第二節(jié)-函數(shù)極限的定義課件

高等數(shù)學(xué)

北郵世紀(jì)學(xué)院基礎(chǔ)部華衛(wèi)兵1可編輯課件PPT2.2函數(shù)的極限2可編輯課件PPT(復(fù)習(xí))數(shù)列{xn=f(n)}可看成自變量為n的函數(shù),定義域?yàn)镹+.數(shù)列xn的極限為a即當(dāng)n→∞時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(n)無(wú)限接近于確定的數(shù)a。函數(shù)的極限：在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)，稱(chēng)這個(gè)確定的數(shù)就叫在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限。3可編輯課件PPT三種情形時(shí)函數(shù)的極限：⑴自變量趨于有限值(x→x0)時(shí),對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化情形；(2)自變量從單側(cè)趨于有限值(x→x0)時(shí),對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化情形；⑵自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大(x→∞)

時(shí),對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化情形。4可編輯課件PPT[人影長(zhǎng)度]

考慮一個(gè)人沿直線(xiàn)走向路燈的正下方時(shí)其影子的長(zhǎng)度．若目標(biāo)總是燈的正下方那一點(diǎn)，燈與地面的垂直高度為H。由日常生活知識(shí)知道，當(dāng)此人直向目標(biāo)時(shí)，其影子長(zhǎng)度越短，當(dāng)人越來(lái)越接近終點(diǎn)（數(shù)學(xué)上如何描述）時(shí)，其影子的長(zhǎng)度逐漸趨于0（數(shù)學(xué)上如何描述）。5可編輯課件PPT1、x→x0時(shí),f(x)的極限問(wèn)題1：函數(shù)y=f(x)在x→x0的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于確定值A(chǔ)。⑴引例在x=1時(shí)，g(x)有定義，f(x)無(wú)定義，如圖可知，當(dāng)x從左從右無(wú)限趨近于1時(shí)，g(x)與f(x)都無(wú)限接近于2。問(wèn)題2:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.6可編輯課件PPT⑵定義①設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的e>0,總存在

d

>0,使得當(dāng)0<|x-x0

|<d,恒有|f(x)-A|<e成立，則稱(chēng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)以常數(shù)A為極限，記為②

“ε-δ”定義注：7可編輯課件PPT⑶幾何意義8可編輯課件PPT例1證例2證9可編輯課件PPT例3證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義.10可編輯課件PPT例4證11可編輯課件PPT例5證明可以先限制因?yàn)榇藭r(shí)有故只要所以要使分析12可編輯課件PPT這就證明了證有13可編輯課件PPT例6求證：注在例4、例5中,我們將所考慮的式子適當(dāng)放大,不是“最佳”的,但這不影響我們解題的有效性.其目的就是為了更簡(jiǎn)潔地求出

,或許所求出的

14可編輯課件PPT證首先，在右圖所示的單位圓內(nèi),顯然有即故OCDBAyxx15可編輯課件PPT16可編輯課件PPT同理可證:17可編輯課件PPT例7證明：證因?yàn)閯t這就證明了所需的結(jié)論.18可編輯課件PPT在上面例題中,需要注意以下幾點(diǎn)：,我們強(qiáng)調(diào)其存在性.換句話(huà)說(shuō),對(duì)于固定1.對(duì)于的不同的方法會(huì)得出不同的,不存在哪一個(gè)更好的問(wèn)題.數(shù)都可以充當(dāng)這個(gè)角色.3.正數(shù)是任意的,一旦給出,它就是確定的常數(shù).,那么比它更小的正是不惟一的,一旦求出了19可編輯課件PPT有時(shí)為了方便,需要讓

小于某個(gè)正數(shù).一旦對(duì)這為貴”.當(dāng)然也能滿(mǎn)足要求.所以我們有時(shí)戲稱(chēng)

“

以小樣的

能找到相應(yīng)的

,

那么比它大的

,這個(gè)

20可編輯課件PPT2.單側(cè)極限:例如,21可編輯課件PPT左極限右極限22可編輯課件PPT左右極限存在但不相等,例8證23可編輯課件PPT[注意]

求分段函數(shù)的極限的方法就是計(jì)算它在指定點(diǎn)的左極限和右極限是否存在并且是否相等。例如：判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限⑴⑵解：⑴∵，∴函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。⑵∵，∴函數(shù)在指定點(diǎn)的極限24可編輯課件PPT

例9

討論函數(shù)解因?yàn)樗?5可編輯課件PPT定理不存在.特例26可編輯課件PPT例10

證明狄利克雷函數(shù)證

處處無(wú)極限.滿(mǎn)足27可編輯課件PPT這就證明了結(jié)論.則28可編輯課件PPT3、x→∞時(shí),f(x)的極限⑴引例如圖可知，當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，f(x)無(wú)限接近于1,即x→∞時(shí),f(x)→1。問(wèn)題1：y=f(x)在x→∞的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于確定值A(chǔ)。問(wèn)題2:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.29可編輯課件PPT①如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε

，總存在著正數(shù)X，使得當(dāng)|x|>X時(shí)，恒有|f(x)-A|<ε成立，則稱(chēng)x趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限。記為：⑵定義②

“ε-X”定義③

x→+∞及x→-∞情形30可編輯課件PPT④③①任意給定②存在31可編輯課件PPT趨于例11函數(shù)當(dāng)時(shí),10203040O0.51為極限.以32可編輯課件PPT例12證任給這就是說(shuō)33可編輯課件PPT證對(duì)于任意正數(shù)這就是說(shuō)例13求證34可編輯課件PPT例14求證所以結(jié)論成立.證對(duì)于任意正數(shù)

,

可取35可編輯課件PPT定理1(惟一性)證

不妨設(shè)以及由極限的定義，對(duì)于任意的正數(shù)(1)存在,則此極限惟一.若的基本性質(zhì)4、36可編輯課件PPT(2)式均成立，所以由

的任意性，推得A=B.這就證明了極限是惟(1)式與一的.(2)37可編輯課件PPT定理2（局部有界性）

證由此得有界.這就證明了在某個(gè)空心鄰域上有界.38可編輯課件PPT注：試與數(shù)列極限的有界性定理作一(2)有界函數(shù)不一定存在極限；說(shuō)明定理中“局部”這兩個(gè)字是關(guān)鍵性的.比較；39可編輯課件PPT定理3（局部保號(hào)性）若則對(duì)任何正數(shù)由此證得證不妨設(shè).對(duì)于任何取40可編輯課件PPT定理3'推論41可編輯課件PPT4、子列收斂性(函數(shù)與數(shù)列極限的關(guān)系)定理4證：42可編輯課件PPT例如:函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.43可編輯課件PPT例15證二者不相等,44可編輯課件PPT在點(diǎn)x0的極限也存在,且都存在,則在點(diǎn)x0的極限也存在,定理5（四則運(yùn)算法則）若并有45可編輯課件PPT例1求極限解因?yàn)樗岳}選講46可編輯課件PPT例2特別又有證所以47可編輯課件PPT例3求當(dāng)x→∞時(shí)，下列函數(shù)的極限⑴⑵解：⑴

⑵

由此可見(jiàn)，求x→∞時(shí)函數(shù)的極限與求數(shù)列的極限的方法是相同的。48可編輯課件PPT例4求下列極限⑴⑵解：⑴

⑵49可編輯課件PPT求極限的一般方法⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意義，則極限為f(x0)⑵約分法。如f(x)為分式，且分子、分母可約分，約分后所得的式子g(x0)有意義，則函數(shù)極限極限為g(x0)。⑶有理化法。如f(x)為分式，且分子、分母中其一為無(wú)理式，可將其有理化后再約分，如所得g(x0)有意義，則極限為g(x0)。⑷若x→∞，f(x)為分式，分子、分母均為多項(xiàng)式時(shí)，可將分子、分母同除以x的最高次冪，再逐項(xiàng)求極限。50可編輯