2023-2024學年河南省南陽十三中八年級（上）第一次月考數(shù)學試卷(含解析)

2023-2024學年河南省南陽十三中八年級第一學期第一次月考數(shù)

學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

JT

1.在下列實數(shù)：—S6、竽-1.010010001…中,無理數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.^/R的立方根是（)

A.8B.2C.±8D.±4

3.下列說法錯誤的是（）

A.3的平方根是愿

B.-1的立方根是-1

C.0.1是0.01的一個平方根

D.算術平方根是本身的數(shù)只有0和1

4.下列運算正確的是（）

〃?〃〃

A.23=6B.(j2)3=一a5

C.”1?9=4(〃#0)D.(-be)44-(-be)2=-h2c2

5.下列各式：①-b)(b+a)②Ca1-b)(-a-b)③(-a-b)(a+b)④(a-

b）（-a+b）,能用于平方

差公式計算的有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.若悶=-a,則實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點一定在（）

A.原點左側(cè)B.原點或原點左側(cè)

C.原點右側(cè)D.原點或原點右側(cè)

7.已知JC?=6,x"=3,則N，"-"的值為（）

A.9B.39C.12D.108

8.如果4N+H+25是一個完全平方式，那么k的值是（）

A.10B.±10C.20D.±20

9.如圖所示，數(shù)軸上表示2,，弓的對應點分別為C,8,點C是AB的中點，則點A表示

的數(shù)是（）

￡3

0

A.-遙B.2-A/5C.4-75D.75-2

10.如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開,

拼成右邊的矩形.根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是()

B.〃-b)=a2-ah

C.(a-/?)-H1D._護=(〃+b)(a-b)

二、填空題(本大題共5小題，共15?0分)

11.寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：.

12.若45+/+1|=0,則(a+b)2。20=.

13.若2X4"X8"=22i,則”的值為

14.已知。2+按=13,(a-b)2=1,貝ij(a+b)2=.

15.小青和小紅分別計算同一道整式乘法題：(2x+a)(3x+h)，小青由于抄錯了一個多項

式中“的符號，得到的結果為6/-13x+6,小紅由于抄錯了第二個多項式中的x的系數(shù),

得到的結果為2r2-x-6,則這道題的正確結果是.

三、計算題(本大題共2小題，共18.0分)

16.計算：

⑴y-+

(2)-l4-2X(-3)2+V^27+(二)

3

17.先化簡，再求值：(2x-l)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2,其中％=-工.

3

四、解答題(本大題共6小題，共57.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

18.己知5a+2的立方根是3,3a+8-1的算術平方根是4,c是，石的整數(shù)部分.

(1)求a,b,c的值；

(2)求3a-b+c的平方根.

19.定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為F=-l,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如〃+從

(a,b為實數(shù))的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部，它

的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似.

例如計算:(3-z)+(5+3i)=(3+5)+(-1+3)i=8+2i：

(I+z)X(3-z)=1X3-H3Xi-於=3+(-1+3)i+l=4+2i.

根據(jù)以上信息，完成下列問題：

(1)填空：/=，戶=；

(2)計算：(2+z)X(3-4z)；

(3)計算：i+於+產(chǎn)+產(chǎn)+…+於。22.

20.【知識生成】我們已經(jīng)知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到

一個數(shù)學等式，例如由圖1可以得到(a+b)(a+b)=cfl+2ab+b2,請解答下列問題：

(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學等式；

(2)利用(1)中所得到的結論，解決下面的問題：

已知a+b+c=11.ab+bc+ac=38,求。2+按+。2的值；

(3)小明同學用圖3中x張邊長為。的正方形，y張邊長為6的正方形，z張寬、長分

別為“、。的長方形紙片拼出一個面積為(2a+6)(a+2b)長方形，則x+y+z=；

【知識遷移】(4)事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4

表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)

圖4中圖形的變化關系，寫出一個數(shù)學等式：.

21.課堂上，老師出了一道題：比較理-2與.的大小.

小明的解法如下：

解.無-22戶22_布-4

：-33=3=~3-'

因為19>16,所以仙〉4，所以內(nèi)-4〉0，

所以，?-4>所以m-2〉2

333

我們把這種比較大小的方法稱為作差法.

請利用上述方法比較實數(shù)亞它3與苫的大小.

93

22.如圖，邊長為〃的正方形中有一個邊長為8(6<〃)的小正方形，如圖2是由圖1中的

陰影部分拼成的一個長方形.

(1)

(1)設圖1陰影部分的面積為0,圖2中陰影部分的面積為S2,請直接用含m匕的式

子表示51=,S2=,寫出上述過程中所揭示的乘法公

式：

(2)直接應用，利用這個公式計算：

①(--X-y)(y--x)；

22

②102X98.

(3)拓展應用，試利用這個公式求下面代數(shù)式的結果.

(3+1)X(32+1)X(34+1)X(38+1)X(301)X…X(3|024+1)+1.

23.如圖①，一個寬為處長為4b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，

然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形(如圖②).

(1)觀察圖②，請你用等式表示(a+b)2,(a-b)2,ab之間的數(shù)量關

系：;

(2)根據(jù)(1)中的結論，如果x+y=5,xy*,求代數(shù)式(x-y)2的值；

(3)觀察圖③，解決下面的問題:

若a+b+c=6,。2+按+。2=14,求ab+bc+ac的值.

圖③

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在下列實數(shù)：3-、百、日、亨、-1.010010001…中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，可得答案.

解：；、百、-1.010010001…是無理數(shù)，

故選：C.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不

循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如m娓,0.8080080008-（每兩個8之間依次多1個0）等形式.

2.JR的立方根是（）

A.8B.2C.±8D.±4

【分析】先求出JR=8,再求出8的立方根即可.

解：?：'64=8,

二JR的立方根是沈=2,

故選：B.

【點評】本題考查了算術平方根、立方根的定義，能熟記算術平方根和立方根定義是解

此題的關鍵，注意：a（a20）的平方根是遍，。的立方根是我.

3.下列說法錯誤的是（）

A.3的平方根是依

B.-1的立方根是-1

C.0.1是0.01的一個平方根

D.算術平方根是本身的數(shù)只有0和1

【分析】根據(jù)立方根的定義和求法，平方根的定義和求法，以及算術平方根的定義和求

法，逐項判定即可.

解：4、3的平方根是土百，原說法錯誤，故此選項符合題意；

8、-1的立方根是-1,原說法正確，故此選項不符合題意；

C、0.1是0.01的一個平方根，原說法正確，故此選項不符合題意；

。、算術平方根是本身的數(shù)只有0和1,原說法正確，故此選項不符合題意.

故選：A.

【點評】此題考查了立方根、平方根、算術平方根.解題的關鍵是熟練掌握立方根的定

義，平方根的定義，以及算術平方根的定義.

4.下列運算正確的是()

A.〃2.a3=46B.(-Cl1')3=-a5

C.aw-i-d)=a(4/0)D.(-be)44-(-be)2=-h2^

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法、除法、積的乘方和基的乘方進行計算即可.

解：4、故4錯誤;

B、(-a2)3--a6,故B錯誤；

C、3。+濟=”(〃￥0),故C正確；

D、(-瓦?)4+(-be)2=b2c2,故。錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的乘法、除法、積的乘方和幕的乘方，掌握運算法則是解

題的關鍵.

5.下列各式：①(a-6)Cb+a)②(a-6)(-a-/?)③(-a-b)Ca+b)@(a-

b)C-a+b),能用于平方

差公式計算的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用平方差公式的結構特征判斷即可.

解：①(a-b)(b+a)=a2-b2,符合題意；

②(a-b)=爐-足，符合題意；

③(-〃-/>)(￡(+/>)=-(a+h)2--a2-lab-h2,不符合題意；

@Ca-b)(-a+b)=-(a-b)』-於②/匕-b2,不符合題意，

故選：B.

【點評】此題考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關犍.

6.若同=-a,則實數(shù)”在數(shù)軸上的對應點一定在()

A.原點左側(cè)B.原點或原點左側(cè)

C.原點右側(cè)D.原點或原點右側(cè)

【分析】根據(jù)同=-。，求出。的取值范圍，再根據(jù)數(shù)軸的特點進行解答即可求出答案.

解：Vk/|=-a,

一定是非正數(shù)，

實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點一定在原點或原點左側(cè).

故選：B.

【點評】此題考查了絕對值與數(shù)軸，根據(jù)|a|20,然后利用數(shù)軸的知識即可解答，是一道

基礎題.

7.已知T"=6,爐=3,則N，"-"的值為（）

A.9B.39C.12D.108

【分析】先將變形為（爐）2+x",然后將/=6,x"=3代入求解即可.

解：：乂"=6,加=3,

=（爐,）

=62-?3

=12.

故選：C.

【點評】本題考查了同底數(shù)寨的除法，解答本題的關鍵在于先將心"-"變形為（加產(chǎn)土爐,

然后將爐=6,爐=3代入求解.

8.如果49+丘+25是一個完全平方式，那么上的值是（）

A.10B.±10C.20D.±20

【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出％的值.

解：：4X2+H+25是一個完全平方式，

.?.仁士20,

故選：D.

【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

9.如圖所示，數(shù)軸上表示2,遙的對應點分別為C,B,點C是的中點，則點A表示

的數(shù)是（）

A.-A/5B.2--\/5C.4-5/5D.-2

【分析】首先可以求出線段BC的長度，然后利用中點的性質(zhì)即可解答.

解：：?表示2,述的對應點分別為C,B,

：.CB=^-2,

?.?點C是AB的中點，則設點A的坐標是x,

則x=4-后,

點4表示的數(shù)是4-遙.

故選：C.

【點評】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間為,X2的中點的計算方法.

10.如圖，從邊長為?的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開,

拼成右邊的矩形.根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是（）

A.(a-b)B.a(a-b)—a2-ab

C.(a-h)2—a2-h2D."2-/=(a+6)(4-b)

【分析】利用正方形的面積公式和矩形的面積公式分別表示出陰影部分的面積，然后根

據(jù)面積相等列出等式即可.

解：第一個圖形陰影部分的面積是“2-4,

第二個圖形的面積是（a+b）（a-h）.

則a2-b2=（a+b）（a-b）.

故選：D.

【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示陰影部分的面積是關

鍵.

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：n（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可.

解：寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：K（答案不唯一）.

故答案為：7T（答案不唯一）.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不

循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如n,娓,0.8080080008-(每兩個8之間依次多1個0)等形式.

12.若7^+/+1|=0,則(a+b)2。2。=1.

【分析】由Ja-2+l1+ll=0得”=2,b=-i,代入求解.

解：；石工》，族+1|20，工+步+"=0，

:?a-2=0,。=2,

b+l=0,b=-1,

:.(a+b)2020=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查二次根式及絕對值的非負性，解題關鍵是熟練掌握二次根式及絕對值

的非負性.

13.若2X4"X8"=22i,則"的值為4.

【分析】直接利用同底數(shù)塞的乘法運算法則將原式變形求出答案.

解：；2X4"X8"=22i,

.,.2X22,'X23n=221,

/.l+2n+3n=21,

解得：n—4.

故答案為：4.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)嘉的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

14.已知。2+匕2=]3,(a-b)2=1,則(。+6)2=25.

【分析】利用完全平方公式求出所求即可.

解：a^b2—13,(a-b)2=?2+Z?2-2ab=1,

??ab=6,

則原式=〃2+62+2岫=13+12=25,

故答案為：25.

【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

15.小青和小紅分別計算同一道整式乘法題：(2x+a)(3x+b),小青由于抄錯了一個多項

式中“的符號，得到的結果為6/-13x+6,小紅由于抄錯了第二個多項式中的x的系數(shù),

得到的結果為2F-x-6,則這道題的正確結果是6F+5X-6.

【分析】根據(jù)小青由于抄錯了一個多項式中。的符號，得到的結果為6x2-13x+6,可知

(2x-?)(3x+b)=6/+(2/7-3a)x-ab=6x2-13x+6,根據(jù)等于號的性質(zhì)可得2b-

3a=-13①；再根據(jù)小紅由于抄錯了第二個多項式中的x的系數(shù)，得到的結果為2/-x

-6,可知常數(shù)項是-6,可知(2x+a)(x+6)—lx1-x-6,可得2b+a=-l②，解關于

①②的方程組即可求〃、方的值，進而可求一次項系數(shù).

解：根據(jù)題意可知

小青由于抄錯了一個多項式中。的符號，得到的結果為6x2-13x+6,

那么(2x-“)(3x+b)=6/+(2b-3a)x-a8=6/-13x+6,

可得2b-3a=-13①，

小紅由于抄錯了第二個多項式中的x的系數(shù)，得到的結果為入2-x-6,

可知(2x+a)(x+b)=2x2-x-6,

即2x2+(2b+a)x+ab—2x2-x-6,

可得2b+a--1②，

解關于①②的方程組，可得〃=3,b=-2,

28+3。=5.

故答案為：6/+5X-6.

【點評】本題考查了多項式乘以多項式的法則、解方程組，解題的關鍵是理解題目表達

的意思.

三、計算題(本大題共2小題，共18.0分)

16.計算：

⑴y-

(2)-l4-2X(-3)2+\^27+(二)

3

【分析】(1)原式利用平方根、立方根定義計算即可求出值；

(2)原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后算加減運算即可求出值.

解：(1)原式=2-2-￡

=1

一T,

(2)原式=-1-2X9+(-3)X(-3)

=-1-18+9

=-10.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

17.先化簡，再求值：(2x-l)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2,其中》=-日.

【分析】運用乘法公式、多項式乘以多項式的法則，將式子展開，合并，再代值計算.

解：原式=2%2+3x-2-(x2-4x+4)-(x2+4x+4),

—3x-10,

當x=-l時，原式=3X(--)-10=-11.

33

【點評】本題考查了整式的混合運算及化簡求值.關鍵是運用乘法公式、多項式乘以多

項式的法則，將式子展開，合并.

四、解答題(本大題共6小題，共57.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

18.已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算術平方根是4,c是，運的整數(shù)部分.

(1)求a,b,c的值；

(2)求3a-b+c的平方根.

【分析】(1)利用立方根的意義、算術平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，求出。、氏

c的值；

(2)將a、b、c的值代入代數(shù)式求出值后，進一步求得平方根即可.

解：(1)..與葉？的立方根是3,3a+匕-1的算術平方根是4,

；.5a+2=27,3a+b-1=16,

，。=5,Z?=2,

???c是我的整數(shù)部分，

**?c=3.

(2)將a=5,b=2,c=3代入得：3a-Z?+c=16,

：.3a-b+c的平方根是±4.

【點評】此題考查立方根的意義、算術平方根的意義、無理數(shù)的估算方法、平方根的意

義、代數(shù)式求值等知識點，讀懂題意，掌握解答順序，正確計算即可.

19.定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為，2=-1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如“+歷

(。，〃為實數(shù))的數(shù)叫做復數(shù)，其中〃叫這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部，它

的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似.

例如計算:(3-i)+(5+30=(3+5)+(-1+3)i=8+2i；

(1+;)X(3-i)=1X3-i+3Xi-p=3+(-1+3)z+l=4+2z.

根據(jù)以上信息，完成下列問題：

(1)填空：戶=-i，/4=1；

(2)計算：(2+/)X(3-4/)；

(3)計算：i+P+戶+產(chǎn)+…+件22.

【分析】(1)將運算變形為含戶的運算即可；

(2)運用題目定義和類似與多項式乘以多項式的計算方法進行計算；

(3)根據(jù)i=i,於=-1,戶=-八產(chǎn)=1,…+產(chǎn)2』-1,的規(guī)律進行計算即可.

解：(1)i3—P*i--\*i--i,i4—12,12--1,(-1)-1,

故答案為：-i,1；

(2)(2+z)X(3-4/)；

=6-8/+3z+4

=10-5i；

(3)i+P+P+i4+…+3°22

=z-1-/+1+???+/-1

=i-1.

【點評】此題考查了實數(shù)新定義運算問題的解決能力，關鍵是能根據(jù)定義和實數(shù)的運算

方法進行準確計算.

20.【知識生成】我們已經(jīng)知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到

一個數(shù)學等式，例如由圖1可以得到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,請解答下列問題：

(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學等式(a+b+c)3=序+〃+<。+2ab+2ac+2bc；

(2)利用(1)中所得到的結論，解決下面的問題：

已知a+b+c=11,ab+bc+ac=3^,求a2+/>2+c2的值；

(3)小明同學用圖3中x張邊長為。的正方形，y張邊長為6的正方形，z張寬、長分

別為“、。的長方形紙片拼出一個面積為(2a+6)Ca+2b)長方形，則x+y+z=9:

【知識遷移】(4)事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4

表示的是一個邊長為%的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)

圖4中圖形的變化關系，寫出一個數(shù)學等式：(x-1)(x+1).

【分析】(1)依據(jù)大正方形的面積=(a+b+c)2,各部分面積之和=a2+/?2+c2+24b+2“c+2bc,

從而可得答案；

(2)依據(jù)(a+6+c)2=c^+^+^+lab+lac+lhc,進行計算即可；

(3)依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab,而(2a+Z?)(a+2/?)=2a2+2b2+5ab,比較

系數(shù)可得答案.

(4)根據(jù)原幾何體的體積=新幾何體的體積，列式可得結論.

解：(1)最外層正方形的面積為：(a+b+c)2,

分部分來看，有三個正方形和六個長方形，

其和為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

總體看的面積和分部分求和的面積相等.

故答案為：(a+b+c)2=a^+^+lab+lac+lbc.

(2)■/a+b+c—11,ah+hc+ac—3S,

：.112=42+按+3+2X38

：.a2+b2+c2=l2l-76=45

二屏+"+d的值為45.

(3),/(2a+b)(a+2h)=2a2+2h2+5ah

.".x=2,y=2,z=5

.\x+y+z=9

故答案為:9.

(4)大立方體的體積等于挖去的長方體的體積為XX1X1=X,從而剩余部分的體積

為X3-X;

重新拼成的新長方體體積為：x(x-1)(A-+1)

兩者體積相等.

故答案為：X3-x=x(X-1)(%+1).

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，明確相關圖形的面積或體積計算公式，

數(shù)形結合，正確列式是解題的關鍵.

21.課堂上，老師出了一道題：比較返二2與苫的大小.

33

小明的解法如下：

解百^-22=樂-2-2_布-4

'■~"33=3=3-'

因為19>16,所以仙〉4,所以J通-4〉0，

所以理-4〉所以建二

我們把這種比較大小的方法稱為作差法.

請利用上述方法比較實數(shù)迤/■與4的大小.

【分析】根據(jù)作差法即可比較大小.

解.2-、6-9

：-93=99=~9-，

因為94>81,所以JR>9，

所以JR-9>0>

所以嗎型>0，

所以YS二S>2.

93

【點評】考查了實數(shù)大小比較，關鍵是熟練掌握比較大小的作差法.

22.如圖，邊長為a的正方形中有一個邊長為(6<〃)的小正方形，如圖2是由圖1中的

陰影部分拼成的一個長方形.

(1)設圖1陰影部分的面積為S,圖2中陰影部分的面積為S2,請直接用含。，〃的式

子表示S尸“2一按，S2=(a+b)(a-b),寫出上述過程中所揭示的乘法公式“2

-匕2=(a+b)(a-b)；

(2)直接應用，利用這個公式計算：

①(一—X-y')(y--x)；

22

②102X98.

(3)拓展應用，試利用這個公式求下面代數(shù)式的結果.

(3+1)X(32+1)X(34+1)X(38+1)X(3|6+1)X-X(3|024+1)+1.

【分析】(1)5|=大正方形的面積-小正方形的面積，S2=長方形的長X長方形的寬，

由S=S2得出乘法公式.

(2)公式直接應用，①中的-既是公式里的a,y是公式里的從②102X98轉(zhuǎn)化為(100+2)

X(100-2)再利用公式計算.

(3)乘法算式先乘以(3-1