初三反比例函數(shù)中考必會經(jīng)典知識點

PAGE9反比例知識精講

（一）反比例函數(shù)的概念

1．（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件；

2．（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；

3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點．

（二）反比例函數(shù)的圖象

在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0，且x應(yīng)對稱取點（關(guān)于原點對稱）．

（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

1．函數(shù)解析式：（）

2．自變量的取值范圍：

3．圖象：

（1）圖象的形狀：雙曲線．

越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越大．

（2）圖象的位置和性質(zhì)：

與坐標軸沒有交點，稱兩條坐標軸是雙曲線的漸近線．

當時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；

當時，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．

（3）對稱性：圖象關(guān)于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上．

圖象關(guān)于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上．

4．k的幾何意義

如圖1，設(shè)點P（a，b）是雙曲線上任意一點，作PA⊥x軸于A點，PB⊥y軸于B點，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）．

如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關(guān)于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QC⊥PA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為．

圖1圖2

5．說明：

（1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論．

（2）直線與雙曲線的關(guān)系：

當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關(guān)于原點成中心對稱．

（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系．

（四）實際問題與反比例函數(shù)

1．求函數(shù)解析式的方法：

（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式．

2．注意學科間知識的綜合，但重點放在對數(shù)學知識的研究上．

（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．典例分析：1反比例函數(shù)的概念：下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．y=3xB．C．3xy=1D．

（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．B．C．D．變式：1 下面函數(shù)中，哪些是反比例函數(shù)？；（2）；（3）；（4）；（5）2若函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的值等于（）±1B．1C．D．－13 已知函數(shù)是反比例函數(shù)，且其函數(shù)圖像在每一個象限內(nèi)，隨的增大而減小，求反比例函數(shù)的解析式．4當n取什么值時，是反比例函數(shù)？它的圖像在第幾象限內(nèi)？在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大還是減小？圖象和性質(zhì)例1已知反比例函數(shù)的圖像上有兩點A(，)，B(，)，且，則的值是（）A、正數(shù)B、負數(shù)C、非正數(shù)D、不能確定變式：．1函數(shù)與（a≠0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）．yxOyyxOyxOxyOxOy A． B． C． D．2、已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A、圖象經(jīng)過點（1，1）B、圖象在第一、三象限C、當時，D、當時，隨著的增大而增大3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，反比例函數(shù)y＝EQ\F(a,x)與正比例函數(shù)y＝（b＋c）x在同一坐標系中的大致圖象可能是（）A．B．C．D．4.若P（2，2）和Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，

則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過（）．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限5．如圖6，反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，其中第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A（1，2），請在第三象限內(nèi)的圖象上找一個你喜歡的點P，你選擇的P點坐標為．6.關(guān)于反比例函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A．必經(jīng)過點（1，1） B．兩個分支分布在第二、四象限 C．兩個分支關(guān)于x軸成軸對稱 D．兩個分支關(guān)于原點成中心對稱7.函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系中的大致圖像是8.如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(-1,-2).則當x＞1時，函數(shù)值y的取值范圍是（）A.y＞1B.0＜y＜1C.y＞2D.0＜y＜29.若雙曲線y=的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k的取值范圍是A.k＞B.k＜C.k=D.不存在．函數(shù)的增減性例：.圖，函數(shù)和函數(shù)的圖象相交于點M(2，m)，N(-1，n)，若，則x的取值范圍是（）A．B．C．D．變式：1.若函數(shù)的圖象在其象限內(nèi)的值隨值的增大而增大，則的取值范圍是A． B． C． D．2.已知（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）是反比例函數(shù)的圖象上的三個點,且x1＜x2＜0，x3＞0,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是()A.y3＜y1＜y2 B.y2＜y1＜y3C.y1＜y2＜y3D.y3＜y2＜y13．反比例函數(shù)圖象上有三個點，，，其中，則，，的大小關(guān)系是()A．B．C．D．4．已知三點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，若，，則下列式子正確的是（）B．C． D．5在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三個點，，，則函數(shù)值、、的大小關(guān)系是（）．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜．面積計算例題：例1、反比例函數(shù)（k0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖1所示，P為該圖象上任一點，PQ⊥x軸，設(shè)△POQ的面積為S，則S與k之間的關(guān)系是（）A．B．C．S=kD．Sk例2．設(shè)P是函數(shù)在第一象限的圖像上任意一點，點P關(guān)于原點的對稱點為P’，過P作PA平行于y軸，過P’作P’A平行于x軸，PA與P’A交于A點，則的面積（）等于2 B．等于4 C．等于8D．隨P點的變化而變化變式：1、如圖，已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OA的中點D，且與直角邊AB相交于點C．若點A的坐標為（，4），則△AOC的面積為A．12B．9C．6D．42.如圖，直線y=mx與雙曲線交與A、B兩點，過點A作AM⊥x軸，垂足為M，連接BM，若S△ABM=2，則k的值是（）A、2B、m-2C、mD、43．如圖，點A在雙曲線上，且OA＝4，過A作AC⊥軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于B，則△ABC的周長為( )A. B.5 C. D.4.函數(shù)與函數(shù)的圖象交于A、B兩點，設(shè)點A的坐標為，則邊長分別為、的矩形面積和周長分別為（）A.4，12B.4，6C.8，12D.8，65．反比例函數(shù)y=-的圖像如圖所示，P是圖像上的任意點，過點P分別做兩坐標軸的垂線，與坐標軸構(gòu)成矩形OAPB，點D是對角線OP上的動點，連接DA、DB，則圖中陰影部分的面積是[來源。7題圖6．如圖，在直角坐標系中,直線7題圖與雙曲線>0)的圖象相交于點A,B,設(shè)點A的坐標為(),那么長為，寬為的矩形面積和如圖，在函數(shù)的圖象上有三個點A、B、C，過這三個點分別向x軸、y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、，則（）．

A．B．C．D．

（2）如圖，正比例函數(shù)y=kx（k＞0）和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點，過A作x軸垂線交x軸于B，連接BC，若△ABC面積為S，則S=_________．

（3）如圖在Rt△ABO中，頂點A是雙曲線與直線在第四象限的交點，AB⊥x軸于B且S△ABO=．

①求這兩個函數(shù)的解析式，②求直線與雙曲線的兩個交點A、C的坐標和△AOC的面積．解析式的確定例題：（1）若與成反比例，與成正比例，則y是z的（）．A．正比例函數(shù)B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù)D．不能確定

（2）若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為（2，m），則m=_____，k=________，它們的另一個交點為________．

（3）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值．變式：1 已知函數(shù)是反比例函數(shù)，且其函數(shù)圖像在每一個象限內(nèi)，隨的增大而減小，求反比例函數(shù)的解析式．如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)的圖象上。若點A的坐標為（－2，－2），則k的值為A．1 B．－3 C．4 D．1或－3xxyOABCD3.如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點M，N，已點M的坐標為（1，3），點N的縱坐標為－1，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程=的解為（）A.－3,1B.－3,3C.－1,1D.3，-14.已知如圖,A是反比例函數(shù)的圖像上的一點,AB⊥x軸于點B,且△A