專(zhuān)題8.6 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（練）教師版

專(zhuān)題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·陜西高二期末（理））已知為空間中任意一點(diǎn)，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)向量共面的基本定理當(dāng)時(shí)即可求解.【詳解】，又∵是空間任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，∴，解得故選：B2.【多選題】（2021·全國(guó)）下列命題中不正確的是（）.A．若???是空間任意四點(diǎn)，則有B．若，則?的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C．是?共線的充分條件D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)??，若()，則???四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】本題考察向量的概念與性質(zhì)，需按個(gè)選項(xiàng)分析，A選項(xiàng)考察向量加法的意義，B選項(xiàng)考察向量的模的性質(zhì)，C選項(xiàng)可以?xún)蛇吰椒接?jì)算，D選項(xiàng)考察四點(diǎn)共面的性質(zhì).【詳解】A選項(xiàng)，而不是，故A錯(cuò)，B選項(xiàng)，僅表示與的模相等，與方向無(wú)關(guān)，故B錯(cuò)，C選項(xiàng)，，即，即，與方向相反，故C對(duì)，D選項(xiàng)，空間任意一個(gè)向量都可以用不共面的三個(gè)向量??表示，∴???四點(diǎn)不一定共面，故D錯(cuò)，故選ABD.3.（2020·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是________.若，則實(shí)數(shù)m的值是________.【答案】【解析】，，若，則，解得；若，則，解得.故答案為：和.4．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有______．①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若非零向量，，滿足，，則有；③若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；④若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底．【答案】①③④【解析】根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析判斷①，④；對(duì)于②在空間中滿足條件的與不一定共線，從而可判斷;對(duì)于③，由條件結(jié)合空間向量的加減法則可得，從而可判斷；【詳解】對(duì)于①：若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線向量，即，故①正確；對(duì)于②：若非零向量，，滿足，，則與不一定共線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，，是空間的一組基底，且，則，即，可得到，四點(diǎn)共面，故③正確；對(duì)于④：若向量，，，是空間一組基底，則空間任意一個(gè)向量，存在唯一實(shí)數(shù)組，使得，由的唯一性，則，，也是唯一的則，，也是空間的一組基底，故④正確．故答案為：①③④5．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點(diǎn)共線，則__．【答案】1【解析】利用坐標(biāo)表示向量，由向量共線列方程求出λ的值．【詳解】由題意，點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），所以,若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，解得.故答案為：1．6．（2021·廣西高一期末）在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則邊上的中線長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【解析】先用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解出線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求出中線長(zhǎng).【詳解】線段的中點(diǎn)D坐標(biāo)為，即由空間兩點(diǎn)間的距離公式得邊上的中線長(zhǎng)為.故答案為：.7．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.【詳解】平面平面，平面平面，，平面，平面，建立以為原點(diǎn),平行于BC做軸，AC為軸，SA為軸作空間直角坐標(biāo)系，則，，∴.故答案為：11.8．（2021·浙江高一期末）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為底面上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解：如圖，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：9．（2021·山東高二期末）在正三棱柱中，，點(diǎn)D滿足，則_________．【答案】【解析】因?yàn)槭钦庵?，所以建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)也即是點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求的模.【詳解】因?yàn)槭钦庵?，所以面，且為等邊三角形，如圖建立以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，即，所以，故答案為：.10．(2020-2021學(xué)年高二課時(shí)同步練）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，求證：（1）四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；（2）；（3）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用共面向量定理證明四點(diǎn)共面；（2）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算找到的關(guān)系，證明；（3）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】證明：（1），∴A、B、C、D四點(diǎn)共面．，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．（2）.（3）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川省大竹中學(xué)高二月考（理））如圖，在平行六面體中，，，則（）A．1 B． C．9 D．3【答案】D【解析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到，再利用求的模長(zhǎng).【詳解】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以.所以.故選：D.2．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（）

A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量垂直的條件得，，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)圖示可求得二面角的大小.【詳解】由條件知，，，∴，∴，又，所以，∴由圖示得二面角的大小為，故選：C.3．（2021·湖北荊州·高二期末）如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意得，，，，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】依題意得，，，.所以故.故選：A.4．（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC與BD，M，N分別為線段AB，CD上的點(diǎn)滿足，，點(diǎn)G在線段MN上，且滿足，若，則__________.【答案】【解析】以作為空間向量的基底，利用向量的線性運(yùn)算可得的表示，從而可得的值，最后可得的值.【詳解】,又，故，而，所以，因?yàn)椴还裁?，故，所以，故答案為?.（2021·廣西高二期末（理））在中，，，，是斜邊上一點(diǎn)，以為棱折成二面角，其大小為60°，則折后線段的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】過(guò)，作的垂線，垂足分別為，，從而得到，然后將用表示，求出的表達(dá)式，再設(shè)，利用邊角關(guān)系求出所需向量的模，同時(shí)利用二面角的大小得到向量與的夾角，利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式化簡(jiǎn)的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的有界性分析求解即可．【詳解】解：如圖①，過(guò)，作的垂線，垂足分別為，，故，，所以，以為棱折疊后，則有，故，，因?yàn)橐詾槔庹鄢啥娼?，所以與的夾角為，令，則，在中，，，在中，，，故，所以，故當(dāng)時(shí)，有最小值28，故線段最小值為．故答案為：．6．（2021·遼寧高一期末）已知點(diǎn)在正方體的側(cè)面內(nèi)（含邊界），是的中點(diǎn)，，則的最大值為_(kāi)____；最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，并表示，利用二次函數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，得，，平面，，當(dāng)時(shí)，取得最大值是1，當(dāng)時(shí)，取得最小值是.故答案為：；7．（2021·北京高二期末）如圖，在四面體ABCD中，其棱長(zhǎng)均為1，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn).若，則________；直線MN和CD的夾角為_(kāi)_______.【答案】．【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算把用表示即可得，再由向量的數(shù)量積得向量夾角，從而得異面直線所成的角．【詳解】由已知得，又且不共面，∴，，∴，是棱長(zhǎng)為1的正四面體，∴，同理，，，，∴，∴，∴異面直線MN和CD所成的角為．8．（2021·四川高二期末（理））如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，，.（1）用，，表示，；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算；（2）用空間向量法求解．【詳解】（1）三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，（2），，，，，，，，．所以異面直線與所成角的余弦值是．9．（2021·浙江高一期末）已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線分別交于點(diǎn)且，點(diǎn)在直線上，為的中點(diǎn)，且直線平面．（Ⅰ）設(shè)，試用基底表示向量；（Ⅱ）證明，對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）由，利用空間向量的加、減運(yùn)算法則求解；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），根據(jù)，設(shè)，分別用表示，，，然后根據(jù)平面，由存在實(shí)數(shù)y，z，使得求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋裕唬á颍┯桑á瘢┲忠驗(yàn)?，所以?則，，，設(shè)，則，，因?yàn)槠矫妫瑒t存在實(shí)數(shù)y，z，使得，即，，所以，消元得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解得，綜上：，所以對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上．10．（2021·山東高二期末）已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別是，，，，過(guò)點(diǎn)，，的平面記為.（1）證明：點(diǎn)，，，不共面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由知，，三點(diǎn)不共線，然后由得不存在實(shí)數(shù)，得答案；（2）利用點(diǎn)到平面的距離可得答案.【詳解】（1）由已知可得：，，假設(shè)，，三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，所以，此方程組無(wú)解，所以，不共線，所以，，不共線，所以過(guò)點(diǎn)，，的平面是唯一的，若點(diǎn)，，，共面，則存在，，使得，即，即，此方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，，使得，所以點(diǎn)，，，不共面.（2）設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．2．(湖北卷)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【答案】D【解析】設(shè)，在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為=4\*GB3④與俯視圖為=2\*GB3②，故選D.3.(2018年理數(shù)全國(guó)卷II)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，A.15B.56C.5【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,3),D1(0,0,3),所以4.(2019年高考浙江卷)如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】方法一：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC．又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上．連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）．不妨設(shè)AC=4，則在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點(diǎn)，故，所以．因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E–xyz．不妨設(shè)AC=4，則A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ．由（1）可得．設(shè)平面A1BC的法向量為n，由，得，取n，故，因此，直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為．5.(2019年高考北京卷理)如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)镻A⊥