相似三角形的判定

關(guān)于相似三角形的判定一.復(fù)習(xí)回顧1.辨析

(1)四個(gè)角分別相等的兩個(gè)四邊形一定相似嗎？

(2)四組對(duì)應(yīng)邊的比分別相等的兩個(gè)四邊形一定相似嗎？2.什么樣的兩個(gè)多邊形是相似多邊形？3.什么是相似比（相似系數(shù)）？

簡(jiǎn)答：1.可舉反例回答（1）正方形和長(zhǎng)方形或長(zhǎng)寬之比不相等的兩個(gè)矩形；（2）正方形和不是正方形的菱形或兩組內(nèi)角均不相等的菱形.2.兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比或相似系數(shù).前面我們學(xué)習(xí)了相似多邊形及相似比的有關(guān)概念，下面請(qǐng)同學(xué)們思考以下幾個(gè)問(wèn)題：第2頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.引入新知如圖1，△ABC與△A′B′C′相似.則圖1中的兩個(gè)三角形記作“△ABC∽△A′B′C′”，讀作“△ABC相似于△A′B′C′”，“∽”叫相似符號(hào).CABB′C′A′圖1即寫(xiě)成△ABC∽△A′B′C′，表明對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一確定的，即A與A′、B與B′、C與C′分別對(duì)應(yīng).如果僅說(shuō)“這兩個(gè)三角形相似”,沒(méi)有用“∽”表示的，則沒(méi)有說(shuō)明對(duì)應(yīng)關(guān)系.

兩個(gè)三角形相似，用相似符號(hào)表示時(shí)，與全等一樣，應(yīng)把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.24.2相似三角形的判定（第1課時(shí)）第3頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于△ABC∽△A′B′C′，根據(jù)相似形的定義，應(yīng)有∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，(三邊對(duì)應(yīng)成比例也可寫(xiě)成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′)練習(xí)1.已知△ABC∽△DEF,請(qǐng)指出所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.并分別指出它們的關(guān)系.2.如果將上題中“△ABC∽△DEF”改為“△ABC與△DEF相似”你還能指出它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系第4頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天相似三角形的相似比將△ABC∽△A′B′C′的相似比記為△A′B′C′∽△ABC的相似比記為，練習(xí)3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3則△ABC與△DEF的相似比和△DEF與△ABC的相似比是否相等？如果不相等，和滿足什么關(guān)系？如果AB=2，DE=2呢？

簡(jiǎn)析：=，=，≠，.==1第5頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸納

若將△ABC∽△A′B′C′的相似比記為，△A′B′C′∽△ABC的相似比記為，一般=.當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)三角形全等時(shí)，才有

==1.因此，三角形全等是三角形相似的特例.第6頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天三.類(lèi)比猜想1.兩個(gè)三角形全等的判定有哪幾種方法？2.是不是需要所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角都相等？3.猜想：兩個(gè)三角形相似是不是也有簡(jiǎn)便的方法？簡(jiǎn)析：1.兩個(gè)三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形還有HL.2.不需要所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角都相等.3.猜想：兩個(gè)三角形相似也不需要所有的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等.第7頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天四.探究論證

在△ABC中，D為AB上任意一點(diǎn)，如圖2所示.過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，那么△ADE與△ABC相似嗎？ADBCEAEACEACEABCEADBCA圖2已知:在△ABC中，DE∥BC,DE分別交AB，AC于D，E.求證：△ADE∽△ABC.第8頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天

1.根據(jù)相似多邊形的定義△ADE與

△ABC相似必須滿足哪些條件？分析由已知和圖2可知△ADE與△ABC相似必須有：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,2.已經(jīng)具備哪些條件？為什么？還需要什么條件？已有條件：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，

，還需要條件：ADBCEAEACEACEABCEADBCA圖2第9頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析

3.解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在哪里？怎么解決？轉(zhuǎn)化：將DE平移到BC上（可過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，交BC于F，則CF=DE）運(yùn)用定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線），所得對(duì)應(yīng)線段成比例.即可得到ADEBCF第10頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明

過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，交BC于F.∵DE∥BC,DF∥AC，∴因?yàn)樗倪呅蜠FCE是平行四邊形，∴DE=FC，又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF第11頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天五.定理歸納

由以上探究過(guò)程你能得出什么結(jié)論？如果這條直線與三角形兩邊的延長(zhǎng)線相交呢？如圖3所示圖3ABCDEBCDEAEDCAB定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的三角形與原三角形相似.

符號(hào)語(yǔ)言

在△ABC中,

若DE∥BC,（如圖3所示)

則△ADE∽△ABC.第12頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天六.鞏固練習(xí)

如圖4，在ABCD中，DE交BC于F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中相似的三角形；（2）請(qǐng)由其中的一對(duì)相似三角形寫(xiě)出相應(yīng)的比例式；（3）請(qǐng)說(shuō)明AE·BF與AD·BE是否相等？F圖4ABCDE第13頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)析（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF，△EAD∽△DCF；也可寫(xiě)成△EBF∽△EAD∽△DCF(3)由（2）中比例式化成乘積式可得AE·BF=AD·BE.

（2）舉一例：在△EBF∽△EAD中有

，

還有兩種情形同學(xué)們自己解答.F圖4ABCDE第14頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天七.目標(biāo)總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？本節(jié)課首先講述了相似三角形的有關(guān)概念，然后通過(guò)探究得出“三角形一邊的平行線截三角形兩邊或其延長(zhǎng)線所得的三角形與原三角形相似”這一判定定理.三角形一邊的平行線的判定定理不僅可以直接用來(lái)證明有關(guān)的三角形相似的問(wèn)題，而且是證明其他三個(gè)判定定理的主要依據(jù)，所以有時(shí)也把它叫做相似三角形判定定理的預(yù)備定理.熟練掌握這一定理對(duì)后面三個(gè)定理的證明至關(guān)重要.

學(xué)習(xí)了哪些思想方法？

類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的思想，作輔助線的方法.你掌握了哪些知識(shí)？還有什么問(wèn)題？第15頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天八.作業(yè)設(shè)計(jì)1.課本中本節(jié)練習(xí)2.習(xí)題24.2第4題3.補(bǔ)充練習(xí)：如圖5，△ABC

中BD是角平分線，過(guò)點(diǎn)D作

DE∥AB交BC于E,AB=5cm

，BE=3cm，求EC的長(zhǎng).圖5ABCDE第16頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)！同學(xué)們，再見(jiàn)第17頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天教學(xué)目標(biāo)理解相似三角形概念，能正確地找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.會(huì)用三角形一邊的平行線的判定定理進(jìn)行計(jì)算和作比較簡(jiǎn)單的證明.通過(guò)復(fù)習(xí)前面所學(xué)過(guò)的有關(guān)知識(shí)，加深對(duì)定理的理解，提高學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)證明新命題的能力，并在探索相似三角形條件的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生有條理的分析和推理能力.第18頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容分析相似三角形的判定是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)課是相似三角形的判定的第一課時(shí)，首先講述了相似三角形的有關(guān)概念，然后通過(guò)探究得出三角形一邊的平行線的判定定理.三角形一邊的平行線的判定定理不僅可以直接用來(lái)證明有關(guān)的三角形相似的問(wèn)題，而且還是證明其他三個(gè)判定定理的主要依據(jù)，所以有時(shí)也把它叫做相似三角形判定定理的預(yù)備定理.熟練掌握這一定理對(duì)后面三個(gè)定理的證明至關(guān)重要.第19頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容分析教學(xué)重點(diǎn)掌握三角形一邊的平行線的判定定理.教學(xué)難點(diǎn)三角形一邊的平行線的判定定理的探索及證明.第20頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)計(jì)意圖通過(guò)三個(gè)問(wèn)題的思考可使學(xué)生理解兩個(gè)多邊形相似條件的苛刻性，對(duì)后面相似三角形判定的探索充滿期待.

通過(guò)閱讀，觀察，講解，使學(xué)生基本了解相似三角形的定義、表示方法、對(duì)應(yīng)關(guān)系、相似比.

緊接著提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，才能真正掌握相似三角形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相似比的概念.

通過(guò)讓學(xué)生回憶三角形全等的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比猜想兩個(gè)三角形相似的判定也有捷徑可走，即不需要所有的對(duì)應(yīng)角相等，所有的對(duì)應(yīng)邊成比例也可相似.培養(yǎng)和提高學(xué)生對(duì)類(lèi)比數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和理解.

第21頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)計(jì)意圖將探究的過(guò)程細(xì)化分解是為了降低難度，使