正方形的性質(zhì)和判定

關(guān)于正方形的性質(zhì)和判定正方形第2頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天正方形矩形鄰邊相等的矩形想一想：正方形是怎樣的矩形？第3頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天菱形正方形一個(gè)角是直角的菱形想一想：正方形是怎樣的菱形？第4頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天⑴有一組鄰邊相等的平行四邊形（菱形）

⑵并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形（矩形）兩層含義正方形有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

1.正方形定義:第5頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、__________________的矩形叫做正方形?？焖俜磻?yīng)

有一組鄰邊相等的2、

的菱形是正方形。

有一個(gè)角是直角的3、

的平行四邊形是正方形。

有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的第6頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、正方形的性質(zhì)邊對(duì)角線對(duì)邊平行四邊相等對(duì)角線相等

互相垂直平分每條對(duì)角線平分一組對(duì)角四個(gè)角相等且都是直角角正方形性質(zhì)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。第7頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天

正方形的性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等且對(duì)邊平行。

正方形的性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。二、正方形的性質(zhì)三段論形式：∵四邊形ABCD是正方形∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°∴AB＝BC＝CD＝DA∴AD∥BC，AB∥CD∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO∴AC平分∠BAD和∠BCD∴BD平分∠ABD和∠ADCADBCO第8頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)稱軸第9頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考：1、平行四邊形、矩形、菱形、正方形分別有哪些性質(zhì)？這些性質(zhì)可以從哪幾個(gè)角度概括？平行四邊形矩形菱形對(duì)邊平行且相等

四條邊都相等對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相垂直對(duì)角線相等每條對(duì)角線平分一組對(duì)角性質(zhì)圖形有有有有有有有有有有有正方形有有有有有有有有有有有第10頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天請(qǐng)用這四種圖形填空A表示：B表示：C表示：D表示：平行四邊形矩形（菱形）菱形（矩形）正方形第11頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天第12頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角正方形、矩形、菱形及平行四邊形四者之間的關(guān)系第13頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、正方形的判定:1.定義法2.先判定是矩形,再判定是菱形，或先判定是菱形,再判定是矩形。第14頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天動(dòng)腦想一想①、對(duì)角線相等的菱形是正方形嗎？為什么？

②、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什么？③、對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什么？如果不是，應(yīng)該加上什么條件？④、能說(shuō)“四條邊都相等的四邊形是正方形嗎？”為什么？⑤、能說(shuō)“四個(gè)角都相等的四邊形是正方形嗎？”為什么？第15頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例題1:四邊形ABCD是正方形,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,(1)求∠AOB,∠OAB的度數(shù)。8解：∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD∠AOB=900

∠BAC=∠DAC∴∠OAB=450

ABCDOEF(2)若AC=4，則正方形邊長(zhǎng);正方形的面積是4㎝(3)正方形的面積64cm2，則對(duì)角線交點(diǎn)到正方形一邊的距離2√2第16頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2求證：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形。

已知：四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O

求證：⊿ABO、⊿BCO、⊿CDO、⊿DAO是全等的等腰直角三角形

證明：∵四邊形ABCD是正方形

ADBCO

由于正方形的面積等于⊿ABO面積的4倍，所以正方形的面積等于對(duì)角線的平方的一半。∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO﹙正方形的對(duì)角線相等，并且互相垂直平分﹚∴⊿ABO、⊿BCO、⊿CDO、⊿DAO

都是等腰直角三角形，并且⊿ABO≌⊿BCO≌⊿CDO≌⊿DAO第17頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天做一做現(xiàn)在請(qǐng)大家做一做這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開(kāi)，怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？第18頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天第19頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC＝2cm，∠ABC＝90°﹙正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等﹚練習(xí)

1、已知：正方形的一條邊長(zhǎng)為2cm，求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)和正方形的面積。ADBC∵邊長(zhǎng)AB＝2cm∴周長(zhǎng)C＝4AB＝8cm第20頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)

2、已知：正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4cm

解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°

﹙正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等﹚ADBC1、正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方。2、正方形的面積等于等于對(duì)角線的平方的一半。3、正方形的周長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)的4倍。

在Rt⊿ABC中，求:它的邊長(zhǎng)和面積。第21頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)3、已知：在正方形ABCD中，E、F分別在BC、DC

上，且BE＝DF，AC與BC相交于O點(diǎn)，EF

與AC相交于P點(diǎn)求證：EF⊥AC，EF∥BD

證明：∵四邊形ABCD是正方形∴BC＝CD

﹙正方形的四條邊都相等﹚∵BE＝DF∴EC＝FC∵AC平分∠BCD

﹙正方形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角﹚∴EF⊥AC∵AC⊥BD

（正方形的對(duì)角線互相垂直）∴EF∥BD

ABCDOPFE第22頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩形、正方形（2）

4、判斷。（1）正方形一定是矩形。（）（2）正方形一定是菱形。（）（3）菱形一定是正方形。（）（4）矩形一定是正方形。（）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四邊形。（）快速反應(yīng)

第23頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩形、正方形（2）

1、在下列性質(zhì)中，平行四邊形具有的是_______，矩形具有的是_________，菱形具有的是_______，正方形具有的是_______________。（1）四邊都相等；（2）對(duì)角線互相平分；（3）對(duì)角線相等；（4）對(duì)角線互相垂直；（5）四個(gè)角都是直角；（6）每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（7）對(duì)邊相等且平行；（8）有兩條對(duì)稱軸。自主學(xué)習(xí)

第24頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩形、正方形（2）

2、正方形兩條對(duì)角線的和為8cm，它的面積為_(kāi)___________.自主學(xué)習(xí)

第25頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩形、正方形（2）

3、如圖，點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，BE=CF.

（1）AE與BF相等嗎？為什么？（2）AE與BF是否垂直？說(shuō)明你的理由。自主學(xué)習(xí)

第26頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天嘗試練習(xí)：（1）已知：如圖，ABCD和AKLM都是正方形，求證：MD=KB。第27頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天嘗試練習(xí)：（2）如圖，正方形ABCD中，AC交BD于O，點(diǎn)M、N分別在AC、BD上，且OM=ON，求證：BM=CN。第28頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天

如何設(shè)計(jì)花壇？在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說(shuō)出三種）

請(qǐng)你當(dāng)設(shè)計(jì)師第29頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天應(yīng)用舉例：ABCDC/A/B/D/已知：如圖點(diǎn)A'、B'、C'、D'分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA'=BB'=CC'=DD'求證：四邊形A'B'C'D'是正方形①、由已知正方形證三角形全等；②、證得菱形；③、再證直角；④、是正方形證題思路分析上一頁(yè)第30頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1已知：如圖，在正方形ABCD中，A`A=B`B=C`C=D`D。求證：四邊形A`B`C`D`是正方形。

證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`∴四邊形A`B`C`D`是菱形

又∵∠AD`A`=∠BA`B`，∠AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90°∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四邊形A`B`C`D`是正方形。第31頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2已知：如圖，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分別是各內(nèi)角平分線，AF和BH交于E，CH和DF交于G。求證：四邊形EFGH是正方形A