2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題16.6 期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之整式的乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)（舉一反三）人教版含解析

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題16.6整式的乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1冪的基本運(yùn)算】 1【考點(diǎn)2冪的逆運(yùn)算】 2【考點(diǎn)3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】 2【考點(diǎn)4冪的混合運(yùn)算】 3【考點(diǎn)5利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】 3【考點(diǎn)6冪的運(yùn)算中的新定義問題】 4【考點(diǎn)7整式的乘法】 5【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】 6【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】 7【考點(diǎn)10乘法公式的幾何背景】 8【考點(diǎn)11整式乘除的計(jì)算與化簡】 10【考點(diǎn)12整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】 11【考點(diǎn)13因式分解的概念】 12【考點(diǎn)14因式分解（提公因式與公式法綜合）】 13【考點(diǎn)15因式分解（十字相乘法）】 13【考點(diǎn)16因式分解（分組分解法）】 15【考點(diǎn)17利用因式分解求值】 15【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】 16【考點(diǎn)1冪的基本運(yùn)算】【例1】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）如果a2n?1an+5=a16，那么A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-1】（2022·廣東·德慶縣德慶中學(xué)七年級(jí)期末）解答下列問題：（1）已知3m=5，3n（2）若3x+4y?3=0，求27x【變式1-2】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）已知3x=4,3y=6,3z=12，則A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z【變式1-3】（2022·黑龍江·大慶市第十九中學(xué)七年級(jí)期末）已知5a=2b=10，那么aba+b【考點(diǎn)2冪的逆運(yùn)算】【例2】（2022·四川·渠縣流江初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如果3a＝5，3b＝10，那么9a?b的值為(

A．12 B．14 C．18【變式2-1】（2022·安徽·合肥新華實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如果2m=5，(1)2m+2n(2)8m【變式2-2】（2022·北京昌平·七年級(jí)期末）將冪的運(yùn)算逆向思維可以得到am+n=am?an(1)52021(2)若3×9m×【變式2-3】（2022·四川省渠縣中學(xué)七年級(jí)期末）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代數(shù)式：①求：22m+3n②求：22m?6n（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．【考點(diǎn)3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】【例3】（2022·福建省羅源第二中學(xué)八年級(jí)期末）若a＝3555，b＝4444，c＝5333，比較a、b、c的大?。?/p>

）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【變式3-1】（2022·江蘇·江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）閱讀下列材料:若a3解:因?yàn)閍15=a所以a>b.解答下列問題:(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)_A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)已知x5【變式3-2】（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級(jí)期末）閱讀探究題：．【閱讀材料】比較兩個(gè)底數(shù)大于1的正數(shù)冪的大小，可以在底數(shù)（或指數(shù)）相同的情況下，比較指數(shù)（或底數(shù)）的大小，如：25>在底數(shù)（或指數(shù)）不相同的情況下，可以化相同，進(jìn)行比較，如：2710與3解：2710=33[類比解答]比較254，125[拓展拔高]比較3555，4444，【變式3-3】（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時(shí)，則有ab>ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和c(1)比較大?。?20______420，961(2)比較233與3(3)比較312×5【考點(diǎn)4冪的混合運(yùn)算】【例4】（2022·福建漳州·七年級(jí)期末）計(jì)算(1)(m?n)2(2)((3)(a(4)(?4【變式4-1】（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）計(jì)算：2x【變式4-2】（2022·重慶市第十一中學(xué)校七年級(jí)期末）計(jì)算：(1)x?x(2)(?4a【變式4-3】（2022·黑龍江·巴彥縣第一中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算：（1）x2（2）?2a【考點(diǎn)5利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】【例5】（2022·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）計(jì)算0.25100【變式5-1】（2022·湖南懷化·七年級(jí)期末）計(jì)算（﹣0.25）2022×42021的結(jié)果是（

）A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020【變式5-2】（2022·上海楊浦·七年級(jí)期末）用簡便方法計(jì)算：?【變式5-3】（2022·福建·泉州市第九中學(xué)八年級(jí)期末）閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時(shí)，指數(shù)大的冪也大，若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a>c時(shí)，則有(1)比較大小：520_________4(2)比較233與3(3)計(jì)算42021【考點(diǎn)6冪的運(yùn)算中的新定義問題】【例6】（2022·山東省青島第五十一中學(xué)七年級(jí)期末）閱讀材料：定義：如果10a=n，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為例如：102=100，那么稱2是100的勞格數(shù)，記為填空：根據(jù)勞格數(shù)的定義，在算式a=d1000中，______相當(dāng)于定義中的n，所以d直接寫出d10探究：某數(shù)學(xué)研究小組探究勞格數(shù)有哪些運(yùn)算性質(zhì)，以下是他們的探究過程若a、b、m、n均為正數(shù)，且10a=p，根據(jù)勞格數(shù)的定義：dp=a，∵10∴10a+b=pq，這個(gè)算式中，______相當(dāng)于定義中的a，______相當(dāng)于定義中的∴dpq=______，即請(qǐng)你把數(shù)學(xué)研究小組探究過程補(bǔ)全拓展：根據(jù)上面的推理，你認(rèn)為：dm【變式6-1】（2022·北京·清華附中八年級(jí)期末）定義一種新運(yùn)算a，b，若ac=b，則a，b=c，例2【變式6-2】（2022·江蘇連云港·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+2設(shè)S=1+2+2則2S=2+2②?①得，2S?S=S=2請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+2（2）求1+1（3）求?2+（4）求a+2a2+3a3【變式6-3】（2022·山東德州·八年級(jí)期末）一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘a?a?…?a，記為an；如2×2×2＝23＝8，此時(shí)3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即logab＝n），如34＝81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381＝4）．（1）計(jì)算下列各對(duì)數(shù)的值：log24＝；log216＝；log264＝；（2）你能得到log24、log216、log264之間滿足怎樣的關(guān)系式：；（3）由（2）的結(jié)果，請(qǐng)你歸納出logaM、logaN、logaMN之間滿足的關(guān)系式：；（4）根據(jù)冪的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的含義驗(yàn)證（3）的結(jié)論．【考點(diǎn)7整式的乘法】【例7】（2022·福建·大同中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算2x+3y?42x+ay+b得到的多項(xiàng)式不含x、y的一次項(xiàng)，其中a，b是常數(shù)，則a?b的值為（

A．1 B．?1 C．?7 D．7【變式7-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)期末）小邢同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的結(jié)果為x2+3x?18，而且小穎同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)時(shí)將“+a”看成了“?a”，算的結(jié)果為(1)求出a、b的值；(2)計(jì)算出(x+a)(x+b)的正確結(jié)果，【變式7-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)七年級(jí)期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了(a+b)n(n=1，1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)1

4

6

4

1

(a+b)……

……請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出(x?2x)2022展開式中含A．2022 B．?4044 C．?2020 D．4042【變式7-3】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)a1,a2,a3,?a【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】【例8】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）如圖①，現(xiàn)有邊長為b和a+b的正方形紙片各一張，長和寬分別為b、a的長方形紙片一張，其中a<b．把紙片I、III按圖②所示的方式放入紙片II內(nèi)，已知圖②中陰影部分的面積滿足S1=8S2，則a，A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a【變式8-1】（2022·山東泰安·期末）如圖①所示，在一個(gè)邊長為a的正方形紙片上剪去兩個(gè)小長方形，得到一個(gè)如圖②的圖案，再將剪下的兩個(gè)小長方形拼成一個(gè)新的長方形，如圖③所示，則新長方形的面積可表示為__________．【變式8-2】（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，一個(gè)長方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示）留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．(2)若y=3x=30米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．【變式8-3】（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，長為10，寬為x的大長方形被分割成7小塊，除陰影部分A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為y．(1)由圖可知，每個(gè)小長方形較長一邊長為________．（用含y的代數(shù)式表示）(2)分別用含x，y的代數(shù)式表示陰影部分A，B的面積．(3)當(dāng)y取何值時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無關(guān)？并求出此時(shí)陰影部分A與陰影部分B的面積之差．【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】【例9】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）若x2+（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k值為_____．【變式9-1】（2022·湖南株洲·七年級(jí)期末）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，則ab值是（）A．﹣8 B．12 C．8 D．9【變式9-2】（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）如圖，正方形的邊長為m＋5，面積記為S1，長方形的兩邊長分別為m＋3，m＋9，面積記為S2（其中m為正整數(shù)）．若某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，則m＝_______．【變式9-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式x2+bx+c（【知識(shí)理解】(1)若多項(xiàng)式x2+kx+16是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為（A．4

B．8

C．±8

D．±16(2)若多項(xiàng)式x2+4x+m是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)(3)配方：x2?6x?10=x?3【知識(shí)運(yùn)用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式x2(5)利用配方法因式分解：a2+2a?3=a(6)已知m2+2mn+2n2?8n+16=0(7)若M=a+1a?3，N=2a?1a?2，則【考點(diǎn)10乘法公式的幾何背景】【例10】（2022·四川·金堂縣淮口中學(xué)校七年級(jí)期末）用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長為x，寬為y(xy)的四個(gè)全等長方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可得到(x?y)2、(x+y)2、利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y（2）已知|a+b?4|+(ab?2)2=0，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+【變式10-1】（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）探究活動(dòng)：(1)如圖①，可以求出陰影部分的面積是_____（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長方形，面積是_____（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式_____．(4)知識(shí)應(yīng)用：運(yùn)用你得到的公式解決以下問題：計(jì)算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2?9y2＝10，4x+6y【變式10-2】（2022·福建·明溪縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）閱讀理解：若x滿足210?xx?200=?204，試求解：設(shè)210?x=a，x?200=b，則ab=?204，且a＋b＝(210－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=解決問題(1)若x滿足2022?xx?2010=22，則2022?x(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022?xx?2002(3)如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為40平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少？【變式10-3】（2022·湖南·常德市第二中學(xué)七年級(jí)期末）（1）①如圖1，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是______（寫成平方差的形式）；②將圖1中的長方形ABGE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形AHDE的面積是______（寫成多項(xiàng)式相乘的形式）；（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式______．（3）利用所得公式計(jì)算：2【考點(diǎn)11整式乘除的計(jì)算與化簡】【例11】（2022·浙江·嵊州市馬寅初初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：×?1【變式11-1】（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）若定義表示3xyz3，表示?3adcb，則運(yùn)算A．?72n B．72n C．mn 【變式11-2】（2022·山東淄博·期末）王老師給學(xué)生出了一道題：求2x+y2x?y+22x?y2+同學(xué)們看了題目后發(fā)表不同的看法．小明說：“條件y=?1是多余的．”小亮說：“不給y=?1這個(gè)條件，就不能求出結(jié)果，所以不多余．”(1)你認(rèn)為他倆誰說的有道理？為什么？(2)若本題的結(jié)果等于M，試求M的值．【變式11-3】（2022·重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x3＋ax2＋bx＋c能被多項(xiàng)式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a、b、c的值．【考點(diǎn)12整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】【例12】（2022·北京·八年級(jí)期末）隨著某種產(chǎn)品的原料漲價(jià)，因而廠家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，設(shè)該產(chǎn)品原價(jià)為1元，現(xiàn)在有兩種提價(jià)方案：方案1：第一次提價(jià)x%，第二次提價(jià)y%；方案2：第一次、二次提價(jià)均為x%+y%2其中x，y是不相等的正數(shù)，請(qǐng)判斷在分別實(shí)施這兩種方案后哪種方案最終價(jià)格更高？并用乘法公式證明．【變式12-1】（2022·重慶·八年級(jí)期末）近年來，重慶成為了眾多游客前來旅游的網(wǎng)紅城市．某商場(chǎng)根據(jù)游客的喜好，推出A、B兩種土特產(chǎn)禮盒，A種禮盒內(nèi)有3袋磁器口麻花，3包火鍋底料；B種禮盒里有2袋磁器口麻花，3包火鍋底料，2袋合川桃片．兩種禮盒每盒成本價(jià)分別為盒內(nèi)所有土特產(chǎn)的成本價(jià)之和．已知每袋合川桃片的成本價(jià)是每包火鍋底料成本價(jià)的一半，A種禮盒每盒的售價(jià)為108元，利潤率為20%．今年10月1日賣出A、B【變式12-2】（2022·重慶南開中學(xué)七年級(jí)期末）春天是耕種的最佳時(shí)節(jié)，我校兩個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐小組在試驗(yàn)田里種植了黃瓜、番茄、辣椒三種蔬菜，單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1：2：2．第一小組種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4，第二小組在余下的實(shí)驗(yàn)田里繼續(xù)種植這三種蔬菜，將余下試驗(yàn)田面積的16種植辣椒，辣椒的種植總面積將達(dá)到這三種蔬菜種植總面積的38，且第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的【變式12-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）南山植物園坐落在省級(jí)南山風(fēng)景名勝區(qū)群山之中，與重慶主城區(qū)夾長江面峙，是一個(gè)以森林為基礎(chǔ)，花卉為特色的綜合性公園．備受重慶人民的喜愛；每到春季，上山賞花的人絡(luò)繹不絕；一植物園附近的市民嗅到了商機(jī)，開辦了植物花卉門市；將A、B、C三種花卉包裝成“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”、“粉色回憶”三種不同的禮盒進(jìn)行銷售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包裝成“如沐春風(fēng)”禮盒；用A花卉2支、B花卉2支、C種花卉4支包裝成“惜懂少女”禮盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包裝成“粉色回憶”禮盒；包裝費(fèi)忽略不計(jì)，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春風(fēng)”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍；該商家將三種禮盒均以利潤率50%進(jìn)行定價(jià)銷售；某周末，該門市為了加大銷量，將“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進(jìn)行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，“粉色回憶”禮盒打九折銷售；銷售完畢后統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，三種禮盒的總成本恰好為總利潤的4倍，則該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤與三種禮盒的總利潤的比值為___．【考點(diǎn)13因式分解的概念】【例13】（2022·江蘇徐州·七年級(jí)期末）下列各式由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A．a(chǎn)b+ac+d=aa+b+d C．a(chǎn)+ba?b=a【變式13-1】（2022·山東·海川中學(xué)八年級(jí)期末）下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a(chǎn)2﹣a+12 D．a(chǎn)2+2ab﹣【變式13-2】（2022·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)八年級(jí)期末）下列多項(xiàng)式中，不能進(jìn)行因式分解的是（

）A．a(chǎn)3－3a2＋2a B．a(chǎn)2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【變式13-3】（2022·上?！て吣昙?jí)期末）下列各式中，正確分解因式的個(gè)數(shù)為（

）①x②x③?2④a⑤(m?n)(2x?5y?7z)+(m?n)(3y?10x+3z)=?(m?n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)14因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例14】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）因式分解：(1)4a(2)a2【變式14-1】（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校八年級(jí)期末）已知a+b=12,ab=?【變式14-2】（2022·甘肅·臨澤縣第三中學(xué)八年級(jí)期末）分解因式．(1)a(2)x【變式14-3】（2022·浙江·寧波大學(xué)青藤書院七年級(jí)期末）因式分解：(1)mx(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【考點(diǎn)15因式分解（十字相乘法）】【例15】（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【變式15-1】（2022·上海閔行·七年級(jí)期末）在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對(duì)二次三項(xiàng)式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【變式15-2】（2022·浙江杭州·七年級(jí)期末）分解因式：x+2x?3【變式15-3】（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我們已經(jīng)知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x例如，將式子x2?x?6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項(xiàng)?6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即?6=2×?3；然后把1，1，2，?3按圖2所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×?3+1×2=?1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)?1請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2(2)【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

2x②

6x(3)【探究與拓展】對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，①

分解因式3x②

若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy?18y【考點(diǎn)16因式分解（分組分解法）】【例16】（2022·上海市婁山中學(xué)九年級(jí)期末）分解因式：x2【變式16-1】（2022·上?！て吣昙?jí)期末）因式分解：9?4【變式16-2】（2022·湖南常德·七年級(jí)期末）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【變式16-3】（2022·福建省福州延安中學(xué)八年級(jí)期末）（1）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整數(shù)且滿足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b為實(shí)數(shù)且滿足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a?7b，求整式M的最小值．【考點(diǎn)17利用因式分解求值】【例17】（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)＋”時(shí)代，有一種用“因式分解法”生成密碼的方法：將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，如將多項(xiàng)式x3+2x2?x?2因式分解的結(jié)果為x?1x+1x+2．當(dāng)x=18(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)x=28，y=11時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3(2)將關(guān)于x的多項(xiàng)式(m?n)x3?m+12n【變式17-1】（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所七年級(jí)期末）已知mn=1，m?n=2，則A．?1 B．3 C．2 D．?2【變式17-2】（2022·浙江·七年級(jí)期末）已知a?b=3，b?c=?4，則代數(shù)式a2【變式17-3】（2022·河南周口·八年級(jí)期末）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，則多項(xiàng)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為_____．【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】【例18】（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)＋”時(shí)代，有一種用“因式分解法”生成密碼的方法：將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，如將多項(xiàng)式x3+2x2?x?2因式分解的結(jié)果為x?1x+1x+2．當(dāng)x=18(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)x=28，y=11時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3(2)將關(guān)于x的多項(xiàng)式(m?n)x3?m+12n【變式18-1】（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)七年級(jí)期末）先閱讀下列材料，然后解決后面的問題．材料：一個(gè)三位數(shù)abc（百位數(shù)為a，十位數(shù)為b，個(gè)位數(shù)為c），若a+c=b，則稱這個(gè)三位數(shù)abc為“協(xié)和數(shù)”，同時(shí)規(guī)定c=ka（k≠0），k稱為“協(xié)和系數(shù)”，如264，因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字2與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字6，所有264是“協(xié)和數(shù)”，則“協(xié)和數(shù)”k(1)判斷132，123，321這三個(gè)數(shù)中，是“協(xié)和數(shù)”．(2)對(duì)于“協(xié)和數(shù)”abc，求證：“協(xié)和數(shù)”abc能被11整除．(3)已知有兩個(gè)十位數(shù)相同的“協(xié)和數(shù)”a1bb1，a2bb2（a1＞a【變式18-2】（2022·廣東·廣州六中八年級(jí)期末）對(duì)任意一個(gè)數(shù)m，如果m等于兩個(gè)正整數(shù)的平方和，那么稱這個(gè)數(shù)m為“平方和數(shù)”，若m=a2+b2（a、b為正整數(shù)），記A(1)判斷45是否是“平方和數(shù)”，若是，請(qǐng)計(jì)算A45(2)若k是一個(gè)不超過50的“平方和數(shù)”，且Ak=k?9(3)對(duì)任意一個(gè)數(shù)m，如果m等于兩個(gè)整數(shù)的平方和，那么稱這個(gè)數(shù)m為“廣義平方和數(shù)”，若m和n都是“廣義平方和數(shù)”，請(qǐng)說明它們的乘積mn也是“廣義平方和數(shù)”．【變式18-3】（2022·福建省永春第一中學(xué)八年級(jí)期末）學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)卡片，如圖1．(1)利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算：a+2ba+b=(2)選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應(yīng)取張B型卡片才能用他們拼成一個(gè)新的正方形，此新的正方形的邊長是（用含a，(3)選取4張C型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種D型卡片，由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為；(4)選取1張D型卡片，3張C型卡片按圖3的方式不重復(fù)的疊放長方形MNPQ框架內(nèi)，已知NP的長度固定不變，MN的長度可以變化，且MN≠0．圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為S1，S2，若S1?專題16.6整式的乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1冪的基本運(yùn)算】 1【考點(diǎn)2冪的逆運(yùn)算】 3【考點(diǎn)3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】 5【考點(diǎn)4冪的混合運(yùn)算】 8【考點(diǎn)5利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】 10【考點(diǎn)6冪的運(yùn)算中的新定義問題】 12【考點(diǎn)7整式的乘法】 16【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】 19【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】 22【考點(diǎn)10乘法公式的幾何背景】 26【考點(diǎn)11整式乘除的計(jì)算與化簡】 32【考點(diǎn)12整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】 34【考點(diǎn)13因式分解的概念】 40【考點(diǎn)14因式分解（提公因式與公式法綜合）】 41【考點(diǎn)15因式分解（十字相乘法）】 44【考點(diǎn)16因式分解（分組分解法）】 49【考點(diǎn)17利用因式分解求值】 51【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】 53【考點(diǎn)1冪的基本運(yùn)算】【例1】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）如果a2n?1an+5=aA．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】利用同底數(shù)冪的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，即可得到關(guān)于n的方程，即可求解．【詳解】∵a2n-1an+5=a16，∴a2n-1+n+5=a16，即a3n+4=a16，∴3n+4=16，解得：n=4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是熟記同底數(shù)冪的乘法的法則．【變式1-1】（2022·廣東·德慶縣德慶中學(xué)七年級(jí)期末）解答下列問題：（1）已知3m=5，3n（2）若3x+4y?3=0，求27x【答案】（1）1500；（2）27【分析】（1）先逆用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則，然后將已知代入即可解答；（1）先由3x+4y?3=0得3x+4y=3，然后逆用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則將【詳解】解：（1）∵3m=5，∴33m+2n+1（2）∵3x+4y?3=0，∴3x+4y=3，∴27x【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方和冪的乘方法則的逆用，靈活應(yīng)用相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）已知3x=4,3y=6,3z=12，則A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z【答案】C【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，從而作出判斷．【詳解】∵3x∴3x∵(3∴3x+2y∴x+2y=2z故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，掌握冪的乘方(am)【變式1-3】（2022·黑龍江·大慶市第十九中學(xué)七年級(jí)期末）已知5a=2b=10，那么aba+b【答案】1【分析】將題目中所給的式子進(jìn)行化簡和構(gòu)造，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法以及積的乘方證明ab=a+b即可.【詳解】∵5a=10，2b=10∴（5a）b=10b

，（2b）a=10a；即5ab=10b

，2ab=10a∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b即a+b=ab∴aba+b故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，有理數(shù)的乘方，積的乘方.【考點(diǎn)2冪的逆運(yùn)算】【例2】（2022·四川·渠縣流江初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如果3a＝5，3b＝10，那么9a?b的值為(

A．12 B．14 C．18【答案】B【分析】逆用冪的乘方及同底數(shù)冪的除法即可完成．【詳解】9故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆用及同底數(shù)冪的除法的逆用，用好這兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·安徽·合肥新華實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如果2m=5，(1)2m+2n(2)8m【答案】(1)45(2)125【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算和冪的乘方的逆運(yùn)算將原始變形為2m×(2n（2）根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則求解即可．（1）解：∵2m=5，∴2m+2n（2）解：∵2m=5，∴8m【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法等知識(shí)，熟練掌握冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·北京昌平·七年級(jí)期末）將冪的運(yùn)算逆向思維可以得到am+n=am?an(1)52021(2)若3×9m×【答案】(1)1(2)2【分析】（1）根據(jù)am（2）根據(jù)3×9m×(1)解：由題意知，52021故答案為：1．(2)解：∵3×9∴1+2m+3m=11，解得m=2，∴m的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方、積的乘法的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法．解題的關(guān)鍵在于對(duì)運(yùn)算法則的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式2-3】（2022·四川省渠縣中學(xué)七年級(jí)期末）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代數(shù)式：①求：22m+3n②求：22m?6n（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．【答案】（1）①ab；②ab2；（2）【分析】（1）①根據(jù)題意分別將4m，8n化為底數(shù)為2的形式，然后代入求解；②根據(jù)題意分別將4m，8n化為底數(shù)為2的形式，然后代入求解；（2）由題意將8x化為23x，將16化為24，列出方程求出x的值．【詳解】解：（1）∵4m=a，8n=b，∴22m=a，①22m+3n②22m?6n（2）∵2×8x×16=223，∴2×（23）x×24=223，∴2×23x×24=223，即23x+5=223∴3x+5=23，解得：x=6．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的除法的逆運(yùn)算以及冪的乘方的逆運(yùn)算和積的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】【例3】（2022·福建省羅源第二中學(xué)八年級(jí)期末）若a＝3555，b＝4444，c＝5333，比較a、b、c的大?。?/p>

）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方的性質(zhì)，得3555=243111，【詳解】3555=35∵256>243>125∴256∴4444>3555>5故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方的性質(zhì)，從而完成求解．【變式3-1】（2022·江蘇·江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）閱讀下列材料:若a3解:因?yàn)閍15=a所以a>b.解答下列問題:(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)_A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)已知x5【答案】＞（1）C

（2）x<y【分析】（1）根據(jù)冪的乘方進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)題目所給的求解方法，進(jìn)行比較．【詳解】∵a15=所以a>b，故答案為>;(1)上述求解過程中，逆用了幕的乘方，故選C;(2)∵x∴x∴x<y.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，根據(jù)題目所給的運(yùn)算方法進(jìn)行比較是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級(jí)期末）閱讀探究題：．【閱讀材料】比較兩個(gè)底數(shù)大于1的正數(shù)冪的大小，可以在底數(shù)（或指數(shù)）相同的情況下，比較指數(shù)（或底數(shù)）的大小，如：25>在底數(shù)（或指數(shù)）不相同的情況下，可以化相同，進(jìn)行比較，如：2710與3解：2710=33[類比解答]比較254，125[拓展拔高]比較3555，4444，【答案】【類比解答】254<125【分析】【類比解答】可以將底數(shù)都化為5，利用冪的乘方的逆運(yùn)算法則變形后再進(jìn)行比較；【拓展拔高】觀察三個(gè)式子的特點(diǎn)，可以利用冪的乘方逆運(yùn)算法則將指數(shù)都變形為111，再進(jìn)行比較．【詳解】【類比解答】解：254=(∵8<9，∴58<5【拓展拔高】解：∵3555=(35又∵35=243，44∴53∴5333【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，正確理解題意、靈活應(yīng)用冪的乘方逆運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時(shí)，則有ab>ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和c(1)比較大?。?20______420，961(2)比較233與3(3)比較312×5【答案】(1)>，<(2)233<(3)312×【分析】（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a>c時(shí)，則有ab>cb，”即可比較520和420的大?。桓鶕?jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)（2）據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時(shí)，則有ab>a（3）利用作商法，即可比較312×5（1）解：∵5>4，∴520>4∵961=(∴961<27故答案為：>，<；（2）解：∵233=(∴233<3（3）解：∵312∴312×5【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方及有理數(shù)大小比較，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4冪的混合運(yùn)算】【例4】（2022·福建漳州·七年級(jí)期末）計(jì)算(1)(m?n)2(2)((3)(a(4)(?4【答案】（1）n?m9；（2）b13n?5；（3）4【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)冪的乘方法則以及同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)積的乘法、冪的乘方運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)法則解答即可；（4）根據(jù)冪的乘方法則以及同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）m?n==（2）b===b（3）a==4a（4）?4=?64=?8【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方、冪的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法法則以及合并同類項(xiàng)法熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）計(jì)算：2x【答案】3【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及積的乘方運(yùn)算法則分別判斷得出答案．【詳解】解：原式=4x【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)以及積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·重慶市第十一中學(xué)校七年級(jí)期末）計(jì)算：(1)x?x(2)(?4a【答案】(1)0；(2)?64a【分析】(1)利用同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則即可求解；(2)利用積的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．（1）解：原式=x=2=0；（2）解：原式=?64=?64a【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則，合并同類項(xiàng)，熟練掌握相應(yīng)的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·黑龍江·巴彥縣第一中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算：（1）x2（2）?2a【答案】（1）-3x【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)積的乘方，以及整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）原式==?3x（2）原式=64=64=?9a【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘方，冪的乘方，積的乘方以及整式的加減計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．【考點(diǎn)5利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】【例5】（2022·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）計(jì)算0.25100【答案】-4【分析】將式子轉(zhuǎn)化為14【詳解】解：原式=14故答案為：?4．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的逆運(yùn)算，掌握積的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·湖南懷化·七年級(jí)期末）計(jì)算（﹣0.25）2022×42021的結(jié)果是（

）A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020【答案】C【分析】根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】原式=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·上海楊浦·七年級(jí)期末）用簡便方法計(jì)算：?【答案】500000【分析】根據(jù)積的乘方即可求出答案．【詳解】原式==（3×【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式5-3】（2022·福建·泉州市第九中學(xué)八年級(jí)期末）閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時(shí)，指數(shù)大的冪也大，若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a>c時(shí)，則有(1)比較大?。?20_________4(2)比較233與3(3)計(jì)算42021【答案】(1)>(2)2(3)－4【分析】（1）根據(jù)“對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a>c時(shí)，則有（2）將233與3（3）首先將42021和0.252020化為指數(shù)相同的冪，將82021（1）解：由題意，對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a>c時(shí)，則有可知520故答案為：>；（2）∵233=(又∵811∴233（3）原式=4×=4×(4×0.25)=4×=4?8=?4．【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方的逆運(yùn)算、冪的大小的比較以及有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．【考點(diǎn)6冪的運(yùn)算中的新定義問題】【例6】（2022·山東省青島第五十一中學(xué)七年級(jí)期末）閱讀材料：定義：如果10a=n，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為例如：102=100，那么稱2是100的勞格數(shù)，記為填空：根據(jù)勞格數(shù)的定義，在算式a=d1000中，______相當(dāng)于定義中的n，所以d直接寫出d10探究：某數(shù)學(xué)研究小組探究勞格數(shù)有哪些運(yùn)算性質(zhì)，以下是他們的探究過程若a、b、m、n均為正數(shù)，且10a=p，根據(jù)勞格數(shù)的定義：dp=a，∵10∴10a+b=pq，這個(gè)算式中，______相當(dāng)于定義中的a，______相當(dāng)于定義中的∴dpq=______，即請(qǐng)你把數(shù)學(xué)研究小組探究過程補(bǔ)全拓展：根據(jù)上面的推理，你認(rèn)為：dm【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；dm－【分析】根據(jù)新定義法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：∵如果10a=n，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為∴103=1000，那么稱3是1000的勞格數(shù)，記為∴在算式a=d1000中，1000相當(dāng)于定義中的n，所以d1000∵10b∴b=dq∵10a=p，∴10a?10∴這個(gè)算式中，pq相當(dāng)于定義中的a，10a+b相當(dāng)于定義中的n∴d(pq)=d10a+b=a+b＝d即dpq設(shè)10a=m，∴dm=a，∵10a?b∴dmn=d10a?b＝a－b即dmn=d故答案為：1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；dm－【點(diǎn)睛】此題考查了新定義問題，用到了冪的相關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解新定義及其運(yùn)算法則．【變式6-1】（2022·北京·清華附中八年級(jí)期末）定義一種新運(yùn)算a，b，若ac=b，則a，b=c，例2【答案】35【分析】設(shè)3m=5，3n=7，根據(jù)新定義運(yùn)算的法則可知3，【詳解】設(shè)3m=5，3n∴m+n=(3，∴3m+n∵3m+n∴x=35．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的運(yùn)算，同底數(shù)冪乘法的逆用．理解題意，掌握新定義下的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·江蘇連云港·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+2設(shè)S=1+2+2則2S=2+2②?①得，2S?S=S=2請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+2（2）求1+1（3）求?2+（4）求a+2a2+3a3【答案】（1）221?2；（2）2-1250；（3）2101?2【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s＝2+22+???+220①，則2s＝22＋23（2）設(shè)s＝1+12+122（3）設(shè)s＝?2+?22+???+?2（4）設(shè)s＝a+2a2+3a3+???+nan①，as＝a2+2a【詳解】解：根據(jù)閱讀材料可知：（1）設(shè)s＝2+22s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①得，2s?s＝s＝221?2；故答案為：221?2；（2）設(shè)s＝1+112s＝1②?①得，12s?s＝-12s＝∴s＝2-12故答案為：2-12（3）設(shè)s＝?2+-2s＝?22②?①得，-2s?s＝-3s＝?2101∴s＝2101（4）設(shè)s＝a+2aas＝a2②-①得：as-s=-a-a2設(shè)m=-a-a2am=-a2④-③得：am-m=a-an+1∴m=a?a∴as-s=a?an+1a?1∴s=a?an+1a?1【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型?實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料進(jìn)行計(jì)算．【變式6-3】（2022·山東德州·八年級(jí)期末）一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘a?a?…?a，記為an；如2×2×2＝23＝8，此時(shí)3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即logab＝n），如34＝81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381＝4）．（1）計(jì)算下列各對(duì)數(shù)的值：log24＝；log216＝；log264＝；（2）你能得到log24、log216、log264之間滿足怎樣的關(guān)系式：；（3）由（2）的結(jié)果，請(qǐng)你歸納出logaM、logaN、logaMN之間滿足的關(guān)系式：；（4）根據(jù)冪的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的含義驗(yàn)證（3）的結(jié)論．【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN），（4）驗(yàn)證見解析．【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義即可求得值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果即可得出三者間的關(guān)系；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果即可得出三者滿足的關(guān)系式；（4）根據(jù)對(duì)數(shù)的意義及同底數(shù)冪的乘法即可證明．【詳解】（1）∵2∴l(xiāng)og24=2∵2∴l(xiāng)og216=4∵2∴l(xiāng)og264=6故答案為：2，4，6（2）由（1）知，log24+log216=log264故答案為：log24+log216=log264（3）由（2）的結(jié)果知：logaM+logaN=logaMN故答案為：logaM+logaN=logaMN（4）設(shè)logaM=m，logaN=n由對(duì)數(shù)的定義知，am=M∵a∴m+n=∵logaM+logaN=m+n∴l(xiāng)ogaM+logaN=logaMN【點(diǎn)睛】本題是材料閱讀題，考查了同底數(shù)冪的運(yùn)算，乘方的計(jì)算等知識(shí)，關(guān)鍵是讀懂材料中對(duì)數(shù)的含義．【考點(diǎn)7整式的乘法】【例7】（2022·福建·大同中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算2x+3y?42x+ay+b得到的多項(xiàng)式不含x、y的一次項(xiàng)，其中a，b是常數(shù)，則a?b的值為（

A．1 B．?1 C．?7 D．7【答案】B【分析】先利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則，展開后合并同類項(xiàng)，再令含x、y的一次項(xiàng)的系數(shù)均為零，列方程組求解即可得到答案．【詳解】解：2x+3y?4=4=4∵展開后多項(xiàng)式不含x、y的一次項(xiàng)，∴2b?8=0∴a=3∴a?b=?1，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，熟練掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則、合并同類項(xiàng)、“不含某一項(xiàng)則某一項(xiàng)的系數(shù)為零”的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)期末）小邢同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的結(jié)果為x2+3x?18，而且小穎同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)時(shí)將“+a”看成了“?a”，算的結(jié)果為(1)求出a、b的值；(2)計(jì)算出(x+a)(x+b)的正確結(jié)果，【答案】(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12【分析】（1）根據(jù)題意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a(bǔ)、b的值代入，再根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則求出即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）當(dāng)a＝-3，b＝-4時(shí)，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則和解方程，能正確運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)七年級(jí)期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了(a+b)n(n=1，1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)1

4

6

4

1

(a+b)……

……請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出(x?2x)2022展開式中含A．2022 B．?4044 C．?2020 D．4042【答案】B【分析】首先確定x2020【詳解】解：由題意：，(x?2=x可知，(x?2x)∴(x?2x)故選B．【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用楊輝三角的規(guī)律解決問題．【變式7-3】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)a1,a2,a3,?a【答案】M＞N．【分析】設(shè)a2+a3+…+a2021=m，代入M、N中化簡后比較即可．【詳解】解：設(shè)a2+a3+…+a2021=m，則M=（a1+m）（m+a2022）=a1m+m2+a2022m+a1a2022，N=（a1+m+a2022）m=a1m+m2+a2022m，M-N=a1a2022，∵a1，a2，…，a2022都是正數(shù)，∴a1a2022＞0，∴M-N＞0，∴M＞N．【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法的混合運(yùn)算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，設(shè)a2+a3+…+a2021=m，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算出M、N是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】【例8】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）如圖①，現(xiàn)有邊長為b和a+b的正方形紙片各一張，長和寬分別為b、a的長方形紙片一張，其中a<b．把紙片I、III按圖②所示的方式放入紙片II內(nèi)，已知圖②中陰影部分的面積滿足S1=8S2，則a，A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a【答案】A【分析】用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2，即可得出答案．【詳解】由題意可得：S1=(a+b)2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，∵S1∴2ab=8(ab-a2)，∴2ab=8ab-8a2∴b=4b-4a∴4a=3b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·山東泰安·期末）如圖①所示，在一個(gè)邊長為a的正方形紙片上剪去兩個(gè)小長方形，得到一個(gè)如圖②的圖案，再將剪下的兩個(gè)小長方形拼成一個(gè)新的長方形，如圖③所示，則新長方形的面積可表示為__________．【答案】a【分析】根據(jù)圖形表示出新長方形的長與寬，即可確定出面積．【詳解】解：根據(jù)題意得：新長方形的長為a?b，寬為a?3b，則新長方形面積為a?ba?3b故答案為：a2【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式及整式的加減，明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，一個(gè)長方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示）留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．(2)若y=3x=30米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．【答案】(1)2(2)34000元【分析】（1）利用大長方形的面積減去兩個(gè)小正方形的面積可得“T”型圖形的面積，再根據(jù)整式的乘法與加減法法則進(jìn)行化簡即可得；（2）根據(jù)y=3x=30米可得x=10米，代入（1）中的結(jié)論可得“T”型圖形的面積，再根據(jù)草坪每平方米20元即可得．【詳解】（1）解：“T”型圖形的面積=2x+y=2=2x答：“T”型圖形的面積為2x（2）解：由y=3x=30米得：x=10米，則“T”型圖形的面積=2x所以草坪的造價(jià)為1700×20=34000（元），答：草坪的造價(jià)為34000元．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及合并同類項(xiàng)的應(yīng)用，根據(jù)圖形正確列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，長為10，寬為x的大長方形被分割成7小塊，除陰影部分A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為y．(1)由圖可知，每個(gè)小長方形較長一邊長為________．（用含y的代數(shù)式表示）(2)分別用含x，y的代數(shù)式表示陰影部分A，B的面積．(3)當(dāng)y取何值時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無關(guān)？并求出此時(shí)陰影部分A與陰影部分B的面積之差．【答案】(1)10?2y(2)S(3)當(dāng)y=52時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x【分析】（1）由圖形可直接填空；（2）由長方形面積公式結(jié)合圖形即可解答；（3）計(jì)算出S陰影部分A?S陰影部分B=2y2?10y?x4y?10，即得出當(dāng)4y?10=0時(shí)，陰影部分A（1）由圖可知每個(gè)小長方形較長一邊長為10?2y．故答案為：10?2y；（2）S陰影部分S陰影部分（3）S陰影部分A∵2y2∴當(dāng)4y?10=0時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無關(guān)，解得：y=5∴S陰影部分【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，整式混合運(yùn)算的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】【例9】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）若x2+（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k值為_____．【答案】7或﹣5【分析】這里首末兩項(xiàng)是x和3這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和3的積的2倍，故k﹣1＝±6．【詳解】解：∵（x±3）2＝x2±6x+9＝x2+（k﹣1）x+9，∴k﹣1＝±6，解得k＝7或﹣5．故答案為：7或﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式，熟練掌握完全平方公式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·湖南株洲·七年級(jí)期末）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，則ab值是（）A．﹣8 B．12 C．8 D．9【答案】C【分析】先求出（a-b）2，然后將a2+b2＝20代入即可求得ab．【詳解】解：∵（a-b）2=a2+b2-2ab=4，a2+b2＝20∴20-2ab=4，解得：ab=8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用完全平方公式變形求值，靈活應(yīng)用完全平方公式和整體代入思想成為解答本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）如圖，正方形的邊長為m＋5，面積記為S1，長方形的兩邊長分別為m＋3，m＋9，面積記為S2（其中m為正整數(shù)）．若某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，則m＝_______．【答案】7【分析】先根據(jù)正方形和長方形的面積公式計(jì)算出S1和S2，由此可得S2﹣S1＝2m+2，再根據(jù)S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)可得2m+2＝16，由此即可求得答案．【詳解】解：∵S1＝（m+5）2＝m2+10m+25，S2＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，∴S2﹣S1＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+25）＝2m+2，∵m為正整數(shù)，∴S2與S1都是正整數(shù)，∵某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，∴2m+2＝16，解得：m＝7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則以及整式加減等相關(guān)知識(shí)，能夠根據(jù)題意得到2m+2＝16是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式x2+bx+c（【知識(shí)理解】(1)若多項(xiàng)式x2+kx+16是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為（A．4

B．8

C．±8

D．±16(2)若多項(xiàng)式x2+4x+m是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)(3)配方：x2?6x?10=x?3【知識(shí)運(yùn)用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式x2(5)利用配方法因式分解：a2+2a?3=a(6)已知m2+2mn+2n2?8n+16=0(7)若M=a+1a?3，N=2a?1a?2，則【答案】(1)C(2)4(3)19，(x+1)(4)3(5)1，(a+3)(a?1)(6)?4,4(7)<【分析】（1）直接利用完全平方公式求解即可；（2）直接利用完全平方公式求解即可；（3）利用配方法求解即可得；（4）利用配方法求解即可得；（5）先利用配方法計(jì)算，然后利用平方差公式因式分解；（6）先利用配方法計(jì)算，然后利用平方的非負(fù)性求解即可；（7）利用兩個(gè)整式作差即可比較大小．【詳解】（1）解：x∴k=±2×4=±8，故選：C（2）x2∴m=4，故答案為：4；（3）x2x2故答案為：19；x+12（4）x2∵x?22∴x?22故答案為：3；（5）a====(a+3)(a?1)故答案為：1；(a+3)(a?1)（6）m2m2(m+n)2∴m+n=0且n?4=0，解得：n=4，m=-4，故答案為：-4；4；（7）M-N=(a+1)(a?3)-2(a?1)(a?2)=a=a=?a=?(a?2)∴M<N，故答案為：<．【點(diǎn)睛】題目主要考查完全平方公式的計(jì)算及配方法、多項(xiàng)式的大小比較、因式分解等，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)10乘法公式的幾何背景】【例10】（2022·四川·金堂縣淮口中學(xué)校七年級(jí)期末）用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長為x，寬為y(xy)的四個(gè)全等長方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可得到(x?y)2、(x+y)2、利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y（2）已知|a+b?4|+(ab?2)2=0，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+【答案】（x?y【分析】根據(jù)正方形的面積兩種計(jì)算方法，一種是邊長的平方，一種是大正方形減去四個(gè)長方形的面積，即可得到等式；根據(jù)正方體的體積的兩種算法得到等式，一種是棱長的立方，一種是小正方體和長方體的和計(jì)算；（1）將條件代入等式計(jì)算即可；（2）中先從條件中得到a+b＝4，ab＝2，然后將其代入等式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1，方法一：已知邊長直接求面積為（x?y方法二：陰影部分面積是大正方形的面積減去四個(gè)長方形的面積，所以面積為(x+y)∴等量關(guān)系式為：（x?y故答案為：（x?y如圖2，方法一：已知棱長直接求體積為（a+b方法二：正方體的體積是長方體和小正方體的體積和，即a3∴等量關(guān)系式為：（a+b故答案為：（a+b（1）將x+y＝3，xy=54代入得（x?y∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵|a+b?4|+（∴a+b＝4，ab＝2，將其代入（a+b即64＝∴a3+b3＝【點(diǎn)睛】本題主要利用圖象探究式的等量關(guān)系，要結(jié)合圖象分析，后面是等量關(guān)系的應(yīng)用，先分析適用于等量關(guān)系的條件然后代入計(jì)算即可．【變式10-1】（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）探究活動(dòng)：(1)如圖①，可以求出陰影部分的面積是_____（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長方形，面積是_____（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式_____．(4)知識(shí)應(yīng)用：運(yùn)用你得到的公式解決以下問題：計(jì)算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2?9y2＝10，4x+6y【答案】(1)a(2)（a+b）（a﹣b）(3)a2?b2＝（a+b）（(4)a(5)2x﹣3y的值為5【分析】（1）用大正方形的面積減去小正方形的面積即可；（2）根據(jù)長方形面積公式解答即可；（3）由（1）、（2）即可得到公式；（4）根據(jù)平方差公式，得到a+b2（5）將4x2?9y2=10，化為（2x+3y）（2x-3y）=0的形式，再由4x+6y（1）S陰故答案為：a2（2）拼成的長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），∴S陰故答案為：a+ba?b（3）由（1）、（2）可得，a2?b2＝（a+b）（故答案為：a2?b2＝（a+b）（（4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝a+b2＝a2（5）4x2?9y2＝（2x+3y∵4x+6y＝4，∴2x+3y＝2，∴2x﹣3y＝10÷2＝5，故2x﹣3y的值為5．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，用不同方法表示同一個(gè)圖象的面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·福建·明溪縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）閱讀理解：若x滿足210?xx?200=?204，試求解：設(shè)210?x=a，x?200=b，則ab=?204，且a＋b＝(210－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=解決問題(1)若x滿足2022?xx?2010=22，則2022?x(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022?xx?2002(3)如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為40平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少？【答案】(1)100(2)?810(3)96【分析】（1）根據(jù)材料解法，設(shè)2022?x=a，x?2010=b，則ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，根據(jù)（2）根據(jù)材料解法，設(shè)2022?x=a，x?2002=b，則a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，根據(jù)a+b2（3）由圖及題中條件得到正方形CFGH的邊長為10?x，正方形CEMN的邊長為6?x，由長方形CEPF的面積為40平方單位得到10?x6?x（1）解：設(shè)2022?x=a，x?2010=b，則ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=（2）解：設(shè)2022?x=a，x?2002=b，則a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=a+b2（3）解：由圖及題中條件可知正方形CFGH的邊長為10?x，正方形CEMN的邊長為6?x，則由長方形CEPF的面積為40平方單位得到10?xx?6∴陰影部分面積為10?x2設(shè)10?x=a，x?6=b，則ab=?40，且a＋b＝(10－x)＋(∵a+b2∴10?x2∵a2∴陰影部分面積為96．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)完全平方公式幾何意義的應(yīng)用能力，讀懂題意，掌握材料中的解法，結(jié)合圖形進(jìn)行完全平方公式的靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·湖南·常德市第二中學(xué)七年級(jí)期末）（1）①如圖1，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是______（寫成平方差的形式）；②將圖1中的長方形ABGE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形AHDE的面積是______（寫成多項(xiàng)式相乘的形式）；（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式______．（3）利用所得公式計(jì)算：2【答案】（1）①a2?b2；②【分析】（1）①根據(jù)圖1確定出陰影部分面積即可；②根據(jù)圖2確定出長方形面積即可；（2）根據(jù)兩圖形面積相等得到乘法公式；（3）利用得出的平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）①∵正方形ABCD的面積是a2，正方形FGCH的面積是b∴陰影部分的面積是a2②由圖2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，∴長方形AHDE的面積是(a+b)(a?b)，故答案為：①a2?b（2）由（1）可得到(a+b)(a?b)=a故答案為：(a+b)(a?b)=a（3）原式=4×=4×(1?=4×(1?1=4?1=4．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)11整式乘除的計(jì)算與化簡】【例11】（2022·浙江·嵊州市馬寅初初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：×?1【答案】?6x+2y?1【分析】直接利用整式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】由題意可得，所捂多項(xiàng)式是：(3=3=?6x+2y?1．故答案為：?6x+2y?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的除法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式11-1】（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）若定義表示3xyz3，表示?3adcb，則運(yùn)算A．?72n B．72n C．mn 【答案】A【分析】先根據(jù)定義列出代數(shù)式，然后再利用積的乘方、單項(xiàng)式除法解答即可．【詳解】解：由題意可得：3mn?23÷?3故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整單項(xiàng)式除法運(yùn)算，根據(jù)新定義列出整式是解答本題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022·山東淄博·期末）王老師給學(xué)生出了一道題：求2x+y2x?y+22x?y2+同學(xué)們看了題目后發(fā)表不同的看法．小明說：“條件y=?1是多余的．”小亮說：“不給y=?1這個(gè)條件，就不能求出結(jié)果，所以不多余．”(1)你認(rèn)為他倆誰說的有道理？為什么？(2)若本題的結(jié)果等于M，試求M的值．【答案】(1)小明說的有道理，理由見解析；(2)3【分析】（1）對(duì)2x+y2x?y（2）由（1）可計(jì)算得的結(jié)果為3，即M的值為3．（1）解：小明說的有道理，理由如下：2x+y==4=12x∵化簡得結(jié)果為12x2，12x∴條件y=?1是多余的，小明說的有道理；（2）當(dāng)x=12時(shí)，∴M=3,即M的值為3．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，在化簡求值時(shí)要特別注意去括號(hào)法則的運(yùn)用.【變式11-3】（2022·重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x3＋ax2＋bx＋c能被多項(xiàng)式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a、b、c的值．【答案】（1）4a+c＝12；（2）a＝2；b＝﹣7；c＝4．【分析】（1）根據(jù)整除的定義，得到x2+3x﹣4＝0，然后得到關(guān)于a、b、c的方程組，即可得到答案；（2）由于c≥a＞1，又a=3?c4，可知1＜3?c【詳解】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一個(gè)因式，∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，∴a+b+c=?1①16a?4b+c=64②①×4+②得4a+c＝12③；（2）∵c≥a＞1，又a=3?c∴a＝3?c4＜c，即1＜解得：125又∵a、c是大于1的正整數(shù)，∴c＝3、4、5、6、7，但a=3?c∴c＝4，∴a＝2，∴b＝﹣4﹣34【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思也就是說，B是A的一個(gè)因式，使這個(gè)因式B等于0的值，必是A的一個(gè)解．【考點(diǎn)12整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】【例12】（2022·北京·八年級(jí)期末）隨著某種產(chǎn)品的原料漲價(jià)，因而廠家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，設(shè)該產(chǎn)品原價(jià)為1元，現(xiàn)在有兩種提價(jià)方案：方案1：第一次提價(jià)x%，第二次提價(jià)y%；方案2：第一次、二次提價(jià)均為x%+y%2其中x，y是不相等的正數(shù)，請(qǐng)判斷在分別實(shí)施這兩種方案后哪種方案最終價(jià)格更高？并用乘法公式證明．【答案】方案2最終價(jià)格更高，理由見解析．【分析】先表示出“最方案1最終價(jià)格-方案2最終價(jià)格”代數(shù)式表示，再利用整式的混合運(yùn)算，化簡整式，最后得?100+x【詳解】解：方案2最終價(jià)格更高．理由如下：最方案1最終價(jià)格-方案2最終價(jià)格========∵x，y是不相等的正數(shù)∴?所以，兩種方案后方案2最終價(jià)格更高．【點(diǎn)睛】題考查了列代數(shù)式、整式混合運(yùn)算、乘法運(yùn)算的應(yīng)用，利用的方法為作差法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2022·重慶·八年級(jí)期末）近年來，重慶成為了眾多游客前來旅游的網(wǎng)紅城市．某商場(chǎng)根據(jù)游客的喜好，推出A