2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題20 函數(shù)的應(yīng)用（二）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題20函數(shù)的應(yīng)用（二）題型一二次函數(shù)模型解決實際問題1．若矩形的一邊長為，周長為，則當(dāng)矩形面積最大時，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】矩形另一邊長為，且有，面積為，所以，當(dāng)時，取最大值．故選：C.2．某電腦公司2016年的各項經(jīng)營總收入中電腦配件的收入為40萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%，該公司預(yù)計2018年經(jīng)營總收入要達(dá)到169萬元，且計劃從2016年到2018年每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，則2017年預(yù)計經(jīng)營總收入為________萬元．【答案】130【解析】設(shè)增長率為x，由題可得：，計算可得，因此2017年預(yù)計經(jīng)營收入為．故答案為：130．3．某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？【答案】（1）500名；（2）.【解析】解：（1）由題意，得，即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，所以.所以，即在時恒成立.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，又，所以.所以a的取值范圍為.4．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤（萬元）與銷售時間（月）之間的關(guān)系（即前個月的利潤總和與之間的關(guān)系）.根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題：（1）由已知圖象上的三點坐標(biāo)，求累積利潤（萬元）與時間（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到第幾個月末公司累積利潤可達(dá)到萬元；（3）求第八個月公司所獲得的利潤.【答案】（1）；（2）第十個月；（3）利潤為萬元.【解析】（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為.由題中函數(shù)圖象過點、、，得，解得，因此，所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）把代入，得，整理得，，解得，因此，截止到第十個月末公司累積利潤可達(dá)到萬元；（3）第八個月公司所獲得的利潤為（萬元）.因此，第八個月公司所獲得的利潤為萬元.題型二分段函數(shù)模型的應(yīng)用5．新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段．某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時（單位：小時）大致服從的關(guān)系為（、為常數(shù)）.已知第天檢測過程平均耗時為小時，第天和第天檢測過程平均耗時均為小時，那么可得到第天檢測過程平均耗時大致為（）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時【答案】C【解析】由第天和第天檢測過程平均耗時均為小時知，，所以，得．又由知，，所以當(dāng)時，，故選：C．6．某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：如果顧客選購物品的總金額不超過600元，則不享受任何折扣優(yōu)惠；如果顧客選購物品的總金額超過600元，則超過600元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表累計計算.某人在此商場購物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元，則他實際所付金額為____元．【答案】1120【解析】由題可知：折扣金額y元與購物總金額x元之間的解析式，y∵y＝30＞25∴x＞1100∴0.1（x﹣1100）+25＝30解得，x＝1150，1150﹣30＝1120，故此人購物實際所付金額為1120元．7．2019年1月1日起新的個人所得稅法開始實施，依據(jù)《中華人民共和國個人所得稅法》可知納稅人實際取得工資、薪金（扣除專項、專項附加及依法確定的其他）所得不超過5000元（俗稱“起征點”）的部分不征稅，超出5000元部分為全月納稅所得額.新的稅率表如表：2019年1月1日后個人所得稅稅率表全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）不超過3000元的部分3超過3000元至12000元的部分10超過12000元至25000元的部分20超過25000元至35000元的部分25個人所得稅專項附加扣除是指個人所得稅法規(guī)定的子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金和贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.其中贍養(yǎng)老人一項指納稅人贍養(yǎng)60歲（含）以上父母及其他法定贍養(yǎng)人的贍養(yǎng)支出，可按照以下標(biāo)準(zhǔn)扣除：納稅人為獨生子女的，按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)定額扣除；納稅人為非獨生子女的，由其與兄弟姐妹分?jǐn)偯吭?000元的扣除額度，每人分?jǐn)偟念~度不能超過每月1000元.某納稅人只有一個姐姐，且兩人僅符合規(guī)定中的贍養(yǎng)老人的條件，如果他在2020年5月份應(yīng)繳納個人所得稅款為180元，那么他當(dāng)月的工資、薪金稅后所得是_____元.【答案】9720【解析】設(shè)他的工資是元，工資是8000元時納稅為，由于他有專項附加扣1000元，因此他工資是9000元時，納稅90元，，，納稅后收入為9900－180＝9720（元）．故答案為：9720．8．某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目.經(jīng)測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將給予補(bǔ)貼.（1）當(dāng)時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤：如果不獲利，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項目不虧損？（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？【答案】（1）不能獲利，政府每月至少需要補(bǔ)貼5000元才能使該項目不虧損，（2）400【解析】解：（1）當(dāng)時，該項目獲利為，則，所以當(dāng)時，，因此該項目不會獲利，當(dāng)時，取得最大值，所以政府每月至少需要補(bǔ)貼5000元才能使項目不虧損，（2）由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值240；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值200，因為，所以當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低題型三分式函數(shù)模型的應(yīng)用9．某公司一年購買某種貨物900噸，現(xiàn)分次購買，若每次購買x噸，運(yùn)費為9萬元/次，一年的總儲存費用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費與總儲存費用之和最小，則下列說法正確的是（）A．時費用之和有最小值 B．時費用之和有最小值C．最小值為萬元 D．最小值為萬元【答案】BD【解析】一年購買某種貨物900噸，若每次購買x噸，則需要購買次，運(yùn)費是9萬元/次，一年的總儲存費用為萬元，所以一年的總運(yùn)費與總儲存費用之和為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)時，一年的總運(yùn)費與總儲存費用之和最小為萬元，故選：BD10．某廠家擬定在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？【答案】（1）y＝－＋29(m≥0)；（2）該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元．.【解析】(1)由題意知，當(dāng)m＝0時，x＝1(萬件)，所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－(m≥0)，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)，所以2020年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)因為m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1?m＝3(萬元)時，ymax＝21(萬元)．故該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元．11．新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供(萬元)的專項補(bǔ)貼，并以每套80元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服.A公司在收到政府(萬元)補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到(萬件)，其中為工廠工人的復(fù)工率（）.A公司生產(chǎn)萬件防護(hù)服還需投入成本(萬元).（1）將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤(萬元)表示為補(bǔ)貼(萬元)的函數(shù)(政府補(bǔ)貼x萬元計入公司收入)；（2）在復(fù)工率為k時，政府補(bǔ)貼多少萬元才能使A公司的防護(hù)服利潤達(dá)到最大？（3）對任意的(萬元)，當(dāng)復(fù)工率達(dá)到多少時，A公司才能不產(chǎn)生虧損？（精確到0.01）.【答案】（1），，；（2）；（3）【解析】（1）由題意，，即，，.（2），因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，故政府補(bǔ)貼為萬元才能使A公司的防護(hù)服利潤達(dá)到最大，最大為萬元.（3）對任意的(萬元)，A公司都不產(chǎn)生虧損，則在上恒成立，不等式整理得，，令，則，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，所以，即.所以當(dāng)復(fù)工率達(dá)到時，對任意的(萬元)，A公司都不產(chǎn)生虧損.題型四指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）12．某新能源汽車公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2018年（記為第1年）全年投入研發(fā)資金5300萬元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過7000萬元的年份是________年．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】2023【解析】設(shè)從第年開始超過7000萬元，則，即，，取，又，所以開始超過7000萬元的年份是2023年．13．“金山銀山，不如綠水青山，而且綠水青山就是金山銀山”.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為創(chuàng)建“綠色家園”，決定在鄉(xiāng)鎮(zhèn)范圍內(nèi)栽種某種觀賞樹木，已知這種樹木自栽種之日起，其生長規(guī)律為：樹木的高度（單位：米）與生長年限（單位：年）滿足關(guān)系，樹木栽種時的高度為米；1年后，樹木的高度達(dá)到米.（1）求的解析式；（2）問從種植起，第幾年樹木生長最快？【答案】（1）；（2）第3年與第4年.【解析】（1）由已知得，即，所以，解得，，所以，.（2）令，.問題化為，當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.而.當(dāng)且僅當(dāng)，即，上式取等號，但，，故種植之日起，第3年與第4年樹木生長最快.14．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆發(fā).在某個時間點，某城市從有人發(fā)病到發(fā)現(xiàn)人傳人時，已有發(fā)病人數(shù)（千人），從此時起，每周新增發(fā)病人數(shù)（單位：千人）與時間（單位：周）之間近似地滿足，且當(dāng)時，（千人）.為阻止病毒蔓延，該城市第3周后果斷采取了封城的隔離措施，再經(jīng)過2周后隔離措施產(chǎn)生了效果，新增發(fā)病人數(shù).（1）求該城市第5，6，7周新增發(fā)病人數(shù)；（2）該城市從發(fā)現(xiàn)人傳人時，就不斷加大科技投入，第周治愈人數(shù)（單位：千人）與時間（單位：周）存在關(guān)系，為了保障每一位“新冠肺炎”病人能及時入院治療，該城市前9周（不考慮死亡人數(shù)的前提下）至少需準(zhǔn)備多少張床位？（注：出院人數(shù)不少于新增發(fā)病人數(shù)時，總床位不再增加）【答案】（1）16千人，8千人，4千人；（2）23.55千張床位.【解析】（1），當(dāng)時，；當(dāng)時，.∴，，.故第5，6，7周新增發(fā)病人數(shù)分別為16千人，8千人，4千人.（2）.記，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，，.至少需準(zhǔn)備的床位數(shù)為.故該城市前9周至少需準(zhǔn)備23.55千張床位.題型五對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）15．所謂聲強(qiáng)，是指聲音在傳播途徑上每1平方米面積上的聲能流密度，用I表示，人類能聽到的聲強(qiáng)范圍很廣，其中能聽見的1000Hz聲音的聲強(qiáng)（約10﹣12W/m2）為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)，記作I0，聲強(qiáng)I與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)I0之比的常用對數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級，記作L，即L=lg，聲強(qiáng)級L的單位名稱為貝（爾），符號為B，取貝（爾）的十分之一作為響度的常用單位，稱為分貝（爾）.簡稱分貝（dB）.《三國演義》中有張飛喝斷當(dāng)陽橋的故事，設(shè)張飛大喝一聲的響度為140dB.一個士兵大喝一聲的響度為90dB，如果一群士兵同時大喝一聲相當(dāng)一張飛大喝一聲的響度，那么這群土兵的人數(shù)為（）A．1萬 B．2萬 C．5萬 D．10萬【答案】D【解析】設(shè)張飛的聲強(qiáng)為，一個士兵的聲強(qiáng)為，根據(jù)題意可知：，所以，，所以，所以這群士兵的人數(shù)為萬.故選：D.16．碳14是碳的一種具有放射性的同位素，它常用于確定生物體的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物體內(nèi)碳14的含量與自然界中碳14的含量一樣且保持穩(wěn)定，一旦生物死亡，碳14攝入停止，生物體內(nèi)的碳14會按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律衰減，大約經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，通過測定生物遺體內(nèi)碳14的含量就可以測定該生物的死亡年代.設(shè)生物體內(nèi)的碳14的含量為P，死亡年數(shù)為t.（1）試將P表示為t的函數(shù)；（2）不久前，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一塊生物化石上的碳14的含量為自然界中碳14的含量的，請推算該生物死亡的年代距今多少年？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）；（2）21010年.【解析】解：（1）已知碳14含量與死亡年數(shù)成指數(shù)函數(shù)關(guān)系，設(shè)，由經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，可得，故碳14的含量P與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式為；（2），,所以推算該生物死亡的年代距今21010年.17．國際視力表值（又叫小數(shù)視力值，用表示，范圍是）和我國現(xiàn)行視力表值（又叫對數(shù)視力值，由繆天容創(chuàng)立，用表示，范圍是）的換算關(guān)系式為.（1）請根據(jù)此關(guān)系式將下面視力對照表補(bǔ)充完整.1.5②0.4④①5.0③4.0（2）甲、乙兩位同學(xué)檢查視力，其中甲的對數(shù)視力值為4.5，乙的小數(shù)視力值是甲的小數(shù)視力值的2倍，求乙的對數(shù)視力值.（所求值均精確到小數(shù)點后面一位數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）對照表見解析；（2）.【解析】(1)因為，所以①應(yīng)填5.2；因為，所以，所以②處應(yīng)填1.0；因為，所以③處應(yīng)填4.6；因為，所以，所以.所以④處應(yīng)填0.1.對照表補(bǔ)充完整如下1.51.00.40.15.25.04.64.0（2）先將甲的對數(shù)視力值換算成小數(shù)視力值，有，所以，所以，所以乙的對數(shù)視力值.題型六冪函數(shù)模型的應(yīng)用1．在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過n（）個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．有下列函數(shù):①②③④其中是一階整點的是A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④【答案】D【解析】對于函數(shù)，它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當(dāng)x∈Z時，一定有g(shù)（x）=x3∈Z，即函數(shù)g（x）=x3通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當(dāng)x=0，-1，-2，時，h（x）都是整數(shù)，故函數(shù)h（x）通過無數(shù)個整點，它不是一