第19講 相似三角形專題之母子三角形 (原卷版)

第19講相似三角形之母子三角形【知識點睛】其中：∠A是公共角其中：∠A是公共角AB是公共邊BD與BC是對應邊當∠ABD=∠ACB時△ABD∽△ACB性質：聯系應用：切割線定理：如圖，PB為圓O切線，B為切點，則：△PAB∽△PBC得：在Rt△在Rt△ACB與Rt△ADC中，當∠ABC=∠ACD時，有Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB射影定理：☆：有關射影定理圖形常見的三個應用方向：☆：有關射影定理圖形常見的三個應用方向：等積法（求斜邊上的高）同角的余角相等（得∠A=∠BCD）射影定理在圓中因為直徑所對圓周角=90°，轉化得此圖形，進而利用以上3個結論！☆：“母子△”與“阿氏圓”☆：“母子△”與“阿氏圓”阿氏圓的基本原理就是構造母子三角形，之后再結合兩點之間線段最短求解最后結果。母子相似證明題一般思路方法：由線段乘積相等轉化成線段比例式相等；分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復第三步；【類題訓練】1．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，有下列條件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③；④BC2＝BD?BA．其中能判斷△ABC是直角三角形的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．如圖，在矩形ABCD中，BD＝2．對角線AC與BD相交于點O，過點D作AC的垂線，交AC于點E，AE＝3CE．則DE2的值為（）A．4 B．2 C． D．43．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠ACD＝3∠BCD，E為斜邊AB的中點，則＝（）A． B． C． D．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，點E在BC上，且BE＝DE，若EC＝4，，則⊙O的半徑為（）A． B．2 C． D．5．如圖，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，則△ABC的面積為．6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長為．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是斜邊AC的中點，連接DB，線段AE⊥線段BD交BC于點E，交DB于點G，垂足為點G．（1）求證：EB2＝EG?EA；（2）聯結CG，若∠CGE＝∠DBC，求證：BE＝CE．9．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E，F分別在線段BD，AC上，連結AD，EF交于點G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．10．已知：如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯結DG，求證：DG?AE＝AB?AG．11．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，BD⊥DC，且BD2＝AD?BC，點M是邊BC的中點．（1）求證：AD∥BC；（2）作BE⊥DM，垂足為點E，并交CD于點F．求證：2AD?DM＝DF?DC．12．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，取BC中點E，連接DE并延長，與AB的延長線交于點F，連接BD．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）如果，求tanA．13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，AD＝16，AB＝6，BC＝24．點P從點A沿AD運動到點D，每秒移動a個單位，同時點Q從點C沿CB運動到點B，每秒移動b個單位．運動時間為x秒．若其中一點到達終點，另一點也停止．（1）請求出CD的值；（2）若存在某時刻使DQ垂直平分PC，求a：b的值；（3）若a＝1，b＝3，何時PQ上存在點M，使得∠AMB＝90°．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，點D在邊AC上，將線段DA繞點D按順時針方向旋轉90°得到DA′，線段DA′交AB于點E，作A′F⊥AB于點F