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16四月2024高等數(shù)學(xué)B重修串講一、映射與函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).1.基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).不能表示為一個(gè)式子的分段函數(shù)不是初等函數(shù).見(jiàn)附錄附錄定義叫做冪函數(shù).函數(shù)由確定函數(shù)的定義域1.冪函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)定義叫做指數(shù)函數(shù).函數(shù)由確定函數(shù)的單調(diào)性3.對(duì)數(shù)函數(shù)定義叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),記作由確定函數(shù)的單調(diào)性常用三角函數(shù)4.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)5.反三角函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)五種基本初等函數(shù)例1√P9例7P10例8例2解例3解相關(guān)練習(xí)題見(jiàn)P21T4及P22T15簡(jiǎn)單函數(shù)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算得到的函數(shù).例4解練習(xí)二、數(shù)列的極限直觀定義:若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),xn無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值a,就稱當(dāng)n
,{xn}的極限為a.(1).有界性【定理1】P28
收斂的數(shù)列必定有界.注意:有界是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件.(2).唯一性【定理2】每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.(3).保號(hào)性(4).保序性2.收斂數(shù)列的性質(zhì)三、函數(shù)的極限(一)自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限(二)自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限說(shuō)明:左、右極限常用于考察分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限.左極限:右極限:這是因?yàn)?/p>
例5
函數(shù)當(dāng)x
0時(shí)的極限不存在
一、選擇題練習(xí)(三)函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性:2.唯一性:若存在,則極限唯一。即若且則a=b【定理3】(局部保號(hào)性)3.局部保號(hào)推論1(保序性)(四)曲線的漸近線(1)鉛直漸近線例如有鉛直漸近線:再如有鉛直漸近線兩條:(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見(jiàn)下表)小結(jié)過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后
過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后
四、無(wú)窮小與無(wú)窮大極限為零的函數(shù)稱為無(wú)窮小量;定理2在同一變化過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.注:無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.定理3無(wú)窮小與有界量的乘積是無(wú)窮小.絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.定理5
在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.五、極限四則運(yùn)算法則定理1三、求極限例題分析類型一滿足極限運(yùn)算法則條件,可直接用法則;結(jié)論
當(dāng)0)(0=xQ且0)(01xP時(shí),
¥=?)()(lim0xQxPxx.
當(dāng)Q(x0)
P(x0)
0時(shí)
約去分子分母的公因式(x
x0)
例6解解例7(消去零因子法)消去零因子法:
通過(guò)恒等變形消去不為0的無(wú)窮小因子在求極限類型二不能直接用法則,但經(jīng)適當(dāng)變形處理后能用法則;例8解(無(wú)窮小因子分出法)無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例9類型三不能直接用法則,變形處理后也不能用法則;須利用無(wú)窮大無(wú)窮小的性質(zhì)求之。結(jié)論:注:結(jié)論中自變量的變化過(guò)程是趨向無(wú)窮大,而非趨于有限值x0.可當(dāng)公式使用!例10解左右極限存在且相等,類型四分段函數(shù)分段點(diǎn)的極限以下做法正確如否?為什么?
問(wèn)答題
1.兩個(gè)準(zhǔn)則:2.兩個(gè)重要極限兩邊夾準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.六、極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限適用于由冪函數(shù)和三角函數(shù)構(gòu)成的分式函數(shù)或三角函數(shù)的分式函數(shù),且在同一變化過(guò)程中,分子、分母的極限均為零的類型.無(wú)窮小的具體形式可以千變?nèi)f化!注:無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮大無(wú)窮大注:無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮大無(wú)窮大做題時(shí)必須通過(guò)恒等變換或變量代換化成此種類型,才能利用結(jié)論。例11解例12
解:例13解:例14解:例15解:原式=一個(gè)很有用的結(jié)論定義形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)如何求冪指函數(shù)的極限呢?如果那么可以證明定義:七、無(wú)窮小的比較例16證常用等價(jià)無(wú)窮小:
等價(jià)無(wú)窮小代換定理意義
可以將式中復(fù)雜的無(wú)窮小因子代換成簡(jiǎn)單的等價(jià)無(wú)窮小例17解:!!!不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.!!!對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意:例18解:錯(cuò)解:八、函數(shù)的連續(xù)性例19解:右連續(xù)但不左連續(xù),1.跳躍間斷點(diǎn)2.可去間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)
1.跳躍間斷點(diǎn)例20解:2.可去間斷點(diǎn)例21解:如例21中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)注意
可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).3.第二類間斷點(diǎn)例22解:例23解:重要題型!初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)做有限次的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算依然連續(xù),連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù).定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.定理5基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理1(最大值最小值定理)
在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界且一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)
閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界.根的存在性定理定理4
在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例24證:由零點(diǎn)定理,例25證:由零點(diǎn)定理,建議同學(xué)們做一下下列課后練習(xí)題1.多項(xiàng)式與某些分式函數(shù)代入法求極限;2.消去零因子法求極限;3.無(wú)窮小因子分出法求極限(分子、分母同除以x的最高次冪);4.無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;5.利用左右極限求分段函數(shù)
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