2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第1講截長補(bǔ)短模型含解析

2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第1講截長補(bǔ)短模型中考數(shù)學(xué)幾何模型1：截長補(bǔ)短模型名師點睛撥開云霧開門見山有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或"差”及其比例關(guān)系.這一類題目一般可以采取“截長”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解.所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系.所謂“補(bǔ)短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等.然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系.有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解.典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求證：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．變式練習(xí)>>>1.已知△ABC的內(nèi)角平分線AD交BC于D，∠B=2∠C.求證：AB+BD=AC.例題2.已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．變式練習(xí)>>>2.已知：△ABC中，AB＝AC，D為△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．試判斷線段CD、BD與AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．例題3.如圖所示，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求證：DA平分∠CDE．變式練習(xí)>>>3.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN＝60°．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．例題4.在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．（1）如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫出答案）（2）如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；（3）如圖（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求線段AE長度的最大值．例題5.在△ABC中，∠BAC＝90°．（1）如圖1，直線l是BC的垂直平分線，請在圖1中畫出點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′C，A′B，A′C與AB交于點E；（2）將圖1中的直線A′B沿著EC方向平移，與直線EC交于點D，與直線BC交于點F，過點F作直線AB的垂線，垂足為點H．①如圖2，若點D在線段EC上，請猜想線段FH，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若點D在線段EC的延長線上，直接寫出線段FH，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系．例題6.如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC、于點N、E、M．（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點C時（如圖2），求證：BN＝CD；（2）當(dāng)M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系．達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實1.如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分線，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度數(shù)．2.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F，試探究線段AB與AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.3.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角∠NDM，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．4.如圖，?ABCD中，E是BC邊的中點，連接AE，F(xiàn)為CD邊上一點，且滿足∠DFA＝2∠BAE．（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度數(shù)；（2）求證：AF＝CD+CF．5.如圖所示，在正方形ABCD的邊CB的延長線上取點F，連結(jié)AF，在AF上取點G，使得AG＝AD，連結(jié)DG，過點A作AE⊥AF，交DG于點E．（1）若正方形ABCD的邊長為4，且AB＝2FB，求FG的長；（2）求證：AE+BF＝AF．6.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，連接AC，BD交于點E．（1）若BC＝CD＝2，M為線段AC上一點，且AM：CM＝1：2，連接BM，求點C到BM的距離．（2）證明：BC+CD＝AC．7.如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，連接DP，過點B作BE⊥DP交DP的延長線于點E，連接AE，過點A作AF⊥AE交DP于點F，連接BF．（1）若AE＝2，求EF的長；（2）求證：PF＝EP+EB．中考數(shù)學(xué)幾何模型1：截長補(bǔ)短模型名師點睛撥開云霧開門見山有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或"差”及其比例關(guān)系.這一類題目一般可以采取“截長”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解.所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系.所謂“補(bǔ)短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等.然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系.有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解.典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求證：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解答】證明：如圖所示：（1）∵BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取點F，使BF=BA，連接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，變式練習(xí)>>>1.已知△ABC的內(nèi)角平分線AD交BC于D，∠B=2∠C.求證：AB+BD=AC.答案：略例題2.已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：在BC上取點G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．變式練習(xí)>>>2.已知：△ABC中，AB=AC，D為△ABC外一點，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．試判斷線段CD、BD與AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【解答】解：AB=BD+CD，理由是：延長CD到E，使DE=BD，連接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等邊三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例題3.如圖所示，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：DA平分∠CDE．【解答】解：連接AC，延長DE到F，使EF=BC，連接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．變式練習(xí)>>>3.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【解答】解：CN=MN+BM證明：在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND與△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．例題4.在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．（1）如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為AE=AB+DE；（直接寫出答案）（2）如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；（3）如圖（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，則線段AE長度的最大值是10+4．（直接寫出答案）．【解答】解：（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點F，使AF=AB，連結(jié)CF，在AE上取點G，使EG=ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等邊三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B關(guān)于AC的對稱點F，D關(guān)于EC的對稱點G，連接AF，F(xiàn)C，CG，EG，F(xiàn)G．∵C是BD邊的中點，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴當(dāng)A、F、G、E共線時AE的值最大2，最大值為10+4．故答案為：10+4．例題5.在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如圖1，直線l是BC的垂直平分線，請在圖1中畫出點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′C，A′B，A′C與AB交于點E；（2）將圖1中的直線A′B沿著EC方向平移，與直線EC交于點D，與直線BC交于點F，過點F作直線AB的垂線，垂足為點H．①如圖2，若點D在線段EC上，請猜想線段FH，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若點D在線段EC的延長線上，直接寫出線段FH，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖1：；（2）①DF+FH=CA，證明：如圖2，過點F作FG⊥CA于點G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，F(xiàn)G⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四邊形HFGA為矩形．∴FH=AG，F(xiàn)G∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直線l是BC的垂直平分線，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：過F作FH⊥BA于H，過點C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四邊形ACGH為矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直線l是BC的垂直平分線，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例題6.如圖1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC、于點N、E、M．（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點C時（如圖2），求證：BN=CD；（2）當(dāng)M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系．【解答】（1）證明：連接ND，如圖2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直線l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是線段NC的中垂線，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：當(dāng)M是BC中點時，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE，理由如下：過點C作CN'⊥AO交AB于N'，過點C作CG∥AB交直線l于點G，如圖3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M(jìn)是BC中點，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之間的等量關(guān)系：當(dāng)點M在線段BC上時，CD=BN+CE；理由如下：過點C作CN'⊥AO交AB于N'，如圖3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；當(dāng)點M在BC的延長線上時，CD=BN﹣CE；理由如下：過點C作CN'⊥AO交AB于N'，如圖4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；當(dāng)點M在CB的延長線上時，CD=CE﹣BN；理由如下：過點C作CN'⊥AO交AB于N'，如圖5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實1.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分線，且AC=AB+BD，求∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．2.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F，試探究線段AB與AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.3.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角∠NDM，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【解答】解：探究結(jié)論：BM+CN=NM．證明：延長AC至E，使CE=BM，連接DE，∵△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等邊三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已經(jīng)全等）在△DMN和△DEN中∵∴△DMN≌△DEN（SAS），∴BM+CN=NM．4.如圖，?ABCD中，E是BC邊的中點，連接AE，F(xiàn)為CD邊上一點，且滿足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度數(shù)；（2）求證：AF=CD+CF．【解答】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形內(nèi)角和定理）．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四邊形對邊平行且相等）．∴∠DFA=∠FAB=40°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；∵∠DFA=2∠BAE（已知），∴∠FAB=2∠BAE（等量代換）．即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．∴∠FAE=∠BAE；∴2∠FAE=40°，∴∠FAE=20°；（2）證明：在AF上截取AG=AB，連接EG，CG．∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E為BC中點，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．5.如圖所示，在正方形ABCD的邊CB的延長線上取點F，連結(jié)AF，在AF上取點G，使得AG=AD，連結(jié)DG，過點A作AE⊥AF，交DG于點E．（1）若正方形ABCD的邊長為4，且AB=2FB，求FG的長；（2）求證：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）證明：在BC上截取BM=AE，連接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，連接AC，BD交于點E．（1）若BC=CD=2，M為線段AC上一點，且AM：CM=1：2，連接BM，求點C到BM的距離．（2）證明：BC+CD=AC．【解答】解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得BM==．過點C作CF⊥BM于點F．∴．∴，∴CF=．即點C到BM的距離．（2）證明：延長BC到點F，使CF=CB，連接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等邊三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．7.如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，連接DP，過點B作BE⊥DP交DP的延長線于點E，連接AE，過點A作AF⊥AE交DP于點F，連接BF．（1）若AE=2，求EF的長；（2）求證：PF=EP+EB．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在Rt△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）過點A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF為等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵點P是AB的中點，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．中考數(shù)學(xué)幾何模型2：共頂點模型名師點睛撥開云霧開門見山共頂點模型，亦稱“手拉手模型”，是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合，兩個三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個三角形全等或者相似。尋找共頂點旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點（2）列出兩組相等的邊或者對應(yīng)成比例的邊（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可。兩等邊三角形兩等腰直角三角形兩任意等腰三角形*常見結(jié)論：連接BD、AE交于點F，連接CF，則有以下結(jié)論：典題探究啟迪思維探究重點例題1.以點A為頂點作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD、CE．（1）試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）延長BD交CE于點F試求∠BFC的度數(shù)；（3）把兩個等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．變式練習(xí)>>>1.已知：如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）求證：BD=AE．（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四邊形ABED的面積．例題2.如圖，等邊△ABC，等邊△ADE，等邊△DBF分別有公共頂點A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB內(nèi)，求證：CD與EF互相平分.變式練習(xí)>>>2.已如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點D，在AC上取點E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．例題3.在等邊△ABC與等邊△DCE中，B，C，E三點共線，連接BD，AE交于點F，連接CF.(1)如圖1，求證：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如圖2，若△ABC，△DCE為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則(1)的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出正確結(jié)論并證明.例題4.【問題探究】（1）如圖①已知銳角△ABC，分別以AB、AC為腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE，連接CD、BE，試猜想CD、BE的大小關(guān)系；（不必證明）【深入探究】（2）如圖②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，點D在邊BC上（不與B、C重合），連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為；（不必證明）線段AD2，BD2，CD2之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的長．例題5.如圖1，在△ABC中，BC=4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD=BD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如圖2，當(dāng)∠ABC=45°且α=90°時，用等式表示線段AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF．①若α=90°，依題意補(bǔ)全圖3，求線段AF的長；②請直接寫出線段AF的長（用含α的式子表示）．達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實1.如圖，在等邊△ABC與等邊△DCE中，B，C，E三點共線，BD交AC于點G，AE交DC于點H，連接GH.求證：GH∥BE.2.如圖，在正方形ABCD內(nèi)取一點E，連接AE，BE，在△ABE外分別以AE，BE為邊作正方形AEMN和EBFG，連接NC，AF，求證：NC∥AF.3.如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，連接AD，BE，求證：AB2+DE2=AD2+BE2.4.如圖，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC為腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，連接AD，求AD的長.5.【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，已知△ABC，以點A為直角頂點、AB為腰向△ABC外作等腰直角△ABE．請你以A為直角頂點、AC為腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接BD、CE．那BD與CE的數(shù)量關(guān)系是．【拓展探究】如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形AEFB和正方形ACGD，連接BD、CE，試判斷BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解決問題】如圖3，有一個四邊形場地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD的最大值．6.已知線段AB⊥直線l于點B，點D在直線l上，分別以AB、AD為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，直線CE交直線l于點F．（1）當(dāng)點F在線段BD上時，如圖①，求證：DF=CE﹣CF；（2）當(dāng)點F在線段BD的延長線上時，如圖②；當(dāng)點F在線段DB的延長線上時，如圖③，請分別寫出線段DF、CE、CF之間的數(shù)量關(guān)系，在圖②、圖③中選一個進(jìn)行證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若BD=2BF，EF=6，則CF=．中考數(shù)學(xué)幾何模型2：共頂點模型名師點睛撥開云霧開門見山共頂點模型，亦稱“手拉手模型”，是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合，兩個三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個三角形全等或者相似。尋找共頂點旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點（2）列出兩組相等的邊或者對應(yīng)成比例的邊（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可。兩等邊三角形兩等腰直角三角形兩任意等腰三角形*常見結(jié)論：連接BD、AE交于點F，連接CF，則有以下結(jié)論：典題探究啟迪思維探究重點例題1.以點A為頂點作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD、CE．（1）試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）延長BD交CE于點F試求∠BFC的度數(shù)；（3）把兩個等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC與△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC與△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．變式練習(xí)>>>1.已知：如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求證：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四邊形ABED的面積．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四邊形ABED＝10×10÷2＝50．例題2.如圖，等邊△ABC，等邊△ADE，等邊△DBF分別有公共頂點A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB內(nèi)，求證：CD與EF互相平分.變式練習(xí)>>>2.已如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點D，在AC上取點E，使得AD＝AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．【解答】解：連接BP，∵△ABC和△PCD都為等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三點共線，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三點共線，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等邊三角形，則P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．例題3.在等邊△ABC與等邊△DCE中，B，C，E三點共線，連接BD，AE交于點F,連接CF.(1)如圖1，求證：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如圖2，若△ABC，△DCE為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則(1)的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出正確結(jié)論并證明.例題4.【問題探究】（1）如圖①已知銳角△ABC，分別以AB、AC為腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE，連接CD、BE，試猜想CD、BE的大小關(guān)系CD＝BE；（不必證明）【深入探究】（2）如圖②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，點D在邊BC上（不與B、C重合），連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為BC＝CE+CD；（不必證明）線段AD2，BD2，CD2之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案為：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案為：BC＝CE+CD．例題5.如圖1，在△ABC中，BC＝4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD＝BD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如圖2，當(dāng)∠ABC＝45°且α＝90°時，用等式表示線段AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF．①若α＝90°，依題意補(bǔ)全圖3，求線段AF的長；②請直接寫出線段AF的長（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如圖1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖2，設(shè)DE與BC相交于點H，連接AE，交BC于點G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE與△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE與BC相交于點H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實1.如圖，在等邊△ABC與等邊△DCE中，B，C，E三點共線，BD交AC于點G，AE交DC于點H，連接GH.求證：GH∥BE.2.如圖，在正方形ABCD內(nèi)取一點E，連接AE，BE，在△ABE外分別以AE，BE為邊作正方形AEMN和EBF