多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性

關(guān)于多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性一、前言2在前面的學(xué)習(xí)中，我們討論的是一元函數(shù)微積分，但實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到依賴于兩個(gè)以上自變量的函數(shù)—多元函數(shù)，也提出了多元微積分問(wèn)題

本章內(nèi)容為多元函數(shù)微分學(xué)。多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處（概念及處理問(wèn)題的思想方法）又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，既要認(rèn)識(shí)到它們的共同點(diǎn)和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問(wèn)題，深刻理解，融會(huì)貫通。函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數(shù)。第2頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、教學(xué)計(jì)劃31、課時(shí)安排多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性

2課時(shí)偏導(dǎo)數(shù)2課時(shí)全微分2課時(shí)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法2課時(shí)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2課時(shí)復(fù)習(xí)以及習(xí)題課2課時(shí)第3頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、本章的教學(xué)目標(biāo)4基本要求1.掌握多元函數(shù)基本概念，會(huì)表示定義域，了解二元極限、連續(xù)2.深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)，3.掌握全微分概念4.會(huì)求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，5.會(huì)求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線，會(huì)求多元函數(shù)極值第4頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一節(jié)多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性2024/4/17學(xué)習(xí)目標(biāo)：正確理解二元函數(shù)的概念，能求二元函數(shù)的定義域以及知道二元函數(shù)的幾何意義理解二元函數(shù)的極限的定義理解二元函數(shù)連續(xù)性的定義第5頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的概念引例1.圓柱體的體積2.定量理想氣體的壓強(qiáng)3.三角形面積6第6頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的概念4.某種商品的市場(chǎng)需求量Q不僅與市場(chǎng)價(jià)格p有關(guān)，而且與消費(fèi)者平均收入以及需要這種商品的人數(shù)N有關(guān),同時(shí)，還與這種商品的其他代用品的價(jià)格等因素有關(guān)；從而決定該商品需求量的自變量不只一個(gè)而是多個(gè)以上引例說(shuō)明，在許多實(shí)際問(wèn)題中往往需要研究因變量與幾個(gè)自變量之間的關(guān)系，也引入多元函數(shù)的必要性7第7頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義8第8頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的概念9第9頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的概念、定義域類似地，可以定義三元函數(shù)以及n元函數(shù)多于一個(gè)自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)10同一元函數(shù)一樣，定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)律是二元函數(shù)定義的兩要素。對(duì)于以算式表示的二元函數(shù)其定義域就是使式子有意義的自變量的變化范圍一組概念：1.區(qū)域：全部xy坐標(biāo)平面或由曲線所圍成的部分平面常用字母D表示2.邊界：圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界3.開(kāi)區(qū)域：不包括邊界的區(qū)域4.閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域第10頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的定義域5.有界區(qū)域（無(wú)界區(qū)域）：如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑的圓內(nèi)，否則為無(wú)解區(qū)域6.內(nèi)點(diǎn)：開(kāi)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)7.邊界點(diǎn)：邊界上的點(diǎn)8.區(qū)域的表示：與用區(qū)間表示不定式一樣，區(qū)域也可以用不等式或不等式組表示11第11頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的定義域12其圖形為：其圖形為：第12頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的定義域13其圖形為：其圖形為：第13頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的定義域例214第14頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的幾何意義思考：15二元函數(shù)的幾何意義？一元函數(shù)一般表示平面上的一條曲線；對(duì)于二元函數(shù)，在空間直角坐標(biāo)系中一般表示曲面第15頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的幾何意義16第16頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的幾何意義17第17頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限定義18第18頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的極限說(shuō)明（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù)?！@是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。19第19頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的極限說(shuō)明20（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫(xiě)出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限第20頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的極限一元極限與二元極限的異同？21?相同點(diǎn)一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要定義相同.不同點(diǎn)而多元函數(shù)于P0時(shí),條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨第21頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的極限確定極限不存在的方法22則可斷言極限不存在;(1)(2)找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,第22頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的極限23第23頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的極限例24說(shuō)明，二元極限問(wèn)題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問(wèn)題第24頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性的定義25第25頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性的定義26如果定義全增量與一元函數(shù)一樣,可用增量形式來(lái)描述函數(shù)的連續(xù)性。由此，可得到二元函數(shù)的連續(xù)性的另外一種表述第26頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性的定義27第27頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)的定義

28與一元初等函數(shù)的連續(xù)性類似，多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的第28頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.最值定理（最大值、最小值定理）29在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得最大值和最小值2.介值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在必能取得介于它的最大值和最小值之間的任何值至少一次第29頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元數(shù)極限、連續(xù)性的應(yīng)用練習(xí)130第30頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元數(shù)極限、連續(xù)性的應(yīng)用31第31頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸納梳理1.二元函數(shù)的定義32第32頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸納梳理2.二元函數(shù)的極限定義33第33頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸納梳理3.二元函數(shù)的連續(xù)性的定義34第34頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸納梳理3.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。35在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得最大值和