高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二篇專題二數(shù)學(xué)思想方法課件理

專題二數(shù)學(xué)思想方法2021/10/10星期日1概述數(shù)學(xué)思想方法既是思想也是方法,“思想”是統(tǒng)領(lǐng)全局的總綱,“方法”是可以具體操作的解題方法,“思想”與“方法”是密不可分的整體.在高考中主要考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法.1.函數(shù)思想就是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題得到解決.方程思想就是將所求的量設(shè)成未知數(shù),根據(jù)題中的等量關(guān)系,列方程(組),通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進行研究,以求得問題的解決.2021/10/10星期日22.數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想,主要包括以下兩個方面:(1)“以形助數(shù)”,把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);(2)“以數(shù)輔形”,把直觀圖形數(shù)量化,使形更加精確.3.轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而解決問題的一種方法.其應(yīng)用包括以下三個方面:(1)將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題;(2)將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;(3)將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.2021/10/10星期日34.分類討論思想是當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時,就需要對研究的對象按某個標準進行分類,然后對每一類分別研究,給出每一類的結(jié)論,最終集合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上分類討論就是“化整為零,各個擊破,再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.2021/10/10星期日4熱點一函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用【例1】

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且對于?x∈R,均有f(x)>f′(x),則有(

)(A)e2018f(-2018)<f(0),f(2018)>e2018f(0)(B)e2018f(-2018)<f(0),f(2018)<e2018f(0)(C)e2018f(-2018)>f(0),f(2018)>e2018f(0)(D)e2018f(-2018)>f(0),f(2018)<e2018f(0)一、函數(shù)與方程思想2021/10/10星期日52021/10/10星期日6【思維建?！?/p>

函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題、常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù),建立函數(shù)關(guān)系求解.2021/10/10星期日72021/10/10星期日8答案:(1)B2021/10/10星期日9(2)(2017·山西三區(qū)八校二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足f′(x)<f(x),且f(x)·f(x+3)=-1,若f(2015)=-e,則不等式f(x)<ex的解集為

.

答案:(2)(1,+∞)2021/10/10星期日10熱點二函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例2】(2017·全國Ⅰ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通項公式;2021/10/10星期日11(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.2021/10/10星期日12【思維建模】

數(shù)列的通項與前n項和都是以正整數(shù)為自變量的函數(shù),可用函數(shù)與方程思想處理數(shù)列問題.涉及特殊數(shù)列(等差、等比數(shù)列),已知Sn與an關(guān)系問題,應(yīng)用方程思想列方程(組)求解;涉及最值問題或參數(shù)范圍問題,應(yīng)用函數(shù)思想來解決.2021/10/10星期日132021/10/10星期日142021/10/10星期日15熱點三函數(shù)與方程思想在立體幾何、解析幾何中的應(yīng)用2021/10/10星期日16答案:(1)C2021/10/10星期日172021/10/10星期日18【思維建模】

立體幾何、解析幾何中的求值問題、解析幾何中的位置關(guān)系問題常應(yīng)用方程思想列方程(組)求解;求范圍、最值等問題常選擇恰當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù),然后應(yīng)用有關(guān)知識,求函數(shù)的最值或值域.2021/10/10星期日192021/10/10星期日20答案:(1)C2021/10/10星期日21答案:(2)22021/10/10星期日22熱點一利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)零點問題二、數(shù)形結(jié)合思想2021/10/10星期日232021/10/10星期日24【思維建?！?/p>

解函數(shù)零點個數(shù)問題常應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題;解函數(shù)零點和問題,常應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想利用圖象的對稱性求解.2021/10/10星期日25解析:(1)函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個零點,須y1=f(x)與y2=a|x|的圖象有4個不同的交點.如圖所示.由圖可知,當y2=-ax(x<0)與y1=-x2-5x-4(-4<x<-1)相切時,方程x2+(5-a)x+4=0有兩個相等實數(shù)根,則(5-a)2-16=0,且a-5<0,解得a=1(a=9舍去).所以當x<0時,y1=-x2-5x-4與y2=-ax的圖象有3個交點,顯然當1<a<2時,兩函數(shù)的圖象恰有4個不同交點,即函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個零點.故選B.2021/10/10星期日26(2)(2018·石家莊市質(zhì)檢)已知M是函數(shù)f(x)=|2x-3|-8sinπx(x∈R)的所有零點之和,則M的值為(

)(A)3 (B)6 (C)9 (D)122021/10/10星期日27熱點二利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題【例5】

已知實系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根x1,x2,x1∈(0,1),x2∈(1,2).求(1)點(a,b)對應(yīng)區(qū)域的面積;2021/10/10星期日282021/10/10星期日29(2)的取值范圍;2021/10/10星期日30(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.解:(3)(a-1)2+(b-2)2表示區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與定點D(1,2)之間距離的平方因為|AD|2=17,|CD|2=8,所以8<(a-1)2+(b-2)2<17,所以(a-1)2+(b-2)2的值域為(8,17).2021/10/10星期日31【思維建?！?/p>

在約束條件下求目標函數(shù)最值問題,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,畫出可行域,根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義求解,最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界處取得,因此對于可行域為封閉型的線性規(guī)劃問題,可以直接解出可行域的所有頂點坐標,然后將坐標分別代入目標函數(shù)求出相應(yīng)的值,從而確定目標函數(shù)的最值.2021/10/10星期日32熱點三利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式、參數(shù)問題【例6】(1)(2018·石家莊市質(zhì)檢)已知f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)單調(diào)遞增,f(1)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為(

)(A){x|0<x<1或x>2} (B){x|x<0或x>2}(C){x|x<0或x>3} (D){x|x<-1或x>1}解析:(1)因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=0,又函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以可作出函數(shù)f(x)的示意圖,如圖,則不等式f(x-1)>0可轉(zhuǎn)化為-1<x-1<0或x-1>1,解得0<x<1或x>2.故選A.2021/10/10星期日332021/10/10星期日342021/10/10星期日35【思維建模】

利用函數(shù)的圖象解決不等式問題,通常根據(jù)不等式中量的特點,選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)(若函數(shù)為不熟悉的形式,需要做適當?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)),然后在同一坐標系中做出兩個函數(shù)的圖象,利用圖象的位置,找到數(shù)量關(guān)系,從而解決不等式的問題.2021/10/10星期日362021/10/10星期日372021/10/10星期日38答案:(1)D2021/10/10星期日39答案:(2)(-∞,-5]2021/10/10星期日40熱點一特殊與一般的轉(zhuǎn)化三、化歸與轉(zhuǎn)化思想2021/10/10星期日412021/10/10星期日42【思維建模】

化一般為特殊的應(yīng)用把一般問題特殊化,解答選擇題、填空題常能起到事半功倍的效果,既準確又迅速.要注意恰當利用所學(xué)知識、恰當選擇特殊量.2021/10/10星期日43熱點訓(xùn)練6:(1)(2017·甘肅蘭州一診)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3+a5+a7=24,則S9等于(

)(A)36 (B)72 (C)144 (D)2882021/10/10星期日442021/10/10星期日45熱點二函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化2021/10/10星期日462021/10/10星期日47【思維建?！?/p>

函數(shù)、方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡,一般可將不等關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題,從而求出參變量的范圍.2021/10/10星期日482021/10/10星期日49答案:(1)B2021/10/10星期日50答案:(2)-22021/10/10星期日51熱點三正難則反的轉(zhuǎn)化2021/10/10星期日52解析:(1)g′(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù),①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立;2021/10/10星期日532021/10/10星期日54【思維建模】

若問題直接求解困難時,可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題.2021/10/10星期日552021/10/10星期日562021/10/10星期日572021/10/10星期日58熱點一由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運算引起的分類討論四、分類討論思想2021/10/10星期日59解析:(1)①當2-a≥2,即a≤0時,22-a-2-1=1,解得a=-1,則f(a)=f(-1)=-log2[3-(-1)]=-2;答案:(1)A

2021/10/10星期日60(2)(2017·安徽阜陽二模)等比數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,則{an}的前9項和S9=

.

解析:(2)由題意得q2==9,q=±3,①當q=3時,a2+a5+a8=3(a1+a4+a7)=6,S9=2+6+18=26;②當q=-3時,a2+a5+a8=-3(a1+a4+a7)=-6,S9=2-6+18=14,所以S9=14或26.答案:(2)14或262021/10/10星期日61【思維建模】

數(shù)學(xué)概念運算公式中常見的分類(1)由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義,直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類討論;(2)由除法運算中除數(shù)不為零,不等式兩邊同乘以(或除以)同一個數(shù)(或式)時的不等號等引起分類討論;(3)由數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)成立的條件等引起分類討論.2021/10/10星期日622021/10/10星期日63解析:(1)當-7≤x≤0時,f(x)=|x+1|∈[0,6],當e-2≤x≤e時,f(x)=lnx單調(diào)遞增,得f(x)∈[-2,1],綜上,f(x)∈[-2,6].若存在實數(shù)m,使f(m)-2g(a)=0,則有-2≤2g(a)≤6,即-1≤a2-2a≤3?-1≤a≤3.故選C.答案:(1)C2021/10/10星期日64