高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何中幾個(gè)重要定理

平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明塞瓦定理1．塞瓦定理及其證明定理：在ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)及ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是ABC的頂點(diǎn)，則有．證明：運(yùn)用面積比可得．依據(jù)等比定理有，所以．同理可得，．三式相乘得．注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，若，那么直線CD、AE、BF三線共點(diǎn)．證明：設(shè)直線AE及直線BF交于點(diǎn)P，直線CP交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)塞瓦定理有．因?yàn)?，所以有．由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D及D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．注：利用唯一性，采納同一法，用上塞瓦定理使命題順當(dāng)獲證．梅涅勞斯定理3．梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線及ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，則有．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G．因?yàn)镃G//AB，所以————（1）因?yàn)镃G//AB，所以————（2）由（1）÷（2）可得，即得．注：添加的協(xié)助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運(yùn)用相像比得出兩個(gè)比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順當(dāng)獲證．4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D、E，在邊AC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，若，那么，D、E、F三點(diǎn)共線．證明：設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有．因?yàn)?，所以有．由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D及D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．注：證明方法及上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，留意分析其相像后面的規(guī)律．托勒密定理5．托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有AB·CD+BC·AD=AC·BD．證明：設(shè)點(diǎn)M是對(duì)角線AC及BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得DAE=BAM．因?yàn)锳DB=ACB，即ADE=ACB，所以ADE∽ACB，即得，即————（1）由于DAE=BAM，所以DAM=BAE，即DAC=BAE。而ABD=ACD，即ABE=ACD，所以ABE∽ACD．即得，即————（2）由（1）+（2）得．所以AB·CD+BC·AD=AC·BD．注：奇妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相像推得結(jié)論．這里的構(gòu)造具有特點(diǎn)，不簡(jiǎn)單想到，須要仔細(xì)分析題目并不斷嘗試．6．托勒密定理的逆定理及其證明定理：假如凸四邊形ABCD滿意AB×CD+BC×AD=AC×BD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓．證法1（同一法）：在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，，則∽．可得AB×CD=BE×AC———（1）且———（2）則由及（2）可得∽．于是有AD×BC=DE×AC———（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．據(jù)條件可得BD=BE+DE，則點(diǎn)E在線段BD上．則由，得，這說(shuō)明A、B、C、D四點(diǎn)共圓．證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）延長(zhǎng)DA到A/，延長(zhǎng)DB到B/，使A、B、B/、A/四點(diǎn)共圓．延長(zhǎng)DC到C/，使得B、C、C/、B/四點(diǎn)共圓．（假如能證明A/、B/、C/共線，則命題獲證）那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點(diǎn)也共圓．因此，，．可得.另一方面，，即．欲證=，即證即．據(jù)條件有，所以需證，即證，這是明顯的．所以，，即A/、B/、C/共線．所以及互補(bǔ)．由于，，所以及互補(bǔ)，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓．7．托勒密定理的推廣及其證明定理：假如凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，，則∽．可得AB×CD=BE×AC————（1）且————（2）則由及（2）可得∽．于是AD×BC=DE×AC————（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE+DE>BD．所以AB×CD+BC×AD>AC×BD．西姆松定理8．西姆松定理及其證明定理：從ABC外接圓上隨意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．證明：如圖示，連接PC，連接EF交BC于點(diǎn)D/，連接PD/．因?yàn)镻EAE，PFAF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得FAE=FEP．因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以BAC=BCP，即FAE=BCP．所以，F(xiàn)EP=BCP，即D/EP=D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓．所以，CD/P+CEP=1800。而CEP=900，所以CD/P=900，即PD/BC．由于過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D及D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線．注：（1）采納同一法證明可以變被動(dòng)為主動(dòng)，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件．但需留意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性．（2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要駕馭好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法．歐拉定理9．歐拉定理及其證明定理：設(shè)ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿意．證明（向量法）：連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D。連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC．則———①因?yàn)镃D⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．所以，AHCD為平行四邊形．從而得．而，所以．因?yàn)?，所以———②由①②得：————③另一方面，．而，所以——④由③④得：．結(jié)論得證．注：（1）運(yùn)用向量法證明幾何問(wèn)題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，留意駕馭向量對(duì)幾何問(wèn)題的表現(xiàn)手法；（2）此題也可用純幾何法賜予證明．又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點(diǎn)G/；連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC，如圖．因?yàn)镃D⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．所以，AHCD為平行四邊形．可得AH=CD．而CD=2OE，所以AH=2OE．因?yàn)锳H//CD，CD//OE，所以AH//OE．可得AHG/∽EOG/．所以．由，及重心性質(zhì)可知點(diǎn)G/就是ABC的重心，即G/及點(diǎn)G重合．所以，G、O、H三點(diǎn)共線，且滿意．蝴蝶定理10．蝴蝶定理及其證明定理：如圖，過(guò)圓中弦AB的中點(diǎn)M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM=MQ．證明：過(guò)點(diǎn)M作直線AB的垂線l，作直線CF關(guān)于直線l的對(duì)稱直線交圓于點(diǎn)C/、F/，交線段AB于點(diǎn)Q/．連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱性可知：MF/Q/=MFP，F(xiàn)/Q/M=FPM；且FF///AB，PM=MQ/．因?yàn)镃、D、F/、F四點(diǎn)共圓，所以CDF/+CFF/=1800，而由FF///AB可得Q/PF+CFF/=1800，所以CDF/=Q/PF，即MDF/=Q/PF．又因?yàn)镼/PF=PQ/F/，即Q/PF=MQ/F/．所以有MDF/=MQ/F/．這說(shuō)明Q/、D、F/、M四點(diǎn)共圓，即得MF/Q/=Q/DM．因?yàn)镸F/Q/=MFP，所以MFP=Q/DM．而MFP=EDM，所以EDM=Q/DM．這說(shuō)明點(diǎn)Q及點(diǎn)Q/重合，即得PM=MQ．此定理還可用解析法來(lái)證明：想法：設(shè)法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數(shù)．證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，M點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線DE、CF的方程分別為x=m1y+n1，x=m2y+n2；直線CD、EF的方程分別為y=k1x，y=k2x．則經(jīng)過(guò)C、D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為(y–k1x)(y–k2x)+(x–m1y–n1)(x–m2y–n2)=0．整理得(+k1k2)x2+(1+m1m2)y2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0．由于C、D、E、