2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題42 直線與直線平行-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練(解析版)

專題42直線與直線平行題型一空間四邊形的認(rèn)識(shí)【例1】空間四邊形ABCD中，給出下列說(shuō)法：①直線AB與CD異面；②對(duì)角線AC與BD相交；③四條邊不能都相等；④四條邊的中點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】本題主要考查空間四邊形，關(guān)鍵要理解空間四邊形的概念．由定義知①正確；②錯(cuò)誤，否則A、B、C、D四點(diǎn)共面；③不正確，可將一個(gè)菱形沿一條對(duì)角線折起一個(gè)角度，就成為四邊相等的空間四邊形；④正確，由平行四邊形的判定定理可證．【變式1-1】空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則MN__________eq\f(1,2)(AC＋BD)(填“≥”“>”“≤”“<”“＝”符號(hào))【答案】<【解析】取BC中點(diǎn)E，連接EM，EN，則EM=12又EM+EN>MN，∴MN<【變式1-2】已知E，F(xiàn)，G，H分別是為空間四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若對(duì)角線BD=2，AC=4則EG2+HF2的值是（）A.5B.10C.12D.不確定【答案】B【解析】如圖所示，由三角形中位線的性質(zhì)，可得EN∥BD且EN=12BD根據(jù)基本事實(shí)4可得四邊形EFGH為平行四邊形，所以EG2【變式1-3】如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.M，N，P，Q四點(diǎn)共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形是MNPQ梯形【答案】D【解析】由中位線定理可得MQ∥BD，ME∥BC，對(duì)于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，對(duì)于B，根據(jù)等角定理，得∠QME=∠CBD對(duì)于C，由等角定理，知∠QME=∠CBD所以?BCD∽?MEQ，C正確；對(duì)于D，由三角形的中位線定理，知MQ∥BD且MQ=12所以MQ∥NP且MQ=NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，題型二基本事實(shí)4的應(yīng)用【例2】已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且AC＝BD.求證：四邊形EFGH為菱形．【解析】∵在△ABD中，E、H分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EHeq\f(1,2)BD，同理FGeq\f(1,2)BD，∴EHFG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．又AC＝BD，∴EF＝EH，∴四邊形EFGH為菱形．【變式2-1】如圖，E、F分別是長(zhǎng)方體A1B1C1D1－ABCD的棱A1A、C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．【解析】設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ，∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQ∥又矩形A1B1C1由基本事實(shí)4可知，EQ∥B1∴四邊形EQC∴B1E∥又∵Q、F是矩形DD∴QD∥C1∴四邊形DQC∴C1Q∥又∵B1E∥C1Q且∴四邊形B1【變式2-2】如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.【解析】連接EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=12同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.【變式2-3】如圖所示，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，若M，N分別是A′D′，C′D′的中點(diǎn)，求證:四邊形ACNM是梯形.【解析】如圖所示，連接A′C′，因?yàn)镸，N分別是A′D′，C′D′的中點(diǎn)，所以MN∥A′C′，且MN=QUOTE12A′C′.由正方體的性質(zhì)可知A′C′∥AC，且A′C′=AC.所以MN∥AC，且MN=QUOTE12AC，所以四邊形ACNM是梯形.【變式2-4】如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可得：，由平行公理可得：.【變式2-5】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；【解析】∵ABCD-A1B1C1D1為正方體．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．題型三等角定理的應(yīng)用【例3-1】若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的是()A．且方向相同B．，方向可能不同C．與不平行D．與不一定平行【答案】D【解析】如圖，當(dāng)時(shí)，且，與的方向相同，與是不一定平行，如上圖所示，故選D.【例3-2】如圖所示，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，已知E，E′分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中點(diǎn)，求證:∠BEC=∠B′E′C′.【解析】如圖所示，連接EE′.因?yàn)镋，E′分別是AD，A′D′的中點(diǎn)，所以AE∥A′E′，且AE=A′E′.所以四邊形AEE′A′是平行四邊形.所以AA′∥EE′，且AA′=EE′.又因?yàn)锳A′∥BB′，且AA′=BB′，所以EE′∥BB′，且EE′=BB′.所以四邊形BEE′B′是平行四邊形.所以BE∥B′E′.同理可證CE∥C′E′.又∠BEC與∠B′E′C′的兩邊方向相同，所以∠BEC=∠B′E′C′.【變式3-1】不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊分別平行，則這兩個(gè)三角形（）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【答案】C【解析】根據(jù)等角定理可知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角，分別對(duì)應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形一定相似或全等.【變式3-2】已知，，，則（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】的兩邊與的兩邊分別平行，根據(jù)等角定理易知或.【變式3-3】如圖，已知線段AA1、BB1、CC1交于O點(diǎn)，且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)＝eq\f(OC,OC1)，求證：△ABC∽△A1B1C1.【解析】∵AA1與BB1交于點(diǎn)O，且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)，∴A1B1∥AB，同理A1C1∥AC，B1C1∥BC，又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.【變式3-4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn).求證：（1）MC∥A1E，A1F∥CN；（2）∠EA1F=∠NCM.【解析】證明(1)取A1D1的中點(diǎn)I，連接DI，MI，因?yàn)镸為B1C1的中點(diǎn)，ABCD-A1B1C1D1為正方體，所以C1D1CD，MIC1D1，根據(jù)基本事實(shí)