2023-2024學年上海高二年級上冊期中數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年上海高二上冊期中數(shù)學模擬試題

一、填空題

1.已知某圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該圓柱的體積為

【正確答案】寧54

【分析】根據(jù)圓柱體積公式，結(jié)合側(cè)面展開圖的性質(zhì)進行求解即可

【詳解】因為圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，

所以該圓柱的底面圓的周長為6,因此半徑為2,而圓柱的高為6,

TI

故該圓柱的體積為%x6=—.

\TC)71

454

故一

Jt

本題考查了圓柱體積公式的計算，考查了數(shù)學運算能力.

2.某圓錐的底面積為4〃，側(cè)面積為8)，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為一.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)圓錐底面面積公式以及圓錐側(cè)面面積公式，求出底面半徑和母線長，即可得出

結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,

則1=47，解得r=2,

7crl=2/rl=84，解得/=4,

設(shè)該圓錐的母線與底面所成角為凡

2]71

所以cos<9=±=2,0<0<-,

422

所以夕=(.

故答案為.三

3.PP是一ABC所在平面a外一點，。是點PP在平面a上的射影.若PA=PB=PC,則。

是“ABC的心.

【正確答案】外心.

【分析】由平面ABC和PA=P3=PC,利用勾股定理，求得49=8O=CO,即可求

解.

【詳解】如圖所示，由點。是點P在平面a的射影，所以P。工平面A8C,

22

可得水…云一尸。?,BO=^PBT-POT,CO=>JPC-PO?

因為PA=PB=PC,所以A0=80=C0,

所以。為“ABC的外心.

故外心.

4.正方體ABCO-A4GA的棱長為a,E是棱。。的中點，則異面直線A3與CE的距離為

【正確答案】。

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得BCLAB，BC1.CE,則|BC|即為異面直線A8與CE的距離;

【詳解】解：依題意可得BC_LAB,3cl面CC￡)A，CEU面CQD，所以BCJ_CE,即

BC為AB與CE的公垂線，所以忸。=a即為異面直線AB與CE的距離，

AB

5.給出下列命題：

①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

②若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相平行；

③若一條直線平行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直.

其中所有正確命題的序號為.

【正確答案】②③

【分析】由垂直于同一直線的兩直線的位置關(guān)系判斷①；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷②；

由空間中直線與平面的位置關(guān)系判斷③.

【詳解】對于①，若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關(guān)系：平

行、相交或異面，故①錯誤；

對于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相

平行，故②正確；

對于③，若一條直線平行于一個平面，則與該平面垂直的直線與該直線垂直，故③正確.

其中所有正確命題的序號為②③.

故②③.

6.如圖，在坡面a與水平面廠所成二面角為60。的山坡上，有段直線型道路AB與坡腳/成

30。的角，這段路直通山頂A,已知此山高135G米，若小李從B沿著這條路上山，并且行

進速度為每分鐘30米，那么小李到達山頂A需要的時間是分鐘.

【正確答案】18

【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理推得AC，直線/,從而在RtAOC與

中求得AB,由此求得小李到達山頂所需時間.

【詳解】過點A作AOJ?平面尸，垂足為O,過點。作。C_L直線/,垂足為C,連接AC,

因為AO,平面夕，lu/3，所以/，AO,

又/_LOC,AOcOC=O,AO,OCu面AOC,所以/上面AOC,

又ACu面AOC,所以ACJ_直線/,

由題意可知NACO=60°,AO=1356,

所以在Rt,AOC中，AC=———=里叵=270,

sinN4cosin60°

在RtZ\ABC,ZABC=30°,所以A5=2AC=540,

因為小李行進速度為每分鐘30米，

所以他到達山頂A需要的時間是540+30=18（分鐘）.

故18.

7.如圖是正四面體的平面展開圖，M、N、G分別為￡>E,BE,FE的中點，則在這個正

四面體中，MN與CG所成角的大小為.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【分析】根據(jù)展開圖還原幾何體，利用平移找到異面直線所成的角，根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】由正四面體的平面展開圖可得正四面體如圖所示，其中點AB,C重合

，連接OG,因為為OE,AE的中點，所以MNPAO,所以NDAG

即為MN與CG所成的角或補角，不妨設(shè)正四面體的棱長為2,則AG=OG=g，在△ADG

中'由余弦定理可得，cos〃AG=皿露產(chǎn)=籌滎=字所以MN與CG所成

角的大小為arccos也.

3

故答案為arccos—

3

本題主要考查異面直線所成角的大小求解，考查作圖能力與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知正四棱錐的底面邊長為2,現(xiàn)用一平行于正四棱錐底面的平面去截這個棱錐，截得

棱臺的上、下底面的面積之比為1：4,若截去的小棱錐的側(cè)棱長為2,則此棱臺的表面積為

【正確答案】5+3V15

根據(jù)棱臺的上、下底面的面積之比為1:4,利用相似比得到棱臺的上、下底面的邊長之比

為1：2,再根據(jù)截去的小棱錐的側(cè)棱長為2和正四棱錐的底面邊長為2,得到棱臺的底面邊

長和斜高，代入公式求解.

【詳解】如圖所示：

因為棱臺的上、下底面的面積之比為1：4,

所以棱臺的上、下底面的邊長之比為1：2,

因為截去的小棱錐的側(cè)棱長為2,

所以正四棱錐的側(cè)棱長為4,

又因為正四棱錐的底面邊長為2,即CD=2,

所以GA=1,CG=2,

作GE_LC￡>,則CE=；(C￡>_CQ)=g,

所以此棱臺的表面積為S=4x；(l+2)x半■+1x1+2x2=5+3715,

故5+3后

9.己知圓柱的上、下底面的中心分別為。1、。2,過直線0。2的平面截該圓柱所得的截面

是正方形.底面圓的內(nèi)接正三角形面積為士叵，則該圓柱的表面積為

2

【正確答案】12兀

【分析】先由三角形面積公式求出三角形邊長，再由正弦定理求底面圓的半徑，由表面積公

式求圓柱的表面積.

如圖所示，設(shè)圓柱的底面圓半徑為「，則高為人=2廠，

再設(shè)底面圓的內(nèi)接正三角形邊長為〃，

則該三角形的面積為5詆=走/=空，解得”指；

AliC42

~B

由正弦定理得嬴布=無=",所以r=&,

T

所以該圓柱的表面積為5=2兀/+2口/7=2兀*2+2兀*&*2a=12兀.

故答案為.12兀

10.已知正四棱錐P-A38的棱長都相等，側(cè)棱尸B、PO的中點分別為M、N,則截面AMN

與底面A8C￡）所成的二面角的正弦值是一.

【正確答案】與

【分析】設(shè)P。交MN于￡,過A作直線///8O,證明出/叢。為所求二面角的平面角，求

出E。，AO,AE,即可求解.

【詳解】如圖，正四棱錐尸-ABC。中，。為正方形ABC。的兩對角線的交點，

p

則PO4面ABC。.

因為側(cè)棱心、PO的中點分別為M、N,所以MN為△PBD的中位線，所以MN//BD.

設(shè)PO交MN于E,則PE=EO.

因為PO1面ABC。，所以PO1B。.

又區(qū)D_LAC,ACPO=O,ACu平面PAC,POu平面PAC,所以%平面PAC.

過A作直線///BO,則〃/MN,所以/u面AMN,/u面相8,所以/為面AWN與底面

ABC。的交線.

因為ABC。為正方形，所以8DLA0,所以/LAO.

由正四棱錐的對稱性可得.AM=AN而E為MN的中點，所以UE4.

所以/E4O為所求二面角的平面角.

又EO=二AO=a,AO=-^-a>所以AE=a

2424

所以sinZ.EAO=.

5

所以截面AMN與底面A8CO所成的二面角的正弦值是書.

故答案為

11.直三棱柱A4G-ABC中，平面ABC，平面ABB|A，且AC=內(nèi)例，則AC與平面A8C

所成的角6的取值范圍是

【正確答案】0。<。<30°

【分析】作于。.判斷出NACZ）即為AC與平面A8C所成的角.設(shè)例=a,A3=x,

利用幾何性質(zhì)得到/以，=?sin6,進而V=3：sin’.證明出X.

\ja~+xl-3snr。

解得|sin6|<,，即可求出。的取值范圍

2

【詳解】作AOJ.AB于D.

4G

因為平面48CJ_平面ABAA,平面48Cc平面=A],

所以A。，平面A8C,所以NACO即為AC與平面ABC所成的角，ZACD=0.

設(shè)^=4,AB=x,則AC=?4,=島.

在直角三角形AC。中，由正弦的定義.AD=ACsm0=43a-sin0

A8.AAax

在直角三角形ABA中，由等面積可得：AD=―

\Ja2+x2

3/sin?0

所以AD=/丁，一=6a?sin0所以f=

yja2+X1l-3sin20

在直三棱柱ABC-ABC中，A}A1BC.

因為JL平面ABC,所以AD,8c.

因為A41u平面AABg,A￡)u平面A484，AA}r^AD=Af

所以BCJ.平面A484,故NCB4=90。，從而45＜4C,即冗＜百〃.

于是04斐叱＜3/,,解得田＜1_

又()°＜。＜90°,解得.0。＜6＜30°

故答案為.0°＜。＜30。

12.如圖，三棱柱ABC-44G中，AA^BC^BIBB,,若AB=1,AC=6,BC=C,則

三棱柱ABC-ABC體積最大時，M=.

【正確答案】立

3

【分析】推導出平面ABC,設(shè)例=X,可求出AC的長，計算出S&/C,可求

得%sc-MW=3%-wc的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.

【詳解】因為B41A3,MBB、,則AA.1A.B,

又A4_L8C,\B\BC=B,AB,BCu平面A^C,所以A4,，平面ABC,

設(shè)A4,=x,在Rtz\A84中，A^B==Vl-x2

在R4CG中，ACJAC-CC；=h-x2，

/UAR_A-+AC-BC?_

所以c°s'--2AB-AC—飛2_巧(12)，

2-3x2

所以sin/BAC=

(23)(12)，

2-3x2>0

1-X2>0—q-,2

由已知可得〈2,可得0<x<—,

2-X2>03

x>0

所以4A8c=gAB.AC-sinN%C=^p^

又匕-ABC=VB、-ABC=%-ABC

所以三棱柱ABC-A4G的體積

v=3kBe=S/jc.M="2；"=；J2『-3X4=g卜(x2-J+；，

所以當時，三棱柱ABC-AAG體積最大，此時⑨=乎.

故答案為.3

3

二、單選題

13.設(shè)叢生生乃為空間中的四個不同點，貝『再、生生巴中有三點在同一條直線上''是

“叢生鳥、與在同一個平面上”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【正確答案】A

【分析】由公理2的推論(1)(2)即可得到答案.

【詳解】由公理2的推論：

過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面，

可得巴、Pyp3'e在同一平面，

故充分條件成立；

由公理2的推論：

過兩條平行直線,有且只有一個平面，

可得，

當耳€卜Ph、與J、P&C4時,

Pr生馬、E在同一個平面上，

但耳、生舄、巴中無三點共線，

故必要條件不成立；

故選:A

本題考查點線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點考查公理2及其推論;屬于中檔題;

公理2的三個推論：

(1)經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；

(2)經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面；

(3)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面；

14.在下列四個正方體中，能得出的是()

D.

【正確答案】A

【分析】由線面垂直的性質(zhì)可判斷A,根據(jù)異面直線所成角的計算可判斷BCD.

【詳解】對A,如圖，連接BE,則在正方體中，CO1.8E,又AE_L平面3CEO,C￡)u平

面8CE￡>,則A￡_LC￡>,AEc3E=E,\8八平面43E,4?u平面ABE,，CE>_L,

故A正確；

對B,如圖，連接AE,易得CD//AE,則/BAE'為異面直線A8,C￡>所成角，/班￡=60,

故48,8不垂直，故B錯誤;

對C,如圖，CD//BE,則NABE為異面直線A8,C￡)所成角，易得448E=45,故4B,C￡>

不垂直，故C錯誤；

對D,如圖，CDi/BE,則/ABE為異面直線AB,CD所成角，顯然ZABEx90,故AB,8

不垂直，故D錯誤.

故選：A.

15.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，

高五尺，問：積及米幾何？”其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四

分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，間米堆的體積及堆放的米各為多少？”

已知一斛米的體積約為1.62立方尺，由此估算出堆放的米約有（）

A.21斛B.34斛

C.55斛D.63斛

【正確答案】A

【分析】由扇形弧長公式可求得底面圓半徑，根據(jù)圓錐體積公式計算出米堆的體積，進而計

算得到結(jié)果.

JT

【詳解】由題意知：底部扇形弧長/=8,圓心角a=],圓錐的高力=5

，底面圓半徑r='=3，米堆的體積V=4x,nrh=—?—x5=—

a兀43127i

，堆放的米約有f320+1.62=21斛

故選：A

本題考查圓錐體積相關(guān)問題的求解，涉及到扇形弧長公式、圓錐體積公式的應用，屬于基礎(chǔ)

題.

16.如果底面是菱形的直棱柱（側(cè)棱柱與底面垂直的棱柱）ABCO-A4GA的所有棱長都

相等，448c=60分別為AB,BC,CC1的中點，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①平面

CCRD②A\B//MN③平面④異面直線AQ與MN所成的角為60,其中

正確結(jié)論的個數(shù)為

A.1個B.2個C.3個D.4個

【正確答案】B

根據(jù)幾何體的性質(zhì)，對選項進行逐一判斷.

【詳解】解：因為底面是菱形，且ZABC=60°,E為中點，

所以AABC為等邊三角形，且CE1AB,

又因為CD//45,

所以CE_LCD,

因為四棱柱ABC。-ABC。為直棱柱，

所以CGJ.平面￡C￡＞。，

故CE1CC,,

又因為CDC/C=C,CO,C/Cu平面GC。。，

所以CE_L平面C.CDD,,故選項①正確；

因為為BC,CG的中點，

所以MN//BQ,

若MN//AB,貝I」得到4///BC,,

與ABeBQ=8矛盾，故選項②不正確；

因為四棱柱ABCD-ABCR,

所以有AR〃8G,

因為M,N為8C,C￡的中點,

所以MN//BG,

椒MNHAD、、

因為MNu平面

ARtz平面A、MN

所以4。//平面AMN,故選項③正確；

由③可知，MN//AD},

所以異面直線A。與MN所成的角即為直線4。與AR所成的角，

因為四棱柱ABC。-A&G。為直棱柱，且各棱長相等，

所以四邊形AAOR為正方形，

故AQ1AR,即異面直線與MN所成的角為90。，故④不正確,

綜上：本題的共有2個正確，故選B.

本題考查了幾何體線面的位置關(guān)系，解題時應充分運用題中所給的條件，結(jié)合判定與性質(zhì)定

理逐項進行驗證.

三、解答題

17.如圖，已知E、尸兩點分別是正方形A8CZ）邊4）、A8的中點，E尸交AC于點GC

垂直于ABC。所在平面.求證：￡：廣，平面6歷。.

G

【正確答案】證明見解析.

【詳解】試題分析：連接3。交AC于點。，由E,F是正方形ABCD邊A。、A8的中點,

得到EFLAC,再根據(jù)GCL平面得到EFLGC,即可利用線面垂直的判定定理,

證得EF_L平面GMC.

試題解析：證明：如圖，連接BO交AC于點0,

VE,尸是正方形A3CD邊A。、A8的中點，ACLBD,

：.EF1.AC,

又：GC，平面ABCD,所u平面ABCD,

，EF.LGC,

,/ACGC=C,AC,GCu平面GMC

：.EF_L平面GMC.

直線與平面垂直的判定與證明.

18.如圖，長方體ABC。-AgGP中，AB=BC=2,AC與底面ABC。所成的角為60°.

(1)求長方體ABCD-A4GR的體積;

（2）求異面直線\B與BR所成角的大小.

【正確答案】（1）8#

(2)arccos恒

14

【分析】（1）先證明幺。1是AC與底面A8C3所成的角，解三角形求AA，利用長方體的體

積公式可得結(jié)果；

（2）由BD//BR,可得乙41。是異面直線AB與8a所成角（或所成角的補角），利用余

弦定理可得結(jié)果.

【詳解】（1）因為多面體ABC。-48cA為長方體，AB=BC=2,

所以A4i_L平面ABCD,AC=>/22+22=20，

所以幺C4是AC與底面ABCD所成的角，

因為AC與底面ABCZ）所成的角為60,

所以NACA=60,所以A4,=4Ctan60=20x百=2卡，

因為正方形ABC。的面積S=A5x8C=2x2=4,

所以長方體ABCD-AlB}C]Di體積丫=A4,xS=2而x4=8#.

(2)因為BD〃BQi,

所以NAB力是異面直線與耳。所成角（或所成角的補角）.

因為14+4=2直,A,D=A,B=y/22+(2y/6)2=277,

28+8-28V14

所以cos=

2xA3xBD2x26x2及-14

所以NABD=arccos

所以異面直線4B與BR所成角是arccos巫

14

19.如圖，已知點P在圓柱。。的底面圓。上，ZAOP=120°,圓。的直徑AB=4,圓柱的

（1）求三棱錐人-428的體積；

（2）求點A到平面A/0的距離.

【正確答案】（1）2道

尾

【分析】（1）計算出小、BP的長，利用錐體的體積公式可求得三棱錐A-APB的體積；

（2）計算出三棱錐A-AOP的體積以及△A。。的面積，利用等體積法可求得點A到平面

AP。的距離.

【詳解】（1）解：因為A3是圓。的直徑，所以±PB,

因為NAOP=120°,S.OA=OB=OP,所以NBA尸=30,ZABP=60,

又O8=OP=gA8=2,所以BP=2,AP=2y/3,

=?A-^ft'J^^_A8P=15^ap-A41=1xlx2x2^x3=2x/3.

1

（2）解：AtO=y]AA^+AO=V13.4尸〈必+4尸=0T,OP=2,

\P2+OP--\O2>/21

所以cosNAP。=

2A.POP一〒

所以sinZ/\P0=71-COS2Z4PO=-y-.

所以S“I后x2x正=通,設(shè)點A到平面A/°的距離為",

A"27

由以-48=匕一&8,得彩X2x26xgx3=；x26xd,解得"=|.

3

所以點A到平面A/。的距離為

20.如圖所示的某種容器的體積為90萬。"3,它是由圓錐和圓柱兩部分連結(jié)而成的，圓柱與

圓錐的底面圓半徑都為rc〃?.圓錐的高為機，母線與底面所成的角為45。；圓柱的高為

hcm.已知圓柱底面造價為2a元/arr?圓柱側(cè)面造價為〃元/cm2,圓錐側(cè)面造價為-J2a元

(1)將圓柱的高燈表示為底面圓半徑》的函數(shù)，并求出定義域；

(2)當容器造價最低時，圓柱的底面圓半徑「為多少？

90r

【正確答案】(1)1^=---,定義域為｛，［0<r<3師｝.(2)3cm

r~3

【分析】(1)由題4=「由圓柱與圓錐體積公式得匕=萬產(chǎn),色=90］一：1萬一,,得

%二=2一2即(2)由圓柱與圓錐的側(cè)面積公式得容器總造價為

"3，r23

22

y=\[2aSx+aS2+2aS3=2/rra4-27vrhya+2/rra,求導求最值即可

【詳解】(1)因為圓錐的母線與底面所成的角為45。，所以"二乙

圓錐的體積為V"，，圓柱的體積為匕

因為X+%=904,所以匕=%產(chǎn)％=904一；4「，

g、i,270-r390r

所以"=---L=~T一一?

"3/r3

因為乂=；兀/<90]，所以，<3痂.

因此0<r<3痂.

gn

所以〃==-；r；,定義域為｛r[0<r<3師｝.

r3

(2)圓錐的側(cè)面積S|=7廠?五廠=0%產(chǎn)，

圓柱的側(cè)面積S2=2萬%,底面積5,=n,.

容器總造價為

22

y=\[2aSt+aS2+2aS3=2兀ra+2兀rh2a+2兀ra=2兀a(/+r4+廣)=2乃〃[2廠+

卜?54)

令/⑺=，+歲54，則/⑺=2-54=.令/⑺=0,得r=3.

rr

當0<r<3時,尸⑺<0,/⑺在(0,3)上為單調(diào)減函數(shù)；

當3<r<3次時，/(r)>0,/⑺在(3,3師)上為單調(diào)增函數(shù).

因此，當且僅當尸=3時，/⑺有最小值，即V有最小值，為90乃a元.

所以總造價最低時，圓柱的底面圓半徑為3cm.

本題考查圓柱圓錐的表面積和體積公式，考查利用導數(shù)求函數(shù)最值，方程思想的運用，是中

檔題

21.如圖，在四面體A—38中，平面BCD,BCVCD,AD=2,BD=20.M是

AO的中點，P是8M的中點，點。在線段AC上，且AQ=3QC.