2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)十三中八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)十三中八年級(jí)第一學(xué)期第一次月考數(shù)

學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

JT

1.在下列實(shí)數(shù)：—S6、竽-1.010010001…中,無(wú)理數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.^/R的立方根是（)

A.8B.2C.±8D.±4

3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.3的平方根是愿

B.-1的立方根是-1

C.0.1是0.01的一個(gè)平方根

D.算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1

4.下列運(yùn)算正確的是（）

〃?〃〃

A.23=6B.(j2)3=一a5

C.”1?9=4(〃#0)D.(-be)44-(-be)2=-h2c2

5.下列各式：①-b)(b+a)②Ca1-b)(-a-b)③(-a-b)(a+b)④(a-

b）（-a+b）,能用于平方

差公式計(jì)算的有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.若悶=-a,則實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在（）

A.原點(diǎn)左側(cè)B.原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè)

C.原點(diǎn)右側(cè)D.原點(diǎn)或原點(diǎn)右側(cè)

7.已知JC?=6,x"=3,則N，"-"的值為（）

A.9B.39C.12D.108

8.如果4N+H+25是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（）

A.10B.±10C.20D.±20

9.如圖所示，數(shù)軸上表示2,，弓的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,8,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示

的數(shù)是（）

￡3

0

A.-遙B.2-A/5C.4-75D.75-2

10.如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線(xiàn)剪開(kāi),

拼成右邊的矩形.根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫(xiě)出的一個(gè)正確的等式是()

B.〃-b)=a2-ah

C.(a-/?)-H1D._護(hù)=(〃+b)(a-b)

二、填空題(本大題共5小題，共15?0分)

11.寫(xiě)出一個(gè)比3大且比4小的無(wú)理數(shù)：.

12.若45+/+1|=0,則(a+b)2。20=.

13.若2X4"X8"=22i,則”的值為

14.已知。2+按=13,(a-b)2=1,貝ij(a+b)2=.

15.小青和小紅分別計(jì)算同一道整式乘法題：(2x+a)(3x+h)，小青由于抄錯(cuò)了一個(gè)多項(xiàng)

式中“的符號(hào)，得到的結(jié)果為6/-13x+6,小紅由于抄錯(cuò)了第二個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù),

得到的結(jié)果為2r2-x-6,則這道題的正確結(jié)果是.

三、計(jì)算題(本大題共2小題，共18.0分)

16.計(jì)算：

⑴y-+

(2)-l4-2X(-3)2+V^27+(二)

3

17.先化簡(jiǎn)，再求值：(2x-l)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2,其中％=-工.

3

四、解答題(本大題共6小題，共57.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

18.己知5a+2的立方根是3,3a+8-1的算術(shù)平方根是4,c是，石的整數(shù)部分.

(1)求a,b,c的值；

(2)求3a-b+c的平方根.

19.定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,記為F=-l,這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如〃+從

(a,b為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它

的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類(lèi)似.

例如計(jì)算:(3-z)+(5+3i)=(3+5)+(-1+3)i=8+2i：

(I+z)X(3-z)=1X3-H3Xi-於=3+(-1+3)i+l=4+2i.

根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：

(1)填空：/=，戶(hù)=；

(2)計(jì)算：(2+z)X(3-4z)；

(3)計(jì)算：i+於+產(chǎn)+產(chǎn)+…+於。22.

20.【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到

一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到(a+b)(a+b)=cfl+2ab+b2,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；

(2)利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：

已知a+b+c=11.ab+bc+ac=38,求。2+按+。2的值；

(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為。的正方形，y張邊長(zhǎng)為6的正方形，z張寬、長(zhǎng)分

別為“、。的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為(2a+6)(a+2b)長(zhǎng)方形，則x+y+z=；

【知識(shí)遷移】(4)事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4

表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)

圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：.

21.課堂上，老師出了一道題：比較理-2與.的大小.

小明的解法如下：

解.無(wú)-22戶(hù)22_布-4

：-33=3=~3-'

因?yàn)?9>16,所以仙〉4，所以?xún)?nèi)-4〉0，

所以，?-4>所以m-2〉2

333

我們把這種比較大小的方法稱(chēng)為作差法.

請(qǐng)利用上述方法比較實(shí)數(shù)亞它3與苫的大小.

93

22.如圖，邊長(zhǎng)為〃的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為8(6<〃)的小正方形，如圖2是由圖1中的

陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形.

(1)

(1)設(shè)圖1陰影部分的面積為0,圖2中陰影部分的面積為S2,請(qǐng)直接用含m匕的式

子表示51=,S2=,寫(xiě)出上述過(guò)程中所揭示的乘法公

式：

(2)直接應(yīng)用，利用這個(gè)公式計(jì)算：

①(--X-y)(y--x)；

22

②102X98.

(3)拓展應(yīng)用，試?yán)眠@個(gè)公式求下面代數(shù)式的結(jié)果.

(3+1)X(32+1)X(34+1)X(38+1)X(301)X…X(3|024+1)+1.

23.如圖①，一個(gè)寬為處長(zhǎng)為4b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，

然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形(如圖②).

(1)觀(guān)察圖②，請(qǐng)你用等式表示(a+b)2,(a-b)2,ab之間的數(shù)量關(guān)

系：;

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，如果x+y=5,xy*,求代數(shù)式(x-y)2的值；

(3)觀(guān)察圖③，解決下面的問(wèn)題:

若a+b+c=6,。2+按+。2=14,求ab+bc+ac的值.

圖③

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在下列實(shí)數(shù)：3-、百、日、亨、-1.010010001…中，無(wú)理數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，可得答案.

解：；、百、-1.010010001…是無(wú)理數(shù)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不

循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù).如m娓,0.8080080008-（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式.

2.JR的立方根是（）

A.8B.2C.±8D.±4

【分析】先求出JR=8,再求出8的立方根即可.

解：?：'64=8,

二JR的立方根是沈=2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根、立方根的定義，能熟記算術(shù)平方根和立方根定義是解

此題的關(guān)鍵，注意：a（a20）的平方根是遍，。的立方根是我.

3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.3的平方根是依

B.-1的立方根是-1

C.0.1是0.01的一個(gè)平方根

D.算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1

【分析】根據(jù)立方根的定義和求法，平方根的定義和求法，以及算術(shù)平方根的定義和求

法，逐項(xiàng)判定即可.

解：4、3的平方根是土百，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；

8、-1的立方根是-1,原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、0.1是0.01的一個(gè)平方根，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1,原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根.解題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根的定

義，平方根的定義，以及算術(shù)平方根的定義.

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.〃2.a3=46B.(-Cl1')3=-a5

C.aw-i-d)=a(4/0)D.(-be)44-(-be)2=-h2^

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法、除法、積的乘方和基的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.

解：4、故4錯(cuò)誤;

B、(-a2)3--a6,故B錯(cuò)誤；

C、3。+濟(jì)=”(〃￥0),故C正確；

D、(-瓦?)4+(-be)2=b2c2,故。錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)幕的乘法、除法、積的乘方和幕的乘方，掌握運(yùn)算法則是解

題的關(guān)鍵.

5.下列各式：①(a-6)Cb+a)②(a-6)(-a-/?)③(-a-b)Ca+b)@(a-

b)C-a+b),能用于平方

差公式計(jì)算的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.

解：①(a-b)(b+a)=a2-b2,符合題意；

②(a-b)=爐-足，符合題意；

③(-〃-/>)(￡(+/>)=-(a+h)2--a2-lab-h2,不符合題意；

@Ca-b)(-a+b)=-(a-b)』-於②/匕-b2,不符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)犍.

6.若同=-a,則實(shí)數(shù)”在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在()

A.原點(diǎn)左側(cè)B.原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè)

C.原點(diǎn)右側(cè)D.原點(diǎn)或原點(diǎn)右側(cè)

【分析】根據(jù)同=-。，求出。的取值范圍，再根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可求出答案.

解：Vk/|=-a,

一定是非正數(shù)，

實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了絕對(duì)值與數(shù)軸，根據(jù)|a|20,然后利用數(shù)軸的知識(shí)即可解答，是一道

基礎(chǔ)題.

7.已知T"=6,爐=3,則N，"-"的值為（）

A.9B.39C.12D.108

【分析】先將變形為（爐）2+x",然后將/=6,x"=3代入求解即可.

解：：乂"=6,加=3,

=（爐,）

=62-?3

=12.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)寨的除法，解答本題的關(guān)鍵在于先將心"-"變形為（加產(chǎn)土爐,

然后將爐=6,爐=3代入求解.

8.如果49+丘+25是一個(gè)完全平方式，那么上的值是（）

A.10B.±10C.20D.±20

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出％的值.

解：：4X2+H+25是一個(gè)完全平方式，

.?.仁士20,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

9.如圖所示，數(shù)軸上表示2,遙的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,B,點(diǎn)C是的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示

的數(shù)是（）

A.-A/5B.2--\/5C.4-5/5D.-2

【分析】首先可以求出線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度，然后利用中點(diǎn)的性質(zhì)即可解答.

解：：?表示2,述的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,B,

：.CB=^-2,

?.?點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是x,

則x=4-后,

點(diǎn)4表示的數(shù)是4-遙.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間為,X2的中點(diǎn)的計(jì)算方法.

10.如圖，從邊長(zhǎng)為?的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線(xiàn)剪開(kāi),

拼成右邊的矩形.根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫(xiě)出的一個(gè)正確的等式是（）

A.(a-b)B.a(a-b)—a2-ab

C.(a-h)2—a2-h2D."2-/=(a+6)(4-b)

【分析】利用正方形的面積公式和矩形的面積公式分別表示出陰影部分的面積，然后根

據(jù)面積相等列出等式即可.

解：第一個(gè)圖形陰影部分的面積是“2-4,

第二個(gè)圖形的面積是（a+b）（a-h）.

則a2-b2=（a+b）（a-b）.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示陰影部分的面積是關(guān)

鍵.

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.寫(xiě)出一個(gè)比3大且比4小的無(wú)理數(shù)：n（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義即可.

解：寫(xiě)出一個(gè)比3大且比4小的無(wú)理數(shù)：K（答案不唯一）.

故答案為：7T（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不

循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù).如n,娓,0.8080080008-(每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0)等形式.

12.若7^+/+1|=0,則(a+b)2。2。=1.

【分析】由Ja-2+l1+ll=0得”=2,b=-i,代入求解.

解：；石工》，族+1|20，工+步+"=0，

:?a-2=0,。=2,

b+l=0,b=-1,

:.(a+b)2020=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式及絕對(duì)值的非負(fù)性，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次根式及絕對(duì)值

的非負(fù)性.

13.若2X4"X8"=22i,則"的值為4.

【分析】直接利用同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則將原式變形求出答案.

解：；2X4"X8"=22i,

.,.2X22,'X23n=221,

/.l+2n+3n=21,

解得：n—4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)嘉的乘法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

14.已知。2+匕2=]3,(a-b)2=1,則(。+6)2=25.

【分析】利用完全平方公式求出所求即可.

解：a^b2—13,(a-b)2=?2+Z?2-2ab=1,

??ab=6,

則原式=〃2+62+2岫=13+12=25,

故答案為：25.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

15.小青和小紅分別計(jì)算同一道整式乘法題：(2x+a)(3x+b),小青由于抄錯(cuò)了一個(gè)多項(xiàng)

式中“的符號(hào)，得到的結(jié)果為6/-13x+6,小紅由于抄錯(cuò)了第二個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù),

得到的結(jié)果為2F-x-6,則這道題的正確結(jié)果是6F+5X-6.

【分析】根據(jù)小青由于抄錯(cuò)了一個(gè)多項(xiàng)式中。的符號(hào)，得到的結(jié)果為6x2-13x+6,可知

(2x-?)(3x+b)=6/+(2/7-3a)x-ab=6x2-13x+6,根據(jù)等于號(hào)的性質(zhì)可得2b-

3a=-13①；再根據(jù)小紅由于抄錯(cuò)了第二個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2/-x

-6,可知常數(shù)項(xiàng)是-6,可知(2x+a)(x+6)—lx1-x-6,可得2b+a=-l②，解關(guān)于

①②的方程組即可求〃、方的值，進(jìn)而可求一次項(xiàng)系數(shù).

解：根據(jù)題意可知

小青由于抄錯(cuò)了一個(gè)多項(xiàng)式中。的符號(hào)，得到的結(jié)果為6x2-13x+6,

那么(2x-“)(3x+b)=6/+(2b-3a)x-a8=6/-13x+6,

可得2b-3a=-13①，

小紅由于抄錯(cuò)了第二個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)，得到的結(jié)果為入2-x-6,

可知(2x+a)(x+b)=2x2-x-6,

即2x2+(2b+a)x+ab—2x2-x-6,

可得2b+a--1②，

解關(guān)于①②的方程組，可得〃=3,b=-2,

28+3。=5.

故答案為：6/+5X-6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則、解方程組，解題的關(guān)鍵是理解題目表達(dá)

的意思.

三、計(jì)算題(本大題共2小題，共18.0分)

16.計(jì)算：

⑴y-

(2)-l4-2X(-3)2+\^27+(二)

3

【分析】(1)原式利用平方根、立方根定義計(jì)算即可求出值；

(2)原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘除運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算即可求出值.

解：(1)原式=2-2-￡

=1

一T,

(2)原式=-1-2X9+(-3)X(-3)

=-1-18+9

=-10.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

17.先化簡(jiǎn)，再求值：(2x-l)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2,其中》=-日.

【分析】運(yùn)用乘法公式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，將式子展開(kāi)，合并，再代值計(jì)算.

解：原式=2%2+3x-2-(x2-4x+4)-(x2+4x+4),

—3x-10,

當(dāng)x=-l時(shí)，原式=3X(--)-10=-11.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值.關(guān)鍵是運(yùn)用乘法公式、多項(xiàng)式乘以多

項(xiàng)式的法則，將式子展開(kāi)，合并.

四、解答題(本大題共6小題，共57.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

18.已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,c是，運(yùn)的整數(shù)部分.

(1)求a,b,c的值；

(2)求3a-b+c的平方根.

【分析】(1)利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無(wú)理數(shù)的估算方法，求出。、氏

c的值；

(2)將a、b、c的值代入代數(shù)式求出值后，進(jìn)一步求得平方根即可.

解：(1)..與葉？的立方根是3,3a+匕-1的算術(shù)平方根是4,

；.5a+2=27,3a+b-1=16,

，。=5,Z?=2,

???c是我的整數(shù)部分，

**?c=3.

(2)將a=5,b=2,c=3代入得：3a-Z?+c=16,

：.3a-b+c的平方根是±4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無(wú)理數(shù)的估算方法、平方根的意

義、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握解答順序，正確計(jì)算即可.

19.定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,記為，2=-1,這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如“+歷

(。，〃為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中〃叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它

的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類(lèi)似.

例如計(jì)算:(3-i)+(5+30=(3+5)+(-1+3)i=8+2i；

(1+;)X(3-i)=1X3-i+3Xi-p=3+(-1+3)z+l=4+2z.

根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：

(1)填空：戶(hù)=-i，/4=1；

(2)計(jì)算：(2+/)X(3-4/)；

(3)計(jì)算：i+P+戶(hù)+產(chǎn)+…+件22.

【分析】(1)將運(yùn)算變形為含戶(hù)的運(yùn)算即可；

(2)運(yùn)用題目定義和類(lèi)似與多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算；

(3)根據(jù)i=i,於=-1,戶(hù)=-八產(chǎn)=1,…+產(chǎn)2』-1,的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可.

解：(1)i3—P*i--\*i--i,i4—12,12--1,(-1)-1,

故答案為：-i,1；

(2)(2+z)X(3-4/)；

=6-8/+3z+4

=10-5i；

(3)i+P+P+i4+…+3°22

=z-1-/+1+???+/-1

=i-1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)新定義運(yùn)算問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)定義和實(shí)數(shù)的運(yùn)算

方法進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算.

20.【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到

一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式(a+b+c)3=序+〃+<。+2ab+2ac+2bc；

(2)利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：

已知a+b+c=11,ab+bc+ac=3^,求a2+/>2+c2的值；

(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為。的正方形，y張邊長(zhǎng)為6的正方形，z張寬、長(zhǎng)分

別為“、。的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為(2a+6)Ca+2b)長(zhǎng)方形，則x+y+z=9:

【知識(shí)遷移】(4)事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4

表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為%的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)

圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：(x-1)(x+1).

【分析】(1)依據(jù)大正方形的面積=(a+b+c)2,各部分面積之和=a2+/?2+c2+24b+2“c+2bc,

從而可得答案；

(2)依據(jù)(a+6+c)2=c^+^+^+lab+lac+lhc,進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab,而(2a+Z?)(a+2/?)=2a2+2b2+5ab,比較

系數(shù)可得答案.

(4)根據(jù)原幾何體的體積=新幾何體的體積，列式可得結(jié)論.

解：(1)最外層正方形的面積為：(a+b+c)2,

分部分來(lái)看，有三個(gè)正方形和六個(gè)長(zhǎng)方形，

其和為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

總體看的面積和分部分求和的面積相等.

故答案為：(a+b+c)2=a^+^+lab+lac+lbc.

(2)■/a+b+c—11,ah+hc+ac—3S,

：.112=42+按+3+2X38

：.a2+b2+c2=l2l-76=45

二屏+"+d的值為45.

(3),/(2a+b)(a+2h)=2a2+2h2+5ah

.".x=2,y=2,z=5

.\x+y+z=9

故答案為:9.

(4)大立方體的體積等于挖去的長(zhǎng)方體的體積為XX1X1=X,從而剩余部分的體積

為X3-X;

重新拼成的新長(zhǎng)方體體積為：x(x-1)(A-+1)

兩者體積相等.

故答案為：X3-x=x(X-1)(%+1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，明確相關(guān)圖形的面積或體積計(jì)算公式，

數(shù)形結(jié)合，正確列式是解題的關(guān)鍵.

21.課堂上，老師出了一道題：比較返二2與苫的大小.

33

小明的解法如下：

解百^-22=樂(lè)-2-2_布-4

'■~"33=3=3-'

因?yàn)?9>16,所以仙〉4,所以J通-4〉0，

所以理-4〉所以建二

我們把這種比較大小的方法稱(chēng)為作差法.

請(qǐng)利用上述方法比較實(shí)數(shù)迤/■與4的大小.

【分析】根據(jù)作差法即可比較大小.

解.2-、6-9

：-93=99=~9-，

因?yàn)?4>81,所以JR>9，

所以JR-9>0>

所以嗎型>0，

所以YS二S>2.

93

【點(diǎn)評(píng)】考查了實(shí)數(shù)大小比較，關(guān)鍵是熟練掌握比較大小的作差法.

22.如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為(6<〃)的小正方形，如圖2是由圖1中的

陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形.

(1)設(shè)圖1陰影部分的面積為S,圖2中陰影部分的面積為S2,請(qǐng)直接用含。，〃的式

子表示S尸“2一按，S2=(a+b)(a-b),寫(xiě)出上述過(guò)程中所揭示的乘法公式“2

-匕2=(a+b)(a-b)；

(2)直接應(yīng)用，利用這個(gè)公式計(jì)算：

①(一—X-y')(y--x)；

22

②102X98.

(3)拓展應(yīng)用，試?yán)眠@個(gè)公式求下面代數(shù)式的結(jié)果.

(3+1)X(32+1)X(34+1)X(38+1)X(3|6+1)X-X(3|024+1)+1.

【分析】(1)5|=大正方形的面積-小正方形的面積，S2=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)X長(zhǎng)方形的寬，

由S=S2得出乘法公式.

(2)公式直接應(yīng)用，①中的-既是公式里的a,y是公式里的從②102X98轉(zhuǎn)化為(100+2)

X(100-2)再利用公式計(jì)算.

(3)乘法算式先乘以(3-1