金融數(shù)學(xué)李向科第一章課件

金融數(shù)學(xué)李向科第一章2024/4/17金融數(shù)學(xué)李向科第一章第一章數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)

后期學(xué)習(xí)所要使用的數(shù)學(xué)上的結(jié)論復(fù)習(xí)和加強(qiáng)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用進(jìn)行說(shuō)明分為以下4個(gè)部分：線(xiàn)性代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型和建立模型優(yōu)化問(wèn)題求解效用函數(shù)（凸函數(shù)和凹函數(shù)）金融數(shù)學(xué)李向科第一章第一章第一節(jié)線(xiàn)性代數(shù)基礎(chǔ)

普遍涉及到的和需要強(qiáng)調(diào)的概念正交矩陣，對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化，特征值二次型，正定矩陣歐氏空間：向量的內(nèi)積（innerproduct）向量的長(zhǎng)度,向量的距離distance柯西布尼亞科夫斯基不等式向量的夾角，正交orthogonal投影Project，最小二乘法leastsquare金融數(shù)學(xué)李向科第一章其他兩個(gè)內(nèi)積的定義兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的內(nèi)積協(xié)方差：(X,Y)=cov(X,Y)相關(guān)系數(shù)：兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的內(nèi)積在此基礎(chǔ)上同樣有：距離、長(zhǎng)度、正交、投影等幾何空間中的概念金融數(shù)學(xué)李向科第一章矩陣和行列式的微分幾個(gè)結(jié)論：X是向量，A是矩陣金融數(shù)學(xué)李向科第一章第一章第二節(jié)數(shù)學(xué)模型和模型的建立模型來(lái)源于原型，對(duì)原型的抽象數(shù)學(xué)模型需要量化和假設(shè)數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)形式可以是數(shù)學(xué)公式，包括等式或不等式，也可以是圖表數(shù)學(xué)模型的最佳結(jié)果是數(shù)學(xué)公式自然科學(xué)中數(shù)學(xué)公式較多，并且應(yīng)用效果好社會(huì)科學(xué)中數(shù)學(xué)公式少，且效果差經(jīng)濟(jì)和金融學(xué)中有很多數(shù)學(xué)模型本教材后面幾章介紹金融中的幾個(gè)著名數(shù)學(xué)模型金融數(shù)學(xué)李向科第一章建立模型的步驟建模＝建立模型或模型建立，modeling建模準(zhǔn)備：了解實(shí)際問(wèn)題的背景模型假設(shè)：對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化建立數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)方式（公式、圖表）表現(xiàn)出實(shí)際問(wèn)題，盡量簡(jiǎn)單化原則模型求解：求解出結(jié)果，優(yōu)化求解較多模型分析：得到結(jié)論，做出預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)和修正：與實(shí)際比較，模擬實(shí)際金融數(shù)學(xué)李向科第一章建模舉例問(wèn)題的背景：資金總量為M，可投資于n＋1種資產(chǎn)Si(i＝0，1，…，n)，0表示存銀行Si的平均收益率為ri，風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi

總體風(fēng)險(xiǎn)＝Si中的最大風(fēng)險(xiǎn)投資Si的交易費(fèi)率為pi，低于ui按ui計(jì)算同期銀行存款為r0=5%，無(wú)交易費(fèi)用和損失問(wèn)題：如何總資金M如何投資，使得盡可能收益大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小金融數(shù)學(xué)李向科第一章對(duì)問(wèn)題的分析兩個(gè)目標(biāo)：凈收益大，風(fēng)險(xiǎn)損失小兩個(gè)目標(biāo)不可能同時(shí)滿(mǎn)足限定其中一個(gè)目標(biāo)的范圍，另一個(gè)盡可能最優(yōu)最優(yōu)解是不唯一的金融數(shù)學(xué)李向科第一章用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式表示模型xi表示購(gòu)買(mǎi)的Si資金量，ci(xi)是交易費(fèi)，投資于Si的凈收益：Ri(xi)＝rixi－ci(xi)總凈收益：R＝Σ投資于Si的風(fēng)險(xiǎn)損失：Qi(xi)＝qixi總風(fēng)險(xiǎn)損失：Q＝投資于Si所需資金：Fi(xi)=xi＋ci(xi)約束條件為總資金的限制M＝F＝Σ（xi＋ci(xi)）金融數(shù)學(xué)李向科第一章交易費(fèi)用的數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形金融數(shù)學(xué)李向科第一章幾個(gè)優(yōu)化模型兩目標(biāo)優(yōu)化模型：屬于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題單目標(biāo)優(yōu)化模型：分三種情況確定風(fēng)險(xiǎn)不能超過(guò)k，求最大收益確定收益水平不能低于h，求最小損失金融數(shù)學(xué)李向科第一章假定相對(duì)偏好1>ρ>0，上面模型不容易求解。簡(jiǎn)化費(fèi)用的表達(dá)式可以將模型簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè)費(fèi)用：ci(xi)＝pixi資金約束條件變成：F（x）＝Σ(1+pi)xi＝M前面的三個(gè)模型都可以變成線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，對(duì)此已經(jīng)有成熟的方法解決。線(xiàn)性規(guī)劃linearprogram金融數(shù)學(xué)李向科第一章第一章第三節(jié)極值和條件極值的求解多元函數(shù)的極值及其判斷一階偏導(dǎo)數(shù)為0（必要條件），二階偏導(dǎo)數(shù)，海森矩陣Hessianmatrix的正定和負(fù)定正定——極小值，負(fù)定——極大值二次多項(xiàng)式的極值點(diǎn)如果是凹函數(shù)或凸函數(shù)，則一階條件也是充分條件金融數(shù)學(xué)李向科第一章計(jì)算條件極值的拉格朗日乘子法約束條件：gi(x1,…,xn)=bi，i=1,2,…,mLagrangemultiplier將有約束條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束條件極值。引入拉格朗日乘數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)m+n個(gè)方程為一階條件拉格朗日乘子法與線(xiàn)性規(guī)劃的區(qū)別：約束條件中的等式和不等式應(yīng)用實(shí)例金融數(shù)學(xué)李向科第一章求解收益相同風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合有n種資產(chǎn)，R是資產(chǎn)的期望收益率向量，W是資產(chǎn)的投資比例向量（需要求解），V是資產(chǎn)協(xié)方差矩陣，該問(wèn)題是下面的優(yōu)化問(wèn)題該優(yōu)化問(wèn)題有解的充分必要條件是拉格朗日乘子函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于0金融數(shù)學(xué)李向科第一章第一章第四節(jié)凹函數(shù)、凸函數(shù)和效用函數(shù)效用utility是主觀感受，人為設(shè)定的滿(mǎn)意程度效用函數(shù)utilityfunction是對(duì)滿(mǎn)意程度的量化效用函數(shù)分為：序數(shù)效用、基數(shù)效用函數(shù)序數(shù)效用ordinalutility：效用之間只能排序基數(shù)效用cardinalutility：用具體數(shù)值表示效用的大小期望效用：有多種結(jié)果時(shí)用效用的數(shù)學(xué)期望E（u）＝Σ或積分金融數(shù)學(xué)李向科第一章兩個(gè)效用的例子例一、商品配置問(wèn)題。用確定數(shù)量資金購(gòu)買(mǎi)商品，如何確定每種商品的數(shù)量x1效用函數(shù)是多元函數(shù)u(x1,x2,…,xn)例二、生活質(zhì)量問(wèn)題。收入和休息之間的協(xié)調(diào)效用函數(shù)是收入L和休息y的函數(shù)u(l,y)T是總時(shí)間，r表示每小時(shí)工資效用函數(shù)成為一元函數(shù)u(l,y)＝u(rx,T－x)金融數(shù)學(xué)李向科第一章偏好關(guān)系preferencerelation選擇集經(jīng)過(guò)處理可以成為凸子集其中任何兩個(gè)元素可以比較“好壞”——關(guān)系“偏好關(guān)系”滿(mǎn)足：自反性、完備性、傳遞性無(wú)差異關(guān)系和嚴(yán)格偏好關(guān)系字典序dictionaryorder金融數(shù)學(xué)李向科第一章確定狀態(tài)下的效用函數(shù)具有偏好關(guān)系的效用函數(shù)u(.)u(x)≥u(y)當(dāng)且僅當(dāng)x≥y滿(mǎn)足：保序、中值、有界性序數(shù)效用函數(shù)存在性定理，金融數(shù)學(xué)李向科第一章假設(shè)投資有兩種結(jié)果x和y，概率是p和1－p投資的結(jié)果是“彩票”，xp&(1-p)y根據(jù)各自具體情況定義偏好關(guān)系，需要滿(mǎn)足10個(gè)條件不確定狀態(tài)下，基數(shù)和序數(shù)效用函數(shù)存在定理將選擇問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)值大小的比較不確定狀態(tài)下的效用函數(shù)金融數(shù)學(xué)李向科第一章風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度——效用函數(shù)應(yīng)用凸、凹函數(shù)定義：分一元和多元函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度：厭惡、偏好、中性彩票的例子。兩種彩票A和BA：＋100；B：隨機(jī)變量x:＋500（概率＝p），or-100兩種的期望所得應(yīng)該相同，因此，p＝1/3有下面3種可能的決策：選擇A——風(fēng)險(xiǎn)厭惡選擇B——風(fēng)險(xiǎn)偏好隨意選擇AB——風(fēng)險(xiǎn)中性金融數(shù)學(xué)李向科第一章用效用函數(shù)u(x)分析3種態(tài)度有了效用函數(shù)u(x)后選擇A得到的效用＝u(100)選擇B得到的是期望效用E(u(x))＝u(500)/3＋2u(-100)/3比較E(u(x))和u(E(x))的大小，得到風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度u(E(x))>E(u(x))：u是凹函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡u(E(x))<E(u(x))：u是凸函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)偏好u(E(x))=E(u(x))：風(fēng)險(xiǎn)中性金融數(shù)學(xué)李向科第一章風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的圖形表示U(b)U(a)U(b)U(b)U(a)U(a)aaabbb金融數(shù)學(xué)李向科第一章效用函數(shù)例子絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)：A(x)=-u’’(x)/u’(x)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡