2023中考數(shù)學真題專項匯編特訓 專題31幾何綜合壓軸問題(共40題)(原卷版+解析)

專題31幾何綜合壓軸問題（40題）1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點，．

(1)將繞頂點旋轉一周，請直接寫出點，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點逆時針旋轉（如圖），求的長．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，點為線段上一點，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側作等腰和等腰，且．在線段上取一點，使，連接．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若的延長線恰好經(jīng)過的中點，求的長．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉得點．①如圖2，當點落在射線上時，求的長．②當是直角三角形時，求的長．4．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關于的對稱點在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

5．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．己知：在中，對角線，垂足為．求證：是菱形．

(2)知識應用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；②延長至點，連接交于點，若，求的值．6．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個頂點B，C分別沿折疊后均與點D重合，折痕分別交于點E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交于點M，N，的對應線段交于點K，求四邊形的面積．8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；②將線段繞點P逆時針旋轉，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究與的數(shù)量關系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．

9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點分別為邊的中點，連接．初步嘗試：（1）與的數(shù)量關系是_________，與的位置關系是_________．特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點順時針旋轉（為銳角），得到，當點在同一直線上時，與相交于點，連接．

（1）求的度數(shù)；（2）求的長．深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉，得到，連接，．當旋轉角滿足，點在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關系，并說明理由．10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

(1)如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應用】(3)當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．11．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點在邊上，且．將線段繞點順時針旋轉到的平分線所在直線交折線于點，設點在該折線上運動的路徑長為，連接．

(1)若點在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數(shù)，并直接寫出當時，的值；②若點到的距離為，求的值；(3)當時，請直接寫出點到直線的距離．（用含的式子表示）．12．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點，將四邊形沿翻折，使點落在的延長線上處，若，求的值；（3）如圖③，在中，，垂足為點，過點作交于點，連接，且滿足，直接寫出的值．13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點是射線上的一個動點，延長至點，使，連接交射線于點．

(1)如圖1，當點在線段上時，猜測線段與的數(shù)量關系并說明理由；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，①線段與的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接．設，若，求四邊形的面積．14．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，連接，，．

(1)若正方形的邊長為2，E是的中點．①如圖1，當時，求證：；②如圖2，當時，求的長；(2)如圖3，延長，交于點G，當時，求證：．15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標記為點）．當時，延長交于點．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點逆時針方向旋轉，使點落在內(nèi)部，并讓同學們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點作交的延長線于點與交于點．試猜想線段和的數(shù)量關系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當時，過點作于點，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結果．

17．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）過正方形的頂點作直線，點關于直線的對稱點為點，連接，直線交直線于點．

(1)如圖1，若，則___________；(2)如圖1，請?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)在繞點轉動的過程中，設，請直接用含的式子表示的長．18．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點為上一動點，將以為對稱軸翻折．同學們經(jīng)過思考后進行如下探究：獨立思考：小明：“當點落在上時，．”小紅：“若點為中點，給出與的長，就可求出的長．”實踐探究：奮進小組的同學們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當點落在上時，求證：；（2）如圖2，若點為中點，，求的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進一步拓展．問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．19．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．

【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．20．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉得到的，的延長線相交于點．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點，如圖2．求證：．21．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當?shù)闹底畲髸r，求此時的值．22．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕，點B，E的對應點分別為，，展平紙片，連接，，．

請完成：(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個角的大小關系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點，連接，在上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B，P分別落在，上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為，，展平紙片，連接，．

請完成：(3)證明是的一條三等分線．23．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形中，為上的一點，過點作的平行線交于點，點是線段上的動點（點不與重合）．將繞點逆時針方向旋轉，得到，連接交于．

(1)證明：在點的運動過程中，總有．(2)當為何值時，是直角三角形？25．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．

26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關系：______；(4)實踐應用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點，連接，①若，過作交于點，求證：；②若時，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．

28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點，點分別是邊，線段上的點，連接與相交于點．

(1)如圖1，連接．當時，試判斷點是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當時，設，求的長（用含的代數(shù)式表示）．29．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉得到，同時得到點在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．30．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學的眼光觀察．如圖，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點，求證：．（2）用數(shù)學的思維思考．如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．（3）用數(shù)學的語言表達．如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，試判斷的形狀，并進行證明．31．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐【思考嘗試】（1）數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關系，請你思考并解答這個問題．

32．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉與交于點，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；(2)【問題探究】根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉與交于點，探究線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．33．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為的中點，點在直線上（不與點重合），連接，線段繞點逆時針旋轉，得到線段，過點作直線，過點作，垂足為點，直線交直線于點．(1)如圖，當點與點重合時，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關系；(2)如圖，當點在線段上時，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當時，請直接寫出的值．34．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】(1)如圖1，當時，興趣小組探究得出結論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關系，請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關系的一般結論（直接寫出結論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．35．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．【嘗試應用】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為_______．

36．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點在邊上，點是的中點，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點逆時針旋轉，使點的對應點落在上，連接．當點在邊上運動時（點不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當時，求的長．37．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉至位置，點在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大?。?2)已知點和邊上的點滿足．（?。┤鐖D2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．38．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過B作交的延長線于點E．若，求四邊形的周長．39．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學探究活動，兩塊三角板分別記作和，設．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點A按順時針方向旋轉，旋轉角為，旋轉過程中保持不動，連接．

(1)當時，________；當時，________；(2)當時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點F，將繞著點A旋轉一周，點F的運動路徑長為________．40．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第頁“探索”部分內(nèi)容：如圖，將一個三角形紙板繞點逆時針旋轉到達的位置，那么可以得到：，，；，，（

）

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵；故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（

）”處應填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點逆時針旋轉到達扇形紙板的位置．

①請在圖中作出點；②如果，則在旋轉過程中，點經(jīng)過的路徑長為__________；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．

專題31幾何綜合壓軸問題（40題）1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點，．

(1)將繞頂點旋轉一周，請直接寫出點，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點逆時針旋轉（如圖），求的長．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出的值，進而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求解；（2）過點作，交的延長線于點，根據(jù)旋轉的性質(zhì)求得，進而得出，進而可得，勾股定理解，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，，當在的延長線上時，的距離最大，最大值為，當在線段上時，的距離最小，最小值為；

（2）解：如圖所示，過點作，交的延長線于點，

∵繞頂點逆時針旋轉，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉的性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，點為線段上一點，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側作等腰和等腰，且．在線段上取一點，使，連接．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若的延長線恰好經(jīng)過的中點，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，推出，利用證明即可證明結論成立；（2）取的中點H，連接，證明是的中位線，設，則，證明，得到，即，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵等腰和等腰，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：取的中點H，連接，

∵點是的中點，∴是的中位線，∴，，設，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（負值已舍），經(jīng)檢驗是所列方程的解，且符合題意，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉得點．①如圖2，當點落在射線上時，求的長．②當是直角三角形時，求的長．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明，再證明，最后利用相似三角形對應邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：為直角頂點；第二種：為直角頂點；第三種，為直角頂點，但此種情況不成立，故最終有兩個答案．【詳解】（1）在中，，在中，．（2）①如圖1，作于點，由（1）得，，則，作交延長線于點，則，

∴．∵∴．由旋轉知，∴．設，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉得，，又因為，所以．情況一：當以為直角頂點時，如圖2．

∵，∴落在線段延長線上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當以為直角頂點時，如圖3．

設與射線的交點為，作于點．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡得，解得，∴．情況三：當以為直角頂點時，點落在的延長線上，不符合題意．綜上所述，或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關定義，判定，性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關于的對稱點在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關于對稱，可得．證明，從而可得結論；（2）如圖，過點作于點，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結論；（3）由，可得，結合，求解，，如圖，過點作于點．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴．∴．

②．理由如下：∵和關于對稱，∴．∵，∴．∴．（2）．理由如下：如圖，過點作于點，得．

∵和關于對稱，∴，．∵，∴，∴．∴．∵是直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴，即．（3）∵，∴，∵，∴，∴．如圖，過點作于點．

∵，∴，．∴．∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應用，本題難度較高，屬于中考壓軸題，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．5．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．己知：在中，對角線，垂足為．求證：是菱形．

(2)知識應用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；②延長至點，連接交于點，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則，，進而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；②根據(jù)菱形的性質(zhì)結合已知條件得出，則，過點作交于點，根據(jù)平行線分線段成比例求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵∴，在中，∴∴，同理可得，則，又∵∴∴四邊形是菱形；（2）①證明：∵四邊形是平行四邊形，．∴在中，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴四邊形是菱形；②∵四邊形是菱形；∴∵，∴，∵，∴，∴，如圖所示，過點作交于點，

∴，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．6．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論；（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點C順時針旋轉得到，即可得出可知當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，（3）由總的鋪設成本，通過將繞，點C順時針旋轉得到，得到等腰直角，得到，即可得出當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴為等邊三角形；∴，，又，故，由兩點之間線段最短可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最?。帧咭阎斢幸粋€內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．∴該三角形的“費馬點”為點A，故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③；④．（2）將繞，點C順時針旋轉得到，連接，由（1）可知當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，

∵，∴，又∵∴，由旋轉性質(zhì)可知：，∴，∴最小值為，（3）∵總的鋪設成本∴當最小時，總的鋪設成本最低，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，由旋轉性質(zhì)可知：，，，，∴，∴，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，

過點作，垂足為，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為總的鋪設成本（元）故答案為：【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉作出正確的輔助線是解本題的關鍵．7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個頂點B，C分別沿折疊后均與點D重合，折痕分別交于點E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交于點M，N，的對應線段交于點K，求四邊形的面積．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)30【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得到，即可得出結論．（2）先證明四邊形為平行四邊形，過點作于點，等積法得到的積，推出四邊形的面積，即可得解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：∵在中，，是邊上的中線，∴，∵將的兩個頂點B，C分別沿折疊后均與點D重合，∴，∴，∴，∴，同法可得：，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵折疊，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，由（1）知：，，∴，過點作于點，

∵，∴，∵四邊形的面積，，∴四邊形的面積．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線分線段對應成比例，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；②將線段繞點P逆時針旋轉，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究與的數(shù)量關系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．

【答案】（1）①見解析；②不變化，，理由見解析；③，理由見解析（2），理由見解析【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可得到結論；②作，垂足分別為點M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明，得出，進而可得結論；③作交于點E，作于點F，如圖，證明，即可得出結論；（2）先證明，作交于點E，交于點G，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，都是等邊三角形，進一步即可證得結論．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴；②的大小不發(fā)生變化，；證明：作，垂足分別為點M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即；③；證明：作交于點E，作于點F，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，作于點M，則，∴，∵，∴，∴；（2）；證明：∵四邊形是菱形，，∴，∴是等邊三角形，垂直平分，∴，∵，∴，作交于點E，交于點G，如圖，則四邊形是平行四邊形，，，∴，都是等邊三角形，∴，

作于點M，則，∴，∴．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，熟練掌握相關圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關鍵．9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點分別為邊的中點，連接．初步嘗試：（1）與的數(shù)量關系是_________，與的位置關系是_________．特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點順時針旋轉（為銳角），得到，當點在同一直線上時，與相交于點，連接．

（1）求的度數(shù)；（2）求的長．深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉，得到，連接，．當旋轉角滿足，點在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】初步嘗試：（1）；；（2）特例研討：（1）；（2）；（3）或【分析】（1），點分別為邊的中點，則是的中位線，即可得出結論；（2）特例研討：（1）連接，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；（2）連接，證明，則，設，則，在中，，則，在中，，勾股定理求得，則；（3）當點在同一直線上時，且點在上時，設，則，得出，則在同一個圓上，進而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當在上時，可得在同一個圓上，設，則，設，則，則，表示與，即可求解．【詳解】初步嘗試：（1）∵，點分別為邊的中點，∴是的中位線，∴；；故答案是：；（2）特例研討：（1）如圖所示，連接，，

∵是的中位線，∴，∴∵將繞點順時針旋轉（為銳角），得到，∴；∵點在同一直線上時，∴又∵在中，是斜邊的中點，∴∴∴是等邊三角形，∴，即旋轉角∴∴是等邊三角形，又∵，∴,∴,∴,∴,（2）如圖所示，連接，∵，，∴，,

∵,∴,∴,設，則，在中，，則，在中，,∴,解得：或（舍去）∴,（3）如圖所示，當點在同一直線上時，且點在上時，

∵，∴，設，則，∵是的中位線，∴∴，∵將繞點順時針旋轉，得到，∴，，∴∴，∵點在同一直線上，∴∴，∴在同一個圓上，

∴∴∵，∴；如圖所示，當在上時，

∵∴在同一個圓上，設，則，將繞點順時針旋轉，得到，設，則，則，∴，∵,∴，∵∴∴綜上所述，或【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

(1)如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應用】(3)當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．【答案】(1)(2)成立；理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結論；（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結論；（3）分兩種情況，當點E在線段上時，當點D在線段上時，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出結果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；

（3）解：當點E在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；當點D在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；綜上分析可知，或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論．11．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點在邊上，且．將線段繞點順時針旋轉到的平分線所在直線交折線于點，設點在該折線上運動的路徑長為，連接．

(1)若點在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數(shù)，并直接寫出當時，的值；②若點到的距離為，求的值；(3)當時，請直接寫出點到直線的距離．（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①，；②或(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)和角平分線的概念得到，，然后證明出，即可得到；（2）①首先根據(jù)勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先畫出圖形，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進而求解即可；②當點在上時，，，分別求得，根據(jù)正切的定義即可求解；②當在上時，則，過點作交的延長線于點，延長交的延長線于點，證明，得出，，進而求得，證明，即可求解；（3）如圖所示，過點作交于點，過點作于點，則四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵將線段繞點順時針旋轉到，∴∵的平分線所在直線交折線于點，∴又∵∴∴；（2）①∵，，∴∵，∴，∴∴；如圖所示，當時，

∵平分∴∴∴∴∵，∴∴，∴∵，∴∴，即∴解得∴．②如圖所示，當點在上時，，

∵，∴，，∴，∴∴；如圖所示，當在上時，則，過點作交的延長線于點，延長交的延長線于點，

∵，∴，∴∴即∴，，∴∵∴，∴，∴∴解得：∴，綜上所述，的值為或；（3）解：∵當時，∴在上，如圖所示，過點作交于點，過點作于點，則四邊形是矩形，∴，，

∵，∴，∴，又，∴，又∵，∴，∴∵，，設，即∴，∴整理得即點到直線的距離為．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識且分類討論是解題的關鍵．12．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點，將四邊形沿翻折，使點落在的延長線上處，若，求的值；（3）如圖③，在中，，垂足為點，過點作交于點，連接，且滿足，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）5；（3）【分析】（1）由矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)、結合勾股定理求得，設則，中利用勾股定理求得，則，，進而求解即可；（2）由矩形的性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，則，在中，利用勾股定理求得，進而求得，可求解；（3）證明得到，則；設，，過點D作于H，證明得到，在中，由勾股定理解得，進而可求得，在圖③中，過B作于G，證明，則，，再證明，在中利用銳角三角函數(shù)和求得即可求解．【詳解】解：（1）如圖①，∵四邊形是矩形，∴，，，由翻折性質(zhì)得，，在中，，∴，設，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，，∴；（2）如圖②，∵四邊形是矩形，∴，，，由翻折性質(zhì)得，，，，∴∴，∴，∴，即，又，∴，∴，在中，，∴，則，∴；（3）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，則；設，，過點D作于H，如圖③，則，∴；

∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，，在中，，在圖③中，過B作于G，則，∴，∴，∴，，∵，，∴，則，在中，，，∵，∴，則，∴．

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強，較難，屬于中考壓軸題，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線求解是解答的關鍵．13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點是射線上的一個動點，延長至點，使，連接交射線于點．

(1)如圖1，當點在線段上時，猜測線段與的數(shù)量關系并說明理由；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，①線段與的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接．設，若，求四邊形的面積．【答案】(1)，理由見解析(2)①成立，理由見解析②【分析】（1）過點作，交于點，易得，證明，得到，即可得出結論．（2）①過點作，交的延長線于點，易得，證明，得到，即可得出結論；②過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，根據(jù)已知條件推出，得到，證明，得到，求出的長，利用四邊形的面積為進行求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵是等邊三角形，∴，過點作，交于點，

∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，，又，∴，∴，∴；（2）①成立，理由如下：∵是等邊三角形，∴，過點作，交的延長線于點，

∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，，又，∴，∴，∴；②過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，則：，

由①知：為等邊三角形，，，∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，設，則：，，∴，∵，∴，∴，即：②，聯(lián)立①②可得：（負值已舍去），經(jīng)檢驗是原方程的根，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．本題的綜合性強，難度大，屬于中考壓軸題，解題的關鍵是添加輔助線構造特殊三角形，全等和相似三角形．14．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，連接，，．

(1)若正方形的邊長為2，E是的中點．①如圖1，當時，求證：；②如圖2，當時，求的長；(2)如圖3，延長，交于點G，當時，求證：．【答案】(1)①詳見解析；②(2)詳見解析【分析】（1）①由，證明，可得結論；②如圖，延長，交于點G作，垂足為H，證明，可得，可得，設可得，可得，可得，證明，可得，從而可得答案；（2）如圖，延長，作，垂足為H，證明，設，可得，由，可得，可得，由可得，可得，證明，可得，，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，

正方形中，，①，∴，，，②如圖，

延長，交于點G，作，垂足為H，且，，，，，方法一：設，∴，∴，在中，，，，方法二：在中，由，設，，，，又且，，，，；（2）如圖

延長，作，垂足為H，且，，設，，，在中，，，，，，，在中，，，，，則，又且，，，，，，．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，本題計算量大，對學生的要求高，熟練的利用參數(shù)建立方程是解本題的關鍵．15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長過點F作，證明即可得出結論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關系即可證明．（3）過點A作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．【詳解】（1）延長過點F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．

故答案為：．（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．

（3）解：過點作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∵，∴．．

【點睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標記為點）．當時，延長交于點．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點逆時針方向旋轉，使點落在內(nèi)部，并讓同學們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點作交的延長線于點與交于點．試猜想線段和的數(shù)量關系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當時，過點作于點，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結果．

【答案】(1)正方形，見解析(2)①，見解析；②【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；（2）①由已知可得，再由等積方法，再結合已知即可證明結論；②設的交點為M，過M作于G，則易得，點G是的中點；利用三角函數(shù)知識可求得的長，進而求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結果．【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴四邊形為矩形．∵，∴．∴矩形為正方形．（2）：①．證明：∵，∴．∵，∴．∵，即，∴．∵，∴．由（1）得，∴．②解：如圖：設的交點為M，過M作于G，∵，∴，，∴；∵，∴，∴，∵，∴點G是的中點；由勾股定理得，∴；∵，∴，即；∴；∵，，∴，∴，∴，即的長為．

【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點，適當添加的輔助線、構造相似三角形是解題的關鍵．17．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）過正方形的頂點作直線，點關于直線的對稱點為點，連接，直線交直線于點．

(1)如圖1，若，則___________；(2)如圖1，請?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)在繞點轉動的過程中，設，請直接用含的式子表示的長．【答案】(1)(2)(3)，或，或【分析】（1）如圖，連接，，由對稱知，由四邊形是正方形得，所以，從而；（2）如圖，連接，，，，交于點H，由軸對稱知，,，，可證得，由勾股定理得，中，，中，，從而；（3）由勾股定理，，分情況討論：當點F在D,H之間時，；當點D在F,H之間時，；當點H在F,D之間時，．【詳解】（1）解：如圖，連接，，∵點關于直線的對稱點為點，∴，關于對稱，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，

∴．故答案為：20．（2）解：；理由如下：如圖，由軸對稱知，,，

而∴∴∴∴中，中，∴即；（3）∵，，∴，∵，∴，如圖，當點F在D,H之間時，，

如圖，當點D在F,H之間時，

如圖，當點H在F,D之間時，

【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形知識，勾股定理等，將運動狀態(tài)的所有可能考慮完備，分類討論是解題的關鍵．18．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點為上一動點，將以為對稱軸翻折．同學們經(jīng)過思考后進行如下探究：獨立思考：小明：“當點落在上時，．”小紅：“若點為中點，給出與的長，就可求出的長．”實踐探究：奮進小組的同學們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當點落在上時，求證：；（2）如圖2，若點為中點，，求的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進一步拓展．問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．【答案】（1）見解析；（2）；問題2：【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)鄰補角互補可得，即可得證；（2）連接，交于點，則是的中位線，勾股定理求得，根據(jù)即可求解；問題2：連接，過點作于點，過點作于點，根據(jù)已知條件可得，則四邊形是矩形，勾股定理求得，根據(jù)三線合一得出，根據(jù)勾股定理求得的長，即可求解．【詳解】（1）∵等腰中，由翻折得到∴，，∵，∴；（2）如圖所示，連接，交于點，

∵折疊，∴，，，，∵是的中點，∴，∴，在中，，在中，，∴；問題2：如圖所示，連接，過點作于點，過點作于點，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴，又，∴四邊形是矩形，則，在中，，,，∴，在中，，∴，在中，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．19．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．

【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）3【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，則，再由，可得，則，根據(jù)等角的余角相等得，即可得證；（2）利用“”證明，可得，由，可得，利用“”證明，則，由正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；（3）延長到點，使，連接，由菱形的性質(zhì)可得，，則，推出，由全等的性質(zhì)可得，，進而推出是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關系計算求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，；（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，，又，，點在的延長線上，，，，，，；（3）解：如圖，延長到點，使，連接，

四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識點并靈活運用是解題的關鍵．20．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉得到的，的延長線相交于點．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點，如圖2．求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由旋轉的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明、，即可證明結論；（2）如圖1：設與的交點為，先證明可得，再證明可得，最后運用角的和差即可解答；（3）如圖2：延長交于點，連接，先證明可得，再證可得；進而證明即，再說明則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．【詳解】（1）解：是由線段繞點順時針旋轉得到的，，，．，．．，．．（2）解：如圖1：設與的交點為，

，，，．，，．又，．，．（3）解：如圖2：延長交于點，連接，

，，．是的中點，．又，，．，，．由（2）知，，．

，，，，即．，，．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關鍵．21．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當?shù)闹底畲髸r，求此時的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，，，且，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）延長交于點，如圖所示，在中，求得，進而求得的長，根據(jù)（1）的結論，得出，在中，勾股定理求得，進而根據(jù)，即可求解．（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，同（1）可得，進而得出在以為圓心，為半徑的圓上運動，當點三點共線時，的值最大，進而求得，，根據(jù)得出，過點作，于點，分別求得,然后求得，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案為：．（2）∵，且，，∴，，延長交于點，如圖所示，

∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得則，∵，則，在中，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當點三點共線時，的值最大，此時如圖所示，則，

在中，∴,，∵，∴，過點作，于點，∴，，∵，∴，∴，中，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點到圓的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．22．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕，點B，E的對應點分別為，，展平紙片，連接，，．

請完成：(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個角的大小關系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點，連接，在上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B，P分別落在，上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為，，展平紙片，連接，．

請完成：(3)證明是的一條三等分線．【答案】(1)(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可進行求解；（2）由折疊的性質(zhì)可知，，然后可得，則有是等邊三角形，進而問題可求證；（3）連接，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，證明，得出，即可證明．【詳解】（1）解：由題意可知；（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，∴，，∴是等邊三角形，∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴；（3）證明：連接，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可知：，，，∵折痕，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是的一條三等分線．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明，是解題的關鍵．23．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解，求得，根據(jù)即可求解；（2）延長使得，連接，可得，根據(jù)，得出四點共圓，則，，得出，結合已知條件得出，可得，即可得證；（3）在取得最小值的條件下，即，設，則，，根據(jù)題意得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，在半徑為的上運動，當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，連接，交于點，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則，在中，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，延長使得，連接，

∵是的中點則，，，∴，∴，∴，∴∵是等邊三角形，∴，∵，∴四點共圓，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，設，則，，∴，，∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．∴∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，∴在半徑為的上運動，當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，

∵是的中點，∴，∴是等邊三角形，則，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，如圖所示，連接，交于點，則四邊形是矩形，

∴，是的中點，∴即是的中位線，同理可得是的中位線，∴，∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，∴∴則在中，∴．

【點睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓外一點到圓上距離的最值問題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形中，為上的一點，過點作的平行線交于點，點是線段上的動點（點不與重合）．將繞點逆時針方向旋轉，得到，連接交于．

(1)證明：在點的運動過程中，總有．(2)當為何值時，是直角三角形？【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用四點共圓知識解答即可．（2）只有，是直角三角形，解答即可．【詳解】（1）∵等邊三角形，∴,，∵，∴，∵繞點逆時針方向旋轉，得到，∴，∴時等邊三角形，∴，∴，∴四點共圓，∴，∴．（2）如圖，根據(jù)題意，只有當時，成立，∵繞點逆時針方向旋轉，得到，∴，∴時等邊三角形，∴，∵，

∴，∵等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點共圓，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點共圓，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．25．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．

【答案】圖②中，圖③中，證明見解析【分析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；圖③：仿照圖②證明是等邊三角形，則．【詳解】解：圖②中，圖③中，圖②證明如下：如圖②所示，連接，∵點F，G分別是的中點，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；

圖③證明如下：如圖③所示，連接，∵點F，G分別是的中點，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關系：______；(4)實踐應用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結論；（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設交于點，

∵∴，故答案為：，．（2）結論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，則是等腰直角三角形，

∵,∴，∵，∴∴，∴，∵，在中，，∴∴過點作于點，設，則，在中，，在中，∴∴解得：，則，設交于點，則是等腰直角三角形，∴在中，∴∴又，∴∴∴，∴∴，在中，∴，綜上所述，或故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練運用已知模型是解題的關鍵．27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點，連接，①若，過作交于點，求證：；②若時，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．

【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）或或【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進而證明結合已知條件，即可證明；②由①可得，，證明，得出，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況討論，①當點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，證明，解，進而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當點在邊上時，如圖所示，連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當點在邊上時，如圖所示，過點作于點，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形，則，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴；②由①可得，∴∴，又∵∴,故答案為：．（2）∵在菱形中，，∴，，則，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴,又，∴，∴，∴；（3）①當點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，

∵平行四邊形中，，，∴，,∵，∴∴，∴∴在中，，則，，∴∴，∵，∴∴∴∴設，則，，，∴解得：或，即或，②當點在邊上時，如圖所示，

連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，設，則，，∵∴∴，∴∴，∵∴過點作于點，在中，，∴，，∴，則，∴，∴，，∴∴，即，∴即解得：（舍去）即；③當點在邊上時，如圖所示，

過點作于點，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴點不可能在邊上，綜上所述，的長為或或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關鍵．28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點，點分別是邊，線段上的點，連接與相交于點．

(1)如圖1，連接．當時，試判斷點是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當時，設，求的長（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)點在線段的垂直平分線上(2)①證明見解析，②【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線的判定證明即可；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由各角之間的關系得出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接．利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)及全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點在線段的垂直平分線上．理由如下：連接．∵四邊形是菱形，對角線相交于點，．，，∴點在線段的垂直平分線上．

（2）①證明：如圖，∵四邊形是菱形，，，，，，．，．，，，．在中，，．．，；

②如圖，連接．，∴是等邊三角形．∵，∴，在中，，，．，，，．，，．在中，，由勾股定理得，．

【點睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)及解直角三角形，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．29．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉得到，同時得到點在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．【答案】[探究一]見解析；[探究二]見解析；[探究三]【分析】[探究一]證明，即可得證；[探究二]根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，加上公共角，進而即可證明[探究三]先證明，得出，，將繞點順時針旋轉得到，則點在直線上．得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進而可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可得出結論．【詳解】[探究一]∵把繞點C逆時針旋轉得到，同時得到點在直線上，∴，∴，∴，在與中∴∴[探究二]證明：如圖所示，

∵四邊形是正方形，∴，又，∴，∵，∴，又∵，∴，又∵公共角，∴；[探究三]證明：∵是正方形的對角線，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴，，如圖所示，將繞點順時針旋轉得到，則點在直線上．

∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．30．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學的眼光觀察．如圖，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點，求證：．（2）用數(shù)學的思維思考．如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．（3）用數(shù)學的語言表達．如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，試判斷的形狀，并進行證明．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）是直角三角形，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)中位線定理即可求出，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)中位線定理即可求出和，通過第（1）問的結果進行等量代換即可證明；（3）根據(jù)中位線定理推出和從而求出，證明是等邊三角形，利用中點求出，從而求出度數(shù)，即可求證的形狀.【詳解】證明：（1）的中點，是的中點，.同理，.，..（2）的中點，是的中點，，.同理，.由（1）可知，.（3）是直角三角形，證明如下：如圖，取的中點，連接，，是的中點，，.同理，，.，..，，.，.又，是等邊三角形，.又，.，.是直角三角形.故答案為：是直角三角形.【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的判定，解題的關鍵在于靈活運用中位線定理.31．（20