湖南省長沙市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級上冊入學(xué)數(shù)學(xué)考試 含解析

長郡中學(xué)2023級高一入學(xué)檢測試卷

數(shù)學(xué)試題

時量：90分鐘滿分：100分

一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

選項是符合題目要求的.

1.已知”是舊的小數(shù)部分，則"（"+6）的值為（）

A.V13B.4C.4-V13D.3V13-16

【答案】B

【解析】

【分析】先確定舊的范圍，再表示出然后代入“（。+6）中計算即可

【詳解】因為也<屈<屈,即3<"耳<4，所以。=屈一3，

所以“（4+6）=（屈—3）（屈一3+6）=（屈『-32=4,

故選：B

2.如果不等式3X—的正整數(shù)解是1,2,3,4,那么根的取值范圍是（）

A.12<m<15B.12<m<15C.m<15D.m>12

【答案】A

【解析】

【分析】先解出不等式的解，然后利用正整數(shù)解列不等關(guān)系，求解即可.

【詳解】解不等式3X-mW0得xvg,當(dāng)/在大于等于4小于5的范圍之內(nèi)時，

不等式3%-機40的正整數(shù)解是1,2,3,4,所以44%<5,解得12W機<15.

3

故選：A

3.如果一個多邊形的內(nèi)角和是它外角和的4倍，那么這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式根據(jù)題意列方程求解即可

【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，

因為多邊形的內(nèi)角和是它外角和的4倍，

所以（〃-2>180°=4x360°,解得〃=10,

故選：D

4.如圖，在YA8CD中，NDW與/CH4的平分線相交于。C邊上的一點E,若AE=3,BE=2,

則YA8CD的面積為（）

【答案】B

【解析】

【分析】由平行四邊形性質(zhì)和角平角線的性質(zhì)可得則可求出.ABE的面積，從而可求出

YABCD的面積

【詳解】因為四邊形ABC。為平行四邊形，所以A￡>〃BC,

所以NZMB+NABC=180°,

因為ND43與/C84的平分線相交于0c邊上的一點E,

所以NEAB=-ZDAB,ZABE=-ZABC,

22

所以ZEAB+ZABE=；（NDAB+ZABC）=90°,

所以ZAEB=90。，所以SABE=gAE-5E=gx3x2=3,

所以YABC。的面積為2sA班：=2x3=6,

故選：B

5.若關(guān)于x的分式方程。+—=2根無解，則機的值為（）

x—22—x

A./w=l或wi=-B.m——C.m—\D.m=-\

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，結(jié)合分式的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】由題意可知：x72,

-------1-------=2m=>x-2m=2m（x-2）n（2m-l）x=2m,

JC22JC

當(dāng)2加一1=0時，即機=工時，方程(2加一l)x=2加無實根，符合題意；

當(dāng)2機一1。0時，即〃zw—時，(2根-l)x=2m=>x=------,

2'72m-l

要想方程無解，只需------=2=>/〃=1,

2m-l

故選：A

6.如圖，一個三級臺階，每一級的長、寬、高分別為20、3、2,A和8是這個臺階兩個相對的端點，點

A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是()

A20

R

A.15B.20C.25D.27

【答案】C

【解析】

【分析】先將已知圖形展開，三級臺階平面展開圖為長方形，長為2(),寬為(2+3)x3=15；再根據(jù)兩點之

間，線段最短可得螞蟻沿臺階面爬行到8點的最短路程是此長方形的對角線長，然后運用勾股定理可完成

解答.

【詳解】如圖所示：

三級臺階平面展開圖為長方形，長為20,寬為(2+3)*3=15,

則螞蚊沿臺階面爬行到8點的最短路程是此長方形的對角線長.

可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點的最短路程為x,

由勾股定理得：x2=202+6=252,

解得：x=25,

即螞蟻沿臺階面爬行到8點的最短路程為25.

故選：C

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=履+匕的圖象經(jīng)過正方形0ABe的頂點4和C,已知點A的

坐標(biāo)為（1,-2）,則k的值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】過點C作軸于點H,過點A作AGLy軸于點G,易證AG<9=OHC（AAS）,根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)，求出點C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】過點。作軸于點”，過點A作AGJ_y軸于點G,如圖所示：

ZHCO+ZHOC=90°,

ABCO是正方形，

:.OA^OC,ZCOA=90°，

:.Z.COH+ZAOG=9G)°,

:.ZAOG=ZHCO,

AGO=OHC(AAS),

:.HC=OG,HO=GA,

4L-2),

:.GA=\,OG=2,

C(2,l),

將A,C點坐標(biāo)代入丫=依+匕,

[k+b=-2

得《，

\2k+b=\

解得我=3,

故選：C

8.如圖，A8是半圓0的直徑，點C,。在半圓上，CD=DB，連接OC,CA,0D,過點B作

S2

EB上AB，交。。的延長線于點E.設(shè)4MC的面積為5,OBE的面積為邑，若￡"=可，則

tanZ4CO的值為（）

A.y/2B,C.-D.-

352

【答案】A

【解析】

S2

【分析】過點。作C”_LAO于點"，根據(jù)8=8。，可得NCOD=NBOE=NCAO,再由U=W

DA3

「HAH2C'l-J

得——=——=-,設(shè)A〃=2求出S,再由tan/A=J可得答案.

BEOB3AH

【詳解】如圖，過點C作C”,AO于點〃，CD=BD，：/COD=NBOE,

:.NCOA=TI-2NCOD,

而AOCA=ZOAC,NCOA=兀-2ZCAO,

/.NCOD=ZBOE=ZCAO,

$_2-OACH2cH2

寸…兀嬴T3”二『

2

ZA=ZBOE,tanZA=tan/BOE,—

AHOB

CHAH2

即Hn——==-，

BEOB3

設(shè)AH=2,則BO=3=AO=CO,:.OH=3—2=1,

:.CH=79^1=26r.tan/A=空=拽^=正，

AH2

OA—OCy二.NA=/ACO,「.tan/ACO=>/2.

故選：A.

AHOB

二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分.

9.設(shè)點P(x,y)在第二象限內(nèi)，且國=3,例=2,則點尸關(guān)于原點對稱點為.

【答案】(3,-2)

【解析】

【分析】根據(jù)已知求出點尸的坐標(biāo)即得解.

【詳解】因為國=3,|y|=2,所以x=±3,y=±2.

又因為點P(x,y)在第二象限內(nèi)，所以x=-3,y=2.

所以點P(x,y)坐標(biāo)為尸(―3,2).

所以點尸關(guān)于原點的對稱點為(3,-2).

故答案為：(3,-2)

2x+y=3。

10.關(guān)于的二元一次方程組《二八的解是二元一次方程x+3y=24的一個解，則。=

x-2y=9a

【答案】-4

【解析】

【分析】先解方程組，得到用“表示羽》的式子，再代入x+3y=24解出。的值即可.

2x+y=3a?__

【詳解】\z①x2+②得5x=15a,解得x=3a,

x-2y=9。②

再將x=3a代入①得y=-3a,

將(3a,-3。)代入x+3y=24得3a+3x(-3a)=24,解得a=-4,

故答案為：-4

11.二維碼的圖案主要由黑、白兩種小正方形組成.現(xiàn)對由4個小正方形組成的“卜H”進行涂色，每個

小正方形隨機涂成黑色或白色，則恰好涂成兩個黑色和兩個白色的概率為.

3

【答案】-##0.375

O

【解析】

【分析】利用列舉法計算古典概型即可.

【詳解】把小正方形依次為標(biāo)記4、B、C、。四個區(qū)域，則每個區(qū)域都有兩種顏色可涂，共

2x2x2x2=16種涂色方法，而涂黑色的區(qū)域有4B,AC,AD,BC,BD,CD,共6種可能，即恰好涂

成兩黑兩白的概率為二=1.

168

、3

故答案為：—

O

12.如圖，地。是邊長為6的等邊三角形，點E為高8。上的動點.連接CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

60。得到CE連接A凡EF,DF,則_8產(chǎn)周長的最小值是.

【解析】

【分析】由已知條件可得二CBE三VCAF(SAS),則得ZCAF=/CBE=30，作點。關(guān)于川的對

稱點C',連接。C,設(shè)CC交A尸于點。，則當(dāng)。，凡C'三點共線時，取得最小值，再結(jié)合

已知條件可求出二CDF周長的最小值

將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到CF，且叢8C是邊長為6的等邊三角形，

:.CE=CF,ZECF=ZBCA=60,6C=AC,:.NBCE=NACF,

.《BE合C4F(SAS),ZCAF=ZCBE=30,

???點產(chǎn)在射線A尸上運動，

如圖，作點C關(guān)于”的對稱點C',連接。C',

設(shè)CC交■于點。，則NAOC=90,

在Rt_AOC中，ZCAO=30>則CO=」AC=3,

2

則當(dāng)D,F,C'三點共線時，取得最小值，

即FC+FD=F'C'+F'D=C'D,

CC=AC=6,ZACO=NCCD,CO=CD,

:.^ACO=^CCD(SAS),ZC'DC=ZAOC=90,

在qC'DC中，C'D=VCC2-CO2=V62-32=373>

：._CDF周長的最小值為CD+FC+FD^CD+C'D^3+343-

故答案為：3+30.

三、解答題：本題共4小題，共52分.應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

13.如圖，AB是。。的直徑，C,。是。O上兩點，點C是80的中點，過點C作AO的垂線，分別交

A8與力。的延長線于點E和點F.

(yA

BD

E

（1）求證：E尸是。0的切線；

（2）若AE=6,CE=2百，求AC的長.

【答案】（1）證明見解析

4

（2）-71

3

【解析】

【分析】（I）連接OC8O,則OCJ.BO,BDLAD，再結(jié)合已知可得從而得

OCLEF,進而可得結(jié)論，

（2）設(shè)OC=r,在△OCE中利用勾股定理可求出廠，則可求出NEOC=60，所以NAOC=120，

然后利用弧長公式可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

連接0C,8￡>,

EF±AD,：.BD//EF,：.OC±EF,：.EF是［O的切線.

【小問2詳解】

設(shè)OC=r,則OE=AE-OA=6—r,OC1EF,EC=273,

.?.產(chǎn)+(2百了=(6-r)2,解得r=2，

OC21

在RtOCE中，coszi<EOC=----,

OE42

.?./EOC=60,ZAOC=120.

120xnx24

AC的長二-----------------——71

1803

14.為了了解學(xué)生關(guān)注熱點新聞的情況，"兩會''期間，小明對班級同學(xué)一周內(nèi)收看“兩會”新聞的次數(shù)情況

作「調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如圖所示（其中男生收看3次的人數(shù)沒有標(biāo)出）.

（1）該班級女生人數(shù)是,女生收看“兩會”新聞次數(shù)的中位數(shù)是;

（2）對于某個群體，我們把一周內(nèi)收看某熱點新聞次數(shù)不低于3次的人數(shù)占其所在群體總?cè)藬?shù)的百分比

叫做該群體對某熱點新聞的“關(guān)注指數(shù)”.如果該班級男生對“兩會”新聞的“關(guān)注指數(shù)”比女生低5%,試求該

班級男生人數(shù)；

（3）為進一步分析該班級男、女生收看“兩會”新聞次數(shù)的特點，小明給出了男生的部分統(tǒng)計量（如表）.

統(tǒng)計量平均數(shù)（次）中位數(shù)（次）眾數(shù)（次）方差L

該班級男生3342L

根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識，適當(dāng)計算女生的有關(guān)統(tǒng)計量，進而比較該班級男、女生收看“兩會”新聞次數(shù)的

波動幅度大小.

【答案】（D女生人數(shù)是20,中位數(shù)是3

（2）男生人數(shù)為25人

（3）男生比女生的波動幅度大

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題目數(shù)據(jù)及中位數(shù)的定義直接計算即可；

（2）先求出女生對“兩會”新聞的"關(guān)注指數(shù)”，即可得男生對“兩會”新聞的“關(guān)注指數(shù)”，列方程解答即可;

（3）利用方差公式求解女生收看“兩會”新聞次數(shù)的方差，即可比較大小.

【小問1詳解】

該班級女生人數(shù)是2+5+6+5+2=20,女生收看“兩會”新聞次數(shù)的中位數(shù)是3.

【小問2詳解】

13

由題意：該班女生對“兩會”新聞的“關(guān)注指數(shù)”為——=65%,

20

所以男生對“兩會”新聞的“關(guān)注指數(shù)''為60%.

設(shè)該班的男生有x人，則.一（1+3+6）=60%,解得尤=25.

X

【小問3詳解】

該班級女生收看“兩會”新聞次數(shù)的平均數(shù)為=3,

20

女生收看“兩會”新聞次數(shù)的方差為

2X(3-1)2+5X(3-2)2+6X(3-3)2+5X(3-4)2+2X(3-5)2_13

-^6-10'

13

因為男、女生收看“兩會”新聞次數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù)都相等，而方差2＞主，

10

所以男生比女生的波動幅度大.

15.如圖，矩形AOC。中，AO=6,4)=3,點H在線段OC上，將△AO4沿直線折疊得到

YAPH.

(1)當(dāng)AP經(jīng)過CQ的中點N時，求點P的坐標(biāo)；

(2)在(1)的條件下，已知二次函數(shù)yn-Y+Zu+c的圖象經(jīng)過A,。兩點.若將直線A”右側(cè)的拋物

線沿AH對折，交y軸于點M,請求出AA/的長度.

【答案】(1)P卜夜,6-3五)

⑵40

【解析】

【分析】(1)過點P作川〃CD,交x軸于點/,交A￡＞的延長線于點T，則四邊形

A"O是矩形，可得AATPRP是等腰直角三角形，再由折疊的性質(zhì)可得答案，

(2)設(shè)AP與拋物線y=—》2+法+。的交點為點M',連接MM',則40=40，由已知可得

A(0,6),D(3,6),代入二次函數(shù)解析式中可求出Ac,過點M'作M及，y軸于點R，則得

AR=M'R，設(shè)點M'(a,-〃+3a+6),然后列方程可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

過點P作/V〃8,交x軸于點/,交AO的延長線于點T，如圖所示：

矩形A08中，AO=CD=6,AD=OC=3,ZOAD=ZADC=ZOCD=90,

則ZAPH=ZATP=ZHJP=90°,

ZAPT+ZHPJ=90°,ZAPT+ZPAT=90°，,ZHPJ=ZPAT,

ATPsPJH,四邊形是矩形，

AT=OJ,AO=TJ=6,

AP經(jīng)過CD的中點N,

AD=DN=3,NDAN=45,

:.AATP,..PJH是等腰直角三角形，

:.AT=PT,PJ=HJ,由折疊的性質(zhì)可得4O=AP=6,/OA"=/P4"=L/Q4P=22.5,

2

AT=PT=變AP=3五,PJ=HJ=6-3五，

2

AT=OJ=3五，P(3夜，6—3夜).

【小問2詳解】

設(shè)加＞與拋物線＞=一/+初(:+＜:的交點為點”，

連接MM'，根據(jù)折疊性質(zhì)可知點〃與點M'關(guān)于A”對稱，如圖所示：

由AO=6,=3可得點4(0,6),0(3,6),

（2）由二次函數(shù)解析求出AB,C三點的坐標(biāo)，則可求出直線BC的方程，設(shè)尸〃?,；機2-2根+3）,則

。（加，-gm+3）,然后表示出尸。，化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值，

（3）由題意可得MN〃x軸，然后分a〉0和a<0兩種情況分析討論即可

【小問1詳解】

11

299

y=—x_2x+q_]=_（X—Q）2-1（Q為常數(shù)，〃w0）,

aa

「?函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（。,一1）.

【小問2詳解】

1

當(dāng)々=4時，y=-x29-2x+3,

4

???當(dāng)x=0時，y=3,即C（0,3）,

當(dāng)y=0時，—x2-2x+