2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題43 直線與平面平行-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練(解析版)

專題43直線與平面平行題型一線面平行的概念辨析【例1】下列命題正確的是（）A.若直線平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線B.若直線在平面外，則C.若直線D.若直線【答案】D【解析】A.中直線l可以再平面α內(nèi)；B.中直線a可以與平面α相交；C中直線a可以在平面α內(nèi)；D正確【變式1-1】直線是平面外的一條直線，下列條件中可推出的是（）A．與內(nèi)的一條直線不相交B．與內(nèi)的兩條直線不相交C．與內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交D．與內(nèi)的任意一條直線不相交【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，與平面內(nèi)的一條直線不相交，則直線、與相交以及都有可能，A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，與內(nèi)的兩條直線不相交，則直線、與相交以及都有可能，B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若與內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線平行時(shí)，則或，C選項(xiàng)不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，根據(jù)直線與平面平行的定義，可知直線與平面內(nèi)的任意一條直線都不相交，D選項(xiàng)正確.故選：D.【變式1-2】已知是兩條不同的直線，平面，下列命題正確的是______________①若上有兩點(diǎn)到的距離相等，則；②若③④⑤【答案】=3\*GB3③【解析】=1\*GB3①中l(wèi)與α可能相交；=2\*GB3②中，也可能是n?α；=4\*GB3④中，不能是任意的；=5\*GB3⑤中，m與n可能異面.【變式1-3】已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不重合的直線m，n，有下列四個(gè)說(shuō)法：（1）若m∥α，n∥α，則m∥n；（2）若m∥α，n∥α，m，n?β，則α∥β；（3）若m∥n，n?α，則m∥α；（4）若α∥β，m?α，則m∥β.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為________個(gè).【答案】1【解析】說(shuō)法（1）中，m∥α，n∥α，則m∥n或m與n相交或m與n異面，故（1）錯(cuò)；說(shuō)法（2）中，由面面平行的判定定理，當(dāng)m與n相交時(shí)，可得α∥β，故（2）錯(cuò)；說(shuō)法（3）中，由線面平行的判定定理，當(dāng)m在α外時(shí)，可得m∥α，故（3）錯(cuò)；說(shuō)法（4）中，由面面平行的性質(zhì)知，（4）正確，即正確說(shuō)法只有一個(gè)，故填1.【變式1-4】下列三個(gè)命題在“_______”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題（其中為直線，為平面），則此條件是__________.①；②；③【答案】【解析】①，或，由；②，，；③，或，由．故答案為：．題型二直線與平面平行的判定【例2】已知正方體則下列四條直線中與平面平行的是()【答案】D【解析】如圖所示，易知A1B1∴四邊形A1∴A1又A1D?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C【變式2-1】點(diǎn)M、N是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A與A1B1的中點(diǎn)，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．MN?平面PCB1D．以上三種情形都有可能【答案】A【解析】如圖，∵M(jìn)、N分別為A1A和A1B1中點(diǎn)，又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三點(diǎn)共線，∴AB1?平面PB1C，∵M(jìn)N?平面PB1C，∴MN∥平面PB1C．【變式2-3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的側(cè)面對(duì)角線有________條．【答案】3【解析】如圖，與平面C1DB平行的側(cè)面對(duì)角線有3條：B1D1、AD1、AB1.【變式2-4】在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AE：EB=AF：FD=1：4，H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（）A.BD//平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B.EF//平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C.HG//平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D.EH//平面ADC，且四邊形EFGH是梯形【答案】B【解析】如圖，有題意可得EF∥BD，EF=15BD，HG∥BD且∴EF∥HG且EF≠HG，∴四邊形EFGH是梯形.又EF∥BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD∴EF∥平面BCD，分析可知，EH與平面ADC不平行.【變式2-5】(2017·全國(guó)Ⅰ卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()【答案】A【解析】法一對(duì)于選項(xiàng)B，如圖（1）所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A項(xiàng)中直線AB與平面MNQ不平行.圖（1）圖（2）法二對(duì)于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖（2）所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行.題型三中位線法證明線面平行【例3】如圖，已知E、F分別是三棱錐A－BCD的側(cè)棱AB、AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD.【解析】∵E、F分貝是AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，又∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD【變式3-1】如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn)，求證：PD∥平面MAC．【解析】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OM.根據(jù)題意可得：O是BD的中點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn).∴在?BPD中，OM是中位線，∴OM∥PD.又∵OM?平面MAC，PD?平面MAC，∴PD∥平面MAC【變式3-2】如圖，四棱錐中，底面為矩形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面【解析】連接，設(shè)與的交點(diǎn)為，連接.因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【變式3-3】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，求證：A1C//平面BDE.【解析】如圖，連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，∵E、O分別是AA1，∴AC1∥又∵A1C?平面BDE，EO?平面∴A1C∥題型四平行四邊形法證明線面平行【例4】如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：C1O∥平面AB1D1.【解析】連接A1C1交B∵AO∥C1O1∴四邊形AOC所以C1O∥又∵C1O?平面AB∴C1O∥平面【變式4-1】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).求證：AM//平面BDE.【解析】如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.∵O，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，∴EM∥OA，且EM=OA，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE，又OE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.【變式4-2】如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是AC和BB1的中點(diǎn).求證MN//平面A1B1C.【解析】取A1C的中點(diǎn)D，連接MD，∵M(jìn)，D分別是AC，A1∴MD∥AA1且MD=又N是BB1∴B1N∥AA1∴MD∥B1N且∴四邊形DMNB∴MN∥B1∵M(jìn)N?平面A1B1C，∴MN∥平面A1【變式4-3】如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，且，是的中點(diǎn)，證明:平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：取中點(diǎn)為，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平?【變式4-4】（難）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如下圖所示，取的中點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，使得，連接、、.，，，且.、分別為、的中點(diǎn)，，且.為的中點(diǎn)，.且，四邊形是平行四邊形，.平面，平面，平面.題型五利用線面平行性質(zhì)定理證明線線平行【例5】如圖所示，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且EH∥FG.求證：EH∥BD.【解析】∵EH∥FG，EH?平面BCD，∴EH∥平面又EH?平面ABD，∴EH∥BD.【變式5-1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB的中點(diǎn)，過(guò)A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于點(diǎn)M，求證：AD∥MN.【解析】∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，又BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC，又AD?平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴AD∥MN.【變式5-2】如圖，已知異面直線AB，CD都與平面MNPQ平行，且點(diǎn)M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形.【解析】∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面∴AB∥MN，又平面ABD∩平面∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可證，NP∥MQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形.【變式5-3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH，點(diǎn)H在線段BD上.求證：AP//GH.【解析】如圖，連接AC，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴MO∥PA，又MO?平面BDM，PA?平面BDM，∴PA∥平面BDM，又PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面∴AP∥GH.【變式5-4】如圖所示，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD∥EF.【解析】∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH，又GH?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD．而EF所在的平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．題型六利用線面平行性質(zhì)定理解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例6】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，∥，試在棱上找一點(diǎn)，使得∥平面【答案】為邊的中點(diǎn)【解析】因?yàn)椤纹矫?，，平面平面，所以∥由題設(shè)可知點(diǎn)為邊的中點(diǎn)【變式6-1】如圖，在斜三棱柱中，為上的點(diǎn)。當(dāng)為何值時(shí)，平面？【答案】當(dāng)時(shí)，平面.【解析】當(dāng)時(shí)，平面.如圖，連接交于點(diǎn)，連接.由三棱柱的性質(zhì)知，四邊形為平行四邊形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).在中，分別為的中點(diǎn)，.又平面，平面，平面，∴當(dāng)時(shí)，平面.【變式6-2】如圖，在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，，棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論?！敬鸢浮恳?jiàn)解析【解析】如圖，取為的中點(diǎn)，連接，，由均為的中點(diǎn)，則為的中位線，所以，又面，面，所以平面【變式6-3】如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，M為AB中點(diǎn)，在線段PC上求一點(diǎn)N，使得MN∥平面PAD；【解析】設(shè)線段PC的中點(diǎn)為N，則N為所求．設(shè)線段PD中點(diǎn)為H，連結(jié)NH，AH，在△PDC中，HN∥DC，HN=1∵四邊形ABCD是菱形，M為中點(diǎn)，∴AM∥DC