MCD=MGED，求出MG，根據(jù)PF＝CG＝(3)①存在．如圖4中，當(dāng)⊙O與BC相切時，連接OP延長PO交FG于M，連接OF、OG，由PB＝MF＝MG=12FG=12PC，得到3t如圖5中，當(dāng)⊙O與BC相切時，連接GO，延長GO交PF于M，連接OF、OP，由△FGM∽△PFB，得FGPF②求出兩種特殊位置t的值即可判斷．【解析】(1)如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，在Rt△ECD中，∵∠D＝90°，ED＝3．CD＝4，∴EC=E∵PF∥CE，F(xiàn)G∥BC，∴四邊形PFGC是平行四邊形，∴∠FPB＝∠ECB＝∠DEC，∴△PFB∽△ECD，∴PFEC∴PF5∴BF＝4t，PF＝5t，故答案為4t，5t．(2)如圖2中，∴D、D′關(guān)于CE對稱，∴DD′⊥CE，DM＝MD′，∵12?DE?DC=12?EC∴DM＝D′M=125，CM由△D′MG∽△CDE，得D'MCD∴1250∴MG=9∴PF＝CG＝CM﹣MG，∴5t=16∴t=7∴t=725時，D′落在(3)存在．①如圖4中，當(dāng)⊙O與BC相切時，連接OP延長PO交FG于M，連接OF、OG．∵OP⊥BC，BC∥FG，∴PO⊥FG，∴FM＝MG由PB＝MF＝MG=12FG=12PC，得到3t=12如圖5中，當(dāng)⊙O與EC相切時，連接GO，延長GO交PF于M，連接OF、OP．∵OG⊥EC，BF∥EC，∴GO⊥PF，∴MF＝MP=52∵△FGM∽△PFB，∴FGPF∴5-3t5t解得t=30綜上所述t=59或3043時，⊙O與四邊形ABCE②如圖6中，當(dāng)∠FPG＝90°時，由cos∠PCG＝cos∠CED，∴5t5-3t∴t=15如圖7中，當(dāng)∠FGP＝90°時，∴5-3t5t∴t=5觀察圖象可知：當(dāng)1534＜t＜56時，外接圓⊙O的圓心12．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點(diǎn)P，Q分別從C點(diǎn)，A點(diǎn)同時以每秒1個單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿C→A，A→B的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s)，連接PQ，過點(diǎn)P作PE⊥PQ，PE與邊BC相交于點(diǎn)E，連接QE．(1)如圖2，當(dāng)t＝5s時，延長EP交邊AD于點(diǎn)F．求證：AF＝CE；(2)在(1)的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，當(dāng)t＞94s時，延長EP交邊AD于點(diǎn)F，連接FQ，若FQ平分∠AFP，求【分析】(1)先利用勾股定理求出AC，再判斷出CP＝AP，進(jìn)而判斷出△APF≌△CPE，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出AF＝CE，PE＝PF，再用勾股定理得出AQ2+AF2＝QF2，即可得出結(jié)論；(3)先判斷出△FAQ≌△FPQ(AAS)，得出AQ＝PQ＝t，AF＝PF，進(jìn)而判斷出PE＝CE，再判斷出△CNE∽△CBA，得出CE=58t，在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，得出PQ2+PE2＝BQ2+BE2，t2+(58t)2＝(6﹣t)2【解析】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根據(jù)勾股定理得，AC＝10，由運(yùn)動知，CP＝t＝5，∴AP＝AC﹣CP＝5，∴AP＝CP，∵AD∥BC，∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，∴△APF≌△CPE(AAS)，∴AF＝CE；(2)結(jié)論：AQ2+CE2＝QE2，理由：如圖2，連接FQ，由(1)知，△APF≌△CPE，∴AF＝CE，PE＝PF，∵EF⊥PQ，∴QE＝QF，在Rt△QAF中，根據(jù)勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，∴AQ2+CE2＝QE2；(3)如圖3，由運(yùn)動知，AQ＝t，CP＝t，∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，∵FQ平分∠AFE，∴∠AFQ＝∠PFQ，∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，F(xiàn)Q＝FQ，∴△FAQ≌△FPQ(AAS)，∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，∴∠ACB＝∠CPE，∴PE＝CE，過點(diǎn)E作EN⊥AC于N，∴CN=12CP=12t，∠∵∠NCE＝∠BCA，∴△CNE∽△CBA，∴CEAC∴CE10∴CE=58∴PE=58t，BE＝BC﹣CE＝8-在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，∴t2+(58t)2＝(6﹣t)2+(8-58t∴t=50∴CP＝t=50∴AP＝10﹣CP=60∵AD∥BC，∴△APF∽△CPE，∴AFCE13．如圖1，已知矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿BC的延長線方向以每秒2個單位的速度勻速運(yùn)動，當(dāng)E運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)F停止運(yùn)動．連接EF交DC于K，連接DE，DF，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)求證：△DAE∽△DCF；(2)當(dāng)DK＝KF時，求t的值；(3)如圖2，連接AC與EF相交于O，畫EH⊥AC于H．①試探索點(diǎn)E、F在運(yùn)動過程中，OH的長是否發(fā)生改變，若不變，請求出OH的長；若改變，請說明理由．②當(dāng)點(diǎn)O是線段EK的三等分點(diǎn)時，直接寫出tan∠FOC的值．【分析】(1)求出AECF=ADCD=(2)根據(jù)相似得出∠ADE＝∠CDF，求出EK＝KF，證△FKC∽△FEB，得出2t2t+2(3)①點(diǎn)E、F在運(yùn)動過程中，OH的長不變，理由是：作EM∥BC，交AC于M，設(shè)∠BAC＝α，則tanα=12，得出AE＝t，CF＝2t，求出EM=12t，證△MEO∽△CFO，得出MOOC=EMCF=14，求出MO=15CM，設(shè)HM＝a，則EH＝2a，AH＝4a，求出MH=15AM，推出OH=15AC，求出AC即可求出OH；②tan∠FOC的值是76或13，理由是：根據(jù)△FKC∽△FEB求出KC=t(4-t)t+1，根據(jù)△CKO∽△AEO得出AECK=EOOK，當(dāng)AE【解析】(1)由題意，得AE＝t，CF＝2t．∵矩形ABCD中，BC＝AD＝2，AB＝CD＝4，∴AECF∵∠DAE＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；(2)∵△DAE∽△DCF，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°，∵DK＝KF，∴∠KDF＝∠KFD，∵∠DEK+∠KFD＝90°，∠EDK+∠KDF＝90°，∴∠DEK＝∠EDK，∴DK＝EK，∴EK＝KF，∵AB∥CD，∴△FKC∽△FEB，∴2t2t+2t＝1；(3)①點(diǎn)E、F在運(yùn)動過程中，OH的長不變，理由是：作EM∥BC，交AC于M，設(shè)∠BAC＝α，則tanα=1∵AB⊥BC，∴ME⊥AB，∵AB⊥AC，∴∠HEM＝α，∵AE＝t，CF＝2t，∴EM=12∵∠EOM＝∠FOC，∠MEO＝∠CFO，∴△MEO∽△CFO，∴MOOC∴MO=14∴MO=15設(shè)HM＝a，則EH＝2a，AH＝4a，∴MH=15∴OH＝OM+MH=15CM+15在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，由勾股定理得：AC＝25，∴OH=2即點(diǎn)E、F在運(yùn)動過程中，OH的長度不變，是25②tan∠FOC的值是76或1理由是：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴△FKC∽△FEB，∴KCBE∴KC4-t∴KC=t(4-t)∵AB∥CD，∴△CKO∽△AEO，∴AECK當(dāng)AECKtt(4-t)t＝0(舍去)，t=7∵EH⊥AC，∴∠EHA＝∠ABC＝90°，∵∠EAH＝∠BAC，∴△AEH∽△ACB，∴AEAC∴73∴EH=7∴tan∠FOC＝tan∠EOH=EH當(dāng)AECKtt(4-t)t＝0(舍去)，t=2∵EH⊥AC，∴∠EHA＝∠ABC＝90°，∵∠EAH＝∠BAC，∴△AEH∽△ACB，∴AEAC∴23∴EH=2∴tan∠FOC＝tan∠EOH=EH14．【情景觀察】將含45°角的三角板的直角頂點(diǎn)R放在直線l上，分別過兩銳角的頂點(diǎn)M，N作l的垂線，垂足分別為P、Q，如圖1，觀察圖1可知：與NQ相等的線段是PR，與∠NRQ相等的角是∠PMR．【問題探究】直角△ABC中，∠B＝90°，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L．試探究EK與HL之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【拓展延伸】直角△ABC中，∠B＝90°，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點(diǎn)T，如圖3，如果AC＝kCE，CD＝kCH，試探究TE與TH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】【情景觀察】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到MR＝RN，∠MRN＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠PMR＝∠NRQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；【問題探究】根據(jù)四邊形ACEF是正方形，得到AC＝CE，∠ACE＝90°根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ECK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到EK＝BC，同理得到BC＝HI，等量代換即可得到結(jié)論；【拓展延伸】根據(jù)四邊形ACEF是矩形，得到∠ACE＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ECM根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC＝kEM，同理同理得到BC＝kHN，等量代換得到EM＝HN，推出△NHT≌△EMT，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】【情景觀察】∵△MRN是等腰直角三角形，∴MR＝RN，∠MRN＝90°，∵M(jìn)P⊥PQ，NQ⊥PQ，∴∠MPR＝∠NQ＝90°，∴∠PMR+∠MRP＝∠MRP+∠NRQ＝90°，∴∠PMR＝∠NRQ，在△MPR與△NRQ中，∠PMR=∠NRQ∠MPR=∠NRQ∴△MPR≌△NRQ，∴QN＝PR，∠NRQ＝∠PMR，故答案為：PR，∠PMR；【問題探究】∵四邊形ACEF是正方形，∴AC＝CE，∠ACE＝90°，∵EK⊥BK，∴∠B＝∠EKC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠ECK＝90°，∴∠BAC＝∠ECK，在△ABC與△CEK中，∠BAC=∠KCE∠B=∠EKC∴△ABC≌△CEK，∴EK＝BC，∵四邊形CDGH是正方形，∴CD＝CH，∠DCH＝90°，∵HI⊥BC，∴∠B＝∠CIH＝90°，∴∠DCB+∠ICK＝∠ICK+∠CHI＝90°，∴∠DCB＝∠CHI，在△DCB與△CHI中，∠B=∠CIH∠BCD=∠CHICD=CH，∴△DCB≌△∴BC＝HI，∴EK＝IH；【拓展延伸】如圖3，過E作EM⊥BC于M，過H作HN⊥BC于N，∵四邊形ACEF是矩形，∴∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠ECM＝90°，∴∠BAC＝∠ECM，∴△ACB∽△ECM，∴BCEM=∴BC＝kEM，同理△BCD∽△NHC，∴BCHN=∴BC＝kHN，∴EM＝HN，在△NHT與△EMT中，∠HNT=∠EMT=90°∠NTH=∠MTE∴△NHT≌△EMT，∴ET＝HT．15．已知，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB．D為直線AB上一點(diǎn)，連接CD，過C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，交AC于F．(1)如圖1，當(dāng)D，B重合時，求證：△FAB≌△FEC；(2)如圖2，當(dāng)D在線段AB上，且∠DCB＝30°時．請?zhí)骄緿F、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，在FC上任取一點(diǎn)G．連接DG，作射線GP使∠DGP＝60°，交∠DFG的角平分線于點(diǎn)Q，求證：FD+FG＝FQ．【分析】(1)證CE∥AB知∠E＝∠EBA，∠ECA＝∠A，由等腰三角形的性質(zhì)知AB＝CB，結(jié)合CE＝CD知AB＝CE，從而得證．(2)在EF上找到G點(diǎn)使得FG＝CF，易證△CFG是等邊三角形，可得CG＝CF＝GF，即可求得∠ECG＝∠ACD，即可證明△ECG≌△CDF，可得DF＝EG，即可解題；(3)在FP上找到H點(diǎn)，使得FH＝FG，易證△FGH是等邊三角形，可得∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，即可求得∠FGD＝∠QGH，即可證明△DFG≌△QHG，可得DF＝QH，即可解題．【解析】(1)∵∠ABC＝90°，CE⊥CD，∴CE∥AB，∴∠E＝∠EBA，∠ECA＝∠A，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝CB，∵CE＝CD，∴AB＝CE，在△FAB和△FEC中，∵AB=CE∠E=∠EBA∴△FAB≌△FEC(AAS)；(2)在EF上找到G點(diǎn)使得FG＝CF，如圖①，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝15°，∴∠CFG＝∠CDE+∠ACD＝60°，∵FG＝CF，∴△CFG是等邊三角形，∴CG＝CF＝GF，∠FCG＝60°，∴∠GCE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，∵在△ECG和△CDF中，∵CG=CF∠ECG=∠ACD∴△ECG≌△CDF(SAS)∴DF＝EG，∵EF＝EG+GF，∴EF＝DF+CF；(3)證明：在FP上找到H點(diǎn)，使得FH＝FG，如圖②，∵PF平分∠DFG，∴∠PFG＝60°，∵FG＝FH，∴△FGH是等邊三角形，∴∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，∵∠AFD＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴∠GHQ＝∠DFG＝120°，∵∠FGD+∠DGH＝60°，∠DGH+∠QGH＝60°，∠QGH＝∠DGF，∴∠FGD＝∠QGH，∵在△DFG和△QHG中，∵∠DFG=∠QHG=120°FG=HG∴△DFG≌△QHG(ASA)∴DF＝QH，∵FQ＝FH+QH，∴FQ＝FG+FD．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)N為BC邊上的一點(diǎn)，且BN＝n(n＞0)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動，連接NP，作射線PM⊥NP交AD于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間是t秒(t＞0)．(1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，t＝4秒，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時，n＝-13t2(2)若n＝2，則①在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，點(diǎn)M是否可以到達(dá)線段AD的延長線上？通過計算說明理由；②連接ND，當(dāng)t為何值時，ND∥PM？(3)過點(diǎn)N作NK∥AB，交AD于點(diǎn)K，若在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，點(diǎn)K與點(diǎn)M不會重合，直接寫出n的取值范圍．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，如圖1，AP＝AP＝4，可得t＝4，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時，如圖2，利用三角形相似列比例式可得n的式子；(2)①如圖3，根據(jù)△AMP∽△BPN，列比例式AMAP=BPBN，可得AM=12t(4﹣t)=-12t2+2t=-12②如圖4，作輔助線構(gòu)建平行線，證明△PMA∽△NDQ，則PANQ=AM(3)根據(jù)圖4，點(diǎn)Q即為本題中的點(diǎn)K，由(2)①的解答過程