廣東省佛山市南海九江中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省佛山市南海九江中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)是上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

參考答案：D略2.點(diǎn)的內(nèi)部，則的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D.參考答案：A3.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若8a2+a5=0，則等于（）A． B．5 C．﹣8 D．﹣11參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比為﹣2，由此利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．【解答】解：∵Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2+a5=0，∴=0，解得q=﹣2，∴===﹣11．故選：D．4.直線與圓的位置關(guān)系是A．相交

B．相切

C．相離

D．與值有關(guān)參考答案：D略5.同時(shí)擲兩顆骰子，向上點(diǎn)數(shù)之和小于5的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】列舉出所有情況，找出向上點(diǎn)數(shù)之和小于5的情況，然后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）共有36種等可能的結(jié)果，向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的情況有6種，分別為（1，3），（1，2），（1，1），（2，1），（3，1），（2，2）∴向上點(diǎn)數(shù)之和小于5的概率概為=，故選：C6.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是(

)

參考答案：C7.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義來求解.【詳解】，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，一般是通過構(gòu)造定義形式來解決，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8.運(yùn)行如圖的程序，若x=1，則輸出的y等于（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】計(jì)算題；圖表型；函數(shù)思想；分析法；算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序，可得程序的功能是計(jì)算并輸出y=x^3+5的值，代入x的值，即可求解．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得程序的功能是計(jì)算并輸出y=x^3+5的值，當(dāng)x=1，可得y=1+5=6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了賦值語句，理解賦值的含義是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是(

)

A.l

B．

C．2

D．2參考答案：B略10.現(xiàn)有兩個(gè)推理：①在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”；②由“若數(shù)列為等差數(shù)列，則有成立”類比“若數(shù)列為等比數(shù)列，則有成立”，則得出的兩個(gè)結(jié)論

A.只有①正確

B.只有②正確C.都正確

D.都不正確參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.球的表面積為，則球的體積為___________.參考答案：12.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則的最大值是__________.參考答案：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示。表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率。結(jié)合圖形得，可行域內(nèi)的點(diǎn)A與點(diǎn)連線的斜率最大。由，解得。所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為?！?。答案：點(diǎn)睛：利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.。13.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于

.參考答案：根據(jù)“黃金橢圓”的性質(zhì)是，可得“黃金雙曲線”也滿足這個(gè)性質(zhì)．如圖，設(shè)“黃金雙曲線”的方程為，則，，∵，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴黃金雙曲線”的離心率e等于．

14.已知點(diǎn)P在曲線y＝上，k為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率，則k的取值范圍是_______.參考答案：略15.直線3x+4y﹣15=0被圓x2+y2=25截得的弦AB的長(zhǎng)為

．參考答案：8【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)、半徑，利用圓心到直線的距離、半徑、半弦長(zhǎng)滿足勾股定理，求出半弦長(zhǎng)即可．【解答】解：x2+y2=25的圓心坐標(biāo)為（0，0）半徑為：5，所以圓心到直線的距離為：d=，所以|AB|==4，所以|AB|=8故答案為：8【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離、弦長(zhǎng)問題，考查計(jì)算能力．16.已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為

參考答案：解析：設(shè)ABCD所在的截面圓的圓心為M,則AM=,OM=，.17.點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，P點(diǎn)到直線3x－4y＋6＝0的距離為6，則P點(diǎn)坐標(biāo)為________．參考答案：設(shè)P(a,0)，則有＝6，解得a＝－12或a＝8.∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(－12,0)或(8,0)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知和是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）直線（m＞0）與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與x軸和y軸分別交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△OMN面積取最小值時(shí)，求此時(shí)直線l的方程．參考答案：（1）∵和是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上，∴依題意，，又，故．---------------------2分由得b2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求橢圓C的方程為．-----------------------------------------------4分（2）由，消y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，整理得m2=4k2+3．-----------------------------6分由條件可得k≠0，，N（0，m）．所以．①------------------------------8分將m2=4k2+3代入①，得．因?yàn)閨k|＞0，所以，-------------------------------10分當(dāng)且僅當(dāng)，則，即時(shí)等號(hào)成立，S△OMN有最小值．-----11分因?yàn)閙2=4k2+3，所以m2=6，又m＞0，解得．故所求直線方程為或．----------------------------12分19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值；（3）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求解切線的斜率f′（1）=1﹣a，然后求解切線方程．（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值即可．（3）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出導(dǎo)函數(shù)g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出，通過若a≤0，若，若，分別判斷函數(shù)的符號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，然后求解a的取值范圍．【解答】解：（1）由題，所以f′（1）=1﹣a，所以切線方程為：（1﹣a）（x﹣1）﹣y=0（2）由題a=1時(shí)，f（x）=lnx﹣x+1，所以所以f′（x）＞0?0＜x＜1；f′（x）＜0?x＞1，所以f（x）在（0，1）單增，在（1，+∞）單減，所以f（x）在x=1取得極大值f（1）=0．所以函數(shù)f（x）的極大值f（1）=0，函數(shù)無極小值（3），令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，①若a≤0，F(xiàn)′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）遞增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，從而，不符合題意②若，當(dāng)，F(xiàn)′（x）＞0，∴g′（x）在遞增，從而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，以下論證同（1）一樣，所以不符合題意③若，F(xiàn)′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）遞減，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，從而g（x）在[1，+∞）遞減，∴g（x）≤g（1）=0，，綜上所述，a的取值范圍是．20.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）

…………

1分令得：

…………

2分當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00增極大減極小增所以的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；

…………

6分當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值；

…………

7分當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值.

…………

8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，作出函數(shù)的草圖如圖所示：所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

…………

12分21.已知函數(shù)f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根據(jù)（I）可得函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（5，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，5）；當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取極小值﹣ln5．22.隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．如圖是其中一個(gè)抽象派雕塑的設(shè)計(jì)圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時(shí)保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面． （1）若收集到的余料長(zhǎng)度如下：AC=BD=24（單位長(zhǎng)度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角； （2）設(shè)計(jì)師想在AB，CD中點(diǎn)M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個(gè)與AC，BD同時(shí)平行的平面板裝飾物．但他擔(dān)心此設(shè)計(jì)不一定能實(shí)現(xiàn)．請(qǐng)你替他打消疑慮：無論AB，CD多長(zhǎng)，焊接角度怎樣，一定存在一個(gè)過MN的平面與AC，BD同時(shí)平行（即證明向量與，共面，寫出證明過程）； （3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請(qǐng)?zhí)嬖O(shè)計(jì)師打消另一個(gè)疑慮：即MN要準(zhǔn)備多長(zhǎng)不用視AB，CD長(zhǎng)度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計(jì)的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無論如何設(shè)計(jì)MN都一定夠用的長(zhǎng)度． 參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面平行的判定． 【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（1）作出BD在α內(nèi)的射影，根據(jù)勾股定理求出D到平面α的距離，即可求出線面角的大??； （2）使用表示出，即可證明與，共面； （3）對(duì)（2）中的結(jié)論兩邊平方，得出MN的長(zhǎng)度表達(dá)式，根據(jù)θ的范圍求出MN的最大值． 【解答】解：（1）設(shè)D在α上的射影為H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面， ∴過D作DK⊥AC于K，則AHDK為矩形，∴DK=AH． 設(shè)DH=h，則（AC﹣h）2+AH2=CD2，① ∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB，