2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)立體幾何初步

2025屆新高考數(shù)學(xué)精品沖刺復(fù)習(xí)立體幾何初步

考點一

平行的判定與性質(zhì)1.（2023·浙江省寧波市北侖中學(xué)期中）設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列條件中，能推出b∥α的是（D）A.a∥α，a∥bB.α∥β，b∥βC.α∩β＝l，b∥lD.α∥β，b?βD123456789101112131415161718192.（多選題）（2023·江蘇省啟東中學(xué)期中）設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充分條件可以是（AD）A.β內(nèi)的所有直線都與α平行B.β內(nèi)有三條直線與α平行C.α和β平行于同一條直線D.α和β都平行于同一平面γAD12345678910111213141516171819

②③123456789101112131415161718194.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是EF的中點.（1）

求證：AM∥平面BDE；第4題答案解：（1）

證明：如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點.因為四邊形ACEF是矩形，所以AC

EF.又因為M是EF的中點，所以EM??AO.所以四邊形AOEM是平行四邊形.所以AM∥OE.又因為AM?平面BDE，OE?平面BDE，所以AM∥平面BDE.12345678910111213141516171819（2）

若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試判斷l(xiāng)與m的位置關(guān)系，并說明理由.解：（2）

l∥m.理由：由（1）知，AM∥平面BDE.又因為AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM.同理，可得m∥AM.所以l∥m.123456789101112131415161718195.（2023·浙江省寧波中學(xué)期中）如圖，在三棱柱BCF－ADE中，G，H分別是線段AC，DF的中點.（1）

求證：GH∥BF.解：（1）

證明：如圖，連接DB.由三棱柱BCF－ADE，可得四邊形ABCD是平行四邊形.因為G是AC的中點，所以G是AC與BD的交點.所以G是DB的中點.又因為H是DF的中點，所以GH∥BF.第5題答案12345678910111213141516171819（2）

在線段CD上是否存在一點P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出點P的具體位置并證明；若不存在，請說明理由.解：（2）

在CD上存在點P，使得平面GHP∥平面BCF，P為CD的中點.證明：連接HP，GP.因為P是CD的中點，H是DF的中點，所以HP∥FC.又因為HP?平面BCF，F(xiàn)C?平面BCF，所以HP∥平面BCF.同理，可得GP∥平面BCF.因為HP∩GP＝P，HP?平面GHP，GP?平面GHP，所以平面GHP∥平面BCF.第5題答案12345678910111213141516171819考點二

垂直的判定與性質(zhì)6.（2023·安徽省合肥市第一中學(xué)模擬）已知圓錐DO的軸截面為等邊三角形，△ABC是底面圓O的內(nèi)接正三角形，點P在DO上，且PO＝λDO.若PA⊥平面PBC，則實數(shù)λ的值為（D）D123456789101112131415161718197.（多選題）（2023·江蘇省海門實驗學(xué)校月考）如圖，點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線B1C上運(yùn)動，則下列結(jié)論中，一定正確的是（AD）A.三棱錐A1－DPC1的體積不變B.AP⊥平面A1C1DC.D1P⊥B1CD.平面PD1B⊥平面A1C1D第7題AD123456789101112131415161718198.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，△PAC是以PC為斜邊的等腰直角三角形，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，F(xiàn)為PC上一點，E為PB上一點，且AE⊥PB.有下面兩個條件：①EF⊥PC；②F為PC的中點.請從中任選一個作為已知條件，求證：PC⊥平面AEF.第8題12345678910111213141516171819證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又因為BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因為AE?平面PAB，所以BC⊥AE.又因為AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB?平面PBC，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC.因為PC?平面PBC，所以AE⊥PC.選①：因為EF⊥PC，EF∩AE＝E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，所以PC⊥平面AEF.選②：因為F為等腰直角三角形PAC斜邊PC的中點，所以AF⊥PC.又因為AF∩AE＝A，AF?平面AEF，AE?平面AEF，所以PC⊥平面AEF.12345678910111213141516171819考點三

角與距離

D12345678910111213141516171819

第10題1234567891011121314151617181911.（2023·江蘇無錫市第一中學(xué)期中）如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上的動點，PA垂直于圓O所在的平面.（1）

求證：平面PAC⊥平面PBC；解：（1）

證明：因為AB是☉O的直徑，C是圓O上的動點，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因為PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又因為BC?平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC.第11題12345678910111213141516171819

第11題12345678910111213141516171819考點四

空間幾何體的表面積與體積12.（2023·江蘇啟東聯(lián)考）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在球O的表面上.若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的表面積為（C）A.153πB.160πC.169πD.360πC12345678910111213141516171819

A.76πB.112πA12345678910111213141516171819

（1）

求該正三棱錐的表面積.

第14題答案12345678910111213141516171819第14題答案

12345678910111213141516171819

第14題答案12345678910111213141516171819

15.（2023·江蘇省海安高級中學(xué)期末）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝6，AA1＝3，現(xiàn)分別以AB，CD為軸，截去底面半徑為3的兩個四分之一圓柱，得到如圖所示的幾何體，則該幾何體的表面積為（

C

）A.18π＋54B.18π＋72C.9π＋72D.9π＋54C12345678910111213141516171819

BCA.BC⊥平面EABD.平面EAB⊥平面CDG1234567891011121314151617181917.宿州市三角洲生態(tài)公園是多功能的綜合性公園，其標(biāo)志性雕塑“生命之源”為水滴形狀，寓意水是生命之源，此雕塑頂部可視為一個圓錐.若此圓錐的高為3m，其母線與底面所成的角為60°，則此圓錐的側(cè)面展開圖的面積為

6π

?m2.6π12345678910111213141516171819（1）

求證：AD∥平面PBC；解：（1）

證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AD∥BC.又因為AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.第18題18.（2022·江蘇省昆山中學(xué)月考）如圖所示為四棱錐P－ABCD，其底面ABCD是菱形.12345678910111213141516171819第18題（2）

若PB＝PD，求證：BD⊥平面PAC；解：（2）

證明：如圖①，連接AC，BD交于點O，連接PO.因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，O為BD的中點.因為PB＝PD，所以PO⊥BD.又因為PO∩AC＝O，PO?平面PAC，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.12345678910111213141516171819第18題答案第18題答案（3）

若∠DAB＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥PD，試判斷△PAD是否為等腰三角形，并說明理由.解：（3）△PAD不為等腰三角形.理由：如圖②，過點B作BE⊥AD于點E，連接PE.因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BE?平面ABCD，BE⊥AD，所以BE⊥平面PAD.因為PD?平面PAD，所以BE⊥PD.又因為PB⊥PD，BE∩PB＝B，BE?平面PBE，PB?平面PBE，所以PD⊥平面PBE.因為PE?平面PBE，所以PD⊥PE.所以AD＞DE＞PD.第18題12345678910111213141516171819因為∠DAB＝60°，BE⊥AD，四邊形ABCD是菱形，所以AB＝2AE＝2DE，即AE＝DE.又因為∠EPD＝90°，所以∠APD＞90°.所以AD＞PA.又因為∠AEP＝∠EPD＋∠PDA＝90°＋∠PDA＞90°，所以PA＞AE.所以PA＞DE＞PD.所以AD＞PA＞PD.所以△PA