專題11二次函數(shù)與角綜合問(wèn)題-挑戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘含答案

挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題11二次函數(shù)與角綜合問(wèn)題二次函數(shù)與角綜合問(wèn)題，常見(jiàn)的主要有三種類型：特殊角問(wèn)題：利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形2.角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題(1)等角問(wèn)題：借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)來(lái)解決；構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來(lái)解決(2)二倍角問(wèn)題：利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)稱、輔助圓等知識(shí)來(lái)解答(3)角的和差問(wèn)題3.角的最值問(wèn)題：利用輔助圓等知識(shí)來(lái)解答

【例1】(2021?蘭州)如圖1，二次函數(shù)y＝a(x+3)(x﹣4)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A，B(0，﹣2)，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)y＝a(x+3)(x﹣4)的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸分別交線段AB，拋物線于點(diǎn)Q，C，連接AC．當(dāng)OP＝1時(shí)，求△ACQ的面積；(3)如圖2，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD．①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②點(diǎn)E(2，﹣)在拋物線上，連接PE，當(dāng)PE平分∠BPD時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【例2】(2021?貴港)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A(﹣3，0)，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，2)，對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，連接AC．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若過(guò)點(diǎn)B的直線l與拋物線相交于另一點(diǎn)D，當(dāng)∠ABD＝∠BAC時(shí)，求直線l的表達(dá)式；(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，連接AD，此時(shí)在y軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使S△BDP＝S△ABD．請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【例3】(2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬)如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣3，0)、B，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上求點(diǎn)P，使S△BCP＝2S△BCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線y＝x+3交拋物線于第一象限的點(diǎn)M，若N是拋物線y＝x2+bx+c上一點(diǎn)，且∠MAN＝∠OCB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【例4】(2021?溧陽(yáng)市一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線l與該拋物線交于另一點(diǎn)D，并且直線l∥x軸，點(diǎn)P(m，y1)為該拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(m，y2)為直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)m＜0，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，連接AQ，BD，說(shuō)明：四邊形ABDQ是平行四邊形；(2)當(dāng)m＞0，連接AQ，線段AQ與線段OC交于點(diǎn)E，OE＜EC，且OE?EC＝2，連接PQ，求線段PQ的長(zhǎng)；(3)連接AC，PC，試探究：是否存在點(diǎn)P，使得∠PCQ與∠BAC互為余角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例5】(2020?十堰)已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)和C(0，3)，與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，E為線段BC上方的拋物線上一點(diǎn)，EF⊥BC，垂足為F，EM⊥x軸，垂足為M，交BC于點(diǎn)G．當(dāng)BG＝CF時(shí)，求△EFG的面積；(3)如圖2，AC與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例6】(2020?包頭)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=13x2﹣2x經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，該拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)(1)求b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)將直線AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線y＝mx+n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM﹣∠ACM＝45°；(3)點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，線段EF的延長(zhǎng)線與線段OM交于點(diǎn)G．當(dāng)∠BEF＝2∠BAO時(shí)，是否存在點(diǎn)E，使得3GF＝4EF？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題組一】1．(2021?海陵區(qū)一模)如圖，點(diǎn)C(0，)(a＜0)是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作直線，與拋物線y＝ax2交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，連接OA、OB，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m(m＜0)．(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4，﹣2)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若AC：BC＝1：2，m＝﹣1，求a的值，并證明：∠AOB＝90°；(3)若AC：BC＝1：k(k＞1)，問(wèn)“∠AOB＝90°”這一結(jié)論還成立嗎？試說(shuō)明理由．2．(2021?郫都區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，連接AC、BC．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)D是拋物線上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE，求△BCE面積的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)P是拋物線上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸上，∠PBQ＝∠OBC，是否存在這樣的點(diǎn)P、Q使BP＝BQ，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．(2021?新洲區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)若AB＝5，求拋物線的解析式；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和定點(diǎn)M的直線與該拋物線交于另一點(diǎn)D，且S△ACM＝S△ADM(“S”表示面積)．①求定點(diǎn)M的坐標(biāo)；②連接BD交y軸于點(diǎn)E，連接AE，若∠AEO＝∠BDC，求a的值．4．(2021?東港區(qū)校級(jí)二模)如圖，已知點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y＝ax2+bx+c上．(1)求拋物線解析式；(2)在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)P，求△PBC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M，使得BM﹣CM最大；(4)在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在．說(shuō)明理由．【題組二】5．(2021?鄭州模擬)如圖，已知直線BC的解析式為y＝﹣x+3，與x軸，y軸交于點(diǎn)B，C．拋物線y＝ax2+bx+3過(guò)A(﹣1，0)，B，C三點(diǎn)，D點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接BD，CD．(1)求二次函數(shù)及直線CD的解析式；(2)點(diǎn)P是線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，當(dāng)△BCP的面積為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD交直線CD于點(diǎn)G，當(dāng)∠CFG＝∠EDB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．6．(2021?寶安區(qū)模擬)如圖，二次函數(shù)y＝ax2+5ax+7與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，若OB：OC＝7：2．點(diǎn)P是拋物線第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接PC交y軸于點(diǎn)D，連接PB．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，△PBD的面積為S，求S與t的關(guān)系式；(3)如圖2，作PE⊥x軸于E，連接ED，點(diǎn)F為ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF交PE于點(diǎn)G，若2∠GAO+∠EDO＝90°，DF＝2EG，求P點(diǎn)坐標(biāo)．7．(2021?渭濱區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(﹣3，0)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，連接BC，BN，點(diǎn)H在x軸上，當(dāng)∠HCB＝∠NBC時(shí)，求滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)．8．(2021?山西模擬)綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，且與y軸交于點(diǎn)C．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限內(nèi)拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且m＜n，m+n＝4．分別過(guò)點(diǎn)M，N作x軸的垂線，分別交線段BC于點(diǎn)D，E．判斷四邊形MDEN的形狀，并求其周長(zhǎng)的最大值；(3)如圖2，在(2)的條件下，當(dāng)四邊形MDEN的周長(zhǎng)有最大值時(shí)，若x軸上有一點(diǎn)H(2m，0)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)F，試探究在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題組三】9．(2021?洪山區(qū)模擬)已知拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)A(﹣1，0)，且與x軸右側(cè)交于B點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，與y軸交于C點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P在拋物線上，且∠DCP＝∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線y＝kx+b(k≠b)交拋物線于M、N兩點(diǎn)，NH⊥x軸于點(diǎn)H，HQ∥MA，HQ與MN相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．10．(2021?寧波模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象過(guò)點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(﹣5，0)，(﹣2，3)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)C在拋物線上，若∠ABC＝90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，BC與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在拋物線上，若∠PBC＝∠OAD，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．(2021?吉安縣模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝2，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．其中A(1，0)、C(0，3)．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A重合)．①當(dāng)△PBC的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)∠PCB＝∠BCA時(shí)，求直線CP的解析式．12．(2021?江西模擬)如圖，拋物線y＝ax2+k(a＞0，k＜0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，其頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)，且PC＝OC．過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB，分別交拋物線于D，E兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè))，連接OD，DC．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(用含a，k的式子表示)(2)猜想線段DE與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)若∠ODC＝90°，k＝﹣4，求a的值．【題組四】13．(2020?碑林區(qū)校級(jí)二模)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接BD，CD．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)，該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．(2020?武漢模擬)拋物線y＝ax2+bx+c，頂點(diǎn)為P(h，k)．(1)如圖，若h＝1，k＝4，拋物線交x軸于A、B，交y軸正半軸于C，OC＝3．①求拋物線的解析式；②向下平移直線BC，交拋物線于MN，拋物線上是否存在一定點(diǎn)D，連DM，DN分別交x軸于E，F(xiàn)，使∠DEF＝∠DFE？若存在，求D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若c＝0，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y＝x2﹣x上且﹣1＜h≤2時(shí)，求a的取值范圍．15．(2020?西華縣一模)如圖，直線y=12x+c與x軸交于點(diǎn)B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACPB面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若M是拋物線上一點(diǎn)，且∠MCB＝∠ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．16．(2020?硚口區(qū)模擬)如圖1，該拋物線是由y＝x2平移后得到，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-32，-254)，并與坐標(biāo)軸分別交于A，(1)求A，B的坐標(biāo)．(2)如圖2，連接BC，AC，在第三象限的拋物線上有一點(diǎn)P，使∠PCA＝∠BCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖3，直線y＝ax+b(b＜0)與該拋物線分別交于P，G兩點(diǎn)，連接BP，BG分別交y軸于點(diǎn)D，E．若OD?OE＝3，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由．【題組五】17．(2020?深圳模擬)如圖，拋物線y=14x2+bx+c與直線y=-12x+3分別交于x軸，y軸上的B、C兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，連接CD(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)F，G是對(duì)稱軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且FG＝2，點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方，請(qǐng)求出四邊形ACFG的周長(zhǎng)的最小值；(3)連接BD，若P在y軸上，且∠PBC＝∠DBA+∠DCB，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．(2020?岱岳區(qū)二模)如圖，直線y=12x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接BC，CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，如圖1，△CDE，△BCE的面積分別為S1，S2，求S1(3)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，連接CD，如圖2，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的某個(gè)角等于∠BAC的兩倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．19.(2020?曾都區(qū)模擬)如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形的邊AB在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C，D在第三象限內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣5，0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C的拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為M．(1)求拋物線的解析式；(2)若y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'恰好落在直線MC上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接AC，AM，AN，請(qǐng)你探究在y軸左側(cè)的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q，使∠ANQ＝∠MAC？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．20．(2020?南崗區(qū)校級(jí)三模)如圖1，拋物線y=-14x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，CO＝BO(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在第一象限內(nèi)拋物線上，M在N點(diǎn)下方，連CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，求m與n的函數(shù)關(guān)系式(n是自變量)；(3)如圖3，在(2)條件下，連AN交CO于E，過(guò)M作MF⊥AB于F，連BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB＝2β，求N點(diǎn)坐標(biāo)．【題組六】21．(2020?武侯區(qū)校級(jí)模擬)如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，254)，與y軸交于點(diǎn)A．過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)C是第四象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)D(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，且AE＝AD，直線CE交拋物線y＝ax2+bx+4于點(diǎn)F．①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，連接OD、ED，當(dāng)∠ODE＝∠CDG時(shí)，求直線DG的函數(shù)表達(dá)式．22.(2020?濱?？h二模)如圖1，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，B(﹣2，0)，與y軸交于點(diǎn)C，線段BC的垂直平分線與對(duì)稱軸l交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)E．對(duì)稱軸l與x(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱軸；(2)求點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠EFP＝45°時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．23．(2020?無(wú)錫一模)如圖①，一次函數(shù)y=12x﹣2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，二次函數(shù)y=-12x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖②，若點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥x軸交AB于點(diǎn)D，PE∥y軸交AB于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；(3)如圖③，若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．24．(2020?吳江區(qū)三模)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(3，6)，并與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)A是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①所示，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，連接BP，AP，求△ABP的面積的最大值；(3)如圖②所示，在對(duì)稱軸AC的右側(cè)作∠ACD＝30°交拋物線于點(diǎn)D，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；并探究：在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠CQD＝60°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題11二次函數(shù)與角綜合問(wèn)題二次函數(shù)與角綜合問(wèn)題，常見(jiàn)的主要有三種類型：特殊角問(wèn)題：利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形2.角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題(1)等角問(wèn)題：借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)來(lái)解決；構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來(lái)解決(2)二倍角問(wèn)題：利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)稱、輔助圓等知識(shí)來(lái)解答(3)角的和差問(wèn)題3.角的最值問(wèn)題：利用輔助圓等知識(shí)來(lái)解答

【例1】(2021?蘭州)如圖1，二次函數(shù)y＝a(x+3)(x﹣4)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A，B(0，﹣2)，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)y＝a(x+3)(x﹣4)的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸分別交線段AB，拋物線于點(diǎn)Q，C，連接AC．當(dāng)OP＝1時(shí)，求△ACQ的面積；(3)如圖2，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD．①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②點(diǎn)E(2，﹣)在拋物線上，連接PE，當(dāng)PE平分∠BPD時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】(1)將B(0，﹣2)代入y＝a(x+3)(x﹣4)，即可求解；(2)先求直線AB的解析式為y＝x﹣2，則Q(1，﹣)，C(1，﹣2)，可求S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝；(3)①設(shè)P(t，0)，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線交于點(diǎn)N，可證明△PND≌△BOP(AAS)，則D(t+2，﹣t)，將D點(diǎn)代入拋物線解析式得﹣t＝(t+2+3)(t+2﹣4)，求德D(3，﹣1)或D(﹣8，10)；②分兩種情況討論：當(dāng)PE∥y軸時(shí)，∠OBP＝45°，則P(2，0)；當(dāng)PE不平行y軸時(shí)，過(guò)B點(diǎn)作BG⊥PB交PE于點(diǎn)G，過(guò)G點(diǎn)作FG⊥y軸，交于點(diǎn)F，可證明△BPO≌△GBF(AAS)，則E點(diǎn)與G點(diǎn)重合，求得P(﹣，0)．【解答】解：(1)將B(0，﹣2)代入y＝a(x+3)(x﹣4)，∴a＝，∴y＝(x+3)(x﹣4)＝x2﹣x﹣2；(2)令y＝0，則(x+3)(x﹣4)＝0，∴x＝﹣3或x＝4，∴A(4，0)，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，∵OP＝1，∴P(1，0)，∵PQ⊥x軸，∴Q(1，﹣)，C(1，﹣2)，∴AP＝3，∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；(3)①設(shè)P(t，0)，如圖2，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線交于點(diǎn)N，∵∠BPD＝90°，∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，∴∠NPD＝∠OBP，∵BP＝PD，∴△PND≌△BOP(AAS)，∴OP＝ND，BO＝PN，∴D(t+2，﹣t)，∴﹣t＝(t+2+3)(t+2﹣4)，解得t＝1或t＝﹣10，∴D(3，﹣1)或D(﹣8，10)；②如圖3，∵PE平分∠BPD，∴∠BPE＝∠EPD，∵∠BPD＝90°，∴∠BPE＝45°，當(dāng)PE∥y軸時(shí)，∠OBP＝45°，∴P(2，0)；如圖4，過(guò)B點(diǎn)作BG⊥PB交PE于點(diǎn)G，過(guò)G點(diǎn)作FG⊥y軸，交于點(diǎn)F，∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，∴∠PBF＝∠FGB，∵∠BPG＝45°，∴BP＝BG，∴△BPO≌△GBF(AAS)，∴BF＝OP，F(xiàn)G＝OB，∵OB＝2，∴FG＝2，∵E(2，﹣)∴E點(diǎn)與G點(diǎn)重合，∴PO＝BF＝2﹣＝，∴P(﹣，0)；綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)或(﹣，0)．【例2】(2021?貴港)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A(﹣3，0)，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，2)，對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，連接AC．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若過(guò)點(diǎn)B的直線l與拋物線相交于另一點(diǎn)D，當(dāng)∠ABD＝∠BAC時(shí)，求直線l的表達(dá)式；(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，連接AD，此時(shí)在y軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使S△BDP＝S△ABD．請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】(1)先根據(jù)對(duì)稱軸得出b＝2a，再由點(diǎn)C的坐標(biāo)求出c＝2，最后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解，即可得出結(jié)論；(2)分兩種情況，Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，先判斷出AE＝BE，進(jìn)而得出點(diǎn)E在直線x＝﹣1上，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，判斷出BD∥AC，即可得出結(jié)論；(3)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出△ABD的面積，得出△PBD的面積，設(shè)P(m，﹣m2﹣m+2)(m＜0)，過(guò)P作y軸的平行線交直線BD于F，得出F(m，m﹣)，進(jìn)而表示出PF，最后用面積建立方程求解，即可得出結(jié)論．【解答】解：(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，∴c＝2，∴拋物線的解析式為y＝ax2+2ax+2，∵點(diǎn)A(﹣3，0)在拋物線上，∴9a﹣6a+2＝0，∴a＝﹣，∴b＝2a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；(2)Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，如圖1，記BD與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)E，∵∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵直線x＝﹣1垂直平分AB，∴點(diǎn)E在直線x＝﹣1上，∵點(diǎn)A(﹣3，0)，C(0，2)，∴直線AC的解析式為y＝x+2，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝，∴點(diǎn)E(﹣1，)，∵點(diǎn)A(﹣3，0)點(diǎn)B關(guān)于x＝﹣1對(duì)稱，∴B(1，0)，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+，即直線l的解析式為y＝﹣x+；Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，如圖2，∵∠ABD＝∠BAC，∴BD∥AC，由Ⅰ知，直線AC的解析式為y＝x+2，∴直線BD的解析式為y＝x﹣，即直線l的解析式為y＝x﹣；綜上，直線l的解析式為y＝﹣x+或y＝x﹣；(3)由(2)知，直線BD的解析式為y＝x﹣①，∵拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2②，∴或，∴D(﹣4，﹣)，∴S△ABD＝AB?|yD|＝×4×＝，∵S△BDP＝S△ABD，∴S△BDP＝×＝10，∵點(diǎn)P在y軸左側(cè)的拋物線上，∴設(shè)P(m，﹣m2﹣m+2)(m＜0)，過(guò)P作y軸的平行線交直線BD于F，∴F(m，m﹣)，∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣(m﹣)|＝|m2+2m﹣|，∴S△BDP＝PF?(xB﹣xD)＝×|m2+2m﹣|×5＝10，∴m＝﹣5或m＝2(舍)或m＝﹣1或m＝﹣2，∴P(﹣5，﹣8)或(﹣1，)或(﹣2，2)．【例3】(2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬)如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣3，0)、B，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上求點(diǎn)P，使S△BCP＝2S△BCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線y＝x+3交拋物線于第一象限的點(diǎn)M，若N是拋物線y＝x2+bx+c上一點(diǎn)，且∠MAN＝∠OCB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】(1)直接將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到解析式中，解方程組，可以求得拋物線解析式；(2)由于B、C坐標(biāo)已知，且均在坐標(biāo)軸上，直接求出△BCO面積，從而求得△BCP面積為3，由于B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，過(guò)P作BC的平行線與拋物線相交，此平行線上任意一點(diǎn)與B和C兩點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積均等于3，所以我們找到此線與x軸交點(diǎn)M(此處也可以選擇與y軸交點(diǎn))，由△MBC面積為3，可以求得M點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線BC解析式，可以求得直線PM的解析式，聯(lián)立直線PM與拋物線解析式，即可解決；(3)利用△BCO，可以求得tan∠BCO，從而得到tan∠MAN，接聯(lián)立拋物線與直線y＝x+3，可以求得交點(diǎn)A、M坐標(biāo)，則N的位置可以分為在AM上方和AM下方，利用M為直角頂點(diǎn)，AM為直角邊，構(gòu)造一線三等角相似，從而求得直線AN的解析式，聯(lián)立AN與拋物線解析式，從而求得交點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：(1)將C(0，﹣3)代入到拋物線解析式中得，c＝﹣3，將B(﹣3，0)代入到拋物線解析式中得，9﹣3b﹣3＝0，∴b＝2，∴拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3；(2)令y＝0，則x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴B(1，0)，∴，∵S△BCP＝2S△BCO，∴S△BCP＝3，如圖1，過(guò)P作PM∥BC交x軸于M，連接MC，則S△MBC＝S△BCP＝3，∴，∴MB＝2，∴M(﹣1，0)，設(shè)直線BC為y＝k1x﹣3，代入點(diǎn)B(1，0)得，k1＝3，∴直線BC為：y＝3x﹣3，則直線PM設(shè)為：y＝3x+b，代入點(diǎn)M(﹣1，0)得，b＝3，∴直線PM為：y＝3x+3，聯(lián)立，解得，，∴P(3，12)或(﹣2，﹣3)；(3)∵直線y＝x+3交拋物線于第一象限的點(diǎn)M，∴聯(lián)立，解得，，∴A(﹣3，0)，M(2，5)，在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，∴，①如圖2，當(dāng)N在AM下方時(shí)，過(guò)A作y軸平行線，過(guò)M作x軸平行線，兩線交于點(diǎn)G過(guò)M作MQ⊥AM交AN于Q，過(guò)Q作y軸平行線交GM于H，∴∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴∠AMG+∠GAM＝90°，又AM⊥MQ，∴∠AMQ＝90°，∴∠AMG+∠HMQ＝90°，∴∠GAM＝∠HMQ，又∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴△AGM∽△MHQ，∴＝，∵A(﹣3，0)，M(2，5)，∴AG＝5，GM＝5，∴MH＝HQ＝，∴Q()，設(shè)直線AQ為：y＝k2(x+3)，代入點(diǎn)Q，得，∴直線AQ為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，2x2+3x﹣9＝0，解得x＝或﹣3，當(dāng)x＝時(shí)，y＝，∴N()，②當(dāng)N在AM上方時(shí)，同理可得，N(3，12)，∴N()或(3，12)．【例4】(2021?溧陽(yáng)市一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線l與該拋物線交于另一點(diǎn)D，并且直線l∥x軸，點(diǎn)P(m，y1)為該拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(m，y2)為直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)m＜0，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，連接AQ，BD，說(shuō)明：四邊形ABDQ是平行四邊形；(2)當(dāng)m＞0，連接AQ，線段AQ與線段OC交于點(diǎn)E，OE＜EC，且OE?EC＝2，連接PQ，求線段PQ的長(zhǎng)；(3)連接AC，PC，試探究：是否存在點(diǎn)P，使得∠PCQ與∠BAC互為余角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)求出點(diǎn)D(3，﹣3)，求出CQ＝2，DQ＝5，則AB＝DQ，由平行四邊形的判定可得出答案；(2)證明△AOE∽△QCE，得出，求出QC＝2，則可得出答案；(3)分兩種不同的情況：①當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在直線l下方時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)得出tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，列出方程求出答案即可．【解答】解：(1)證明：當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A(﹣1，0)，B(4，0)，∴AB＝5．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C(0，﹣3)．∵直線l∥x軸，∴直線l的解析式為y＝﹣3．∴x﹣3＝﹣3，解得x3＝0，x4＝3，∴D(3，﹣3)，∴CD＝3．∵點(diǎn)Q(m，y2)在直線l上，∴y2＝﹣3．∵y1＝﹣，∴y1＝，∵m＜0，點(diǎn)P(m，y1)在該拋物線上，∴，解得m＝﹣2或m＝5(舍去)．∵直線l∥x軸，∴CQ＝2，∴DQ＝5，∴AB＝DQ，AB∥DQ，∴四邊形ABDQ是平行四邊形．(2)∵P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是m，∴直線l∥x軸，∴PQ＝|y1﹣y2|＝|m|，設(shè)OE＝n，則EC＝3﹣n，∴n(3﹣n)＝2，解得n＝1或n＝2．∵OE＜EC，∴OE＝1，EC＝2．∵直線l∥x軸，∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，∴△AOE∽△QCE，∴，∴QC＝2，∵m＞0，∴m＝2，∴PQ＝；(3)存在．假設(shè)存在點(diǎn)P，使得∠PCQ與∠BAC互為余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．∵∠BAC+∠ACO＝90°，∴∠PCQ＝∠ACO．∵OA＝1，OC＝3，∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，連接PQ．∵直線l∥x軸，直線PQ∥y軸，∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．∴tan∠PCQ＝，①當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方時(shí)，PQ＝y(tǒng)1﹣y2＝m，(i)若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則m＜0，∴QC＝﹣m．∴m＝×(﹣m)，解得m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．(ii)若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，則m＞0，∴QC＝m．∴m＝m，解得m3＝0(舍去)，m4＝．∴y1﹣y2＝，∴y1＝﹣，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在直線l下方時(shí)，m＞0，∴QC＝m，PQ＝y(tǒng)2﹣y1＝﹣m，∴﹣m＝m，解得m5＝0(舍去)，m6＝，∴y2﹣y1＝，∴y1＝﹣，∴．綜上，存在點(diǎn)，，使得∠PCQ與∠BAC互為余角．【例5】(2020?十堰)已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)和C(0，3)，與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，E為線段BC上方的拋物線上一點(diǎn)，EF⊥BC，垂足為F，EM⊥x軸，垂足為M，交BC于點(diǎn)G．當(dāng)BG＝CF時(shí)，求△EFG的面積；(3)如圖2，AC與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)先求出BC的解析式y(tǒng)＝﹣x+3，再設(shè)直線EF的解析式為y＝x+b，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，﹣m2+2m+3)，聯(lián)立方程求出點(diǎn)F，G的坐標(biāo)，根據(jù)BG2＝CF2列出關(guān)于m的方程并求解，然后求得G的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求解即可；(3)過(guò)點(diǎn)A作AN⊥HB，先求得直線BD，AN的解析式，得到H，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到∠H＝45°，設(shè)點(diǎn)P(n，﹣n2+2n+3)，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS＝PR，證明△OPS∽△OBP，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到關(guān)于n的方程，求解后即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】(1)把點(diǎn)A(﹣1，0)，C(0，3)代入y＝ax2﹣2ax+c中，a+2a+c=0c=3解得a=-1c=3∴y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x=-b2a=1∴D(1，4)；(2)如圖1，∵拋物線y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，∴x＝﹣1，或x＝3，∴B(3，0)．設(shè)BC的解析式為y＝kx+b(k≠0)，將點(diǎn)C(0，3)，B(3，0)代入，得b=33k+b=0解得k=-1b=3∴y＝﹣x+3．∵EF⊥CB．設(shè)直線EF的解析式為y＝x+b，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，﹣m2+2m+3)，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，∴y＝x﹣m2+m+3，聯(lián)立得y=-x+3y=x-∴x=m∴F(m把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，∴G(m，﹣m+3)．∵BG＝CF．∴BG2＝CF2，即(m-3)解得m＝2或m＝﹣3．∵點(diǎn)E是BC上方拋物線上的點(diǎn)，∴m＝﹣3，(舍去)．∴點(diǎn)E(2，3)，F(xiàn)(1，2)，G(2，1)，EF=12+∴S△EFG(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥HB于N，∵點(diǎn)D(1，4)，B(3，0)，∴yDB＝﹣2x+6．∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)，∴yAC＝3x+3，聯(lián)立得y=x+3y=-2x+6∴x=3∴H(3設(shè)yAN=12∴y=12x+∴x=11∴N(11∴AN2=(∴AN＝HN．∴∠H＝45°．設(shè)點(diǎn)P(n，﹣n2+2n+3)．過(guò)點(diǎn)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS＝PR，∴∠RSP＝45°且點(diǎn)S的坐標(biāo)為(﹣n2+3n+3，0)．若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，∴△OPS∽△OBP．∴OPOB∴OP2＝OB?OS．∴n2+(n+1)2(n﹣3)2＝3?(﹣n2+3n+3)．∴n＝0或n=1±52∴P1(0，3)，P2(1+【例6】(2020?包頭)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=13x2﹣2x經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，該拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)(1)求b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)將直線AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線y＝mx+n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM﹣∠ACM＝45°；(3)點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，線段EF的延長(zhǎng)線與線段OM交于點(diǎn)G．當(dāng)∠BEF＝2∠BAO時(shí)，是否存在點(diǎn)E，使得3GF＝4EF？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可．(2)證明：如圖1中，設(shè)平移后的直線的解析式為y=-12x+n．把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入求出n，過(guò)點(diǎn)D(2，0)作DH⊥MC于H，則直線DH的解析式為y＝2x﹣4，構(gòu)建方程組求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，證明DH＝HM，推出∠(3)如圖2中，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥OA于H，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥OA于K．證明∠EFA＝∠BAO，由題意∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO=OBOA=36=12，推出tan∠GFH＝tan∠EFK=12，由GH∥EK，推出GFEF【解析】(1)解：對(duì)于拋物線y=13x2﹣2x，令y＝0，得到13x2解得x＝0或6，∴A(6，0)，∵直線y=-12x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴0＝﹣3+b，∴b＝3，∵y=13x2﹣2x=13(∴M(3，﹣3)．(2)證明：如圖1中，設(shè)平移后的直線的解析式y(tǒng)=-12x+∵平移后的直線經(jīng)過(guò)M(3，﹣3)，∴﹣3=-32∴n=-3∴平移后的直線的解析式為y=-12x過(guò)點(diǎn)D(2，0)作DH⊥MC于H，則直線DH的解析式為y＝2x﹣4，由y=2x-4y=-12∴H(1，﹣2)，∵D(2，0)，M(3，﹣3)，∴DH=22+1∴DH＝HM．∴∠DMC＝45°，∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．(3)解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥OA于H，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥OA于K．∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，∴∠EFA＝∠BAO，∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO=OB∴tan∠GFH＝tan∠EFK=1∵GH∥EK，∴GFEF=GHEK=43，設(shè)GH則OH＝HG＝4k，F(xiàn)H＝8k，F(xiàn)K＝AK＝6k，∴OF＝AF＝12k＝3，∴k=1∴OF＝3，F(xiàn)K＝AK=32，EK∴OK=9∴E(92，3【題組一】1．(2021?海陵區(qū)一模)如圖，點(diǎn)C(0，)(a＜0)是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作直線，與拋物線y＝ax2交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，連接OA、OB，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m(m＜0)．(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4，﹣2)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若AC：BC＝1：2，m＝﹣1，求a的值，并證明：∠AOB＝90°；(3)若AC：BC＝1：k(k＞1)，問(wèn)“∠AOB＝90°”這一結(jié)論還成立嗎？試說(shuō)明理由．【分析】(1)將A(﹣4，﹣2)代入拋物線y＝ax2中，求得a的值，則C點(diǎn)坐標(biāo)可得；(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，交y軸于G，則AG⊥y軸，由m＝﹣1，可得點(diǎn)A(﹣1，a)，則OD＝AG＝1，OG＝AD＝﹣a；利用△ACG∽△ABF，可得，求得OE＝GF＝2，則B(2，4a)，BE＝﹣4a，進(jìn)而可得BF＝BE﹣EF＝BE﹣OG＝﹣3a，因?yàn)辄c(diǎn)C(0，)，所以O(shè)C＝﹣，可得CG＝﹣+a，利用△ACG∽△ABF，可得，將CG，BF的值代入即可求得a的值；利用勾股定理的逆定理可證明：∠AOB＝90°．(3)“∠AOB＝90°”這一結(jié)論還成立；理由與(2)的過(guò)程相同．【解答】解：(1)將A(﹣4，﹣2)代入拋物線y＝ax2中得：16a＝﹣2．解得：a＝﹣．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)(0，﹣8)．(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，交y軸于G，則AG⊥y軸，如圖，∵m＝﹣1，∴A(﹣1，a)．∴OD＝AG＝1，OG＝AD＝EF＝﹣a．∵AC：BC＝1：2，∴AC：AB＝1：3．∵CG∥BF，∴△ACG∽△ABF．∴．∴AF＝3．∴GF＝AF﹣AG＝2．∴B(2，4a)．∴BE＝﹣4a，∴BF＝BE﹣EF＝﹣3a．∵C(0，)(a＜0)，∴OC＝﹣．∴CG＝OC﹣OG＝﹣+a．∵△ACG∽△ABF，∴．∴．解得：a＝．∵a＜0，∴a＝﹣．∵OA2＝AD2+OD2＝1+a2，BO2＝BE2+OE2＝4+16a2，∴OA2+OB2＝5+17a2＝13.5．又AB2＝AF2+BF2＝9+9a2＝13.5，∴OA2+OB2＝AB2．∴∠AOB＝90°．(3)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，交y軸于G，則AG⊥y軸，如圖，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m(m＜0)，∴A(m，am2)．∴OD＝AG＝﹣m，OG＝AD＝EF＝﹣am2．∵AC：BC＝1：k(k＞1)，∴AC：AB＝1：(k+1)．∵CG∥BF，∴△ACG∽△ABF．∴．∴AF＝﹣(1+k)m．∴OE＝GF＝AF﹣AG＝﹣km．∴B(﹣km，k2m2a)．∴BE＝﹣k2m2a，∴BF＝BE﹣EF＝﹣k2m2a+am2．∵C(0，)(a＜0)，∴OC＝﹣．∴CG＝OC﹣OG＝﹣+am2．∵△ACG∽△ABF，∴．∴．解得：．∵OA2＝AD2+OD2＝m2+a2m4，BO2＝BE2+OE2＝k2m2+k4m4a2，∴OA2+OB2＝＝．又AB2＝AF2+BF2＝(﹣km﹣m)2+(﹣k2m2a+am2)2＝k2m2+2km2+m2+k4m4a2﹣2k2m4a2+a2m4＝﹣2＝＝，∴OA2+OB2＝AB2．∴∠AOB＝90°．∴“∠AOB＝90°”這一結(jié)論還成立．2．(2021?郫都區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，連接AC、BC．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)D是拋物線上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE，求△BCE面積的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)P是拋物線上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸上，∠PBQ＝∠OBC，是否存在這樣的點(diǎn)P、Q使BP＝BQ，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)利用交點(diǎn)式設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x+1)(x﹣4)，將C(0，﹣3)代入，即可求出答案；(2)運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y＝x﹣3，過(guò)點(diǎn)E作EM∥y軸，交BC于M，設(shè)D(t，t2﹣t﹣3)，得出S△BCE＝EM?OB＝2(t2﹣t+)＝(t﹣2)2+，運(yùn)用二次函數(shù)求最值方法即可得出答案；(3)在BC上截取BE＝BO＝4，過(guò)點(diǎn)E作EG∥OC交x軸于G，作EF⊥BC交y軸于F，交拋物線于P，通過(guò)△BEG∽△BCO，得出EG＝，BG＝，進(jìn)而求得E(，﹣)，再利用△ECF∽△OCB，求出F(0，﹣)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式為y＝x﹣，進(jìn)而聯(lián)立方程組可求得答案．【解答】解：(1)∵拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)，∴設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x+1)(x﹣4)，將C(0，﹣3)代入，得：﹣4a＝﹣3，解得：a＝，∴y＝(x+1)(x﹣4)＝x2﹣x﹣3，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣3；(2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，∵B(4，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，過(guò)點(diǎn)E作EM∥y軸，交BC于M，設(shè)D(t，t2﹣t﹣3)，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴E(，t2﹣t﹣)，∴M(，)，∴EM＝t2﹣t﹣﹣＝t2﹣t+，∴S△BCE＝EM?OB＝2(t2﹣t+)＝(t﹣2)2+，∵＞0，∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△BCE取得最小值；(3)存在，P(，﹣)，Q(0，﹣)．如圖2，在BC上截取BE＝BO＝4，過(guò)點(diǎn)E作EG∥OC交x軸于G，作EF⊥BC交y軸于F，交拋物線于P，∵B(4，0)，C(0，﹣3)，∴OB＝4，OC＝3，CE＝BC﹣BE＝1，∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵EG∥OC，∴△BEG∽△BCO，∴＝＝，∴＝＝，∴EG＝，BG＝，∴OG＝OB﹣BG＝4﹣＝，∴E(，﹣)，∵EF⊥BC，∴∠CEF＝∠COB＝90°，∵∠ECF＝∠OCB，∴△ECF∽△OCB，∴＝，即＝，∴CF＝，OF＝OC﹣CF＝3﹣＝，∴F(0，﹣)，設(shè)直線EF的解析式為y＝k1x+n1，∵E(，﹣)，F(xiàn)(0，﹣)，∴，解得：，∴直線EF的解析式為y＝x﹣，聯(lián)立方程組，得：，解得：(舍去)，，∴P(，﹣)，在Rt△BPE中，PE＝＝，∵∠PBQ＝∠OBC，∴∠PBE+∠CBQ＝∠CBQ+∠QBO，∴∠PBE＝∠QBO，∵BE＝BO＝4，∠PEB＝∠QOB＝90°，∴△PEB≌△QOB(SAS)，∴BP＝BQ，OQ＝PE＝，∴Q(0，)，∴存在，P(，﹣)，Q(0，)．3．(2021?新洲區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)若AB＝5，求拋物線的解析式；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和定點(diǎn)M的直線與該拋物線交于另一點(diǎn)D，且S△ACM＝S△ADM(“S”表示面積)．①求定點(diǎn)M的坐標(biāo)；②連接BD交y軸于點(diǎn)E，連接AE，若∠AEO＝∠BDC，求a的值．【分析】(1)令y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a＝0，解得x＝a或﹣2，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(﹣2,0)、(a，0)，則AB＝a﹣(﹣2)＝5，即可求解；(2)①S△ACM＝S△ADM，則點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t，)，即可求解；②在△BEH中，由直線BD的表達(dá)式知，tan∠HBN＝2，則sin∠HBN＝，cos∠HBN＝，則BN＝BHcos∠HBN＝BH，HN＝BHsin∠HBN＝BH，則EN＝BE﹣NB＝a﹣BH，tan∠HEN＝＝＝tan∠AEO＝，BH＝，即可求解．【解答】解：(1)令y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a＝0，解得x＝a或﹣2，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(﹣2,0)、(a，0)，則AB＝a﹣(﹣2)＝5，解得：a＝3，則拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+6；(2)①∵S△ACM＝S△ADM，而上述兩個(gè)三角形的高相等，則CM＝DM，即點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2a)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t，﹣t2+(a﹣2)t+2a)，由中點(diǎn)公式得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t，)，設(shè)y＝＝﹣t2﹣t+a(t+2)，當(dāng)t＝﹣4時(shí)，y為定值﹣4，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣2，﹣4)；②由點(diǎn)M、C(0,2a)的坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式得：點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣4，﹣8﹣2a)，由B、D的坐標(biāo)得，直線BD的表達(dá)式為y＝2(x﹣a)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2(x﹣a)＝﹣2a，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，﹣2a)，則OE＝2a，則tan∠AEO＝＝；由點(diǎn)B、E的坐標(biāo)得，BE＝＝a，過(guò)點(diǎn)E作EH∥CD交x軸于點(diǎn)H，則∠HEB＝∠CDB，由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為：y＝(a+2)(x+2)，則直線EH的表達(dá)式為y＝(a+2)x﹣2a，令y＝(a+2)x﹣2a＝0，解得x＝，則點(diǎn)H(,0)，則BH＝a﹣＝，在△BEH中，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BD于點(diǎn)N，由直線BD的表達(dá)式知，tan∠HBN＝2，則sin∠HBN＝，cos∠HBN＝，則BN＝BHcos∠HBN＝BH，HN＝BHsin∠HBN＝BH，則EN＝BE﹣NB＝a﹣BH，tan∠HEN＝＝＝tan∠AEO＝，BH＝，解得a＝1±(舍去負(fù)值)，故a＝1+．4．(2021?東港區(qū)校級(jí)二模)如圖，已知點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y＝ax2+bx+c上．(1)求拋物線解析式；(2)在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)P，求△PBC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M，使得BM﹣CM最大；(4)在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在．說(shuō)明理由．【分析】(1)用待定系數(shù)法解拋物線解析式為：y＝﹣；(2)連接PO，作△POB的高PE，△CPO的高PD，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，﹣+1)，用m的代數(shù)式表示出S△PBC＝S△PCO+S△PBO﹣S△CBO＝+﹣＝﹣＝﹣，即可求解；(3)由拋物線的解析式得，對(duì)稱軸為直線x＝1，作點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)C′，則MC＝MC′，在△MC′B中，BM﹣CM＜BC′，當(dāng)M，C′，B三點(diǎn)共線時(shí)，BM﹣CM＝BC′，此BM﹣CM最小，由B(3，0)和點(diǎn)C′(2，1)求直線BC的關(guān)系式為：y＝﹣x+3，即可求解；(4)存在一點(diǎn)Q，使∠BQC＝∠BAC，理由：作△ABC的外接圓⊙D，交直線x＝1于點(diǎn)Q，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等，得∠BQC＝∠BAC，理由K型全等即可求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求解．【解答】解：(1)把點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)代入拋物線y＝ax2+bx+c，得，，解得，，∴拋物線解析式為：y＝﹣；(2)連接PO，作△POB的高PE，△CPO的高PD，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，﹣+1)，S△PBC＝S△PCO+S△PBO﹣S△CBO＝+﹣＝﹣＝﹣當(dāng)m＝時(shí)，△PBC面積的最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)；(3)由拋物線的解析式得，對(duì)稱軸為直線x＝1，作點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)C′，則MC＝MC′，∴點(diǎn)C′坐標(biāo)為(2，1)在△MC′B中，BM﹣CM＜BC′，當(dāng)M，C′，B三點(diǎn)共線時(shí)，BM﹣CM＝BC′，此BM﹣CM最小，設(shè)BC′的函數(shù)解析式為：y＝kx+n，把B(3，0)和點(diǎn)C′(2，1)代入得，，解得，，∴直線bc′的關(guān)系式為：y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，∴BM﹣CM最大時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，2)；(4)存在一點(diǎn)Q，使∠BQC＝∠BAC，理由：作△ABC的外接圓⊙D，交直線x＝1于點(diǎn)Q，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等，得∠BQC＝∠BAC，∵AB的垂直平分線是直線x＝1，∴圓心在直線x＝1上，在Rt△CAO中，AO＝CO，∴∠CAO＝45°，∴∠CDB＝90°，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DQ于點(diǎn)F，易證△CFD≌△DHB(AAS)，∴CF＝DH＝1，∴半徑CD＝＝，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1，﹣1﹣)．【題組二】5．(2021?鄭州模擬)如圖，已知直線BC的解析式為y＝﹣x+3，與x軸，y軸交于點(diǎn)B，C．拋物線y＝ax2+bx+3過(guò)A(﹣1，0)，B，C三點(diǎn)，D點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接BD，CD．(1)求二次函數(shù)及直線CD的解析式；(2)點(diǎn)P是線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，當(dāng)△BCP的面積為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD交直線CD于點(diǎn)G，當(dāng)∠CFG＝∠EDB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)由△BCP的面積＝PH(xB﹣xC)＝×2m(3﹣0)＝，即可求解；(3)分類討論，畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法，由三角形相似求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：(1)對(duì)于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝3，令x＝0，則y＝3，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(0，3)、(3，0)，由題意把點(diǎn)A(﹣1，0)、B(3，0)代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴此拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；(2)由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)，由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為y＝x+3，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m+3)，則點(diǎn)H(m，﹣m+3)，則PH＝2m，則△BCP的面積＝PH(xB﹣xC)＝×2m(3﹣0)＝，解得m＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；(3)∵拋物線y＝﹣(x﹣3)(x+1)＝﹣x2+2x+3與與y軸交于點(diǎn)C，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，頂點(diǎn)(1，4)，E(1，0)∴tan∠BDE＝＝．①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)．(I)當(dāng)點(diǎn)G在射線CD上時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)G作y軸的垂線，垂足為R，過(guò)點(diǎn)F作GR的垂線，垂足為H，則△CGR，△FGH均為等腰直角三角形．∵∠CFG＝∠BDE，∴tan∠CFG＝tan∠BDE＝＝．∴△CGR，△FGH相似比為1：2設(shè)CR＝a，則RG＝a，F(xiàn)H＝GH＝2a，∴F(3a，3+a﹣2a)，即F(3a，3﹣a)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：﹣(3a)2+2×3a+3＝3﹣a，解得：a＝0(舍去)或a＝；此時(shí)F(，)．(II)若點(diǎn)G在射線DC上，如圖3，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線l，分別過(guò)點(diǎn)F、C作RG的垂線，垂足為H、R，則△CGR，△FGH均為等腰直角三角形，∵∠CFG＝∠BDE，∴tan∠CFG＝tan∠BDE＝＝，∴△CGR與△FGH相似比為1：2設(shè)CN＝a，則GR＝a，GH＝2a，∴F(a，3﹣a﹣2a)，即F(a，3﹣3a)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：﹣a2+2a+3＝3﹣3a，解得：a＝0(舍去)或a＝5，此時(shí)F(5，﹣12)②當(dāng)點(diǎn)F在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)．∵∠CFG＝∠BDE＜45°，∴∠FCG＞45°，∵拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCG＜45°，∴點(diǎn)F不存在．綜上可知，F(xiàn)(，)或(5，﹣12)．6．(2021?寶安區(qū)模擬)如圖，二次函數(shù)y＝ax2+5ax+7與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，若OB：OC＝7：2．點(diǎn)P是拋物線第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接PC交y軸于點(diǎn)D，連接PB．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，△PBD的面積為S，求S與t的關(guān)系式；(3)如圖2，作PE⊥x軸于E，連接ED，點(diǎn)F為ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF交PE于點(diǎn)G，若2∠GAO+∠EDO＝90°，DF＝2EG，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】(1)根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求a值確定函數(shù)解析式；(2)作PH⊥x軸于H，證△CDO∽△CPH，得線段比例關(guān)系，根據(jù)P點(diǎn)在拋物線上寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再用含有t的代數(shù)式計(jì)算OD的長(zhǎng)度，根據(jù)面積公式計(jì)算出S的函數(shù)解析式即可；(3)設(shè)EG＝y(tǒng)，則DF＝2y，延長(zhǎng)EA至K，使AK＝2y，證△AGE∽△KDO，得線段比例關(guān)系，分別用含t和y的代數(shù)式表示出各線段，再利用勾股定理列出t和y的另一關(guān)系式解方程組即可．【解答】解析：(1)∵B點(diǎn)是二次函數(shù)y＝ax2+5ax+7與y軸交點(diǎn)，∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝7，∴B(0，7)，OB＝7，∵OB：OC＝7：2，∴OC＝2，∴C(2，0)，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得4a+10a+7＝0，解得：a＝﹣，∴函數(shù)解析式為：；(2)如圖1，作PH⊥x軸于H，∵∠COD＝∠CHP＝90°，∠PCA＝∠PCA，∴△CDO∽△CPH，∴＝，∵P點(diǎn)在拋物線＝﹣(t+7)(t﹣2)上，∴P()，∵CH＝2﹣t，PH＝，∴＝，∴OD＝t+7，BD＝OB﹣OD＝7﹣(t+7)＝﹣t，∴S＝BD?OH＝(﹣t)(﹣t)＝t2；(3)∵∠EDO+∠DEO＝90°，∠EDO+2∠GAO＝90°，∴∠DEO＝2∠GAO，∴∠GAO＝∠GFE，∵A點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，∴A(﹣7，0)，∴AE＝EF＝7+t，∵OD＝7+t，即AE＝EF＝OD，設(shè)EG＝y(tǒng)，則DF＝2y，延長(zhǎng)EA至K，使AK＝2y，則EK＝DE，∴△AFE和△KED為同頂角的等腰三角形，∴∠FAE＝∠DKE，又∵∠GEA＝∠DOK＝90°，∴△AGE∽△KDO，∴＝，∴①在Rt△EDO中，OE2+OD2＝DE2，∴(﹣t)2+(7+t)2＝(2y+7+t)2，即t2＝4y(7+t)+4y2②，聯(lián)立①②得，t1＝0(舍去)，t2＝﹣4，∴P(﹣4，9)．7．(2021?渭濱區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(﹣3，0)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，連接BC，BN，點(diǎn)H在x軸上，當(dāng)∠HCB＝∠NBC時(shí)，求滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)．【分析】(1)利用待定系數(shù)法將A，B的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a和c，再運(yùn)用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖，連接CN，分兩種情況：①當(dāng)BN∥CH1時(shí)，∠H1CB＝∠NBC，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可求出答案，②當(dāng)∠H2CB＝∠NBC時(shí)，利用待定系數(shù)法求得直線BN解析式為y＝3x+9，設(shè)BN和CH2的交點(diǎn)M(m，3m+9)，由BM＝CM，即BM2＝CM2，建立方程求解得出M(﹣，)，再求出直線MC的解析式是：y＝x+3，即可得出H2(﹣9，0)．【解答】解：(1)把A(1，0)，B(﹣3，0)代入拋物線y＝ax2﹣2x+c中，得，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣y＝﹣(x+1)2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，4)；(2)如圖，連接CN，由對(duì)稱得：N(﹣2，3)，分以下兩種情況：①當(dāng)BN∥CH1時(shí)，∠H1CB＝∠NBC，∵CN∥AB，∴四邊形CNBH1是平行四邊形，∴H1(﹣1，0)；②當(dāng)∠H2CB＝∠NBC時(shí)，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，設(shè)直線BN解析式為y＝kx+b，∵B(﹣3，0)，N(﹣2，3)，∴，解得：，∴直線BN解析式為y＝3x+9，∴設(shè)BN和CH2的交點(diǎn)M(m，3m+9)，∵∠H2CB＝∠NBC，∴BM＝CM，即BM2＝CM2，∴(3m+9)2+(m+3)2＝m2+(3﹣3m﹣9)2，解得：，∴M(﹣，)，設(shè)直線MC的解析式為y＝mx+n，∵M(jìn)(﹣，)，C(0，3)，∴，解得：，∴直線MC的解析式是：y＝x+3，令y＝0，得x+3＝0，解得：x＝﹣9，∴H2(﹣9，0)；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)是(﹣1，0)或(﹣9，0)．8．(2021?山西模擬)綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，且與y軸交于點(diǎn)C．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限內(nèi)拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且m＜n，m+n＝4．分別過(guò)點(diǎn)M，N作x軸的垂線，分別交線段BC于點(diǎn)D，E．判斷四邊形MDEN的形狀，并求其周長(zhǎng)的最大值；(3)如圖2，在(2)的條件下，當(dāng)四邊形MDEN的周長(zhǎng)有最大值時(shí)，若x軸上有一點(diǎn)H(2m，0)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)F，試探究在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)令x＝0得出y的值，則點(diǎn)C坐標(biāo)可得；令y＝0，解方程可得A，B的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為0，結(jié)論可得；(2)求出直線BC的解析式，分別用m，n表示D，E的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示線段MD，NE的長(zhǎng)度，利用m+n＝4，將MD，NE都用m表示后可得MD＝NE，四邊形MDEN的形狀可得；過(guò)D作DF⊥NE，用勾股定理求得線段BC，利用△OBC∽△FED，求得線段DE的長(zhǎng)，利用四邊形MDEN為平行四邊形的結(jié)論可求它的周長(zhǎng)，將周長(zhǎng)的式子用配方法變形后，周長(zhǎng)的最大值可得；(3)依據(jù)題意畫(huà)出圖形，分點(diǎn)P在x軸的上方和P在x軸的下方兩種情形討論解答，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度；由已知∠APB＝2∠OCH，和拋物線的對(duì)稱性可得∠PBF＝∠OCH，利用三角形相似得出比例式，解由比例式得到的方程，結(jié)論可求．【解答】解：(1)令y＝0，則．解這個(gè)方程得：．∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，∴A(﹣，0)，B(4，0)．令x＝0，則y＝﹣3．∴C(0，﹣3)．(2)四邊形MDEN為平行四邊形．理由：∵若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限內(nèi)拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，由題意：．解得：．∴直線BC的解析式為y＝x﹣3．∵過(guò)點(diǎn)M，N作x軸的垂線，分別交線段BC于點(diǎn)D，E，∴D(m，)，E(n，n﹣3)．∴MD＝﹣(m2﹣﹣3)﹣(3﹣m)＝﹣m2+4m，EN＝﹣(n2﹣n﹣3)﹣(3﹣n)＝﹣n2+4n．∵m+n＝4，∴n＝4﹣m．∴EN＝﹣(4﹣m)2+4(4﹣m)＝﹣m2+4m．∴MD＝EN．∵過(guò)點(diǎn)M，N作x軸的垂線，分別交線段BC于點(diǎn)D，E，∴MD∥EN．∴四邊形MDEN為平行四邊形．過(guò)D作DF⊥NE于F，則DF＝n﹣m，如圖，∵B(4，0)，C(0，﹣3)．∴OB＝4，OC＝3．∴BC＝．∵DF∥OB．∴∠EDF＝∠OBC．∵∠COB＝∠DFE＝90°，∴△DFE∽△BOC．∴．∴．∴DE＝(n﹣m)＝(4﹣m﹣m)＝(2﹣m)．∴平行四邊形MDEN的周長(zhǎng)＝2MD+2DE＝2(﹣m2+4m)+2×(2﹣m)＝﹣2m2+3m+10．∵﹣2m2+3m+10＝﹣2，又﹣2＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，四邊形MDEN的周長(zhǎng)有最大值．(3)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝2∠OCH．由(2)可知H的坐標(biāo)為(，0)．∴OH＝．∵拋物線的解析式為y＝，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝．∴OF＝．∴BF＝OB﹣OF＝4﹣＝．分兩種情況解答：①當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，∠APB＝2∠OCH．如圖，∵由拋物線的對(duì)稱性可知∠APB＝2∠BPF，∴∠OCH＝∠BPF．∴tan∠OCH＝tan∠BPF．∵tan∠OCH＝，tan∠BPF＝，∴．∴PF＝2BF＝2×＝．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．綜上所述，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝2∠OCH，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()或()．【題組三】9．(2021?洪山區(qū)模擬)已知拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)A(﹣1，0)，且與x軸右側(cè)交于B點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，與y軸交于C點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P在拋物線上，且∠DCP＝∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線y＝kx+b(k≠b)交拋物線于M、N兩點(diǎn)，NH⊥x軸于點(diǎn)H，HQ∥MA，HQ與MN相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．【分析】(1)利用A(﹣1，0)，對(duì)稱軸為直線x＝1，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，將A，B的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系數(shù)法拋物線解析式可求；(2)根據(jù)題意確定點(diǎn)P的位置，分P在直線CD的上方和P在直線CD的下方兩種情形解答；過(guò)P作PE⊥CD于E，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段，根據(jù)∠DCP＝∠ACO，則得tan∠DCP＝tan∠ACO＝，可得．列出比例式，P點(diǎn)坐標(biāo)可求；(3)過(guò)M作MG⊥x軸于G，過(guò)Q作QT⊥x軸于T，分別設(shè)出M，N，Q的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段；將拋物線與直線解析式聯(lián)立，利用一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系得出M，N的橫坐標(biāo)的關(guān)系；利用△MGA∽△QTH，列出比例式，結(jié)論可求．【解答】解：(1)∵A(﹣1，0)，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．將A，B的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3．(2)①當(dāng)P在直線CD的上方時(shí)，過(guò)P作PE⊥CD于E，如圖1，∵A(﹣1，0)，∴OA＝1．令x＝0，則y＝﹣3．∴C(0，﹣3)．圖1﹣1∴OC＝3．設(shè)P(m，m2﹣2m﹣3)，m＞0，m2﹣2m﹣3＜0，∵CD∥x軸，PE⊥CD，∴CE＝m，PE＝3﹣(﹣m2+2m+3)＝m2﹣2m．∵tan∠ACO＝，∠DCP＝∠ACO，∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝．∴．∴．解得：m＝或m＝0(不合題意，舍去)．∴P()．②當(dāng)P在直線CD的下方時(shí)，過(guò)P作PE⊥CD于E，如圖1﹣1，設(shè)P(m，m2﹣2m﹣3)，m＞0，m2﹣2m﹣3＜0，∵CD∥x軸，PE⊥CD，∴CE＝m，PE＝(﹣m2+2m+3)﹣3＝﹣m2+2m．∵tan∠ACO＝，∠DCP＝∠ACO，∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝．∴．∴．解得：m＝或m＝0(不合題意，舍去)．∴P()．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()或()．(3)過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，過(guò)Q作QT⊥x軸于T，如圖，∵M(jìn)，N在直線y＝kx+b上，∴設(shè)M(e，ke+b)，N(f，kf+b)，其中，e＜0，f＞0，ke+b＞0．∵M(jìn)G⊥x軸，NH⊥x軸，∴OG＝﹣e，OH＝f，MG＝ke+b．∴AG＝OG﹣OA＝﹣e﹣1．由題意：．整理得：x2﹣(k+2)x﹣(3+b)＝0．∵e，f是方程x2﹣(k+2)x﹣(3+b)＝0的兩根，∴e+f＝k+2．ef＝﹣b﹣3．設(shè)Q(n，kn+b)，n＞0，kn+b＞0，∵QT⊥x軸，∴OT＝n，QT＝kn+b．∴HT＝OH﹣OT＝f﹣n．∵HQ∥MA，∴∠MAG＝∠QHT．∵∠MGA＝∠QTH＝90°，∴△MGA∽△QTH．∴．∴．即：．∴ken﹣kef+nb﹣bf＝ken+be+kn+b．∴﹣kef+nb﹣bf﹣be﹣kn﹣b＝0．∴﹣kef﹣b(e+f)﹣n(k﹣b)﹣b＝0．將e+f＝k+2．ef＝﹣b﹣3代入上式整理得：﹣k(﹣b﹣3)﹣b(k+2)﹣n(k﹣b)﹣b＝0．∴(k﹣b)(3﹣n)＝0．∵k≠b，∴3﹣n＝0．∴n＝3．∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3．10．(2021?寧波模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象過(guò)點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(﹣5，0)，(﹣2，3)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)C在拋物線上，若∠ABC＝90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，BC與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在拋物線上，若∠PBC＝∠OAD，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】(1)將A(﹣5，0)、B(﹣2，3)代入y＝ax2+bx+3，列方程組求a、b的值；(2)過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，可知直線BC與坐標(biāo)軸成45°角，根據(jù)這一特點(diǎn)求直線BC的解析式且與拋物線的解析式組成方程組，解方程組求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)當(dāng)BP在BC下方時(shí)，以AD為直徑作圓，可證明BP經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求PB的解析式且與拋物線的解析式組成方程組，解方程組求點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)BP在BC上方時(shí)，作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，作射線BH交拋物線于點(diǎn)P，則∠PBC＝∠GBO＝∠OAD，求直線PB的解析式且與拋物線的解析式組成方程組，解方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：(1)把A(﹣5，0)、B(﹣2，3)代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2x+3．(2)如圖1，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)BC交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)D，則∠AEB＝90°，E(﹣2，0)，∴AE＝﹣2﹣(﹣5)＝3＝BE，∴∠EBA＝∠EAB＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝∠ODG＝∠EGB＝45°，∴GE＝BE＝3，OG＝OD＝1，∴G(1，0)，D(0，1)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+1，則k+1＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+1．由，得，，∴C(5，﹣4)．(3)如圖2，以AD為直徑作⊙K，連接KB、KO，作射線BO交拋物線于點(diǎn)P．∵∠ABD＝∠AOD＝90°，KA＝KD，∴KB＝KO＝AD，∴點(diǎn)B、點(diǎn)O都在⊙K上，∴∠PBC＝∠OAD．設(shè)直線PB的解析式為y＝mx，則﹣2m＝3，解得m＝，∴y＝x．由，得，，∴P(，)；如圖3，作GH⊥x軸，使GH＝GO＝1，作射線BH交拋物線于點(diǎn)P，則∠AGH＝90°，H(1，1)．∵∠BGH＝∠BGO＝45°，GH＝GO，GB＝GB，∴△GBH≌△GBO(SAS)，∴∠PBC＝∠GBO＝∠OAD．設(shè)直線BP的解析式為y＝px+q，則，解得，∴y＝x+，由，解得，，∴P(，)．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)．11．(2021?吉安縣模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝2，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．其中A(1，0)、C(0，3)．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A重合)．①當(dāng)△PBC的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)∠PCB＝∠BCA時(shí)，求直線CP的解析式．【分析】(1)由拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)、C(0，3)且對(duì)稱軸為直線x＝2，列方程組求a、b、c的值；(2)①由△PBC與△ABC面積相等，可知點(diǎn)P到直線BC的距離等于點(diǎn)A到直線BC的距離，做點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)A′分別作BC的平行線，與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，求出直線AP、A′P的解析式并且與拋物線的解析式組成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②由①可得△A′BC≌△ABC，作直線CA′交拋物線于點(diǎn)P，這時(shí)∠PCB＝∠BCA，由直線CP經(jīng)過(guò)C、A′兩個(gè)已知點(diǎn)可求直線CP的解析式．【解答】解：(1)由題意，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3．(2)①如圖1，作點(diǎn)A′B⊥AB，使A′B＝AB，連結(jié)AA′交BC于點(diǎn)D．∵點(diǎn)B與點(diǎn)A(1，0)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝2對(duì)稱，∴B(3，0)，∴A′B＝AB＝3﹣1＝2，∴A′(3，2)．過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)A′分別作BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P1、P2、P3，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠ABD＝∠A′BD＝45°，∴BC⊥AA′，且A′D＝AD，∴△P1BC、△P2BC、△P3BC的面積都等于△ABC的面積．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，則3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+3；設(shè)直線AP1的解析式為y＝﹣x+d，則﹣1+d＝0，解得d＝1，∴y＝﹣x+1；設(shè)直線P2P3的解析式為y＝﹣x+m，則﹣3+m＝2，解得m＝5，∴y＝﹣x+5．由，得，，∴P1(2，﹣1)；由，得，，∴P2(，)，P3(，)．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為)(2，﹣1)或(，)或(，)．②由①，得A′(3，2)，作直線CA′交拋物線于點(diǎn)P．∵A′B＝AB，∠A′BC＝∠ABC＝45°，BC＝BC，∴△A′BC≌△ABC(SAS)，∴∠PCB＝∠BCA．設(shè)直線CP的解析式為y＝nx+3，則3n+3＝2，解得n＝，∴直線CP的解析式為y＝x+3．12．(2021?江西模擬)如圖，拋物線y＝ax2+k(a＞