福建省漳州第一中學2023-2024學年高一年級上冊期中考試數學試題

福建省漳州第一中學2023-2024學年高一上學期期中考試數

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=卜卜1<》<1},5={0,1,2),則他A)c3=()

A.(0,1,2)B.(1,2}C.{0,1}D.{2}

2.命題“Vx>2023,x>2024”的否定是()

A.3x>2023,x<2024B.Hr<2023,x<2024

C.Vx>2023,x<2024D.Vx<2023,x42024

4.已知x,yeR,貝廠孫=0"是"x=0”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設。>0,則而.正五二<)

1_121

2

A.a''B.a'C?a2D?。30

6.己知max{a,b}表示。，b中的最大數，則max{(x+2)\x+2}的最小值為()

A.-2B.-1C.0D.2

7.設〃_07福，b=f--—],c=。+,則()

(2023)4。

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

8.若函數〃x)=0；L::;，則關于$的不等式/儼—i)>/(s+i)的解集為()

A.(―oo,—1)U(2,+oo)B.(—00,—]kJ[+8)

C.(-co,-1)^5/2,+oojD.卜8,-0].(2,+8)

二、多選題

9.關于幕函數/(用=<2,下列結論正確的是()

A./(x)的定義域為(-<?,0)(0,+oo)B./(X)的值域為R

C.“X)在區(qū)間(0,+8)上單調遞減D.Ax)的圖象關于點(0,0)對稱

10.下列函數中，與函數y=x+，有相同奇偶性的函數有()

A./(x)=%?|x|B.^(x)=2024x2+2023

C.h(x)=x3-xD.p(x)=4*+4-*

11.已知關于x的不等式“(x-l)(x-2)+l>0(aw0)的解集是(不々)(玉<々)，則()

A.a<0B.X)+x,=3C.>1D.

12.南北朝時期杰出的數學家、天文學家祖沖之對圓周率數值的精確推算值，對于中國

乃至世界是一個重大貢獻，后人將“這個精確推算值”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”,

簡稱‘‘祖率".已知圓周率兀=3.14159265358979323846264338327950288…，定義函數

[3,〃=0

fW=\?物上廣"八s物"廿，下列有關函數八")的結論中，正確的是()

[兀小數點后第”位的數字，neN

A.方程.f5)=0的最小解為32

B.VneN,都有f(/</("+l)

12

C.當〃〃)工。時，/(〃)+力的最小值為7

D.若&eN,,函數/("(/(”?)為常數函數，則％的最小值為8

三、填空題

13.若/(x)的定義域為[1,3],則/(2x-l)的定義域為.

14.若/(X)是奇函數，且當x>0時，/(X)=1-A/X,則當x<0時，/(x)=

15.設集合A={T,0},集合8={xwN|0Mx<。},若8中恰有2個元素，且定義

試卷第2頁，共4頁

A*B={(x,y)|xeAc氏yeAu8},則A*B的子集個數是.

16.已知函數/⑴=匚'，若對任意滿足。+6=2的正數。，b,都存在xe((),l),使

X

得/(x)=1+:成立，則實數m的取值范圍為________.

ab

四、解答題

17.已知集合A={x,-5x+44o},B=^x\2-m<x<2+m^.

(1)若AuB=A,求實數機的取值范圍；

(2)設p：xsA,q.x^B,若。是夕的充分不必要條件，求實數，"的取值范圍.

18.已知函數/。)=2"+。?2一.

⑴若/(x)是奇函數，求實數”的值；

(2)若a=l,試用函數單調性定義證明：函數，(x)在(0,+8)上單調遞增.

19.已知函數〃x)=x2+4av.

⑴若〃x)在區(qū)間[1,3]上具有單調性，求實數”的取值范圍；

⑵求〃x)在區(qū)間[a,a+1]上的最小值g(a).

20.購買某種機器時可同時購買維修服務，購買x次維修服務的總費用為f*)元，

X6N,.購買1次維修服務的總費用為150元，購買2次維修服務的總費用為250元,

當xW10時，.f(x)的圖象上所有點都在同一條直線上；當x>10時;Ax)的圖象上所有

點都在函數y=W-l+100x的圖象上.

X

⑴求了(X)的解析式；

(2)問：購買幾次維修服務能使平均每次的維修費用最少？

21.已知定義在R上的增函數/(x)滿足："2)=2且對于V,”，neR,都有

/(加+")=/(祖)+/(〃)+2成立.

r(1、圳-1

(1)求了⑴的值，并解方程/=0；

⑵若對任意xe[],4],不等式〃Z+x)+f(xT”4恒成立，求實數k的取值范圍.

22.已知函數/(*)=/+(。+1比+2。-1.P,函數y="(a)r在R上單調遞增;。：關

(2()23r_]\

于X的方程f(x)=o,當x<-l時有解；廠VxeR,/<0.若P,?,「中至

少有一個為假命題，求實數。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】先根據條件求出4A,再求&A)B即可.

【詳解】A=1x|-1<x<1|,

.?.0A={Hx4—1或xNl},又3={0,1,2},

.?他A}B={\,2}.

故選：B.

2.A

【分析】根據全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.

【詳解】命題“Vx>2023,x>2024”為全稱量詞命題，

其否定為：蟲>2023,x42024.

故選：A

3.B

【分析】首先判斷函數的奇偶性，再由/(0)及當x>0時函數值的特征判斷即可.

【詳解】函數/(x)=31'1的定義域為R且/(-X)=3小=3W=/(x),

故/(x)=W為偶函數，函數圖象關于y軸對稱，

因為/(0)=3°=1,故排除C、D；

當x>0時〃司=3'>1,故排除A.

故選：B

4.B

【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由沖=0可得x=0或y=o,

所以由孫=0推不出x=0,即充分性不成立，

由x=0推得出孫=0,即必要性成立，

所以“個=0”是“x=0”的必要不充分條件.

故選：B

5.C

答案第1頁，共11頁

【分析】利用指數運算公式直接計算.

￡!

【詳解】yja2-y/a-y/a=a1-a，”?],=a2■a1=a1-~—a-~=,

I7JI7I)\)

故選：C.

6.C

【分析】令〃x)=max{(x+2)2,x+2},根據所給定義求出/(x)的解析式，畫出函數圖象,

數形結合即可得解.

【詳解】令/(x)=max{(x+2)2,x+2},[i|(x+2)2>x+2,解得xN—1或x4—2,

由(X+2)2<X+2,解得一2令<一1,

(x+2)-,JC>-1

所以〃力=x+2,—2<x<—1,

(X+2)2,JC<-2

所以max{(x+2)\尤+2}的最小值為0.

故選：C

答案第2頁，共11頁

7.A

【分析】由lna=*ln0.7,lnb=0.71n』，構造y=膽研究單調性比較大小即可，結

20232023x

合指數函數、基本不等式確定?！?c大小.

【詳解】由lna=—Lln0.7,lnb=0.71n」一，要比較a,b大小，只需比較lna』nb大小，

20232023

ln1

i/t-f?4.^.In0.72023r人Inx-,1-lnx

故只需比較FT，彳u”大小,令丁=一且Ovxvl,故丁'=——>0,

0.7]xx

2023

1n1

所以尸(在(。,1)上遞增，而今盛，即。>甯>干

2023

1

所以lna=In0.7>In/?=0.7Intka>b,

20232023

則…+方2^”等號不能成立)'

又a=0.7幅e(O,l)

所以。>1>4>江

故選：A

8.D

【分析】由/⑴的性質，討論析TNl>s+l、s2T>s+izi分別求解集即可.

【詳解】由題設1幻在(-8,1)上為常數,在口,+00)上為增函數,

52_]>]

當s+E,即…亞時，*l"s+D恒成立;

?-1>1萬

(>X-2)>0'則—時，/『)>的+1)成立;

當,5+121,即

52-1>5+1

綜上，解集為卜(2,+8).

故選：D

9.AC

【分析】AB選項，根據函數特征得到定義域和值域；C選項，-2<0,得到/(A在區(qū)間(0,+8)

上單調遞減：D選項，根據函數奇偶性定義得到函數為偶函數，故D錯誤.

【詳解】A選項，/(乃二工—二上的定義域為(-0,0)(0,+8),A正確；

X

答案第3頁，共11頁

B選項，由于〃x)=5>0,故值域為(0,+e),B錯誤；

C選項，由于一2<0,故/(X)在區(qū)間(0,”)上單調遞減，C正確；

D選項，因為/。)=/=與的定義域為(—,0).(。,收)，

X

且“一力"言?=7=/("，故/(X)為偶函數，故不關于原點對稱，D錯誤?

故選：AC

10.BD

【分析】利用奇偶性的定義逐一判斷即可.

【詳解】由f(x)=X+：得/(-X)=T+白=x+J=/(x)

即函數y=X+J是定義在(e,o)u(o,+8)上的偶函數，

對于A：/(-X)=-X-1-x|=-X-1x1=-/(x),奇函數，

對于B：g(-x)=2O24(-X)2+2023=2024x2+2023=g(x),偶函數，

對于C：〃(一x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-〃(x),奇函數；

對于D：p(-x)=4T+4'=p(x),偶函數.

故選：BD.

11.ABC

【分析】依題意“<0,且演、巧是關于x的方程如2-3*+2〃+1=0的兩根，即可判斷A、

B,利用韋達定理判斷C,再結合函數與x軸的交點情況判斷D.

【詳解】因為關于X的不等式“(x-l)(x-2)+l>0("0)的解集是a.wXxaw),

所以”<0,且*］、巧是關于工的方程“(x-l)(x-2)+l=0即/_3ox+2a+l=0的兩根，

所以為+々=3,故A、B正確,

r2a+l?1

又占"==2+丁

所以々一%-1—>1f故C正確;

又y="x-l)(x—2)(。<。)與1軸有兩個交點(1,。),(2,0),

答案第4頁，共11頁

而產a(x-l)(x-2)+l是將函數y=a(x-l)(x-2)向上平移一個單位得到，

所以y=a(x—D(x—2)+l與x軸的交點橫坐標王<1,%>2,

所以x<1<2<々，故D錯誤；

故選：ABC

12.ACD

【分析】根據兀的數據判斷A,利用特殊值判斷B,分析〃")的取值，再結合對勾函數的

性質判斷C,分析出(/("))))=1,再一一列舉即可判斷D.

k個f

【詳解】因為兀=3.14159265358979323846264338327950288…且

_J3,n=0

i兀小數點后第〃位的數字，〃eN*'

所以函數/(〃)的值域為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

對于A：由兀=3.14159265358979323846264338327950288…，

可知方程/(〃)=0的最小解為32,故A正確：

對于B：當〃=0時“0)=3,"1)=1,所以故B錯誤；

對于C：因為/(〃)二0,所以/(〃)e{l,2,3,4,5,6,7,8,9},

又丫=》+/在(0,26)上單調遞減，在(26,”)上單調遞增，

1?

所以當/(〃)=3或〃〃)=4時/(〃)+7行取得最小值7,故C正確；

對于D：因為/(0)=3,/(1)=1,"2)=4,/(3)=1,44)=5,"5)=9,"6)=2,

"7)=6,"8)=5,"9)=3,

要使函數/("(/(〃))))為常數函數，則/(/(y(〃))))=1,

k個fk個f

對于任意的〃(neN*),則〃〃)e{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

又"/'(0))=1,〃i)=i,也(“/V⑵))))=i,

/(3)=1,./-(/(/(/(4))))=1,/(/(/(5)))=1,

答案第5頁，共11頁

所以k的最小值為8,故D正確；

故選：ACD

13.[1,2]

【分析】令l?2x-1V3求出x的取值范圍，即可得解.

【詳解】因為/(x)的定義域為[1,3],令1W2X-1W3,解得14x42,

所以/(2x-l)的定義域為[1,2].

故答案為：[L2]

14.-1+V-x

【分析】由-x>0,根據〃尤)=-〃-x)可求得結果.

【詳解】當x<0時，一x>0,=l—,

又f(x)為奇函數，，/(x)=-/(-x)=T+，W，

，當x<0時，/(X)=-1+A/-X.

故答案為：—1+yf—X-

15.8

【分析】首先求出集合8,即可求出AcB,AuB,再根據所給定義求出A*8,即可求出

A*8的子集個數.

【詳解】因為集合8={1€用04》<0且B中恰有2個元素，

則1<°42,所以B={O,1},

又4={-1,0},所以AcB={0},AUB={-1,0,1),

又A*B={(x,y)"cB,yeAu8},

所以A*8={(0,—1),(0,0),(04)},

所以4*8的子集有23=8個.

故答案為：8

16.0<m<l

【分析】由基本不等式得出等號右邊的范圍，再分類討論機的值，再利用二次函數并結合已

答案第6頁，共11頁

知條件分析求解.

a>0,b>0,a-^-b=2

11a+b2「1

a+b

"I-

當且僅當。=人=1時取等號，

設“x)=W^,xe(O,l)的值域為A,則[2,”)=A,

當%=0時，〃x)=xe(O,l),不符合題意；

iri

當小<0時.，X+-<X<1,不符合題意；

X

當機>0時，存在xe(0,l),使得〃x)=上詈42,則加42》一寸，

又因為xe(0,1),2x-x2<1.所以加<1,

綜上所述：0<〃2<1.

故答案為：

17.(l)w￡l；

(2)m>2.

【分析】(1)解一元二次不等式求得4={X|1MXV4},由題設有討論8=0、BW0

列不等式組求參數范圍；

(2)根據充分不必要條件知U,4][2-m,2+m],即可求參數范圍.

【詳解】⑴由4={%卜—l)(x-4)40}={x|l4x44},又A=B=A,即BqA,

當8=0,則2-機>2+初=>7%<0,滿足；

m>0

當5w0,則2—加21,可得04mK1；

2+加64

綜上，實數〃?的取值范圍相￡1.

(2)由2是0的充分不必要條件,故[1,4][2-九2+汨,

所以。一L(等號不同時成立)且加之2.

[2+機N4

18.⑴。=一1；

(2)證明見解析.

答案第7頁，共II頁

【分析】（1）由奇函數的性質有2*+.2、=-2'-〃2、，即可求參數值:

（2）由題設〃x）=2'+2T,令占＞々＞0應用作差法比較/區(qū)）,/（々）的大小，即可證.

【詳解】（1）由題設/（-幻=2-，+/2-1）=2-，+/2，=一/（幻，定義域為R,

所以2一'+夕2'=-2，-小2一"=（。+1）-2、=-（4+1＞2一'恒成立,

所以4=_1.

(2)由題設/(>￥)=2"+2->令演>%>0,

_2V,1

所以/(%)-/(%)=2%+2^?-2X2-2^=(2V--2X2)+—^=(2A--2^)(1--r),

21'22,2

又2y2>o」—/>o,則/a)-/(w)>o,即/&)>/(%).

所以函數/（X）在（0,”）上單調遞增，得證.

-4a2,--<a<0

3

⑵g(a)=45a2,aZ0

5礦+6a+1,a4—

【分析】（1）根據二次函數的單調性分類討論即可；

（2）結合二次函數的單調性分類討論取最小值的情況即可.

【詳解】（1）易知〃司=犬+40￥開口向上，對稱軸為x=—2%

所以若/（X）在區(qū)間［1,3］上單調遞增，貝懦-

若f（x）在區(qū)間『3］上單調遞減，則需-2oN3na4-1

綜上”的取值范圍為,8,-gU-；,+8）；

（2）當。＜一勿＜。+1,即-g,0）時，g（a）=/（—2Q）=-4C/,

當一即aNO時，g（a）=f（a）=5a2,

當一2aNa+l,即〃（一;時，g（a）=/（a+l）=5。2+6a+l,

答案第8頁，共11頁

.1

-4a2,——<tz<0n

3

綜上g(〃)=<.

z-2/.1

5a~+6。+1,。V一,

100x4-50,1<x<10

20.(l)/(x)=]io(XGN*)

——l+100x,x>10

.x

(2)20次

【分析】(1)當14x410且xeN?時設/(x)=d+b,根據/⑴=150、/(2)=250代入求

出左、人的值，即可求出解析式；

(2)設平均每次的維修費用為g(x),則g(x)=/尸，分14x50和x>10兩種情況討論，

結合基函數與二次函數的性質計算可得.

/、伙+人=150僅=100

【詳解】⑴當14x410且xeN*時設〃力=履+乩則，解得，「八，

[22+/?=250[8=50

所以〃x)=100x+50(l<x<10KxeN-),

當x>10時/(%)=y-l+100x,

100x+50,l<x<10

綜上可得〃x)=10.、⑺(xeN*).

---l+100x,x>10

.x

(2)設平均每次的維修費用為g(x),

當”xV10且xeN*時g(x)=/iD=100+型，函數g(x)在[l[0](xeN)上單調遞減，

XX

當x=10時g(xL=105；

當x>10時g(x)=^^=?-，+100=10(，一；)+99.975,

xxxVx20)

所以當IM即尸20時g(x)取得最小值，即8⑴799.975,

綜上可得購買20次維修服務能使平均每次的維修費用最少.

21.(l)/(l)=0；x=±^

⑵[2,+co)

答案第9頁，共11頁

【分析】（1）利用賦值法及函數的單調性解方程即可;

（2）根據條件先推出/（%+X+XT）2/（4）,再由對勾函數的性