第二節(jié)-應(yīng)變分析2015課件

17四月2024第二節(jié)應(yīng)變分析20152二、有關(guān)變形的一些基本概念（一）首先觀察以下簡單的例子：圖a）表示均勻拉伸，變形體中的單元體P在拉伸后拉長變細(xì)，同時(shí)移至P1的位置，在不同的方向切取單元體時(shí)，單元體變形的表現(xiàn)形式不同。例如斜切的單元體Q移至Q1的同時(shí)就歪斜了。圖b）表示一物體在有摩擦的平板間被壓縮成了鼓形，這時(shí)中心線上的一個(gè)單元體P被壓扁且移至P1，而Q移至Q1時(shí)還由于摩擦力的作用而歪斜了；單元體R移至R1時(shí)還有明顯的角度偏轉(zhuǎn)。3圖c）表示理想化的剪切過程，這時(shí)單元體P被剪斜了；而單元體Q則僅僅平移至Q1，并未變形。圖d）是彎曲工序，單元體P移至P1時(shí)，被壓短而且轉(zhuǎn)動(dòng)了角度；單元體Q移至Q1的同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，但沒有變形。4以上的例子說明：變形的大小與質(zhì)點(diǎn)間的相對位移變化有關(guān)一點(diǎn)的不同方向，變形數(shù)值不同剛性位移，不產(chǎn)生變形。因此:在外力作用下,物體各點(diǎn)的位置要發(fā)生變化,即發(fā)生位移.5剛性位移：如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移后仍然保持各點(diǎn)間的初始狀態(tài)的相對位置,則物體實(shí)際上只產(chǎn)生剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),稱這種位移為剛性位移。剛性位移不產(chǎn)生變形。位移分為兩種：相對位移：如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移變形改變各點(diǎn)間的初始狀態(tài)的相對位置,即內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生相對位置的改變。

相對位移產(chǎn)生形狀的變化,稱為該物體的變形，6純變形（二）基本概念（1）單元體的變形可分為兩種形式：線應(yīng)變和角應(yīng)變。線應(yīng)變（或正應(yīng)變）：單元體線尺寸的伸長或縮短角應(yīng)變（或切應(yīng)變）：單元體角度的變化（即單元體畸變）物體受力→內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生相對位置的改變和形狀的變化，即變形。應(yīng)變是表示變形大小的物理量。7（2）對于同一變形的質(zhì)點(diǎn)，隨著切取單元體的方向不同，則單元體表現(xiàn)出來的變形數(shù)值也不同，所以同樣需要引入“點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)”的概念。（3）物體變形時(shí)，單元體一般同時(shí)發(fā)生平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、正應(yīng)變、角應(yīng)變。

平移、轉(zhuǎn)動(dòng)—統(tǒng)稱剛性運(yùn)動(dòng)（并不引起變形），只表示剛性位移。物體的變形只與其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的相對位置有關(guān)，而與物體的剛體運(yùn)動(dòng)無關(guān)。

各質(zhì)點(diǎn)的相對位置變化時(shí)，會產(chǎn)生應(yīng)變。金屬塑性成形原理應(yīng)變分析8總結(jié)：

位移：質(zhì)點(diǎn)從一點(diǎn)移至另一點(diǎn)

變形：只有質(zhì)點(diǎn)間的位移不一致時(shí)，才產(chǎn)生變形

剛性位移（旋轉(zhuǎn)和平移）不產(chǎn)生變形

正變形：線尺寸伸長或縮短

剪變形：形狀發(fā)生畸變（角度發(fā)生變化）剛性位移（旋轉(zhuǎn)和平移）相對位移（正變形、剪變形）91、概念位移：變形體各點(diǎn)位置的移動(dòng)。位移分量：設(shè)物體內(nèi)任意點(diǎn)的位移矢量為MM1，則它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的投影就稱為該點(diǎn)的位移分量，分別用u、v、w表示，簡記為ui。一．位移分量和應(yīng)變（一）位移及其分量10由于物體在變形之后仍應(yīng)保持連續(xù)，故位移分量應(yīng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，對于直角坐標(biāo)系，位移分量函數(shù)即為：u=u（x,y,z）v=v（x,y,z）w=w（x,y,z）上式表示某物體內(nèi)的位移場。位移場112．相對位移1）單元體均勻變形時(shí)基本假設(shè)（1）變形前是直線，變形后仍為直線（2）變形前后均為平面（3）變形前后仍為平行平面（4）變形前后仍為平行直線變形的大小與位移有關(guān)一點(diǎn)的不同方向，變形數(shù)值不同金屬塑性成形原理應(yīng)變分析123．相對位移分量現(xiàn)在來研究變形體內(nèi)無限接近兩點(diǎn)的位移分量之間的關(guān)系。設(shè)受力物體內(nèi)任一點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（x,y,z），小變形后移至M1，其位移分量為ui（x,y,z）。鄰近的點(diǎn)與M點(diǎn)無限接近的一點(diǎn)Mˊ點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz），小變形后移至M1ˊ，其位移分量為uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz）如圖所示。13（1）各點(diǎn)的坐標(biāo)值M（x，y，z）Mˊ（x+dx，y+dy，z+dz）（2）M1點(diǎn)的位置函數(shù)u=u（x，y，z）v=v（x，y，z）w=w（x，y，z）

鄰近的點(diǎn)14（3）M1ˊ點(diǎn)的位置函數(shù)u+δu=u（x+dx，y+dy，z+dz）=f1（x+dx，y+dy，z+dz）v+δv=v（x+dx，y+dy，z+dz）=f2（x+dx，y+dy，z+dz）w+δw=w（x+dx，y+dy，z+dz）=f3（x+dx，y+dy，z+dz）鄰近的點(diǎn)15（4）相對位移的表達(dá)式按泰勒級數(shù)展開忽略高階小量，得簡記為：uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz），將函數(shù)uiˊ按泰勒級數(shù)展開，并略去二階以上的高階微量，并利用求和約定，則得16同理，得

若已知變形物體內(nèi)的一點(diǎn)M的位移分量，則與其臨近一點(diǎn)Mˊ點(diǎn)的位移分量可用M的位移分量及其增量來表示。uiˊ=ui+du位移增量相對位移的意義：某一方向上的相對位移增量等于該方向上的位移分量在三個(gè)坐標(biāo)方向變化量之和。17金屬塑性成形原理應(yīng)變分析若無限接近兩點(diǎn)的連線M

Mˊ平行于某軸，如平行X軸，則：Mˊ則在X方向上的相對位移增量等于該方向上的位移分量在X坐標(biāo)方向變化量。18（二）應(yīng)變及其分量1.名義應(yīng)變及其分量名義應(yīng)變又稱相對應(yīng)變或工程應(yīng)變。

材力，彈塑性理論所討論的變形一般都是小變形，一般在10－3→10－2數(shù)量級。在此基礎(chǔ)上，我們將進(jìn)一步討論大塑性變形的特點(diǎn)。名義應(yīng)變包括：

線應(yīng)變(正應(yīng)變)

切應(yīng)變。19αxyαyxABCPP1x0yx0yx0yA’1A1C’1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1ΦxyA1C1γyxγxy單元體在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)變B1xoy坐標(biāo)平面內(nèi):變形前PABC，變形后P1A1B1C1分析變化情況：

PA、PC長度發(fā)生變化

PA與PC的夾角發(fā)生變化20（1）線應(yīng)變（或正應(yīng)變）：單元體線尺寸的伸長或縮短如圖線元PA的正應(yīng)變而棱邊PA在x軸上的線應(yīng)變21同樣:平行y軸的棱邊在y軸方向上的線應(yīng)變和平行z軸的棱邊在z軸方向上的線應(yīng)變同樣可求得。因此有：線應(yīng)變分量22假設(shè)單元體在平面內(nèi)發(fā)生了切應(yīng)變，使線元PC和PA所夾的直角減小為(圖b)。這相當(dāng)與C點(diǎn)在垂直于PC方向偏移了δrt。（2）切應(yīng)變：單元體角度的變化23圖3-24b所示工程切應(yīng)變，可看成是線元PA和PC同時(shí)向內(nèi)偏轉(zhuǎn)相同的角度其結(jié)果如圖3-24C，即定義工程切應(yīng)變切應(yīng)變24實(shí)際上PA和PC偏轉(zhuǎn)的角度不一定相同。假設(shè)它們的實(shí)際偏轉(zhuǎn)角度分別為αxy和αyx，偏轉(zhuǎn)結(jié)果仍然使∠CPA縮小Фxy

其中γxy和γyx一般稱為切應(yīng)變。γxy的下標(biāo)符號表示為x方向的線元，向y方向偏轉(zhuǎn)的角度。25實(shí)際變形<>設(shè)

實(shí)際變形切應(yīng)變

剛性轉(zhuǎn)動(dòng)

8℃

2℃

5℃

5℃

ωz=3℃26則相當(dāng)于PA，PC先同時(shí)偏轉(zhuǎn)γxy和γyx（假設(shè)5℃）。然后整個(gè)單元體繞Z軸轉(zhuǎn)一個(gè)角度ωz（假設(shè)3℃）。因此，αxy和αyx已包括了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。即γxy=ωz+αxy272、質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)及應(yīng)變張量將切應(yīng)變及剛體轉(zhuǎn)動(dòng)推廣至三維：切應(yīng)變：γij

切應(yīng)變分量28三個(gè)方向的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)（順時(shí)針方向）29

變形體內(nèi)某質(zhì)點(diǎn)作為單元體，變形后的應(yīng)變分量有九個(gè)，三個(gè)正應(yīng)變，六個(gè)剪應(yīng)變。它們構(gòu)成應(yīng)變張量。它也是一個(gè)對稱的張量，具有應(yīng)力張量的一切性質(zhì)。i—線元方向j—變形的方向302、對數(shù)應(yīng)變（1）相對線應(yīng)變(也稱工程應(yīng)變或名義應(yīng)變)相對應(yīng)變不能真實(shí)地反映實(shí)際變形情況。因l0不變31（2）相對斷面收縮率式中A0——試樣原始斷面積

A1——拉伸后試樣斷面積32（3）對數(shù)應(yīng)變（也稱真實(shí)應(yīng)變）當(dāng)試樣從l0增加到ln時(shí)，則總應(yīng)變?yōu)樵O(shè)在單向拉伸過程中某瞬時(shí)試樣的長度為l，該瞬時(shí)后試樣的長度又伸長了dl，則其應(yīng)變增量為l—為試樣的瞬時(shí)長度。dl—為瞬時(shí)長度的改變量稱為對數(shù)應(yīng)變，是用應(yīng)變增量的積分來表示的全量應(yīng)變，它反映了物體變形的實(shí)際情況，故又稱為真實(shí)應(yīng)變。33對數(shù)應(yīng)變的定義為：塑性變形過程中，在應(yīng)變主軸方向保持不變的情況下應(yīng)變增量的總和。34均勻拉伸時(shí)或以上是對數(shù)應(yīng)變和相對應(yīng)變的關(guān)系。三種應(yīng)變的關(guān)系將（a）式按臺勞級數(shù)展開：得（a）∴35在小變形時(shí)，又∵∴均勻拉伸階段，由于體積不變，即∴以上公式將三種應(yīng)變形式聯(lián)系起來了。136即:三種應(yīng)變的關(guān)系為:37對數(shù)應(yīng)變的特點(diǎn)：1）對數(shù)應(yīng)變反映了瞬態(tài)變形，更能真實(shí)地表示實(shí)際變形過程。

真實(shí)性38如而2）對數(shù)應(yīng)變具有可加性

可加性39例：將50cm長桿料拉伸至總長90cm，總應(yīng)變?yōu)槿舴謨蓚€(gè)階段

（1）50cm～80cm

（2）80cm～90cm則相對應(yīng)變

40拉伸前后試樣尺寸試樣拉伸在不同階段時(shí)的尺寸而對數(shù)應(yīng)變

表明對數(shù)應(yīng)變具有可加性413）對數(shù)應(yīng)變能真實(shí)反映出拉、壓變形的應(yīng)變值，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合可比性壓

拉壓

顯然，拉、壓的相對應(yīng)變絕對值不等拉例：對數(shù)應(yīng)變：相對應(yīng)變壓前2L→

壓后L

拉L→

2L42課堂練習(xí)：有一試棒均勻連續(xù)拉伸五次，每拉一次斷面收縮20%，試用相對伸長、斷面收縮率和對數(shù)應(yīng)變分別求出各次的應(yīng)變值和總應(yīng)變值。并分析哪種應(yīng)變表達(dá)方式比較合理。43提示：故44二、小應(yīng)變幾何方程（位移分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系）教材P91由于變形物體內(nèi)的點(diǎn)產(chǎn)生了位移，因而引起了質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變。因此，質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變是由位移所確定的，一旦物體內(nèi)的位移場確定以后，則物體內(nèi)的應(yīng)變場也就被確定了。下面就來建立位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。

位移分量和應(yīng)變分量究竟存在何種關(guān)系？

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設(shè)在圖中，abcd為單元體變形前在xoy坐標(biāo)平面上的投影，而a1b1c1d1為位移及變形后的投影。圖中b、c點(diǎn)為a點(diǎn)的鄰近點(diǎn)，并設(shè)ac=dx，ac//ox軸；ab=dy，ab//oy軸；a點(diǎn)的位移分量為u、v。c點(diǎn)的位移分量為u+δuc、v+δvc。b點(diǎn)的位移分量為u+δub、v+δvb。C點(diǎn)位移增量b點(diǎn)位移增量根據(jù)式（3-44），有棱邊ab（即dy）在y方向的線應(yīng)變?yōu)?7根據(jù)圖3-31中的幾何關(guān)系，可求出棱邊時(shí)ac（即dx）在x方向的線應(yīng)變εx，即為在X方向上的相對位移增量。4848由圖3-31的幾何關(guān)系，有∵∴其值遠(yuǎn)小于１U49同理可得因而工程切應(yīng)變?yōu)?/p>

則切應(yīng)變?yōu)?50按同樣的方法，由單元體在yoz和zox坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系可得其余應(yīng)變分量與位移分量之間關(guān)系的公式，綜合上述可得應(yīng)變分量與位移分量之間關(guān)系-小應(yīng)變幾何方程3-6651用角標(biāo)符號表示為式（3-66）表示小變形時(shí)位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，它是由變形幾何關(guān)系導(dǎo)到，故稱為小應(yīng)變幾何方程。如果物體中的位移場已知，則可由小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場。3-66a52為了便于記憶可以將坐標(biāo)原點(diǎn)取在六面體的一個(gè)頂點(diǎn)，而在圖上畫出三個(gè)棱邊dx、dy、dz，這些棱邊的伸長量是du、dv、dw。這時(shí)正應(yīng)變可以作為總伸長與棱邊原長之比寫出如下：伸長量53為了寫出切應(yīng)變可以假想平行六面體的棱邊在對應(yīng)的平面內(nèi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，因而棱邊的端點(diǎn)有位移，這里把轉(zhuǎn)角作為端點(diǎn)位移與原棱邊原長之比，而將切應(yīng)變作為對應(yīng)平面內(nèi)兩轉(zhuǎn)角之和的一半寫出來。應(yīng)變分析圖例如：轉(zhuǎn)動(dòng)54例題1試求物體中坐標(biāo)為x=1，y=1，z=1的p點(diǎn)的應(yīng)變張量、應(yīng)變偏量與最大剪應(yīng)變。解:根據(jù)應(yīng)變—位移關(guān)系式（小應(yīng)變幾何方程），得設(shè)物體中的位移函數(shù)為5556將p點(diǎn)坐標(biāo)x=1，y=1，z=1代入上述各式，并注意得p點(diǎn)的應(yīng)變張量如下所以與上述εijˊ相對應(yīng)的應(yīng)變偏量為57三、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量(任意方向上的應(yīng)變P85)借助于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念來描述一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，即過一點(diǎn)任意方向上的正應(yīng)力與切應(yīng)力的有無情況?？梢杂靡晃⒕€段在某方向上的變形來加以描述。58現(xiàn)設(shè)變形體內(nèi)任一點(diǎn)a（x,y,z），過該點(diǎn)三個(gè)相互垂直線上的應(yīng)變分量εij已知。即鄰近的點(diǎn)由a引一任意方向線元ab，其長度為r，方向余弦為l、m、n。已知59(a)(b)小變形前，b點(diǎn)可視為a點(diǎn)無限接近的一點(diǎn)。a點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），b點(diǎn)坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz）。則ab在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為dx、dy、dz，方向余弦及r分別為60變形前ab變形后a1b1小變形后，線元ab移至a1b1，其長度為r1=r+dr，同時(shí)偏轉(zhuǎn)角度為αr，如圖所示。61為求得r1，可將ab平移至a1N，構(gòu)成三角形a1Nb1。由解析幾何可知，三角形一邊在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影將分別等于另外兩邊在坐標(biāo)軸上的投影之和。在這里，Na1的三個(gè)投影即為dx、dy、dz.現(xiàn)求ab方向上的線應(yīng)變εr。而Nb1的投影（即為b點(diǎn)相對a點(diǎn)的位移增量）為du、dv、dw.62變形前ab2=r2=dx2+dy2+dz2變形后a1b12=（r+dr）2=(dx+du)2+(dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2+dy2+dz2)+du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)（r+dr）2-r2=(du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)(c)忽略微量du2，dv2，dw2，得63將式（C）兩邊除以r2，

令r的方向余弦為l，m，n（d）將式(3-43)中dui的值代入式（d），(3-43)64比較任意斜面上的法向應(yīng)力∴線應(yīng)變它與全應(yīng)力與應(yīng)力分量之間關(guān)系的表達(dá)形式是一樣的，反映了全應(yīng)變與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。整理后得：3-5265下面求線元變形后的偏轉(zhuǎn)角，即圖中的αr

為了推導(dǎo)方便，可設(shè)r=1。由N點(diǎn)引按直角三角形NMb1（e）a1M=r=1故a1M=r=166于是式（e）可寫成金屬塑性成形原理應(yīng)變分析金（f）67如果沒有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，則求得的αr就是切應(yīng)變γr。為了除去剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，即只考慮純剪切變形，可將式（3-43）改寫為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)68顯然，上式后面的第二項(xiàng)是由于剛性轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位移增量分量，而第一項(xiàng)才是由純剪切變形引起的相對位移增量分量，若以duiˊ表示，則如將式（g）代入式（f），即可求得切應(yīng)變的表達(dá)式為（g）3-53（3-52）、（3-53）與任意斜面上的應(yīng)力表達(dá)式形式完全相似。因此應(yīng)變的有關(guān)公式可以借鑒應(yīng)力的相應(yīng)表達(dá)式。69NMb1(xi+dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+dxi)ui+duiduir1r1=+drαr0xyz任意方向線元的應(yīng)變70四．體積不變條件（是什么？）

1．含義：塑性變形前后，材料體積保持不變。變形后，單元體的體積為

設(shè)單元體初始邊長為dx、dy、dz，則變形前體積為體積變化率2．條件方程71體積不變條件表明：

塑性變形時(shí)三個(gè)正應(yīng)變之和等于零；

三個(gè)正應(yīng)變不可能全部同號。塑性變形時(shí)，由于塑性變形前后，材料體積保持不變。對于彈性變形72（1）確定塑性加工毛坯尺寸（計(jì)算尺寸）（2）確定應(yīng)變分量之間得關(guān)系（3）可以作為塑性變形是否協(xié)調(diào)的近似判據(jù)。例題P883.作用7374特征方程金屬塑性成形原理應(yīng)變分析主應(yīng)變，應(yīng)變分量的不變量，主剪應(yīng)變和最大剪應(yīng)變1、主應(yīng)變：剪應(yīng)變等于零時(shí)所對應(yīng)的正應(yīng)變稱主應(yīng)變。用ε1、ε2、ε3表示。五、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較對主軸坐標(biāo)：752應(yīng)變張量不變量第三不變量第二不變量第一不變量對于彈性變形對于塑性變形763主剪應(yīng)變，最大剪應(yīng)變mnl000則方向?yàn)榕c主應(yīng)變方向成若77應(yīng)變莫爾圓

應(yīng)變莫爾圓，類似應(yīng)力莫爾圓

O3OO1O2εε1ε2ε3γγ12γ13γ23應(yīng)變莫爾圓ε378用主應(yīng)變的個(gè)數(shù)和符號來表示應(yīng)變狀態(tài)的簡圖稱主應(yīng)變狀態(tài)圖，簡稱為主應(yīng)變簡圖或主應(yīng)變圖。三個(gè)主應(yīng)變中絕對值最大的主應(yīng)變，反映了該工序變形的特征，稱為特征應(yīng)變。4、主應(yīng)變簡圖79如用主應(yīng)變簡圖來表示應(yīng)變狀態(tài)，根據(jù)體積不變條件和特征應(yīng)變，則塑性變形只能有三種變形類型。比較主應(yīng)力圖80

壓縮類變形。特征應(yīng)變?yōu)樨?fù)應(yīng)變。另兩個(gè)應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變。

剪切類變形（平面變形）一個(gè)應(yīng)變?yōu)榱?，其他兩個(gè)應(yīng)變大小相等，方向相反。

伸長類變形。特征應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變，另兩個(gè)應(yīng)變?yōu)樨?fù)應(yīng)變。815、應(yīng)變偏張量和球張量，八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變應(yīng)變球張量

應(yīng)變偏張量塑性變形時(shí)，體積不變，，這時(shí)應(yīng)變偏張量就是應(yīng)變張量82得：與τ8的推導(dǎo)過程一樣，即等效應(yīng)變：將八面體剪應(yīng)變?nèi)〗^對值，乘以系數(shù)，所得之參量叫做等效應(yīng)變。（比較等效應(yīng)力，乘）八面體應(yīng)變83單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，主應(yīng)變?yōu)棣?，ε2=ε3塑性變形時(shí)，故這時(shí)84等效應(yīng)變特點(diǎn)：1、是一個(gè)不變量。2、在塑性變形時(shí)，其數(shù)值等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變ε1。即85問題的引出-知識要點(diǎn)回顧小應(yīng)變幾何方程六個(gè)應(yīng)變分量取決于三個(gè)位移分量？這六個(gè)分量之間應(yīng)該存在某種聯(lián)系？六．應(yīng)變連續(xù)方程（協(xié)調(diào)方程）由上述小應(yīng)變幾何方程可知，六個(gè)應(yīng)變分量取決于三個(gè)位移分量，所以六應(yīng)變分量不是的任意的，其間必存在一定的關(guān)系。861．討論協(xié)調(diào)方程的目的金屬塑性成形原理應(yīng)變分析概念：六個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系稱為應(yīng)變連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。1）校核應(yīng)變場不滿足協(xié)調(diào)方程，應(yīng)變場是不可解的，不真實(shí)的，不連續(xù)的。2）尋求補(bǔ)充方程87物體變形后必須仍然保持其整體性和連續(xù)性，即變形協(xié)調(diào)性。否則會出現(xiàn)下圖（b）那樣的“撕裂”現(xiàn)象，或圖（c）那樣的“套疊”現(xiàn)象，從而破壞了變形后必須仍然保持的整體性和連續(xù)性。圖變形狀態(tài)分析88

2．協(xié)調(diào)方程由對y取兩階偏導(dǎo),得1)已知線應(yīng)變求切應(yīng)變在xoy平面內(nèi)，有εx,

εy,γxy對x取兩階偏導(dǎo),得89兩式相加,得同理,在YZ平面上

在XZ平面上

故

上式表明：在一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，兩個(gè)線應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則切應(yīng)變分量也就確定。即小應(yīng)變幾何方程90在每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，兩個(gè)線應(yīng)變一經(jīng)確定，則切應(yīng)變分量隨之被確定！切應(yīng)變到線應(yīng)變？91對X，Z求導(dǎo)，得

對X，Y求導(dǎo)，得金屬塑性成形原理應(yīng)變分析2)已知切應(yīng)變求線應(yīng)變由由兩式相加，得92故

同理

金屬塑性成形原理應(yīng)變分析上式表明：在三維空間內(nèi)，三個(gè)切應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則線應(yīng)變分量也就確定。93在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則線應(yīng)變分量也就被確定！94設(shè)試問上述應(yīng)變場在什么情況下成立？其中a、b為常數(shù)，例題例題解答95應(yīng)變連續(xù)方程的物理意義：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿足上述方程時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的，否則，變形后會出現(xiàn)“撕裂”現(xiàn)象，或“套疊”現(xiàn)象，從而破壞了變形后必須仍然保持的整體性和連續(xù)性。需要指出的是：

如果已知位移分量ui，則由小應(yīng)變幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足連續(xù)方程。

但若先用其他方法求得應(yīng)變分量，則要同時(shí)滿足連續(xù)方程，才能由小應(yīng)變幾何方程求得正確的位移分量。96判斷題：如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，也自然滿足協(xié)調(diào)方程，則不必校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。（）填空題：材料經(jīng)過連續(xù)兩次拉伸變形，第一次的真實(shí)應(yīng)變?yōu)棣?＝０.1，第二次的真實(shí)應(yīng)變?yōu)棣牛玻剑?25，則總的真實(shí)應(yīng)變ε＝

。97七、應(yīng)變增量與應(yīng)變速率張量全量應(yīng)變：反映變形體在某一變形過程階段終了的變形大小，稱之為全量應(yīng)變。它只考慮過程的兩個(gè)極端，而不考慮變形過程的某一瞬間。一、全量應(yīng)變與應(yīng)變增量的概念98而塑性變形一般都是大變形，且大變形的整個(gè)過程十分復(fù)雜。因此，前面討論的小應(yīng)變時(shí)的公式在大變形中不能直接使用。但是，大變形又是由很多瞬間的小變形累加而成，因此有必要分析大變形過程中某個(gè)特定瞬間的變形情況。所以提出了應(yīng)變增量及應(yīng)變速率的概念。99全量應(yīng)變度量基準(zhǔn)是變形以前的原始尺寸。而增量則是指變形過程中某一極短階段的無限小應(yīng)變，其度量基準(zhǔn)不是原始尺寸，而是變形過程某一瞬間的尺寸。101二、速度分量（1）含義：單位時(shí)間的位移分量討論全量應(yīng)變時(shí)，只是用了某變形過程終了時(shí)的位移場，所以沒有引入時(shí)間參數(shù)。在描述整過變形過程時(shí)，則必須引入時(shí)間參數(shù)，這時(shí)的位移分量為式中x、y、z是物體中一點(diǎn)在某時(shí)刻的坐標(biāo)，它也是時(shí)間的函數(shù)。所以，位移分量ui對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)的移動(dòng)速度分量，一般以表示，可記為102102所以，單位時(shí)間內(nèi)的位移分量稱為移動(dòng)速度。一般以表示，可記為速度分量簡記103速度場位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)。104小變形時(shí)，ui很小，全導(dǎo)數(shù)中的牽連部分可以忽略不計(jì)，則有速度分量：金屬塑性成形原理應(yīng)變分析速度場←位移場對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。105三、位移增量和應(yīng)變增量

設(shè)在變形過程中的某一瞬時(shí)(如P′點(diǎn))，物體各點(diǎn)的速度分量為，在隨后的一個(gè)無限小時(shí)間間隔dt之內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移稱為位移增量。位移增量速度分量xyzduu0PP1

全量位移ui，而P′P′′=PP′′-PP′=duiP106產(chǎn)生位移增量dui之后，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就有相應(yīng)的無限小應(yīng)變增量。

應(yīng)變增量與位移增量之間的關(guān)系，也即幾何方程，在形式上與小變形幾何方程相同。將小變形幾何方程中的ui改成dui，即可求得應(yīng)變增量的各個(gè)分量，一般用符號dεij表示，于是應(yīng)變增量的幾何方程為：應(yīng)變增量與位移增量之間的關(guān)系107說明：1）應(yīng)變增量與小應(yīng)變張量在表達(dá)形式上一樣。（具有三個(gè)主方向，三個(gè)主應(yīng)變增量，偏張量，球張量，等效應(yīng)變增量等）2）應(yīng)變增量主軸與當(dāng)時(shí)的全量應(yīng)變主軸不一定重合。3)dεij中的d表示增量，不是微分的符號。對一般的塑性變形過程，dεij并不表示εij的微分；對dεij積分也毫無意義，并不等于εij。應(yīng)變增量張量108同理，得應(yīng)變速率幾何方程四、應(yīng)變速率張量定義：單位時(shí)間的應(yīng)變稱為應(yīng)變速率，俗稱變形速度。用表示，單位1/s109金屬塑性成形原理應(yīng)變分析說明：1）

應(yīng)變速率反映了物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)位移速度的差別

2）應(yīng)變速率取決于工具運(yùn)動(dòng)速度和物體形狀尺寸

應(yīng)變速率張量

110在試驗(yàn)機(jī)上均勻壓縮一柱體，下墊板不動(dòng)，上壓板以下移，取柱體下端為坐標(biāo)圓點(diǎn)，壓縮方向?yàn)閤軸。柱體某瞬時(shí)高度為h，此時(shí)，柱體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在x方向上的速度為例題：應(yīng)變速率分量：單向均勻壓縮時(shí)的位移速度hx0u111h=100mm錘鍛若h=10mm，則上述的變形速度都增加10倍。因此應(yīng)變速率取決于工具運(yùn)動(dòng)速度和物體形狀尺寸

設(shè)單向均勻壓縮時(shí)的位移速度hx0u112八、塑性加工中常用的變形量的計(jì)算方法(自學(xué))壓下量Δh=H－h(huán)ΔB=b－B寬展量式中H和B—拔長及軋制前的高度和寬度；h和b—拔長及軋制后的高度和寬度；1．絕對變形量絕對變形量是指變形前后某主軸方