2023屆河北省石家莊市高三年級下冊4月教學(xué)質(zhì)量檢測二數(shù)學(xué)試題

石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級教學(xué)質(zhì)量檢測（二）

數(shù)學(xué)

（時間120分鐘，滿分150分）

注意事項：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

3.在答題卡上與題號相對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫在試卷、草稿紙上或答題卡非題號對應(yīng)的答題

區(qū)或的答案一律無效.不得用規(guī)定以外的筆和紙答題，不得在答題卡上做任何標(biāo)記.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設(shè)全集。={2,4,6,8},若集合M滿足A?M={2,8},則（）

A.4三例B.6cMC.4GMD.6cM

2.己知復(fù)數(shù)z=l-i，則歸+z|=（）

A.亞B.VioC.2V5D.2VTO

3.為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，鄉(xiāng)政府采用按比例分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民

參與環(huán)保調(diào)研，己知甲村和乙村人數(shù)之比是3：1,被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村的人數(shù)比乙村多8

人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是（）

5.已知非零向量區(qū)〃滿足卜+4=b一4,則a—6在匕方向上的投影向量為（）

A.—aB.—C.aD.b

6.中國古代許多著名數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展

現(xiàn)了聰明才智.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，所討論的二階等差數(shù)列與一般等

差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是后項減前項之差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列.現(xiàn)有一個“堆垛”，共50

層，第一層2個小球，第二層5個小球，第三層10個小球，第四層17個小球，…，按此規(guī)律，則第50層小

球的個數(shù)為（）

7.已知圓臺的上、下底面圓的半徑之比為側(cè)面積為9萬，在圓臺的內(nèi)部有一球O,該球與圓臺的上、下底面

2

及母線均相切，則球。的表面積為（）

A.3萬B.5萬C.8%D.9萬

8.已知=0在XG（0,+“）上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)p（理,1］,

12

2

且sina=^x,則X的值可以是（）

A.±72B.±1C.OD.+2

10.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A="兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6"，事件B=”第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是奇

數(shù)”，事件C="兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，則（）

A.4與3互斥B.3與。相互獨(dú)立

CP（A）.D.P（AC）總

11.已知拋物線c：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)M（0,旬（加，0）分別向拋物線C與圓尸;（X—1）2+寸=1作切

線，切點(diǎn)為分別為只Q（尸,。不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列判斷正確的是（）

A.MP//OQB.MP1.MF

C.RQ,廠三點(diǎn)共線D.\MF\=\OQ\

12.定義：對于定義在區(qū)間/上的函數(shù)/（%）和正數(shù)a（0<c41）,若存在正數(shù)M，使得不等式

|/（不）一/（々）歸拉國一々「對任意不，出€/恒成立，則稱函數(shù)/（%）在區(qū)間/上滿足a階李普希茲條件,

則下列說法正確的有（）

A.函數(shù)/（X）=?在［1,+紇）上滿足;階李普希茲條件.

B.若函數(shù)=x\nx在［l,e］上滿足一階李普希茲條件，則M的最小值為2.

c.若函數(shù)在［。回上滿足M=敘0＜么＜D的一階李普希茲條件，且方程/（%）=%在區(qū)間［a,句上有解

X。,則X。是方程/（X）=%在區(qū)間［a,可上的唯一解.

D.若函數(shù)/（X）在［0,1］上滿足M=1的一階李普希茲條件，且/（o）=/（l）,則存在滿足條件的函數(shù)f（x）,

存在鼻超4°，1］，使得|〃不）一/仁）|=*

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某工廠生產(chǎn)的一批電子元件質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N（4,"）,且P（2WX?4）=0.4,若從這批電子

原件中隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，則其質(zhì)量指標(biāo)小于2的概率為.

，萬），（萬）］

14.已知aw0,二,sina---=-,則cos2a=________.

I2；（4）3

22

15.已知橢圓c：「+與=1（。＞力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為過?的直線與。交于P,Q兩點(diǎn)，若

a~b~

PP5

PF、工P%,且肅=不，則橢圓。的離心率為.

16.長方體43。。一4469中，AB=BC=1,AAI=2,平面A5Q與直線RG的交點(diǎn)為M，現(xiàn)將-河。4繞

旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，動直線CM與底面內(nèi)任一直線所成最小角記為a，則sina的最大

值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,（"eN）a5—4=3°，S4=3O.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列但｝滿足2=log2/…求數(shù)列，捫卜,的前八項和。.

18.（本小題滿分12分）己知.A3C內(nèi)角A,8,C所對的邊長分別為

a,b,c,2我/cosB+b2=2abcosC+a2+c2-

⑴求3；

（2）若..ABC為銳角三角形，且a=4,求..ABC面積的取值范圍.

19.（本小題滿分12分）為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制,

每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不

影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊明星隊員M對乙隊的

每名隊員的勝率均3為甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為：1.（注：比賽結(jié)果沒有平局）

42

（1）求甲隊明星隊員M在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊比賽4局，甲隊最終獲勝的概率；

（2）求甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利的概率；

（3）若已知甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利，求甲隊明星隊員M上場的概率.

20.（本小題滿分12分）如圖（1）,在A5CD中，AD=2BD=4,AD±BD,將...ABD沿30折起，使

得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P處，如圖（2）.

（1）若PC=6,求證：PDLBC-,

（2）若PC=2#,求平面PQC與平面夾角的余弦值.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（xXadx+JZeX+i+'e'—二

（1）當(dāng)。=1時，求/（X）的極小值.

（2）若/（X）有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

22.（本小題滿分12分）已知雙曲線「：尤2一2_=1,尸為雙曲線r的右焦點(diǎn)，過/作直線/交雙曲線「于A8

3

兩點(diǎn)，過尸點(diǎn)且與直線4垂直的直線4交直線x=g于P點(diǎn)，直線OP交雙曲線F于M，N兩點(diǎn).

（1）若直線OP的斜率為方，求|加|的值；

（2）設(shè)直線AB,ARAM,AN的斜率分別為匕，七,七，自，且％七七e工0,匕+抬去。，記

k,+k2=u,kxk2=v,ki+k4=w,試探究V與",w滿足的方程關(guān)系，并將V用M”表示出來.

2023屆石家莊市高中質(zhì)量檢測(二)

數(shù)學(xué)答案

一、單選題

1-4CBAA5-8BDCD

二、多選題

三、填空題

4嬤611V5

13.U.114.—---------15.-------1o.---------

9325

四、解答題

17.解：(1)設(shè)｛4“｝的公比為q,由題知qxl,

則63-1)=30,"'，-4)=30，

解得4=2,0=2

an=2"

(2)由(1)知么=log2?2"+l=2"+1

.111______M

bnbn+](2〃+1)(2〃+3)，2〃+12n+3)

lfl111111

2(35572〃+12n+3)

2(32n+3J

n

-3(2〃+3)

18.(1)根據(jù)余弦定理得，2jL/cos5+〃=a2+〃—c2+a2+c2,

即2及〃2cos3=2a2,/.cosB=——

2

Be(0,4).=B=.

(2)方法一:

TT

為銳角三角形，A+8+=,

兀

0C<AA<—

271471

A+C=——vAv—.

4C3冗A7142

0<-----A<—

42

.0=4,根據(jù)正弦定理ac

------=----------c=-----

sinAsinC

由面積公式可得1./T/T

SABC=—acsmB=72c=Z2

4

即SABC+4,

tan/1

4.7Cc

—vAv—，.二tarbA>1,/.S-e（4,8）,

42ABRCr

故八ABC面積的取值范圍為（4,8）.

方法二：

由3=9TT,々=4,畫出如圖所示三角形,

4

Bz,d

.ABC為銳角三角形，二點(diǎn)A落在線段（端點(diǎn)A、Az除外）上

當(dāng)CAJ.A3時，sABC=gx2夜x2夜=4

當(dāng)C4_L3C時，SABC=；x4x4=8

.-.5€（4,8）

19.（1）事件3=”甲乙兩隊比賽4局甲隊最終獲勝”，

事件4=，，甲隊第J局獲勝，，，其中j=1,2,3,4,4相互獨(dú)立.

又甲隊明星隊員M前四局不出場，故：P（Aj）=g,J=l,2,3,4,

B=4444+A4A4+AAAA

所以P（5）=C；0）4

（2）設(shè)。為甲3局獲得最終勝利，。為前3局甲隊明星隊員M上場比賽，則由全概率公式可知:

P（C）=P（C|D）P（D）+P（C|D）P（D）

.足3

因?yàn)槊棵爢T上場順序隨機(jī)，故P（O）=，?=￡

一、32

p⑷z》父

5

…八/八331213

所以P（C）=—X-+-X—=——.

V71658580

33

X

⑴P{D\。一尸（8）.P（&D）P（D）_165_9

（3）P（DI—一十一萬

80

20.解：（1）平行四邊形438中，AD1BD，可得BDLBC

AD=2BD=4

BC=4,DC=2后

又1PC=6

PD2+DC2=PC2,.'.PDJ_DC

又PD工BD,BDcDC=D

平面BDC

：.PD1BC

（2）方法一：

如圖，過點(diǎn)。做。尸〃BC,且。F=BC,連接QEC尸，

由題意可知，BD±PD,BD±DF,PDr>DF=D

BD±平面PDF,:.BD^LPF所以CF^LPF

:.PF=ylPC2-CF2=4

又BDu平面BCFD,平面BCFD1平面PDF

取Z）尸中點(diǎn)O,連接PO,由PF=PD，得PO上DF

平面BCFD,且尸。=2百

過O點(diǎn)作OM垂直于。尸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題可得2（0,0,26）,

P

y

B（2,-2,0）,C（2,2,0）,D（0,-2,0）

PC=（2,2,—20）,DC=（2,4,0）,BC=（0,4,0）

設(shè)平面PBC的法向量為m=（x,y,z）,平面PDC的法向量為〃=（/,/,z'）

.?./+）一百z=o取

y=0

同理［%+y—/z=0取〃=（2#_g,l）

|/+2y=o

/\m-n7

7

所以平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為-.

O

方法二：由8DJ_BC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

AD=2BD=4

.-.B（0,0,0）,C（4,0,0）,D（0,2,0）

設(shè)P（x,y,z）（其中z>0）

,:PB=2底PC=2底PD=4

x2+y2+z2=20

A<（x-4）2+y2+z2=20

x2+（y-2）2+z2=16

x=2

解得,y=2

Z=2yj3

.-.P(2,2,273)

CP=(-2,2,2百),8=(-4,2,0),3P=(2,2,20),3C=(4,(),0)

設(shè)平面POC的法向量為加=(無,y,z),平面的法向量為“=(x',y',z')

-x+y+>/3z=0{..6

：A)取加=1,2,--

-2x+y=013)

同理/+>+底=°取〃"i)

x'=0、)

/m-n7

7

所以平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為-

8

方法三：

過點(diǎn)B作BELPC交PC于E，過點(diǎn)。作

DFLPC交PC于F

PDC中,由PD=4,PC=￡)C=26

可得cosZDPF=1OF=延，尸F(xiàn)=述

555

同理，在APBC中，BE=^-,CE=—>可得EF=26

555

而BE+EF+FD=BD

：.(BE+EF+FD)2=BD"

.-.|BE|2+|EF|2+|FD|2+2BE-EF+2BE-FD+2EF-FD=\BD^

nn64464c8占875-八4

即——+—+——+2x---x---xcos(BE,FD)=4

55555'/

解得cos(小驅(qū)叫二網(wǎng)BE網(wǎng)FDF7

7

所以平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為-

O

21.解:(1)/(X)的定義域?yàn)?一+8),

當(dāng)a=］時，/⑺=2e2'+l-2er+,+v1(e'-1)(4e'+l+1),

令/'(X)=O,解得x=0.

當(dāng)x變化時，,/*'(x)j(x)的變化情況如表：

XS。)0(0,+。)

/'(X)-0+

1

x單調(diào)遞減---e單調(diào)遞增

f()2

因此，當(dāng)x=0時，/(X)有極小值，極小值為/(O)=；-e.

(2)尸(x)=2ae2x+'-2ex+l=!(aev-l)(4eA+l+1),

(i)若aWO,則r(x)<。，所以/(x)在(一。,+8)單調(diào)遞減，

/(X)至多有一個零點(diǎn).

(ii)若a>0,令/'(x)=0,解得x=-lna.

當(dāng)xw(re,-Ina)時，當(dāng)(-1必+8)時，

所以/(x)在(-^,-lna)單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=-lna時，/(x)取得最小值，最小值為了(—ln“)=g—￡+；ln“.

①當(dāng)。=e時，由于〃-lna)=0,故/(x)只有一個零點(diǎn)；

②當(dāng)ae(e,+a))時，由于［-■|+glna>0,即/(-lna)>0,故/(x)沒有零點(diǎn);

③當(dāng)ae(O,e)時，Int/<0,即f(-Ina)<0.

當(dāng)0<a<e時，lna(l,-lna)T>-2,且0(-2)=￡+/+1-j〉。,故f1)在(一8,一Ina)有一個零點(diǎn).

/2e}4e3-4e21,2e,2e,

?.?/in-------------+e——In——,ln—?>-Ina

Va)a2aa

先證明當(dāng)x>0時，kuWx—l,設(shè)=則加(x)=?,

一.?當(dāng)0cx<1時，加(x)〉0,當(dāng)x>I時，加(尤)<0,

：.m(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+。)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x=I時加(%)取到最大值陽(1)=0.

所以當(dāng)x>0時，InxWx-l.

/2e\4e3-4e21,2e4e^-4e21(2e-4e3-4e2-e1八

fIn-=----------+e——In—>----------+e——------1=--------------+e+->0

a)a2aaa)a2

因此f(x)在(-Ina,+8)有一個零點(diǎn).

綜上，。的取值范圍為(0,e).

22.解：⑴設(shè)A(Xo，%),B(Xo，%)

(13、1

由題意可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線4的斜率為與=-；,所以直線4的斜率為與=2

故直線4的方程為：y=2（x-2）；

0=2卜-2）

2

聯(lián)立直線4和曲線「的方程：\29=>X-16X+19=0,此方程的兩根即為工,馬

x~----二1

3

由韋達(dá)定理可得：%o+x（）二館,%々）=19①

所以：|AB\=J1+/+%。）■■一4x0x0=3（）

%

(2)設(shè)A(%,%),M(%,y),N(f,,-y),則%=，因?yàn)橹本€4垂直直線4,故4

為0-2

的直線方程為），=一;（X—2）,代入X=4,13

可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)P-,—

rCjZ、2