2024年新高考地區(qū)數(shù)學名校地市選填壓軸題好題匯編32（解析版）

2023年新高考地區(qū)數(shù)學名校地市選填壓軸題好題匯編(三十二)

一、單選題

22

I.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模)若橢圓c：A￡=l(a>6>0)的離心率為?兩個焦點分別為6(—0),

6(c,0)(c>0),M為橢圓C上異于頂點的任意一點，點P是的內(nèi)心，連接MP并延長交月巴于點。,

則幽=(

川\PQ\()

A.2B.1C.4D.

4

【答案】A

如圖，連接刊"PF”設尸到x軸距離為乙，M到x軸距離為人，

則絲=&鼠"

PQdpSPRF,

設4P耳巴內(nèi)切圓的半徑為,，則5.弓=3恒周r=(2c.，=cr,

SMg=SPFR+SMPh\+SMPF?

=初用舊閥|舊仍印

巧用「+封明+1叫)

=-1-2ccr+—r12ca=(/c+a)、r

22

.|MQ|=4W=SMg=(c+〃?=c+a

|P。dpSpgcrc

不妨設|同=cm,則|M@=(c+初％(m>0),

第1頁共57頁

：.\PM\=\MQ\-\PQ\=am(m>0),

22

因為橢圓C:￡+g=l(a>b>0)的離心率為

\PM\

|P0|cmce

故選：A.

2.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)"x）=sin"+/@>0）,若//=0,且〃x）在信會）上

恰有1個零點，則”的最小值為（）

A.11B.29C.35D.47

【答案】B

【解析】因為/0,上恰有1個零點,

所以一《"八所以最

所以24<。448,

.7T|.ICDTtTtIcLL2所冗，，~0.1

X/—=sin~r~+~=>所以、一+：=￡Z,即6y=64一1

Vo6766

所以24v6k一lV48?eZ,解得左=5,6,7,8,

當k=5時，。有最小值29.

3.（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）設函數(shù)“X）在R上存在導函數(shù)尸（x）,

對任意的實數(shù)x都有f（x）=4/-/（-力，當xe（Y）,0）時，/（x）+g<4x.若/（〃z+l）4/（-m）+4m+2,則

實數(shù)用的取值范圍是（）

A.-；，+s]B.—1,+<?

C.卜1,物)D.[-2,+oo)

【答案】A

【解析】令尸(x)=/(x)—2/，則當xe(Yo,0)時/x)=r(x)_4x<_g<0,

第2頁共57頁

所以E(x)在(e,0)上為減函數(shù)，

又因為〃X)+/(T)=4X2,所以尸(X)+F(T)="X)+"T)—4^=0,

所以F（x）為奇函數(shù)，所以尸（x）在R上單調(diào)遞減且連續(xù),

若/（〃z+l）4/（T〃）+4m+2,則〃加+l）-2（m+l）2V,即F（〃z+1）W尸（一回，

所以〃?+12-，〃，解得〃?2-L

2

故選：A

22

4.（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）已知耳、E分別是雙曲線斗=1的左、

ab“

IppI2

右焦點，。為雙曲線右支上的任意一點且需~=8o,則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(1,2]B.[2+8)C.(1,3]D.[3,+8)

【答案】C

【解析】因為耳、鳥是雙曲線鳥-^=1的左、右焦點，尸為雙曲線右支上的任意一點,

ab

所以忸耳|-忸閶=勿，則|P4|=|P閭+2a,

IPFJ（歸周+2”

=|產(chǎn)馬+4a+尚22g卜靜+4?=8a,

|P段|P周一|P片

當且僅當歸身=2。時取等號,

因為睛=8%

所以|「閭=2小

又點P是雙曲線右支上任意一點，所以歸國“-。，即即3aNc,

所以e=￡<3,又e>l,所以l<e43.

故選：C.

eA-ln（x+l）-l,x>0

5.（2。23?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)〃力，卜m（一）,皿，若小一小.代）皿

則實數(shù)x的取值范圍為（）

A.(70,0]B.［（）,+8）C.[-ln2,0]D.ln2]

【答案】A

第3頁共57頁

【解析】當xvO時,-x>(),則/(—x)=e--ln(—x+1)—1=—/(力,

同理，當x>0時，—X<0,則/(—x)=l----4-ln(l+x)=—f(x),

e

且F(o)=o,可知函數(shù)f(x)為奇函數(shù);

當x2O時，/(x)=et-ln(x+l)-l,則/(同=］一:

令〃?(x)=/'(x)=e'--貝I」加(x)=e'+-~-5->0,

I1IVI1

所以機(x)在[0,+8)單調(diào)遞增，gpm(x)>m(O)=O,B[J/,(x)>0,

所以〃x)在[0,+8)單調(diào)遞增，且/(x)為奇函數(shù)，所以“可在R上單調(diào)遞增.

則f(e-2)+f(ex)<0=>/(e^-2)<一/e")=f(-e2x),

即e*-24-e2xn/+e，-240，即(e*+2*，—1)40,

可得-24evVl,且e*>0，所以0<e"1,解得xMO,

所以解集為(YO,0].

故選:A

6.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預測)已知圓臺0。的上、下底面半徑分別為r,R,高為/?,平面a經(jīng)過

圓臺。0的兩條母線，設a截此圓臺所得的截面面積為S,則()

A.當/zNR-r時，S的最大值為(R+2r)/z

B.當/zNR-r時，S的最大值為("+')["+(R-)]

2(Rf)

C.當/7<R-z?時，S的最大值為(K+2r)/7

D.當時，S的最大值為(R+『)W+(RT)[

2(』)

【答案】D

【解析】如圖,將圓臺。0補成圓錐PO.

第4頁共57頁

設圓臺。。的母線長為/，則/=/+（R-r）2，等腰梯形ABCD為過兩母線的截面.

設FC=x,4PB=e,由（=告，得X=六，

Rx+lR-r

222

則s=sPAfi-S"/）=；［（］+/）-x］sin6>=藍:*Isin。,

當時，0<90\當sing最大，即截面為軸截面時面積最大,

則S的最大值為］（2R+2r）〃=（/?+/*）〃.

當九vR-r時,6>90°，當sin6=l時,截面面積最大,

則s的最大值為上,匕安^

故選：D.

o2

7.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預測）設雙曲線后:*~5=1（。>02>。）的右焦點為尸，M（0,3b）,若直

線/與E的右支交于A,B兩點，且尸為△M4B的重心，則直線/斜率的取值范圍為（）

A.U（"+8）

【答案】c

【解析】設。為AB的中點，根據(jù)重心性質(zhì)可得Mk=2尸方，

因為爪c,0）."（0,36）,則小冷,-當）

因為宜線/與E的右支交于AB兩點，所以點。在雙曲線右支內(nèi)部,

9c29b2rr

故有7彳、「解得￡>如，

a3

當直線/斜率不存在時，AB的中點。在x軸上，

第5頁共57頁

故三點不共線，不符合題意舍,

設直線/斜率為%AB，設A（%，yj，5（馬,力）>

所以%+%=3。，yt+y2=-3b,

（）$

V-

2

因為A8在雙曲線上，所以“2

主%

溟-

兩式相減可得：立

ab

（占一々）（占+々）=（%-%）（%+%）

a2~b2

即有二（『）=-3心［%）成立，

a23

即有3=-"，因為M，￡A,8不共線，

a

.be3b口+2目門r

RBPrlKAB=*kMF=一"~?艮Pc~w3a~,艮Re工石，

所以E的離心率的取值范圍為（半，月'（瘋+8），

因為女he

AB-

y,31(3,+00),

一赤-

/，/,

log5(2"+39=log2(5-3)

8.（2023?湖南長沙?長沙市明德中學校考三模）已知實數(shù)，夕/滿足：log7（3〃+5"）=log3（7"-5"）,則

rffr

log9(5+7)=log5(9-7)

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（）

A.p<q<rB.r<p<qC.P<r<qD.r<q<p

【答案】A

5〃-3〃>0p>0

即小,

【解析】因為75>0,所以<4>0,

9「一7->0r>0

設1%（2。+3。）=log2（5。-3。）=m,

2〃+3〃=sm

=><~=5'〃—2P=5〃—2〃'n5〃'+2'”=5〃+2〃，

5p-3p=2,n

設力（力=5、+2、是單調(diào)遞增函數(shù)，所以〃2=P,所以2〃+3〃=5J即

乂&（同=岬+?是單調(diào)遞減函數(shù)，且&（1）=1,所以p=l,

設log7（3〃+5"）=log3（7，-5"）="

39+54=7〃

=>T-3（l=T-3〃=T+3〃=T+3"

T-5q=3n

設加x）=7,+3,是單調(diào)遞增函數(shù)，所以〃=4,所以3。+5。=7。,即（滬圖”=1

乂82（加（滬目是單調(diào)遞減函數(shù)，且g2⑴號>1，g2⑵=（滬圖、余1，

所以1<”2,

同理，山1鳴（5'+7）=晦伊-7，）得（￡|+修）=1,

又g3（x）=（滬口'是單調(diào)遞減函數(shù)，且&⑴=4,&3⑵=哈<】’

所以l<r<2,

第7頁共57頁

g?⑷皿⑷

所以＜=g3⑺＜冽⑷且g3（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，所以

g2（4）=g3「）=l

綜上可得。＜4＜匚

故選：A

9.（2023?湖南長沙?長沙市明德中學校考三模）如圖，一個由四根細鐵桿卓、PB、PC、PD組成的支

JT

架（如、PB、PC、PD按照逆時針排布），若/APB=/BPC=NCPD=/DPA=3,一個半徑為1的球恰

Ll3

A.<73B.y/2C.2D.—

【答案】B

如上圖正四棱錐P-ABCD,H為底面中心，。為球心，E為球體與尸。的切點,

又ZAPB=NBPC=NCPD=ZDPA=；7T，故尸一他8各側面均為等邊三角形,

若側面三角形功長為“，則//￡＞=立”，PD=a,OE=\,

2

顯然Rt△尸PE。，故四=絲=也，則0尸=0.

PDOP2

故選：B.

ar-lnx,x>0

10.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/（幻=若/（幻有兩個極值點%,占，記過點

ar+ln（-x）,x<0

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AQJ(演))，83,/(電))的直線的斜率為左，若0<%<2e,則實數(shù)。的取值范圍為()

B.(-,2C.(e,2e]D.(2,2+一

【答案】A

【解析】當x>0時，函數(shù)/(x)=ar-lnx的導數(shù)為f[x)=a—：=鋁，

由函數(shù)“X)由兩個極值點得a>0.

當0<x<｝時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當x>：時，網(wǎng)x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

故當x>0時，函數(shù)〃x)的極小值點為x=k

當x<0時，貝！|-x>0,則f(-x)=a(—x)—ln(-x)=-[ar+ln(-x)]=-/(x),

同理當x>0時，也有〃r)=-〃x),

故為奇函數(shù).

不妨設工2=—%>。?

則有馬=：,所以B1,l+ln“，可得《―+

由直線的斜率公式可得k==“(1+ina),a>0,

又A>0,l+lna>0,所以“>L

e

設/?(a)=a(l+lna),a>L得〃(a)=2+lna=l+(l+lna)>0,

e

所以Ma)在(5+°°)上單調(diào)遞增，又由〃(5)=0,〃(e)=2e,

由0<么<2e,得人[j<〃(a)4〃(e),所以

故選:A.

11.(2023?湖南長沙?長郡中學校聯(lián)考模擬預測)已知底面邊長為。的正四棱柱ABCD-A由GR內(nèi)接于半

徑為G的球內(nèi)，E,F分別為BC,G0的中點，G,“分別為線段AG，EF上的動點，M為線段A片的中

點，當正四棱柱ABCD-AAC。的體積最大時，|G"|+|GM|的最小值為()

A.72B.孚C.2D.1+72

第9頁共57頁

【答案】B

【解析】正四棱柱的高/?=2,3-

V=a2h=26卜弓，令I?=（12-2/）=/（a乂。＞0）,

則/'（。）=-12。5+48（?=-12/（。+2）（。-2）,

所以/⑷在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,+8）上單調(diào)遞減，

所以當a=2時，/（a）的最大值為"2）=64.

當a=2時，h=2,此時正四棱柱為正方體.

\GH\的最小值就是點G到EF的距離，

由正方體的性質(zhì)知，BtDt1AC,,（因為正方體的棱原I與底面ABIGR垂直，因此A4,與底面

內(nèi)的直線垂直），與AG是平面AAG內(nèi)兩相交直線，

因此8a_L平面A4C，

而￡F分別為BC，G。的中點，因此EF//BQ,所以砂/平面A4C，

易知當H為EF的中點時，"eAG，G〃i平面A4G，所以G"J_E尸，

動線段G4,GM分別在RtAAGA，RtAAC￡內(nèi)，將兩個平面沿AQ展開翻折至共面.如圖，當M,G,

”三點共線時，|GH|+|GM|最小，可得|“0=；/句=孝，又因為M為線段的中點，

所以（儂|+|6必）而0=回網(wǎng)=挈：.

故選：B.

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12.(2023?湖南長沙?長郡中學校聯(lián)考模擬預測)若當時，關于》的不等式

e"-xcosx+cosxlnco&r+加21恒成立，則滿足條件的。的最小整數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

[解析】關于x的不等式e"-nosx+cosxlncosx+ax?>1恒成立，

因為所以cosx>0,

HP------x+lncosx+>---,BP-.......In——>-~,

cosXcosXcosXcosxcosxcosx

er/e1-ax2

Un|nJiIn------<------------------，

cosxcosxcosx

令g(x)=hi?x+l,g，(x)=B-l=V^,x￡(0,+8),x￡(0,l),g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

X￡(l,+oo),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

g(x)max=g(l)=0易證].WX—l(尤>0)，

-v-vA]-nx2

且-￡e_>0,所以in—eWe二一一1,所以BPl-ax2<cosx.

cos尤cosxcosxcosx

令W=COSX-1+—,XG=sinx+x>0,/z(x)>A(0)=0,

又易知片)J,據(jù)此可以判斷滿足不等式成立，

故最小整數(shù)為1.

故選:A.

13.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預測)定義：若直線/與函數(shù)y=/(x),y=g(x)的圖象都相切，則稱直

線/為函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的公切線.若函數(shù)〃x)=alnx(a>o)和g(x)=V有且僅有一條公切線，則

實數(shù)。的值為()

A.eB.VeC.2eD.2冊

【答案】C

【解析】設直線與g(x)=/的切點為(A,x：),

因為g'(x)=2x,根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為2%，

第11頁共57頁

即該直線的方程為y-d=2X|(X-Xi),即丫=2中7；.

設直線與〃x)=alnx的切點為(X2，alnx2),

因為/(%)=@，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為色，

X-^2

即該直線的方程為k"E々=：(》-々)，即丫=:》+〃(111々-1).

因為函數(shù)/(x)=alnx(a>0)和g(x)=d有且只行一條公切線，

a

2內(nèi)=——

所以有彳X?,

2

a[\nx2-l)=-x)

即a=4x1-4xjlnx2有唯一實根.

令〃(1)=4工2-4/lnx(x>0),則/?z(x)=8x-8xlnx-4x=4x(l-21nx).

解〃(x)=0,可得％

當4x(1-21nx)>0時，0<x<G，所以秋力在倒，月上單調(diào)遞增；

當4x(1-21nx)<0時,x>賤,所以秋x)在(人,田)上單調(diào)遞減.

所以〃(x)在x=&處取得最大值M五)=4e-4ex；=2e.

當x->0時,〃(x)-0,/i(e)=4e2-4e2lne=0,函數(shù)/i(x)圖象如圖所示,

因為“>(),a=4犬2-4/Inx有唯一實根，所以只有a=2e.

故選：C

14.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測)設函數(shù)“x)=fT(lnx+x+：｝合有兩個極值點，則實數(shù)r的取值范

圍是()

第12頁共57頁

B.艮,+8

D.1詞修+8

【答案】c

【解析】“X)恰有兩個極值點，則刊[x)=0恰有兩個不同的解，求出制X)可確定x=l是它的一個解，另

一個解由方程工T=0確定，令g(x)=￡(x>0)通過導數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程行一個不是1的解時

x+2x+2

f應滿足的條件油題意知函數(shù)“X)的定義域為(0,+?),/(力=色?工壯+1-1

_(xT)[e'-/(x+2)](x-l)(x+2)-

因為/(x)恰有兩個極值點，所以/4x)=0恰有兩個不同的解，顯然x=l是它的一個解，另一個解由方程

1-f=0確定，且這個解不等于1.

x+2

令(加提。)，則,(力普

g(x>>0,所以函數(shù)g(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增，從而g(x)>g(O)=；,

目送⑴=(?所以，當且辦]時,=+x+：/合有兩個極值點，即實數(shù)f的取值范圍是

1e

+

253.?0°-

故選：C

15.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，若拋物線C:)J=2px(P>0)的焦點為F,直

線％=3與拋物線C交于A,8兩點，|AQ=4,圓E為aR鉆的外接圓，直線OM與圓E切于點M,點N在

圓E上，則OM-ON的取值范圍是()

A.一￡)9B.[—3,21]C.

不，21D.[3,27]

【答案】B

【解析】由題意，設A(3,廊)，所以|心|=3+勺4,解得p=2,

所以拋物線的方程為V=4x,A(3,2>/3),B(3,-25/3),F(l,0),

所以直線AF的方程為y=-1),

第13頁共57頁

設圓心坐標為(％,0),所以區(qū)一1產(chǎn)=(3-->+12,解得$=5,即E(5,0),

二圓的方程為(x-5)?+V=16,

不妨設加>0,設直線O"的方程為丫=丘，則4>0,

根據(jù)號=4,解得

4

y=—x,912

由，

3,解得M5,~5

(x-5)2+y2=16

設N(4cos6+5,4sin。)，所以OM-QN=,cose+gsine+9=￡(3cose+4sin0)+9,

因為3cos。+4sin6=5sin(。+0)w[-5,5],

所以CW-ONW[-3,21].

故選：B.

16.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測)若實數(shù)a,b,ce(0,l),且滿足ae。*=0.8e",teL2=1.2e\ce16=1.6ec,

則a,b,c的大小關系是()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】由ae°8=0.8e。,/?e,2=1.2e\ce,6=1.6eS

/旦a_0.8h2c_1.6令哈則尸(x)=M，

三e一e一88'~eJb-e\.2，e-eJ6

當x<l時，/^)>0,當X>1時，r(x)<0,所以〃力在(7j)上是增函數(shù),

在(1,包)上是減函數(shù)，于是61.2)>"1.6),即/?>y(c),

又b,CG(0,1),所以力>c；

第14頁共57頁

0.81.60.80.8x20.8e°3-2

.........H................................................~~~X

-0.8J6-0.8^0.8、,八0.8^0.80.8

eeeexeee

因為54=625>29=512,所以54>2r25,>2,

4

因此。$-

62>(|)'-2>0,于是〃a)>f(c),又mCG(0,1),所以"c；

令g(x)=W-與?，則g，(x)=-—==(l_?(e-”+e*1o,所以g(x)在(0，田)上是增函數(shù),

ee-'e*e~x''e"*/

/八o\/i\0.82—0.8八0.81.2八0.81.2?\\

g(O.8)<g(l),即印刖nil-Q<。，刖<聲，/r(OA-o8)</(1,2n),

cccccc

于是/(a)</。)，又a，6?0,l),所以。<6；

綜上b>a>c.

故選：B.

17.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預測)已知點尸在圓。:/+>2=1運動，若對任意點P,在直線/：x+y-4=0上

均存在兩點A,B,使得乙4P82^恒成立，則線段A8長度的最小值是()

A.72-1B.夜+1C.20-1D.4行+2

【答案】D

【解析】如圖，

由題可知，圓心為點。(0,0),半徑為R=l,

7T

若立線/：x+y—4=0I二存在兩點AB,使得NAPBW］恒成立,

|0-0-4|

則O:V+)2=1始終在以AB為宜徑的圓內(nèi)或圓上,,'.'.(0(0,0)到直線/的距離為d==2夜,

4+產(chǎn)

所以A8長度的最小值為2("1)=40+2.

故選：D

第15頁共57頁

18.（2023?湖北?統(tǒng)考模擬預測）若a=6,b=c=浜，則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】令/（乃=弓，則尸（力=甘"，

當x>e時，fr（x）<0,函數(shù)/（x）單調(diào)遞減；

當0<x<e時，函數(shù)〃x）單調(diào)遞增，

因為“=&，所以lna=gln2=^=/（4）,

又1昉受=f（e）,e<4,所以〃e）>/（4）,所以lnb>lna,故"

!_L!!?

中卯!1L/卬斗，632323“3a13、,

因為6=ee<e2<6,，又因為赤=丁=^-r=—=—=7<1,

▽6323x332346'/

故c=爬>上,從而有c〉b,綜上所述：a<b<c.

故選：B.

19.（2023?湖北?校聯(lián)考三模）如圖，把一個長方形的硬紙片A8CD沿長邊45所在直線逆時針旋轉(zhuǎn)45得

到第二個平面ABEF,再沿寬邊川所在直線逆時針旋轉(zhuǎn)45得到第三個平面4FG”，則第一個平面和第三個

平面所成的銳二面角大小的余弦值是（）

【解析】如圖，把兩個單位正方體疊放在一起,

第16頁共57頁

平面4線G2，平面4為a4,平面分別代表第一，二，三個平面,

四邊形B2C2C（）B0為正方形，1名J.穌G,

C2G平面面。2G穌,G）CU平面面C2c0綜，；.C24-L孰員,

B?c2cC2D2=C2,BnC2,C2D2u平面480G2,C?B21平面AACR；

同理可得：c（lD,1平面AMR:

二平面的法向量為平面的法向量為

4B0G2COB2,4,B1G4c?Dt,

222

CnDt=CnB2=V2,B?D1=Vl+l+2=顯，

?..cos%G/=2：/%=，即C。瓦與C°〃的夾角為年，

???所求銳二面角的大小的余弦值是3.

故選：C.

ac\x<\

20.（2023?湖北?校聯(lián)考三模）已知函數(shù)/,。）=x3>。）圖象上存在關于y軸對稱的兩點，則正

In—,x>l

.a

數(shù)”的取值范圍是（）

A.（e,-K?）B.C.（-D.（一‘+00）

【答案】B

ae~x,x<\

【解析】因為/（'）={x（。>。），

In—,x>1

Ia

所以當時，/（司=枇一”在（-8,1］上單調(diào)遞減；

當尤>1時，/（x）=ln土在（L+O））上單調(diào)遞增;

又fM的圖象上存在關于y軸對稱的兩點，

第17頁共57頁

所以這兩個對稱點分別位于y=oef(x41)與y=ln?(x>l)的圖象上;

設產(chǎn)(不，幾)在y=ln?(x>l)的圖象上，則P'(一%,%)在函數(shù)〉=祀7的圖象上，且%>1,

，u+lna

故有ae*'=In—(x0>1),即e+Ina=Inxu,

,nr

進而+]na+%)=x()+Inx()=e°+Inx()；

設夕a)=e'+元,貝ij0(lna+%J=°0nXo),

又(p\x)=e*+1>0恒成立，故(p(x)在R上單調(diào)遞增,

所以Ina+x()=Inx0,即Ina=lnx0-x0,

1—Y

令h(x)=Inx-x,xw(1,+8),則h\x)=——<0在(L+℃)上恒成立,

故//(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞減，

故/z(x)</?⑴=-1,JflljIna<-1,于是

e

故選：B.

二、多選題

21.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模)已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足》(-lr)=〃7+x),函數(shù)八%+2)-1

為奇函數(shù)，且對Va/e[2,3],當標b時，都有函⑷+"?>,修)+妙(a).函數(shù)g(x)=^二今與函數(shù)/(x)

的圖象交于點(4外)，(々,/),…，給出以下結論，其中正確的是()

A./(2022)=2022B.函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)

C.函數(shù)〃X)在區(qū)間4,5上單調(diào)遞減D.-~'J"=2

y+%++ym

【答案】BCD

【解析】因為“-l-x)=〃7+x),所以〃X)=〃67),〃x)的圖象關于x=3對稱，

因為函數(shù)“x+2)-l為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關于點(2,1)對稱，且〃0+2)-1=0=〃2)=1

又〃-x+2)-l=l-"x+2)n/(x+2)=2-/(2-x),

所以/(x)=2—7(4—x)=2—/T6-(2+x)]=2-/(2+x)=2—[2-/(2-x)]

=/(2-x)=f[6-(2-x)]=f(x+4),即f(x)=f(.x+4),

所以/(x)的周期為4,所以“2022)=八2)=1,故A錯誤;

第18頁共57頁

由上可知,/(x)=/(2-x),

〃x+l)=/［2-(x+l)］="l-x),故B正確；

因為Va,匕w［2,3］,當山b時,都有。'(a)+"(b)>/(A)+"(a),

即-6)"3)-/(a)］>0,所以“X)在區(qū)間［2,3］單調(diào)遞增,

因為〃x)的圖象關于點(2,1)對稱，所以/(x)在區(qū)間［1,2］單調(diào)遞增，

又“X)的圖象關于》=3對稱，所以在區(qū)間［4,5］單調(diào)遞減，C正確;

因為g(x)=頭9=1-彳、，所以g(x)的圖象關于點(2」)對稱，

所以f(X)與g(x)的交點關于點(2,1)對稱，不妨設％<%<X3<…<招，

則xl+xm=9+X.T=w+X吁2=…=4，％+>,”=%+笫1=%+%-2=…=2

所以％+鄉(xiāng)++x?,=2m,yl+y2++ym=m,

X,+X,++x?,?

所以」~=-------=2,D正確.

乂+必++y,?

故選：BCD

22.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛%｝和｛%｝滿足：化=1,%=2,Pe=P,+3q“，q,z=2p,+q“，

〃wN*,則下列結論錯誤的是()

A.數(shù)列1P“-乎?「是公比為1+新的等比數(shù)列B.僅有有限項使得2p“>扃，

D.數(shù)列■P“-乎久,是遞減數(shù)列

C.數(shù)列出以見-扃汁是遞增數(shù)列

【答案】ABD

Pe=P“+3q“

【解析】由題意可知

4,+i=2p“+%

第二個式子乘以；I0X-；)后與第一和式子相加可得

P“”+義/+|=(1+22)化,+(3+2)%=(1+2彳)(乙+

令a=當，解得/=?必，

1+2/12

第19頁共57頁

取4=-q可得P0+1-乎%+1=(1-#)P"-當-，

因為Pi=1，q、=2,所以P]一2^^產(chǎn)0,

戊

氏+1一-^~Qn\廣

所以-----4=-+=1-V6,

Pn一-1見

所以數(shù)列<乎必?是公比為1-n的等比數(shù)列，選項A說法錯誤；

因為Pi=1,0=2,所以p“_*%=(1_佝，

所以當〃為正奇數(shù)時，Pn一爭“=(1-可’<0.即

當〃為正偶數(shù)時，pn一44“=(1-")>0.即p“>Rq”,選項B說法錯誤；

山Pi=l，7=2,P“+i=P“+3g“，%+i=2p“+q“，可知p">。，%>0,且數(shù)列｛p“｝和｛/｝均為遞增數(shù)列，

而|2p“g"-憫=<7?=2qnp,t-^9?=2<7?|(1,

所以數(shù)列｛|2p“%-扃%是遞增數(shù)列，選項C說法正確；

因為憶-冬“=(后-1)“，所以數(shù)列”“J”是遞增數(shù)列，選項D說法錯誤；

故選：ABD

23.(2023?廣東佛山?華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測)已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx,且f(e")>/(6).

則下列結論一定正確的是()

A.若。>0,貝U"-6>0B.若。>0,則e"-b>0

C.若“<0,則e"+0>2D.若°<0,則a—In匕<0

【答案】BD

【解析】函數(shù)〃力的定義域為｛%1%>0｝,因為/(x)=(x-l)lnx,

所以/'a)=lnx+l-L令人⑴=Inx+l-L

xx

則”(x)=g+*>0,所以函數(shù)〃(x)=lnx+l-g在(0,+功上單調(diào)遞增，

第20頁共57頁

又，7⑴=0,所以當0<x<l時，〃(x)<0,即r(x)<0,所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當x>l時，〃(x)>0,即/")>0,所以/(力在(1,物)上單調(diào)遞增，

所以〃EL=〃i)=°?

所以當。>0,取a=2,/?=e,因為所以/(e")>〃b),此時a—6<0,A錯誤；

當a>0時，e">l,由/(e")>/(b)得e">6，即e"-b>0,B正確；

當〃<0時，取。=一1力=1,e-'<l,滿足/(e")>/他)，此時e"+b<2,C錯誤；

當a<0時，0<ea<1,山/(e")>/⑻得6>e",則lnb>a,即a-lnb<0,D正確.

故選：BD.

24.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預測)已知正四面體P-A8C的棱長為分別為正四面體棱

BC,AC,/%的中點，尸為面A8C內(nèi)任意一點，則下列結論正確的是()

3兀

A.平面EBC截正四面體P-ABC的外接球所得截面的面積為?

O

B.若存在使得PF=ZPM+〃PN,則線段C尸長度的最小值為且

C.過點P作平面a〃平面EBC,若平面a平面ABC=4,平面a平面PAC=4,貝以4所成角的正弦

值為近

3

D.平面EW與平面A8C夾角的余弦值為也

3

【答案】ABD

2

【解析】A選項，連接N3,過點P作HTL平面ABC,則點T在線段3N上，RBT=qBN,

球心。在PT上，連接OB,設正四面體的外接球半徑為R,則QB=OP=R,

因為正四面體的棱長為1,所以取=4,尸7=比，

33

由勾股定理，得072+372=032,即停_R)+停j=R2,解得R=號,

過點7作水，BN交BC于點K,則以點T為坐標原點,TK,77V,TP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

J八>/3f1>/3(1>73](V6小黑倒。1。,喑,

則I1,l30,-----,0,C—,—,0,A—,—,0,P0,0,—

326263

第21頁共57頁

設平面EBC的法向量為m=(x,y,z),

-PS=(x,y,z)-(，與

y-0

則，

,EC=(”z>g*旦$=0

m

126

令y=l,則x=-&,z=-20,則機=(-G,1,-20),

-卜31，-20)

則點。0,0,到平面ESC的距離為公\OBin\°-T