蘇教版五下數(shù)學(xué)難點(diǎn)復(fù)習(xí)梳理圖

天平與方程的共性：左邊=右邊，指針指向中間，平衡100克蘋果重量未知，設(shè)蘋果重量為X克天平中的數(shù)量關(guān)系表示為：X=100X克根據(jù)天平中存在的數(shù)量關(guān)系，可以列出：不等式（表示不相等關(guān)系）等式（表示等量關(guān)系）X+50=2X=200或

X+X=200>X+50<200我們以前寫過的算式很多都是等式，例：4+2=830÷0.1=300但它們不是方程。這些含有未知數(shù)的等式是方程等式的性質(zhì):等式兩邊同時(shí)＋同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。－×

÷（不是0的數(shù)）x+10－10=50－10x+10+100=50+100x+10－20=50－20（x+10）×0.8=50×0.8（x+10）÷99=50÷99根據(jù)等式的性質(zhì)，方程可以做如下變化，結(jié)果仍然是等式X+10=50……其中，使方程左邊只剩下X：x+10－10=50－10x=40（正好得出未知數(shù)的值，即X=4是方程的解）x+10－10=50－10檢驗(yàn)：把X=4代入原方程，原方程左邊為40+10=50，左邊=右邊，所以X=4是原方程的解。完整的解方程過程如下：解方程的兩個(gè)依據(jù)：加減乘除各部分之間的關(guān)系：加法：一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù)減法：被減數(shù)=減數(shù)＋差減數(shù)=被減數(shù)－差乘法：一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)除法：被除數(shù)=商×除數(shù)除數(shù)=被除數(shù)÷商X÷0.2=0.8解：X÷0.2×0.2=0.8×0.2X=0.16（1）依據(jù)等式的性質(zhì)解方程（2）依據(jù)加減乘除各部分之間的關(guān)系解方程X÷0.2=0.8解：X=0.8×0.2X=0.16等式兩邊同時(shí)×0.2X是被除數(shù)，被除數(shù)=商×除數(shù)以上兩種解方程的過程，等式右邊都含有，所以兩種解法在本質(zhì)上是相同的。列方程解決實(shí)際問題例：大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米，小雁塔高多少米？方程法：1.找等量關(guān)系（列方程的依據(jù)）（往往不止一個(gè)等量關(guān)系）2.列方程+解方程3.檢驗(yàn)4.答句小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=222X-22=642X-22+22=64+222X=862X÷2=86÷2X=43

2X-64=222X-64+64=22+642X=862X÷2=86÷2X=43檢驗(yàn)：43×2-22=64（米）檢驗(yàn)：43×2-22=64（米）答：小雁塔高43米。（64+22）÷2=86÷2=43（米）答：小雁塔高43米。算術(shù)法需要逆向思維，因此容易出錯(cuò)，往往錯(cuò)成：64÷2+22=54或者（64-22）÷2=21。方程解答的優(yōu)勢(shì)在于：順向思維。以上兩個(gè)等量關(guān)系可以看出，它們都是根據(jù)關(guān)鍵句“比小雁塔高度的2倍少22米”順向梳理出來的。算術(shù)法：解：設(shè)小雁塔的高度為X米解：設(shè)小雁塔的高度為X米答：小雁塔高43米。列方程解決問題的檢驗(yàn)，是檢驗(yàn)答案是否符合題中已知條件，其檢驗(yàn)步驟與解方程不同陸地面積+水面面積=面積總和和倍問題與差倍問題差倍問題海洋面積－水面面積=相差面積和倍問題解：設(shè)陸地面積大約X公頃，則水面面積大約3X公頃。X+3X=2904X=290

X=72.53X=3×72.5=217.5解：設(shè)陸地面積大約X公頃，則海洋面積大約2.4X公頃。2.4X－X=2.11.4X=2.1

X=1.5

2.4X=2.4×1.5=3.6和：占地面積290公頃倍：3倍差：多2.1億平方千米倍：2.4倍檢驗(yàn)：72.5+217.5=290(公頃)217.5÷72.5=3答：……檢驗(yàn)：3.6－1.5=2.1(公頃)3.6÷1.5=2.4答：……追及問題在封閉的跑道上，甲要追上乙，甲一定會(huì)比乙多跑一圈情況1:甲跑一圈多時(shí)追上乙，甲比乙多跑一圈。情況2:甲跑三圈多時(shí)追上乙，甲比乙多跑一圈。黑色為甲跑路程紅色為乙跑路程當(dāng)甲追上乙時(shí)，甲比乙多跑400米。甲的速度與乙的速度相比，甲每分鐘均多跑280-240=40米甲經(jīng)過多少分鐘能比乙多跑400米？即400米中有幾個(gè)40米？400÷（280-240）=400÷40=10（分鐘）答：經(jīng)過10分鐘甲第一次追上乙。（為什么題中說“第一次追上”？因?yàn)榉忾]環(huán)形跑道上接著跑下去，將出現(xiàn)甲第二、三……次追上乙。）方法三：因數(shù)中找質(zhì)數(shù)

30的因數(shù)：1、2、3、5、6、10、15、30

其中30的質(zhì)因數(shù)有：2、3、5

30=2×3×5方法一：逐步分解法30=2×15=2×（3×5）=2×3×530=3×10=3×(2×5)=2×3×530=5×6=5×(2×3)=2×3×5把合數(shù)30分解質(zhì)因數(shù)：“真相只有一個(gè)”，不管采用哪個(gè)乘法算式來分解，最后都分解成2、3、5這三個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。所以你在完成此任務(wù)時(shí)，只要任意選擇其中一個(gè)乘法算式來逐步分解。方法二：短除法參見教材38頁“你知道嗎”思路：用質(zhì)數(shù)不斷地去除30，直到結(jié)果也為質(zhì)數(shù)為止。所以30=2×3×5但會(huì)遇到如下現(xiàn)象：

8的因數(shù)：1、2、4、8

其中8的質(zhì)因數(shù)只有：2

8=2×2×2請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填出合適的質(zhì)數(shù)：10=（2）×（5）

24=（2）×（2）×（2）×（3）

18=（2）×（3）×（3）右邊兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的算式，即著名的哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

10=（3）＋（7）

24=（5）＋（19）

=（7）＋（17）

=（11）＋（13）

18=（7）＋（11）

=（5）＋（13）

左邊幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的算式，是把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。以上，是兩種不同類型的練習(xí)題。第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》的對(duì)比題11、把長(zhǎng)24厘米、寬16厘米的長(zhǎng)方形分成大小完全相同的正方形且沒有剩余，如果正方形要盡可能大，能分成多少個(gè)正方形？思路

：正方形四邊相等。這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)即是24的因數(shù)，又是16的因數(shù)。

24和16的公因數(shù)有：1、2、4、8

問題要求正方形要盡可能，所以取24和16的最大公因數(shù)8。24÷8=3（個(gè)）長(zhǎng)里能分出3個(gè)正方形16÷8=2（個(gè)），寬里能分出2個(gè)正方形3×2=6（個(gè)）答：能分成6個(gè)正方形?；蛘撸赫叫蚊娣e=8×8=64平方厘米原來長(zhǎng)方形面積=24×16=384平方厘米384÷64=6（個(gè)）答：能分成6個(gè)正方形。2、把若干個(gè)長(zhǎng)30厘米、寬20厘米的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形，至少需要多少個(gè)這樣的長(zhǎng)方形？思路

：因?yàn)槭怯眯￠L(zhǎng)方形拼出大正方形，這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)既是長(zhǎng)30厘米的倍數(shù)，也是寬20厘米的倍數(shù)。即大正方形的邊長(zhǎng)是30和20的公倍數(shù)。因?yàn)樘釂枴爸辽佟?，所以?0和20的最小公倍數(shù)。20和30的最小公倍數(shù)是：60第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》的對(duì)比題1或者：以60cm為邊長(zhǎng)的大正方形面積=60×60=3600平方厘米原來小長(zhǎng)方形面積=20×30=600平方厘米3600÷600=6個(gè)答：至少需要6個(gè)這樣的長(zhǎng)方形。60÷30=2（個(gè)）60÷20=3（個(gè)）3×2=6（個(gè)）答：至少需要6個(gè)這樣的長(zhǎng)方形。3、把20厘米、16厘米的兩根彩帶剪成長(zhǎng)度一樣的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長(zhǎng)是多少厘米？

思路

：每根剪出的彩帶長(zhǎng)度是20的因數(shù)，也是16的因數(shù)。20和16的公因數(shù)有：1，2，4

因?yàn)閱栴}要求每根彩帶最長(zhǎng)多少，所以取20和16的最大公因數(shù)4。第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》的對(duì)比題14、王叔叔家三個(gè)兒子都在城里工作，大哥每6天回家一次，二哥每8天回家一次，小弟每12天回家一次。（1）兄弟三人同時(shí)在3月31日回家，下一次三人同時(shí)回家是哪一天？（2）兄弟三人同時(shí)在4月20日回家，下一次三人同時(shí)回家是哪一天？

思路

：大哥、二哥、小弟回家天數(shù)分別是6、8和12的倍數(shù)。思路

：三人同時(shí)回家天數(shù)，應(yīng)為6、8和12的公倍數(shù)。因?yàn)閱栴}要求最近的下一次同時(shí)回家時(shí)間，所以取6、8和12的最小公倍數(shù)。6、8和12的最小公倍數(shù)是：24。因?yàn)槿嗽?月31日號(hào)已回家，所以下一次是從4月1日起，再過24天即為三人同時(shí)回家。答：4月24日三人同時(shí)回家。思路同上：因?yàn)槿嗽?月20日號(hào)已回家，所以下一次是從4月21日起，再過24天即為三人同時(shí)回家。推算下去，4月還剩10天，5月再過14天。答：5月14日三人同時(shí)回家。第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》的對(duì)比題2第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》的對(duì)比題25、現(xiàn)有2路、3路公共汽車早晨7時(shí)從起點(diǎn)站出發(fā)，2路汽車每隔4分鐘發(fā)一輛車，3路汽車每隔5分鐘發(fā)一輛車，它們第二次同時(shí)發(fā)車是什么時(shí)候？思路

：兩車的發(fā)車時(shí)間，分別為4和5的倍數(shù)。它們第二次同時(shí)發(fā)車時(shí)間，即4和5的最小公倍數(shù)。4和5的最小公倍數(shù)是：20

所以當(dāng)7時(shí)，兩車同時(shí)發(fā)車后，再過20分鐘即為兩車第二次發(fā)車。答：7:20兩車第二次同時(shí)發(fā)車。6、把53塊水果糖和49塊巧克力分別平均分給一個(gè)組的同學(xué)，結(jié)果水果糖剩3塊，巧克力剩4塊，這個(gè)組最多有幾位同學(xué)？7、有一個(gè)筐中裝有香蕉24只和橘子35只，現(xiàn)在將它們分給小朋友，最后正好把香蕉分完，而橘子還少1個(gè)，最多分給多少位小朋友？思路

：水果糖剩3塊，即分出了53-3=50塊水果糖；

巧克力剩4塊，即分出了49-4=45塊巧克力。

50塊水果糖和45塊巧克力，平均分給同學(xué)們，同學(xué)人數(shù)應(yīng)為50和45的公因數(shù)。問題要求“最多”，即取50和45的最大公因數(shù)：5。答：這個(gè)組最多有5位同學(xué)。思路：香蕉正好分完，即小朋友人數(shù)是24的因數(shù)。橘子少1個(gè)，即平均分35只橘子時(shí)發(fā)現(xiàn)缺了1個(gè)，即35+1=36只橘子才夠。即小朋友人數(shù)應(yīng)該是36的因數(shù)。小朋友人數(shù)應(yīng)該是24和36的公因數(shù)。問題要求“最多分給多少位小朋友”，所以小朋友人數(shù)應(yīng)該是24和36的最大公因數(shù)：12。答：這個(gè)組最多有12個(gè)同學(xué)。第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》的對(duì)比題39、用51朵紅花和34朵白花做成花束，如果每束里的紅花朵數(shù)相同，白花朵數(shù)也相同，最多可以做成多少束？每束花里最少有多少朵？思路：解答本題必須在理解了“植樹問題”的基礎(chǔ)上進(jìn)行。原來栽樹位置，是8的倍數(shù)?，F(xiàn)在栽樹位置，是6的倍數(shù)。那么不需要移栽的位置，是6和8的公倍數(shù)。

因大路總長(zhǎng)72米，所以72以內(nèi)6和8的公倍數(shù)有：24、48、72。如果路的兩端也栽樹的話，那么起點(diǎn)位置不需要移栽。

所以一共有：0、24、48、72四個(gè)位置上的樹不需要移栽。答：共有4棵樹不需移栽。思路

：從51朵紅花和34朵白花中取若干做成小花束，即將51和34都平均分成若干份，最多可以做成多少束？即51和34的公因數(shù)。

51和34的公因數(shù)有：1，17?？勺龀傻男』ㄊ蕉?，則每一束中包含的花越少。所以取51和34的最大公因數(shù)17，最多可做成17束。

51÷17=3（朵），每一束中有紅花3朵。34÷17=2（朵），每一束中有白花2朵。3+2=5（朵）。答：每束里最少有5朵花。

第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》的對(duì)比題48、在一條長(zhǎng)72米的大路一邊每隔8米栽樹（首尾都栽），現(xiàn)在改為每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的樹有多少棵？(1)(2)把6個(gè)球看作單位“1”，平均分成3份，分?jǐn)?shù)單位是把6個(gè)球看作單位“1”，平均分成6份，分?jǐn)?shù)單位是把6個(gè)球看作單位“1”，平均分成3份，取其中的一份，用分?jǐn)?shù)表示是共3個(gè)分?jǐn)?shù)單位。每個(gè)分?jǐn)?shù)單位表示2個(gè)球。共6個(gè)分?jǐn)?shù)單位。每個(gè)分?jǐn)?shù)單位表示1個(gè)球。把6個(gè)球看作單位“1”，平均分成6份，取其中的二份，用分?jǐn)?shù)表示是表示2個(gè)球。表示2個(gè)球。分?jǐn)?shù)單位不同分?jǐn)?shù)大小相同=分?jǐn)?shù)的意義：把

看作一個(gè)整體即單位“1”，把它平均分成

份，取

份，用分?jǐn)?shù)

表示。(1)(2)(3)排除學(xué)習(xí)中的干擾因素：有6個(gè)球把6個(gè)球看作一個(gè)整體，可以用一個(gè)框框起來把6個(gè)球看作一個(gè)整體，也可以用一個(gè)橢圓框起來。這是數(shù)學(xué)上的常用方法(1)(2)都是把6個(gè)球看作一個(gè)整體，平均分成3份。但是，橢圓容易給人一個(gè)錯(cuò)覺，好像三份形狀不相同。事實(shí)上，我們要關(guān)注的是這個(gè)整體中球的個(gè)數(shù)，排除圖形帶來的干擾。分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：被除數(shù)÷除數(shù)＝a÷b＝兩數(shù)相除的結(jié)果（商），如果不能用整數(shù)表示，可以用分?jǐn)?shù)表示。被除數(shù)除數(shù)怎么思考：

7分米=米？方法一：分米與米的進(jìn)率是10，從低單位換算到高單位用除法算。7÷10=米。（7÷10的結(jié)果，不能用整數(shù)表示，就用分?jǐn)?shù)表示。）方法二：把1米看作單位“1”平均分成10份，取其中的1份，即1分米。取其中的7份，即7分米，用分?jǐn)?shù)表示，例如：8÷4=2，但3÷4=分?jǐn)?shù)的作用：（2）表達(dá)兩數(shù)相除的計(jì)算結(jié)果（1）表達(dá)平均分的結(jié)果（3）表達(dá)兩者的數(shù)量關(guān)系計(jì)算題1÷3=數(shù)量關(guān)系可以從不同角度表達(dá)：已知：紅球有1個(gè)，黃球有3個(gè)（2）用除法求得倍數(shù)關(guān)系：3÷1=3，黃球個(gè)數(shù)是紅球的3倍（3）用除法求得分?jǐn)?shù)關(guān)系：1÷3=，紅球個(gè)數(shù)是黃球的（1）用減法求得相差關(guān)系：3－1=2個(gè)，紅球個(gè)數(shù)比黃球少2個(gè)

或黃球個(gè)數(shù)比紅球多2個(gè)）小明今天做了1道題，小紅做了3道題，小明的題數(shù)是小紅的紅球有1個(gè)，黃球有3個(gè)，紅球的數(shù)量相當(dāng)于黃球的把6個(gè)球看作一個(gè)整體即單位“1”，平均分成3份，其中的一份可用用分?jǐn)?shù)表達(dá)兩者的數(shù)量關(guān)系P55/試一試和練一練將紅彩帶平均分成4份，每份是1米，那么，藍(lán)彩帶的3米相當(dāng)于這樣的3份，這樣4份中的3份用分?jǐn)?shù)表示。1個(gè)圖形看作1份，那么紅球有5份，三角形有11份。紅球與三角形比，一一對(duì)應(yīng)于它11份中的5份，用分?jǐn)?shù)表示。三角形與紅球比，顯然原來5個(gè)紅球不足以一一對(duì)應(yīng)，相當(dāng)于5份外要補(bǔ)足11個(gè)紅球來一一對(duì)應(yīng)，用分?jǐn)?shù)表示。11551151111534342根繩的133231根繩即1米的23包含的每一小段，相當(dāng)于1米的兩個(gè)合成1米的1323132515易錯(cuò)題P56/6、7、12題11212每人取得糖果是多少千克？即是將2千克平均分成5份，求一份是多少？2÷5=千克。（用分?jǐn)?shù)表示兩數(shù)相除的商）5個(gè)小朋友共5份，每人取其中的1份。（用分?jǐn)?shù)表示平均分的結(jié)果）25每支鉛筆看作1份，12支鉛筆共12份，每支鉛筆相當(dāng)于12份中的1份。（用分?jǐn)?shù)表示平均分的結(jié)果）2個(gè)同學(xué)共2份，每人分得相當(dāng)于2份中的1份。（用分?jǐn)?shù)表示平均分的結(jié)果）思路：這個(gè)分?jǐn)?shù)提示我們，先將每個(gè)單位“1”平均分成3份，再?gòu)闹腥?份涂色發(fā)現(xiàn)：在不同的單位“1”中，分?jǐn)?shù)所代表的桃子數(shù)量是不同的。第三圖的單位“1”，是12個(gè)桃子，是將12個(gè)桃子平均分成3份。其分?jǐn)?shù)單位代表4個(gè)桃子。取2份即8個(gè)桃子。第一圖的單位“1”，是3個(gè)桃子，是將3個(gè)桃子平均分成3份。其分?jǐn)?shù)單位代表1個(gè)桃子。取2份即2個(gè)桃子。第二圖的單位“1”，是6個(gè)桃子，是將6個(gè)桃子平均分成3份。其分?jǐn)?shù)單位代表2個(gè)桃子。取2份即4個(gè)桃子。（1）一個(gè)圓形花壇的周長(zhǎng)是251.2米?；▔闹睆绞嵌嗌倜?？方法一：方程法